Ressources · 3ᵉ · Mathématiques
Pourcentages d’évolution et coefficient multiplicateur
Rappels de 5ᵉ et de 4ᵉ (proportionnalité dans un tableau et sur un graphique, lien avec le théorème de Thalès, quatrième proportionnelle, ratio, échelle, proportions et pourcentage d’une quantité), coefficient multiplicateur d’une hausse ou d’une baisse et fonction linéaire associée, taux d’évolution, valeur de départ, évolutions successives et répétées, évolution réciproque en complément ; problèmes.
À propos de cette page
Rappels de 5ᵉ et de 4ᵉ : proportionnalité, quatrième proportionnelle, ratio et échelle
En 5ᵉ et en 4ᵉ, tu as appris à reconnaître une situation de proportionnalité, à calculer une quatrième proportionnelle, à partager selon un ratio, à utiliser une échelle et à calculer avec des pourcentages. Les parties 1 et 2 reprennent tout, avec de nouveaux exemples ; les nouveautés de 3ᵉ sont dans les parties 3 à 5 : la fonction linéaire associée à une évolution, le taux d’évolution, la valeur de départ et les évolutions successives.
• Dans un tableau, tous les quotients y ÷ x sont égaux à k.
• Sur un graphique, les points sont alignés avec l’origine du repère.
Quatrième proportionnelle : dans un tableau de proportionnalité à deux colonnes (a ; b) et (c ; d), les produits en croix sont égaux : a × d = b × c, donc d = b × c ÷ a. On peut aussi passer par l’unité ou utiliser la linéarité.
Ratio : partager une quantité dans le ratio p : q, c’est la découper en p + q parts égales ; l’un reçoit p parts, l’autre q parts.
Échelle 1/n d’un plan ou d’une carte : 1 cm sur le plan représente n cm en réalité. Longueur réelle = longueur sur le plan × n, les deux longueurs dans la même unité. Une échelle plus grande que 1, comme 5/1, est un agrandissement (schéma d’un insecte, d’une puce électronique) : 5 cm sur le schéma représentent 1 cm en réalité.
| Masse de noix de cajou (kg) | 0,4 | 1,5 | 2,2 |
|---|---|---|---|
| Prix (€) | 9,60 | 36 | 52,80 |
9,60 ÷ 0,4 = 24 ; 36 ÷ 1,5 = 24 ; 52,80 ÷ 2,2 = 24 : les quotients sont égaux, le prix est proportionnel à la masse, de coefficient 24 €/kg.
Une salle de sport demande 20 € d’inscription, puis 15 € par mois : 2 mois coûtent 20 + 30 = 50 € et 4 mois coûtent 20 + 60 = 80 €, et non 2 × 50 = 100 €. À cause du montant fixe, le prix n’est pas proportionnel au nombre de mois.
6 m de tissu coûtent 40,50 €. Prix de 14 m : 14 × 40,50 ÷ 6 = 567 ÷ 6 = 94,50 €. Par l’unité : 40,50 ÷ 6 = 6,75 € le mètre, puis 14 × 6,75 = 94,50 €.
Deux sœurs de 9 ans et 5 ans se partagent 98 € proportionnellement à leur âge : 9 + 5 = 14 parts de 98 ÷ 14 = 7 €. L’aînée reçoit 9 × 7 = 63 €, la cadette 5 × 7 = 35 €.
Un béton mélange ciment, sable et gravier dans le ratio 1 : 2 : 3. Pour 540 kg : 1 + 2 + 3 = 6 parts de 540 ÷ 6 = 90 kg, soit 90 kg de ciment, 180 kg de sable et 270 kg de gravier.
Carte routière au 1/250 000 : 3,6 cm représentent 3,6 × 250 000 = 900 000 cm = 9 km. Carte de randonnée au 1/25 000 : 3 km = 300 000 cm sont représentés par 300 000 ÷ 25 000 = 12 cm.
