Qu'est-ce que le produit en croix ?

Dans un tableau de proportionnalité, les produits en croix sont égaux. Pour un tableau $\begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array}$, on a $a\times d = b\times c$. Cela permet de calculer une valeur manquante : la quatrième proportionnelle.

Comment calculer une vitesse moyenne ?

La vitesse moyenne se calcule avec la formule $v=\dfrac{d}{t}$, où $d$ est la distance et $t$ la durée. La distance et la durée sont proportionnelles à vitesse constante : le coefficient de proportionnalité est justement la vitesse.

Collège · 3ᵉ · Mathématiques

Proportionnalité & vitesse

Q: Comment reconnaître une situation de proportionnalité ?

Deux grandeurs sont proportionnelles si on passe de l'une à l'autre en multipliant toujours par le même nombre, appelé coefficient de proportionnalité. Dans un tableau, on vérifie que tous les quotients $\dfrac{y}{x}$ sont égaux.

Quatrième proportionnelle, pourcentages, échelles et vitesse moyenne (programme de 3e)

À propos de cette page

Ce cours de mathématiques en troisième sur « Proportionnalité & vitesse » suit le programme officiel de mathématiques de troisième. Il présente les définitions, les propriétés et les méthodes essentielles, accompagnées d'exemples résolus pour bien comprendre. Au programme : Reconnaître la proportionnalité, Le coefficient de proportionnalité, Le produit en croix et la quatrième proportionnelle, Pourcentages : appliquer, augmenter, diminuer. Chaque notion est expliquée pas à pas, puis mise en pratique grâce à des exercices interactifs, un QCM et une évaluation corrigée. Idéal pour réviser à son rythme, combler ses lacunes et progresser, en autonomie ou avec un professeur. Cours rédigé par un professeur particulier à Marseille pour aider les élèves de troisième à réussir en mathématiques.

Reconnaître la proportionnalité

Définition. Deux grandeurs sont proportionnelles lorsqu'on passe des valeurs de l'une aux valeurs de l'autre en multipliant toujours par le même nombre, appelé coefficient de proportionnalité.

Dans un tableau	Tous les quotients $\dfrac{y}{x}$ sont égaux : $\dfrac{7{,}5}{3} = \dfrac{17{,}5}{7} = \dfrac{27{,}5}{11} = 2{,}5$.
Sur un graphique	Les points sont alignés avec l'origine du repère.
Dans une situation	Prix et quantité (sans frais fixes), distance et durée à vitesse constante, longueurs d'un plan et longueurs réelles.

Contre-exemple. $2 \to 9$, $5 \to 22$, $8 \to 35$ : les quotients $4{,}5$ ; $4{,}4$ ; $4{,}375$ sont différents, ce n'est pas un tableau de proportionnalité, même si les nombres « augmentent régulièrement ». L'âge et la taille d'un enfant ne sont pas proportionnels non plus.

Le coefficient de proportionnalité

Propriété. Si $y$ est proportionnel à $x$, il existe un nombre $k$ tel que $y = k \times x$ pour toutes les valeurs. On calcule $k = \dfrac{y}{x}$ à partir d'un couple connu, et $x = \dfrac{y}{k}$ pour revenir en arrière.

Exemple. $8$ kg de pommes coûtent $6$ € : $k = \dfrac{6}{8} = 0{,}75$ €/kg. Alors $2{,}5$ kg coûtent $0{,}75 \times 2{,}5 = 1{,}875$ €, et avec $12$ € on achète $12 \div 0{,}75 = 16$ kg.

Le coefficient a une unité. €/kg, km/h, g par personne… La nommer aide à ne pas inverser le quotient : « euros par kilogramme » se calcule euros ÷ kilogrammes.

Le produit en croix et la quatrième proportionnelle

Règle. Dans un tableau de proportionnalité $\begin{array}{|c|c|} \hline a & b \\ \hline c & d \\ \hline \end{array}$, les produits en croix sont égaux : $a \times d = b \times c$. Pour trouver la valeur manquante (la quatrième proportionnelle), on isole : $d = \dfrac{b \times c}{a}$.

Exemple. $3{,}5$ kg de cerises coûtent $8{,}75$ €. Prix de $5{,}2$ kg : $\dfrac{8{,}75 \times 5{,}2}{3{,}5} = 13$ €.

Autres méthodes. Passage par l'unité ($8{,}75 \div 3{,}5 = 2{,}5$ € le kg, puis $\times 5{,}2$) ; propriétés de linéarité (le prix de $7$ kg est le double du prix de $3{,}5$ kg).

Attention ! Le produit en croix ne s'utilise qu'après avoir vérifié (ou admis) la proportionnalité : il serait faux pour un abonnement avec frais fixes.

Pourcentages : appliquer, augmenter, diminuer

Appliquer un pourcentage. Prendre $t\,\%$ d'une quantité, c'est la multiplier par $\dfrac{t}{100}$ : $35\,\%$ de $260$ $= 0{,}35 \times 260 = 91$.

Augmenter ou diminuer. Augmenter de $t\,\%$, c'est multiplier par $1 + \dfrac{t}{100}$ ; diminuer de $t\,\%$, c'est multiplier par $1 - \dfrac{t}{100}$.

