Fonctions : image, antécédent, notations

1. a)$f(3)=2\times 9+3-6=18+3-6=15$ ; $f(-1)=2\times 1-1-6=-5$ (1)
2. b)« $15$ est l’image de $3$ par $f$ » ; « $3$ est un antécédent de $15$ par $f$ » (1)
3. c)$(2x-3)(x+2)=2x^2+4x-3x-6=2x^2+x-6=f(x)$. Les antécédents de $0$ sont les solutions de $(2x-3)(x+2)=0$ : produit nul, $2x-3=0$ ou $x+2=0$, donc $x=1,5$ ou $x=-2$ (1)
4. d)$f(0,5)=2\times 0,25+0,5-6=0,5+0,5-6=-5$, et $-5\ne -4$ : le point $A$ n’appartient pas à la courbe (1)

Méthode — Une image se calcule en remplaçant $x$ entre parenthèses ; pour les antécédents de $0$, une forme factorisée permet d’utiliser le produit nul.

1. a)$-4x+7=19$, donc $-4x=12$, donc $x=-3$. Vérification : $g(-3)=12+7=19$ (1)
2. b)$-4x+7=0$, donc $-4x=-7$, donc $x=1,75$ (1)
3. c)$x^2-9=16$ donne $x^2=25$ : $5$ et $-5$. $x^2-9=-9$ donne $x^2=0$ : $0$ seulement. $x^2-9=-10$ donne $x^2=-1$ : impossible, $-10$ n’a aucun antécédent (1)
4. d)$x^2-9=2$ donne $x^2=11$ : les antécédents sont $\sqrt{11}$ et $-\sqrt{11}$ (1)

Repère — Une fonction comme $g$ donne une équation du premier degré : un seul antécédent. Avec un carré, il peut y en avoir deux, un ou aucun.

1. a)$k(4)=7$ ; $-1$ est un antécédent de $2$, car $k(-1)=2$ (1)
2. b)$-1$ apparaît sous $0$ et sous $2$ : ses antécédents lus dans le tableau sont $0$ et $2$ (1)
3. c)Pour $x=0$ : $4\times 0-1=-1$, cela convient. Pour $x=2$ : $4\times 2-1=7$, alors que $k(2)=-1$ : la formule est fausse (une seule colonne en défaut suffit) (1)
4. d)Non : le tableau ne donne que six valeurs. Entre $2$ et $4$, par exemple, $k$ passe de $-1$ à $7$ et peut très bien prendre la valeur $3$ (1)

Méthode — Un tableau se lit dans les deux sens, en parcourant toute la ligne des images ; il peut prouver qu’une formule est fausse, mais il ne dit rien des valeurs absentes.

1. a)$p(-2)=5$ (on monte de $-2$ jusqu’à la courbe) ; l’horizontale d’ordonnée $-1$ coupe la courbe en $x=0$ et $x=4$ : les antécédents de $-1$ sont $0$ et $4$ (1)
2. b)L’horizontale d’ordonnée $1,5$ coupe la courbe en deux points : deux solutions, $-1$ et $5$ (1)
3. c)Le point le plus bas de la courbe est $(2;-3)$ : le minimum de $p$ est $-3$, atteint pour $x=2$ (1)
4. d)Les deux courbes se coupent aux points d’abscisses $0$ et $6$. Vérification : $p(0)=-1$ et $d(0)=-1$ ; $p(6)=0,5\times 36-12-1=5$ et $d(6)=5$ (1)

Le point clé — Résoudre graphiquement $f(x)=k$, c’est lire les abscisses des points d’intersection de la courbe avec l’horizontale d’ordonnée $k$ ; pour $f(x)=g(x)$, avec l’autre courbe.

1. a)Après découpe, le fond est un carré de côté $24-2x$ (on enlève $x$ de chaque côté) et la hauteur de la boîte est $x$ : $V=$ aire du fond $\times$ hauteur $=(24-2x{)}^2\times x$ (1)
2. b)$V(2)=2\times {20}^2=2\times 400=800$ cm³ ; $V(5)=5\times {14}^2=5\times 196=980$ cm³ (1)
3. c)$V(3)=3\times {18}^2=972$ ; $V(4)=4\times {16}^2=1024$ ; $V(6)=6\times {12}^2=864$. Le plus grand volume parmi ces valeurs est $1024$ cm³, obtenu pour $x=4$ (1)
4. d)Il faut $x>0$ (une hauteur) et $24-2x>0$ (un côté du fond), soit $x<12$ : $x$ est compris entre $0$ et $12$ cm, ces deux valeurs exclues (1)

Méthode — Une fonction issue d’un problème n’a de sens que pour certaines valeurs ; un tableau de valeurs aide à repérer le maximum.