Le graphique de la proportionnalité et le théorème de Thalès
La droite passe par l’origine O et par les points M(2 ; 3) et N(6 ; 9). Les points H(2 ; 0) et K(6 ; 0) sont sur l’axe des abscisses, et les droites (HM) et (KN) sont parallèles : elles sont toutes deux perpendiculaires à cet axe. Dans le triangle OKN, H est sur [OK], M est sur [ON] et (HM) est parallèle à (KN) : d’après le théorème de Thalès, OH/OK = HM/KN, c’est-à-dire 2/6 = 3/9 (les deux valent 1/3). Quand l’abscisse est multipliée par 3 (de 2 à 6), l’ordonnée l’est aussi (de 3 à 9) : ordonnée ÷ abscisse vaut 3 ÷ 2 = 9 ÷ 6 = 1,5 pour les deux points. C’est le coefficient : une situation de proportionnalité est représentée par des points alignés avec l’origine.
Réflexe — pour reconnaître la proportionnalité, je calcule les quotients y ÷ x dans toutes les colonnes ; pour une valeur manquante, je multiplie les deux nombres de la diagonale complète et je divise par le nombre qui reste ; pour une échelle, je mets tout en cm avant de calculer.
Attention — le produit en croix ne s’utilise que si la situation est proportionnelle (pas pour la salle de sport). Dans le ratio 9 : 5, l’aînée reçoit 9 parts sur 14, c’est-à-dire 9/14 de la somme, et non 9/5. Et pour une échelle, les deux longueurs doivent être dans la même unité.
1 / 5
Rappels : proportions et pourcentage d’une quantité
Prendre t % d’une quantité, c’est la multiplier par t/100 : c’est une situation de proportionnalité de coefficient t/100, où 100 % correspond au tout.
Retrouver le total : si t % du total valent P, alors total × t/100 = P, donc total = P ÷ (t/100).
Pourcentage d’un pourcentage : prendre t % de u % d’un total, c’est prendre (t/100) × (u/100) de ce total.
21 élèves sur 28 font partie d’une chorale : 21 ÷ 28 = 0,75 = 75 % des élèves (3/4 en fraction).
15 % de 380 € : 380 × 0,15 = 57 €. De tête : 10 % de 380, c’est 38 ; 5 %, la moitié, c’est 19 ; et 38 + 19 = 57.
Pourcentages de tête : 25 % = 1/4, donc 25 % de 36, c’est 36 ÷ 4 = 9 ; 1 % = 1/100, donc 1 % de 2 300, c’est 23.
27 adhérents d’un club ont moins de 12 ans, soit 18 % des adhérents : le club compte 27 ÷ 0,18 = 150 adhérents (contrôle : 150 × 0,18 = 27).
60 % des élèves d’un collège sont demi-pensionnaires, et 35 % des demi-pensionnaires choisissent le menu végétarien : 0,6 × 0,35 = 0,21, donc 21 % des élèves du collège choisissent ce menu.
Comparer deux proportions
Club A : 13 filles sur 20 adhérents, soit 13 ÷ 20 = 0,65 = 65 %. Club B : 17 filles sur 25 adhérents, soit 17 ÷ 25 = 0,68 = 68 %. Le club B a la plus forte proportion de filles : on compare des pourcentages, pas des nombres de filles.
Réflexe — proportion = partie ÷ total, puis × 100 pour l’écrire en pourcentage ; t % d’une quantité = quantité × t/100 ; pour retrouver le total, je divise par t/100 et je contrôle par une multiplication.
Attention — je divise par le total, pas par l’autre partie : 21 élèves sur 28, ce n’est pas 21 ÷ 7. Et 35 % de 60 %, ce n’est ni 95 % ni 25 % : c’est 0,35 × 0,6 = 0,21, soit 21 %.
2 / 5
Augmenter ou diminuer de t % : coefficient multiplicateur et fonction linéaire
Coefficient plus grand que 1 : c’est une hausse ; plus petit que 1 : c’est une baisse. Pour lire l’évolution, on compare le coefficient à 1 : 1,35 = 1 + 0,35, hausse de 35 % ; 0,68 = 1 − 0,32, baisse de 32 %.
Fonction linéaire : appliquer la même évolution à toutes les valeurs, c’est utiliser la fonction linéaire f(x) = c × x, où c est le coefficient multiplicateur : elle associe à la valeur de départ x la valeur d’arrivée. Sa représentation graphique est une droite qui passe par l’origine.
