Ce cours de mathématiques en troisième sur « Proportionnalité & vitesse » suit le programme officiel de mathématiques de troisième. Il présente les définitions, les propriétés et les méthodes essentielles, accompagnées d'exemples résolus pour bien comprendre. Au programme : Reconnaître une situation de proportionnalité, Le coefficient de proportionnalité, La quatrième proportionnelle & le produit en croix, Les pourcentages — appliquer un pourcentage. Chaque notion est expliquée pas à pas, puis mise en pratique grâce à des exercices interactifs, un QCM et une évaluation corrigée. Idéal pour réviser à son rythme, combler ses lacunes et progresser, en autonomie ou avec un professeur. Cours rédigé par un professeur particulier à Marseille pour aider les élèves de troisième à réussir en mathématiques.
Au programme
1 · Reconnaître une situation de proportionnalité
2 · Le coefficient de proportionnalité
3 · Quatrième proportionnelle & produit en croix
4 · Appliquer un pourcentage
5 · Augmentations & diminutions (successives)
6 · La vitesse moyenne
7 · Le débit
8 · Les échelles
9 · Proportionnalité & fonction linéaire
10 · Résoudre un problème — méthode
1Reconnaître une situation de proportionnalité
Définition. Deux grandeurs sont proportionnelles lorsqu'on passe de l'une à l'autre en multipliant toujours par le même nombre. Ce nombre fixe s'appelle le coefficient de proportionnalité.
Le grand classique : un prix qui dépend d'une quantité. Si 1 kg de pommes coûte 2 €, alors 3 kg coûtent 3 × 2 = 6 €, et 5 kg coûtent 5 × 2 = 10 €. On multiplie toujours par 2 : il y a proportionnalité, et le coefficient est 2 (€/kg).
Masse (kg)
1
3
5
8
Prix (€)
2
6
10
16
On reconnaît un tableau de proportionnalité quand on peut passer de la ligne du haut à la ligne du bas en multipliant chaque case par le même coefficient.
⚠️ Contre-exemple. L'âge et la taille d'un enfant ne sont pas proportionnels : un enfant de 10 ans ne mesure pas le double d'un enfant de 5 ans. De même, le tarif d'un taxi (prise en charge fixe + prix au km) n'est pas proportionnel à la distance.
💡 Test rapide « zéro » : dans une situation proportionnelle, à 0 correspond toujours 0 (0 kg de pommes coûte 0 €). Si une case « 0 → autre chose que 0 » apparaît, ce n'est pas proportionnel.
2Le coefficient de proportionnalité
Le coefficient est le nombre par lequel on multiplie la grandeur du haut pour obtenir celle du bas. On le trouve en divisant une valeur du bas par la valeur du haut correspondante :
coefficient = une valeur du basla valeur du haut associée
Exemple. Dans le tableau prix/masse, 6 ÷ 3 = 2 et 10 ÷ 5 = 2. Le coefficient est bien 2. Pour vérifier qu'un tableau est proportionnel, on calcule ce quotient pour chaque colonne : s'ils sont tous égaux, c'est proportionnel.
Colonne
bas ÷ haut
Quotient
1
2 ÷ 1
2
2
6 ÷ 3
2
3
10 ÷ 5
2
💡 Le coefficient a souvent une unité qui se lit « par » : ici 2 € par kg. C'est un prix unitaire. Beaucoup de coefficients utiles sont des prix, des vitesses, des débits, des masses volumiques…
⚠️ Le coefficient n'est pas toujours un entier : il peut valoir 1,5 ; 0,75 ; 23… On garde alors la valeur exacte (fraction) pour éviter les arrondis.
3La quatrième proportionnelle & le produit en croix
On connaît souvent trois nombres d'un tableau de proportionnalité et on cherche le quatrième : c'est la quatrième proportionnelle.
Quantité
4
7
Prix (€)
10
?
