À propos de cette page
Ce cours de mathématiques en troisième sur « Proportionnalité & vitesse » suit le programme officiel de mathématiques de troisième. Il présente les définitions, les propriétés et les méthodes essentielles, accompagnées d'exemples résolus pour bien comprendre. Au programme : Reconnaître la proportionnalité, Le coefficient de proportionnalité, Le produit en croix et la quatrième proportionnelle, Pourcentages : appliquer, augmenter, diminuer. Chaque notion est expliquée pas à pas, puis mise en pratique grâce à des exercices interactifs, un QCM et une évaluation corrigée. Idéal pour réviser à son rythme, combler ses lacunes et progresser, en autonomie ou avec un professeur. Cours rédigé par un professeur particulier à Marseille pour aider les élèves de troisième à réussir en mathématiques.
Au programme
1 · Reconnaître la proportionnalité
2 · Le coefficient de proportionnalité
3 · Le produit en croix et la quatrième proportionnelle
4 · Pourcentages : appliquer, augmenter, diminuer
5 · Les échelles
6 · La vitesse moyenne
7 · Méthode : convertir les unités de vitesse
1Reconnaître la proportionnalité
Deux grandeurs sont proportionnelles lorsqu'on passe de l'une à l'autre en multipliant toujours par le même nombre.
Définition. Un tableau est un tableau de proportionnalité si tous les quotients $\dfrac{y}{x}$ d'une ligne par l'autre sont égaux. Ce nombre commun est le coefficient de proportionnalité.
Exemple. Le prix de pommes selon la masse :
| Masse (kg) | $2$ | $3$ | $5$ |
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| Prix (€) | $5$ | $7{,}5$ | $12{,}5$ |
|---|
On vérifie : $\dfrac{5}{2}=2{,}5$, $\dfrac{7{,}5}{3}=2{,}5$, $\dfrac{12{,}5}{5}=2{,}5$. Les quotients sont égaux : c'est proportionnel, de coefficient $2{,}5$.
Attention ! Si les quotients ne sont pas tous égaux, ce n'est pas de la proportionnalité. Exemple : l'âge et la taille d'un enfant ne sont pas proportionnels.
2Le coefficient de proportionnalité
Propriété. Dans un tableau de proportionnalité, on passe de la première ligne à la seconde en multipliant par le coefficient $k$. On a donc $y=k\times x$, et inversement $k=\dfrac{y}{x}$.
Exemple. $1$ litre d'essence coûte $1{,}80$ €. Le prix de $x$ litres est $y=1{,}8\times x$. Le coefficient de proportionnalité est $k=1{,}8$. Pour $40$ litres : $y=1{,}8\times 40=72$ €.
Astuce. Le coefficient permet aussi de remonter : pour retrouver $x$ à partir de $y$, on divise par $k$. Si $y=72$ €, alors $x=\dfrac{72}{1{,}8}=40$ litres.
| Pour aller de $x$ à $y$ | on multiplie par $k$ |
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| Pour aller de $y$ à $x$ | on divise par $k$ |
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3Le produit en croix et la quatrième proportionnelle
Quand il manque une valeur dans un tableau de proportionnalité, on peut la calculer grâce au produit en croix.
Règle du produit en croix. Dans un tableau de proportionnalité $\begin{array}{|c|c|}\hline a & b \\\hline c & d \\\hline\end{array}$, les produits en croix sont égaux : $$a\times d = b\times c.$$ La valeur manquante (la quatrième proportionnelle) s'obtient en isolant l'inconnue.
Exemple. $4$ croissants coûtent $5{,}20$ €. Combien coûtent $7$ croissants ?
| Croissants | $4$ | $7$ |
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| Prix (€) | $5{,}20$ | $x$ |
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Produit en croix : $4\times x = 7\times 5{,}20$, donc $x=\dfrac{7\times 5{,}20}{4}=\dfrac{36{,}4}{4}=9{,}10$ €.
Astuce. La valeur inconnue est toujours égale au produit des deux nombres qui la « touchent » en diagonale, divisé par le troisième nombre connu.
4Pourcentages : appliquer, augmenter, diminuer
Un pourcentage est une proportionnalité de coefficient $\dfrac{t}{100}$.
Appliquer un pourcentage. Prendre $t\%$ d'une quantité $Q$, c'est calculer $\dfrac{t}{100}\times Q$.
Exemple. $30\%$ de $80$ élèves : $\dfrac{30}{100}\times 80 = 0{,}30\times 80 = 24$ élèves.