Pourquoi ça marche ? Augmenter une valeur V de 35 %, c’est lui ajouter 35 % d’elle-même : V + V × 0,35 = V × (1 + 0,35) = V × 1,35 (on factorise par V). De même, diminuer de 32 %, c’est calculer V − V × 0,32 = V × 0,68.
| Évolution | hausse de 35 % | hausse de 150 % | baisse de 32 % | baisse de 2,5 % | hausse de 0,8 % |
|---|---|---|---|---|---|
| Coefficient multiplicateur | 1,35 | 2,5 | 0,68 | 0,975 | 1,008 |
Une prime de 240 € augmente de 35 % : 240 × 1,35 = 324 €.
Un manteau à 85 € est soldé à −32 % : 85 × 0,68 = 57,80 €.
Une action à 18 € gagne 150 % : 18 × 2,5 = 45 €. Une hausse peut dépasser 100 % ; une baisse, jamais.
En France, le prix TTC (toutes taxes comprises) est le prix HT (hors taxes) augmenté de la TVA, de 20 % au taux normal. La fonction f(x) = 1,2x donne le prix TTC d’un article de prix HT x : f(65) = 1,2 × 65 = 78 €. C’est une fonction linéaire : le prix TTC est proportionnel au prix HT, de coefficient 1,2.
Réflexe — je traduis l’évolution par son coefficient multiplicateur, puis je multiplie. Contrôle : après une hausse, le résultat est plus grand ; après une baisse, il est plus petit.
Attention — × 1,05 et × 1,5 ne traduisent pas la même hausse : × 1,05, c’est +5 % ; × 1,5, c’est +50 %. Une baisse de 32 % multiplie par 0,68, pas par 0,32 (multiplier par 0,32, c’est prendre 32 % de la valeur). Et une baisse ne peut pas dépasser 100 %.
3 / 5
Taux d’évolution et valeur de départ
• le coefficient multiplicateur est VA ÷ VD ;
• le taux d’évolution est t = (VA − VD) ÷ VD, c’est-à-dire le coefficient multiplicateur moins 1, écrit en pourcentage. Un taux positif traduit une hausse, un taux négatif une baisse.
Retrouver la valeur de départ : VD = VA ÷ coefficient multiplicateur. On divise par le coefficient : c’est chercher un antécédent par la fonction linéaire de l’évolution.
Un loyer passe de 640 € à 672 € : (672 − 640) ÷ 640 = 32 ÷ 640 = 0,05. C’est une hausse de 5 % (et 672 ÷ 640 = 1,05 = 1 + 0,05).
Une ville passe de 12 500 à 11 750 habitants : (11 750 − 12 500) ÷ 12 500 = −750 ÷ 12 500 = −0,06. Le taux d’évolution est −6 % : c’est une baisse de 6 %.
Un forfait passe de 38 € à 45 € : 7 ÷ 38 ≈ 0,184, soit une hausse d’environ 18,4 %.
Après une hausse de 8 %, un abonnement coûte 70,20 €. Avant la hausse : 70,20 ÷ 1,08 = 65 € (contrôle : 65 × 1,08 = 70,20).
Après une baisse de 15 %, un casque coûte 59,50 €. Avant la baisse : 59,50 ÷ 0,85 = 70 €.
Réflexe — taux d’évolution = (arrivée − départ) ÷ départ ; pour remonter à la valeur de départ, je divise par le coefficient multiplicateur, puis je contrôle en multipliant.
Attention — on divise toujours par la valeur de départ : de 640 € à 672 €, 32 ÷ 672 ≈ 0,048 serait faux. Et pour remonter avant une hausse de 8 %, on ne retire pas 8 % : 70,20 × 0,92 = 64,584, et non 65.
4 / 5
Évolutions successives et évolution réciproque
Évolution répétée : une même évolution de coefficient c appliquée n fois revient à multiplier par cn.
Évolution réciproque (complément, approfondi en seconde) : pour revenir à la valeur de départ après une évolution de coefficient c, on multiplie par 1/c, l’inverse du coefficient.
Une hausse de 15 % puis une baisse de 10 % : 1,15 × 0,9 = 1,035 = 1 + 0,035. Au total, c’est une hausse de 3,5 %, et non de 5 %.