Méthode 1 — le produit en croix
Règle du produit en croix. Dans un tableau de proportionnalité, les produits en croix sont égaux. Pour trouver la case manquante x :
x = produit des deux nombres « en diagonale »le nombre qui lui fait face
Ici : x = 7 × 104 = 704 = 17,5 €.
Méthode 2 — le coefficient
Coefficient = 10 ÷ 4 = 2,5 (€ par unité). Donc 7 unités coûtent 7 × 2,5 = 17,5 €. Même résultat.
Méthode 3 — le passage à l'unité
1 unité coûte 10 ÷ 4 = 2,5 € ; donc 7 unités coûtent 7 × 2,5 = 17,5 €. (C'est exactement le coefficient, vu « par étapes ».)
💡 Choisis ta méthode selon les nombres : passage à l'unité si la division tombe juste, produit en croix sinon (il marche toujours).
4Les pourcentages — appliquer un pourcentage
Définition. Un pourcentage est une proportion sur 100. « t % » signifie « t pour 100 », c'est-à-dire la fraction t100.
Appliquer t % à une quantité, c'est la multiplier par t100 :
t % de N = N × t100
25 % de 80 = 80 × 25100 = 80 × 0,25 = 20
15 % de 200 = 200 × 15100 = 30
7 % de 50 = 50 × 0,07 = 3,5
Retrouver un pourcentage
Quelle proportion représente 12 sur 48 ? On calcule 1248 = 0,25 = 25 %. (On divise la partie par le tout, puis on multiplie par 100.)
💡 Pourcentages à connaître par cœur : 50 % = la moitié (× 0,5) · 25 % = le quart (× 0,25) · 10 % = ÷ 10 · 1 % = ÷ 100. Le reste se déduit : 20 % = 2 × 10 % ; 5 % = moitié de 10 %.
⚠️ Un pourcentage n'a de sens que rapporté à un tout. « 30 % » seul ne veut rien dire : 30 % de quoi ?
5Augmentations & diminutions (et successives)
Coefficient multiplicateur
Augmenter de t % revient à multiplier par (1 + t100). Diminuer de t % revient à multiplier par (1 − t100).
Augmenter de 20 % : × (1 + 0,20) = × 1,20. Un prix de 50 € devient 50 × 1,20 = 60 €.
Diminuer de 30 % (solde −30 %) : × (1 − 0,30) = × 0,70. Un prix de 80 € devient 80 × 0,70 = 56 €.
💡 Le coefficient multiplicateur calcule le nouveau prix en une seule opération, sans passer par le montant de la hausse ou de la baisse. C'est plus rapide et moins risqué.
Variations successives
Règle d'or. Pour des variations successives, on multiplie les coefficients multiplicateurs entre eux. On n'additionne JAMAIS les pourcentages.
Exemple. Un article à 100 € augmente de 10 %, puis baisse de 10 %. 100 × 1,10 × 0,90 = 110 × 0,90 = 99 €. Il ne revient pas à 100 € ! Une hausse de 10 % suivie d'une baisse de 10 % donne au final une baisse de 1 % (coefficient 1,10 × 0,90 = 0,99).
⚠️ Erreur classique : +20 % puis +30 % ≠ +50 %. En réalité : × 1,20 × 1,30 = × 1,56, soit +56 %.
6La vitesse moyenne
Définition. La vitesse moyenne v relie la distance d parcourue et la durée t du trajet :
v = dt · d = v × t · t = dv
À vitesse constante, la distance est proportionnelle à la durée : le coefficient est justement la vitesse. C'est pourquoi on traite la vitesse comme un problème de proportionnalité.
Exemple. Une voiture parcourt 240 km en 3 h. Sa vitesse moyenne est v = 2403 = 80 km/h. En 5 h à cette vitesse, elle parcourt d = 80 × 5 = 400 km.
Bien gérer les unités
⚠️ La durée doit être en heures (en décimal) pour une vitesse en km/h. Convertis les minutes : 30 min = 0,5 h · 15 min = 0,25 h · 45 min = 0,75 h · 1 h 30 = 1,5 h · 20 min = 2060 h = 13 h.
