Fiche de révision : fonctions linéaires et affines

Reprendre les acquis de 5e et de 4e (proportionnalité dans un tableau et sur un graphique, coefficient, pourcentages et coefficient multiplicateur) ; fonction linéaire f(x) = ax et proportionnalité (images, antécédents, coefficient à partir d’une valeur, linéarité) ; fonction affine f(x) = ax + b (coefficient directeur, ordonnée à l’origine, cas particuliers, reconnaître, images et antécédents) ; représentation graphique par une droite (tracer, lire a et b, sens de variation, droites parallèles) ; déterminer une fonction affine par deux valeurs et modéliser une situation.

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Fonctions linéaires et affines

Fiche méthode

(Mathématiques 3ᵉ · Organisation et gestion de données, fonctions)

La démarche face à une fonction affine

1. J’écris l’expression sous la forme $a x + b$ (en développant si besoin) et je lis $a$ (devant $x$ , avec son signe) et $b$ (le nombre seul).

2. Je choisis l’outil : image → je remplace $x$ ; antécédent → je résous $a x + b = y$ ; deux images connues → je calcule $a$ puis $b$ .

3. Je relie au graphique : droite passant par $(0; b)$ , qui monte si $a > 0$ et descend si $a < 0$ .

4. Je vérifie avec une autre valeur ou un autre point, puis je conclus avec l’unité.

Le réflexe — linéaire = proportionnalité = droite par l’origine ; affine avec

b \neq 0

= partie fixe = droite qui coupe l’axe des ordonnées en

b

Cas 1 · Rappels : proportionnalité et pourcentages

Réflexe — je calcule les quotients $y \div x$ : tous égaux → proportionnalité de coefficient ce quotient ; pour $t %$ , je multiplie par $1 \pm \frac{t}{100}$ .

Exemple 1. Le tableau $4 \to 9$ ; $10 \to 22, 5$ est-il un tableau de proportionnalité ?

$9 \div 4 = 2, 25$ et $22, 5 \div 10 = 2, 25$ : oui, de coefficient $2, 25$ , soit $y = 2, 25 x$ .

Exemple 2. Quel est le coefficient multiplicateur d’une baisse de $12 %$ ?

$1 - 0, 12 = 0, 88$ : baisser de $12 %$ , c’est multiplier par $0, 88$ .

Attention — les points doivent être alignés avec l’origine : une droite qui ne passe pas par $(0; 0)$ ne traduit pas une proportionnalité.

Cas 2 · Fonction linéaire $f (x) = a x$

Réflexe — une image connue suffit : $a = f (x) \div x$ ; image → je multiplie par $a$ , antécédent → je divise par $a$ .

Exemple. $f$ est linéaire et $f (6) = - 9$ . Calculer $f (- 4)$ et l’antécédent de $12$ .

$a = - 9 \div 6 = - 1, 5$ , donc $f (x) = - 1, 5 x$ .

$f (- 4) = - 1, 5 \times (- 4) = 6$ ; antécédent de $12$ : $12 \div (- 1, 5) = - 8$ .

Attention — pour l’antécédent, on divise par $a$ ; multiplier donnerait l’image.

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Cas 3 · Fonction affine $f (x) = a x + b$

Réflexe — j’écris $a x + b$ : $a$ est devant $x$ avec son signe, $b = f (0)$ ; antécédent → équation $a x + b = y$ .

Exemple 1. Pour $f (x) = 4 - 0, 5 x$ : lire $a$ et $b$ , calculer $f (- 6)$ et l’antécédent de $1$ .

$f (x) = - 0, 5 x + 4$ : $a = - 0, 5$ et $b = 4$ . $f (- 6) = 3 + 4 = 7$ .

$- 0, 5 x + 4 = 1$ ; $- 0, 5 x = - 3$ ; $x = 6$ .

Exemple 2. Quelle est la nature de $g (x) = 3 (x + 2) - 3 x$ ?

$g (x) = 3 x + 6 - 3 x = 6$ : $a = 0$ , $g$ est constante (affine, non linéaire).

Attention — développer avant de conclure : $x (x + 2) - x^{2} = 2 x$ est linéaire, alors que $x^{2}$ apparaît dans l’écriture de départ.

Cas 4 · Représentation graphique

Réflexe — tracer : deux points, dont $(0; b)$ , et un troisième pour contrôler ; lire : $b$ sur l’axe vertical, puis j’avance de $1$ et je compte la montée ( $a > 0$ ) ou la descente ( $a < 0$ ).

Exemple 1. Tracer la droite de $f (x) = 2 x - 3$ .

$f (0) = - 3$ : point $(0; - 3)$ ; $f (3) = 3$ : point $(3; 3)$ . Contrôle : $f (1) = - 1$ , le point $(1; - 1)$ est aligné.

Exemple 2. Une droite coupe l’axe des ordonnées en $1$ et descend de $3$ quand on avance de $2$ . Quelle fonction représente-t-elle ?

$b = 1$ et $a = - 3 \div 2 = - 1, 5$ : $f (x) = - 1, 5 x + 1$ , fonction décroissante.

Attention — même coefficient directeur → droites parallèles ; même ordonnée à l’origine → droites qui se coupent sur l’axe des ordonnées.

Cas 5 · Déterminer $a$ et $b$ , modéliser

Réflexe — $a = \frac{f (x_{2}) - f (x_{1})}{x_{2} - x_{1}}$ , puis $b = f (x_{1}) - a \times x_{1}$ ; dans un problème : partie fixe → $b$ , partie par unité → $a$ .

Exemple. $f$ est affine, $f (1) = - 2$ et $f (4) = 7$ . Déterminer $f (x)$ .

$a = \frac{7 - (- 2)}{4 - 1} = \frac{9}{3} = 3$ ; $b = - 2 - 3 \times 1 = - 5$ .

$f (x) = 3 x - 5$ . Contrôle : $f (4) = 12 - 5 = 7$ .

Attention — les deux différences dans le même ordre ; et pour comparer deux offres, je résous $f (x) = g (x)$ puis je regarde quelle droite est en dessous.

Les pièges

Lire le coefficient directeur de $6 - 3 x$ comme $6$ : c’est $- 3$ , le nombre qui multiplie $x$ .
Croire qu’une fonction affine avec $b \neq 0$ traduit une proportionnalité : pour $2 x + 1$ , $f (2) = 5$ mais $f (4) = 9 \neq 10$ .
Inverser l’ordre d’une des différences dans le calcul de $a$ , ou oublier les parenthèses : $2 - (- 3) = 5$ .
Confondre l’ordonnée à l’origine (point $(0; b)$ ) et le point où la droite coupe l’axe des abscisses (là où $f (x) = 0$ ).
Traduire une baisse de $25 %$ par $0, 25 x$ au lieu de $0, 75 x$ .

Ce document est la propriété intellectuelle de Ben, professeur particulier (benprofparticulier.fr), protégée par le Code de la propriété intellectuelle (art. L. 111-1 et L. 122-4). Il est mis à disposition pour un usage personnel de révision. Toute reproduction, diffusion, mise en ligne ou revente, totale ou partielle, sans autorisation écrite est interdite et constitue une contrefaçon (art. L. 335-2).

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À propos de cette page

Cette fiche méthode donne la démarche en quatre étapes face à une fonction affine (écrire ax + b, choisir l’outil, relier au graphique, vérifier), un exemple corrigé par cas, du tableau de proportionnalité à la fonction trouvée par f(1) = −2 et f(4) = 7, et les pièges classiques : ordre de 6 − 3x, différences inversées, baisse de 25 % mal traduite.

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