Exemples. $75$ € augmentés de $8\,\%$ : $75 \times 1{,}08 = 81$ €. $140$ € diminués de $15\,\%$ : $140 \times 0{,}85 = 119$ €.

Calculer un pourcentage. La proportion de $18$ parmi $45$ vaut $\dfrac{18}{45} = 0{,}4 = 40\,\%$. Une évolution de $40$ € à $50$ € est une hausse de $\dfrac{50 - 40}{40} = 0{,}25 = 25\,\%$ (on divise toujours par la valeur de départ).

Évolutions successives. Les pourcentages ne s'ajoutent pas : $+20\,\%$ puis $-20\,\%$ donne $1{,}2 \times 0{,}8 = 0{,}96$, soit $-4\,\%$ au total. Deux baisses de $10\,\%$ : $0{,}9 \times 0{,}9 = 0{,}81$, soit $-19\,\%$ et non $-20\,\%$.

Les échelles

Définition. L'échelle d'un plan est le coefficient de proportionnalité entre les longueurs sur le plan et les longueurs réelles, dans la même unité : échelle $= \dfrac{\text{longueur sur le plan}}{\text{longueur réelle}}$. Une échelle $\dfrac{1}{25\,000}$ signifie que $1$ cm sur la carte représente $25\,000$ cm $= 250$ m.

Exemples. Carte au $\dfrac{1}{250\,000}$ : $3{,}2$ cm représentent $3{,}2 \times 250\,000 = 800\,000$ cm $= 8$ km. Sur un plan au $\dfrac{1}{20\,000}$, $1{,}8$ km $= 180\,000$ cm sont représentés par $180\,000 \div 20\,000 = 9$ cm.

Réflexe. Convertir dans la même unité (souvent le cm), calculer, puis reconvertir dans une unité lisible (m ou km). Une échelle supérieure à $1$ ($\dfrac{5}{1}$) correspond à un agrandissement (schéma d'une puce électronique).

La vitesse moyenne

Définition. La vitesse moyenne d'un mobile qui parcourt une distance $d$ pendant une durée $t$ est $$v = \frac{d}{t}, \qquad \text{donc } d = v \times t \text{ et } t = \frac{d}{v}.$$ L'unité de $v$ dépend de celles de $d$ et $t$ : km/h, m/s, m/min…

Exemples. $189$ km en $2$ h $15$ min $= 2{,}25$ h : $v = \dfrac{189}{2{,}25} = 84$ km/h. À $45$ km/h pendant $40$ min $= \dfrac{2}{3}$ h : $d = 45 \times \dfrac{2}{3} = 30$ km. Pour $126$ km à $56$ km/h : $t = \dfrac{126}{56} = 2{,}25$ h $= 2$ h $15$ min.

Vitesse moyenne sur un trajet en deux parties. Ce n'est pas la moyenne des vitesses : $40$ km à $50$ km/h ($48$ min) puis $30$ km à $90$ km/h ($20$ min) donnent $70$ km en $68$ min, soit $\dfrac{70}{68} \times 60 \approx 61{,}8$ km/h, et non $70$ km/h.

Méthode : convertir les unités de vitesse et de durée

Durées	$40$ min $= \dfrac{40}{60}$ h $= \dfrac{2}{3}$ h ; $2{,}25$ h $= 2$ h $+ 0{,}25 \times 60$ min $= 2$ h $15$ min ; $1{,}1$ h $= 1$ h $06$ min. Jamais « $2$ h $25$ » pour $2{,}25$ h !
km/h → m/s	$1$ km/h $= \dfrac{1000 \text{ m}}{3600 \text{ s}}$ : on divise par $3{,}6$. $54$ km/h $= 15$ m/s.
m/s → km/h	On multiplie par $3{,}6$. $12{,}5$ m/s $= 45$ km/h.

Exemple — heure d'arrivée. Départ à $7$ h $40$, $264$ km à $96$ km/h : $t = \dfrac{264}{96} = 2{,}75$ h $= 2$ h $45$ min. Arrivée à $10$ h $25$.

Astuce. Pour convertir une durée décimale en minutes, multiplie la partie décimale par $60$ : $0{,}75 \times 60 = 45$ min.

En bref

Proportionnalité : quotients $\dfrac{y}{x}$ tous égaux ; graphique = points alignés avec l'origine.
Coefficient $k = \dfrac{y}{x}$ (avec son unité) ; quatrième proportionnelle par produit en croix : $d = \dfrac{b \times c}{a}$.
Pourcentages : $t\,\%$ de $Q$ = $\dfrac{t}{100} \times Q$ ; hausse de $t\,\%$ : $\times \left(1 + \dfrac{t}{100}\right)$ ; baisse : $\times \left(1 - \dfrac{t}{100}\right)$ ; les évolutions successives se multiplient.
Échelle $= \dfrac{\text{plan}}{\text{réel}}$, même unité.
Vitesse : $v = \dfrac{d}{t}$ ; km/h ÷ $3{,}6$ = m/s ; durées en heures décimales avant de calculer.

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