Exemple. 90 km en 1 h 30 : t = 1,5 h, donc v = 901,5 = 60 km/h.
💡 Conversion m/s ↔ km/h : on multiplie par 3,6 pour passer de m/s à km/h (et on divise par 3,6 dans l'autre sens). Ex. 10 m/s = 36 km/h.
7Le débit
Définition. Un débit mesure une quantité (volume, données, production…) par unité de temps. Comme la vitesse, c'est un coefficient de proportionnalité :
débit = quantitédurée
Débit d'eau : un robinet qui remplit 0,5 L par seconde a un débit de 0,5 L/s. En 1 minute (60 s) : 0,5 × 60 = 30 L.
Débit internet : 8 mégaoctets téléchargés en 4 s → débit = 84 = 2 Mo/s.
Débit de production : une machine fabrique 600 pièces en 2 h → 300 pièces/h.
💡 Mêmes formules que la vitesse : quantité = débit × durée, et durée = quantité ÷ débit. Surveille toujours l'unité de temps (seconde, minute, heure).
8Les échelles
Définition. L'échelle d'un plan ou d'une carte est le coefficient de proportionnalité entre les distances sur le dessin et les distances réelles, exprimées dans la même unité :
échelle = distance sur le plandistance réelle
Une échelle de 1/200 (ou 1 : 200) signifie : 1 cm sur le plan représente 200 cm en réalité, soit 2 m.
Échelle
1 cm sur le plan =
Le plan est…
1/100
100 cm = 1 m réel
une réduction
1/25 000
25 000 cm = 250 m réels
une carte (réduction)
20/1
0,05 cm réel (agrandissement)
un agrandissement
Exemple. Sur une carte au 1/25 000, deux villages sont distants de 8 cm. Distance réelle = 8 × 25 000 = 200 000 cm = 2 000 m = 2 km.
⚠️ Même unité obligatoire avant de calculer l'échelle ! Convertis tout en cm (ou tout en mm). Pour repasser au réel, n'oublie pas de reconvertir en m ou km à la fin.
9Proportionnalité & fonction linéaire
Lien. Une situation de proportionnalité de coefficient a se traduit par une fonction linéaire : f(x) = a × x. Le coefficient de proportionnalité a est aussi le coefficient directeur de la droite.
Sa représentation graphique est une droite qui passe par l'origine O(0 ; 0). C'est le signe visuel le plus sûr de la proportionnalité.
💡 Reconnaître graphiquement : si les points sont alignés AVEC l'origine → proportionnel. S'ils sont alignés mais ne passent pas par l'origine (droite « décalée ») → ce n'est pas proportionnel (c'est une fonction affine, comme le tarif d'un taxi).
⚠️ Ne confonds pas linéaire (f(x) = ax, passe par O, proportionnel) et affine (f(x) = ax + b avec b ≠ 0, ne passe pas par O, non proportionnel).
10Résoudre un problème — méthode & récap
Face à un problème de proportionnalité, suis ces étapes :
1. Repère les deux grandeurs liées et vérifie qu'il y a bien proportionnalité (test du « par »).
2. Range les données dans un tableau (grandeur du haut, grandeur du bas).
3. Choisis ta méthode : coefficient, passage à l'unité ou produit en croix.
4. Calcule, puis vérifie l'unité et le bon sens du résultat (un prix négatif, une vitesse de 5 000 km/h… doivent t'alerter).
🎓 Récap express : proportionnel = on multiplie par un coefficient fixe (à 0 correspond 0) · 4ᵉ proportionnelle = produit en croix · t % = × t100 · augmenter de t % = × (1 + t100), diminuer = × (1 − t100) · variations successives → on multiplie les coefficients · v = dt (durée en heures décimales) · débit = quantitédurée · échelle = planréel (même unité) · proportionnalité ↔ fonction linéaire f(x) = ax, droite passant par l'origine.