Collège · 3ᵉ · Mathématiques
Fonctions linéaires et affines
Coefficient directeur, ordonnée à l'origine et représentation graphique (programme de 3e)
Reconnaître une fonction linéaire ou affine, lire et calculer a et b, tracer et interpréter la droite, modéliser une situation « fixe + proportionnel ».
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Définitions
- Linéaire : f(x) = ax. Proportionnalité, f(0) = 0, a = f(x) ÷ x.
- Affine : f(x) = ax + b. a = coefficient directeur, b = ordonnée à l'origine = f(0).
- Linéaire = affine avec b = 0 ; constante = affine avec a = 0.
- Ni l'une ni l'autre : x², 3/x, x(x + 1)…
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La droite
- Représentation graphique : une droite ; elle passe par (0 ; b) ; par l'origine si linéaire.
- a > 0 : croissante (monte) ; a < 0 : décroissante (descend) ; a = 0 : horizontale.
- Quand x augmente de 1, f(x) varie de a ; de k → varie de a × k.
- Même a ⟹ droites parallèles ; sécantes sinon.
- Tracer : deux points, (0 ; b) et (2 ; f(2)), un troisième pour vérifier.
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Méthode : trouver a et b
- Deux valeurs connues f(x₁) et f(x₂) : a = (f(x₂) − f(x₁)) ÷ (x₂ − x₁), différences dans le même ordre.
- Puis b = f(x₁) − a × x₁.
- Vérifier avec l'autre point.
- Ex. : f(2) = 1, f(6) = 11 → a = 10 ÷ 4 = 2,5, b = 1 − 5 = −4, f(x) = 2,5x − 4.
- Fonction linéaire : une seule valeur suffit, a = f(x) ÷ x.
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Images, antécédents, intersections
- Image : remplacer x. Antécédent : résoudre ax + b = y.
- Point (x ; y) sur la droite ⟺ f(x) = y.
- Intersection avec l'axe horizontal : résoudre f(x) = 0.
- Deux offres coûtent pareil : résoudre f(x) = g(x) ; la moins chère est la droite en dessous.
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Modéliser
- Partie fixe (abonnement, déplacement, stock initial) → b.
- Partie proportionnelle (prix unitaire, débit, vitesse) → a ; a < 0 si la quantité diminue.
- Pourcentage : −20 % → f(x) = 0,8x ; +30 % → f(x) = 1,3x (linéaires).
- Conclure avec unité et bon sens (entier de jours, x ≥ 0…).
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Pièges à éviter
- Lire a et b dans le mauvais ordre : 6 − 3x a pour coefficient directeur −3.
- Croire qu'une affine avec b ≠ 0 est une proportionnalité.
- Inverser l'ordre des différences dans le calcul de a.
- Confondre ordonnée à l'origine (0 ; b) et abscisse où f(x) = 0.
L'essentiel
- Linéaire : f(x) = ax (proportionnalité, droite par l'origine).
- Affine : f(x) = ax + b ; a = pente, b = f(0).
- a > 0 croissante, a < 0 décroissante ; même a ⟹ droites parallèles.
- a = (f(x₂) − f(x₁)) ÷ (x₂ − x₁), puis b = f(x₁) − a x₁.
- Deux offres : égalité pour f(x) = g(x), la moins chère est la droite la plus basse.
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