Augmenter / diminuer (coefficient multiplicateur). Augmenter de $t\%$ revient à multiplier par $\left(1+\dfrac{t}{100}\right)$ ; diminuer de $t\%$ revient à multiplier par $\left(1-\dfrac{t}{100}\right)$.
| Augmenter de $20\%$ | multiplier par $1{,}20$ |
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| Diminuer de $25\%$ | multiplier par $0{,}75$ |
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| Augmenter de $5\%$ | multiplier par $1{,}05$ |
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Exemple. Un article à $40$ € augmente de $15\%$ : nouveau prix $=40\times 1{,}15=46$ €.
Attention ! Une hausse de $20\%$ suivie d'une baisse de $20\%$ ne ramène pas au prix de départ : $\times 1{,}2\times 0{,}8 = \times 0{,}96$, soit une baisse globale de $4\%$.
5Les échelles
Définition. Sur un plan ou une carte, l'échelle est le coefficient de proportionnalité entre les distances sur le dessin et les distances réelles (exprimées dans la même unité) : $$\text{échelle}=\frac{\text{distance sur le plan}}{\text{distance réelle}}.$$
Exemple. Une carte est à l'échelle $\dfrac{1}{200000}$. $1$ cm sur la carte représente $200000$ cm réels, soit $2$ km. Deux villes distantes de $7$ cm sur la carte sont donc à $7\times 2=14$ km en réalité.
Astuce conversions. $1$ m $=100$ cm ; $1$ km $=100000$ cm $=1000$ m. Pour passer des cm aux km, on divise par $100000$.
Attention ! L'échelle n'a pas d'unité : les deux distances doivent être converties dans la même unité avant de faire le quotient. Une échelle $\dfrac{1}{50}$ signifie « réduit $50$ fois » ; une échelle $\dfrac{1}{1}$ serait grandeur réelle.
6La vitesse moyenne
Définition. La vitesse moyenne $v$ d'un objet qui parcourt une distance $d$ pendant une durée $t$ est : $$v=\frac{d}{t}.$$ On en déduit $d=v\times t$ et $t=\dfrac{d}{v}$.
À vitesse constante, la distance parcourue est proportionnelle à la durée : le coefficient de proportionnalité est justement la vitesse.
Exemple. Une voiture parcourt $240$ km en $3$ h. Sa vitesse moyenne est $v=\dfrac{240}{3}=80$ km/h.
Astuce (triangle). Pour retrouver la bonne formule, on cache la grandeur cherchée dans le « triangle » $d$ en haut, $v$ et $t$ en bas : on lit $d=v\times t$, $v=\dfrac{d}{t}$ ou $t=\dfrac{d}{v}$.
7Méthode : convertir les unités de vitesse
Règle. Pour passer des km/h aux m/s, on divise par $3{,}6$. Pour passer des m/s aux km/h, on multiplie par $3{,}6$.
Exemple. $90$ km/h $=\dfrac{90}{3{,}6}=25$ m/s. Et $10$ m/s $=10\times 3{,}6=36$ km/h.
| km/h $\to$ m/s | diviser par $3{,}6$ |
|---|
| m/s $\to$ km/h | multiplier par $3{,}6$ |
|---|
Attention aux durées ! Si une durée est donnée en minutes, il faut la convertir en heures avant d'utiliser des km/h : $30$ min $=0{,}5$ h ; $15$ min $=0{,}25$ h ; $45$ min $=0{,}75$ h. Exemple : $30$ km en $30$ min, soit $0{,}5$ h, donne $v=\dfrac{30}{0{,}5}=60$ km/h.
★À retenir
En bref :
• Proportionnalité : $y=k\times x$, avec $k=\dfrac{y}{x}$ constant.
• Produit en croix : dans $\begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array}$, $a\times d=b\times c$ → quatrième proportionnelle.
• Pourcentage : prendre $t\%$ = $\times\dfrac{t}{100}$ ; augmenter de $t\%$ = $\times\left(1+\dfrac{t}{100}\right)$ ; diminuer = $\times\left(1-\dfrac{t}{100}\right)$.
• Échelle $=\dfrac{\text{plan}}{\text{réel}}$ (même unité, sans dimension).
• Vitesse : $v=\dfrac{d}{t}$, $d=v\times t$, $t=\dfrac{d}{v}$.
• km/h $\to$ m/s : $\div 3{,}6$ ; m/s $\to$ km/h : $\times 3{,}6$.