Une baisse de 40 % puis une hausse de 40 % : 0,6 × 1,4 = 0,84 = 1 − 0,16. Au total, c’est une baisse de 16 % : on ne revient pas au départ.
2 000 € placés à 2 % par an pendant 3 ans (les intérêts s’ajoutent chaque année) : 2 000 × 1,02³ = 2 000 × 1,061208 = 2 122,416 ≈ 2 122,42 €. La hausse totale est d’environ 6,12 %, un peu plus que 3 × 2 % = 6 %.
Après une baisse de 37,5 % (× 0,625), il faut multiplier par 1 ÷ 0,625 = 1,6 pour revenir au départ : c’est une hausse de 60 %.
Réflexe — je traduis chaque évolution par son coefficient multiplicateur, je multiplie, puis je compare le produit à 1. Pour revenir au départ, je calcule 1 ÷ coefficient.
Attention — une baisse de 37,5 % ne se compense pas par une hausse de 37,5 % : 0,625 × 1,375 = 0,859375. La hausse s’applique à une valeur plus petite : pour revenir au départ, elle doit être plus forte.
5 / 5
Pour aller plus loin
Vitesse moyenne et grandeurs composées — à vitesse constante, la distance parcourue est proportionnelle à la durée, de coefficient la vitesse : v = d ÷ t, d = v × t, t = d ÷ v, et 1 m/s = 3,6 km/h. Vitesse moyenne d’un trajet en plusieurs étapes, débit, masse volumique : voir Grandeurs composées : vitesse, débit, masse volumique (4ᵉ).
Fonctions linéaires — notation f(x) = ax, image, antécédent, représentation graphique et lecture du coefficient : voir Fonctions linéaires et affines.
Théorème de Thalès — configurations emboîtée et papillon, calcul de longueurs et réciproque : voir Théorème de Thalès : configuration papillon et réciproque.
En seconde — on prolonge ce chapitre : variation absolue et taux d’évolution, pourcentage de pourcentage, évolutions successives et évolution réciproque sont étudiés à partir des coefficients multiplicateurs (produit, inverse).
- Proportionnalité : y = k × x, quotients y ÷ x égaux, points alignés avec l’origine ; quatrième proportionnelle par le produit en croix ; ratio p : q = p + q parts égales ; échelle 1/n : réel = plan × n.
- Proportion = partie ÷ total ; t % d’une quantité = quantité × t/100 ; total = partie ÷ (t/100).
- Hausse de t % : × (1 + t/100) ; baisse de t % : × (1 − t/100). L’évolution est la fonction linéaire f(x) = c × x, où c est le coefficient multiplicateur.
- Taux d’évolution = (arrivée − départ) ÷ départ ; valeur de départ = valeur d’arrivée ÷ coefficient multiplicateur.
- Évolutions successives : on multiplie les coefficients ; n fois la même évolution : cⁿ ; pour revenir au départ : × 1/c.
Questions fréquentes
Comment calculer une quatrième proportionnelle ?
Dans un tableau de proportionnalité à deux colonnes (a ; b) et (c ; d), les produits en croix sont égaux : a × d = b × c. Si 6 m de tissu coûtent 40,50 €, 14 m coûtent 14 × 40,50 ÷ 6 = 94,50 €. On peut aussi passer par l’unité : 6,75 € le mètre. Le produit en croix ne s’utilise que si la situation est proportionnelle.
Comment calculer un pourcentage d’une quantité ou retrouver le total ?
Prendre t % d’une quantité, c’est la multiplier par t/100 : 15 % de 380 €, c’est 380 × 0,15 = 57 €. Dans l’autre sens, si 18 % des adhérents d’un club sont 27 personnes, le club compte 27 ÷ 0,18 = 150 adhérents.
Qu’est-ce que le coefficient multiplicateur ?
C’est le nombre par lequel on multiplie pour appliquer une évolution : 1 + t/100 pour une hausse de t %, 1 − t/100 pour une baisse. Une hausse de 35 % multiplie par 1,35, une baisse de 32 % par 0,68. L’évolution est la fonction linéaire f(x) = 1,35x ou f(x) = 0,68x.
Comment calculer un taux d’évolution ?
Taux = (valeur d’arrivée − valeur de départ) ÷ valeur de départ. De 640 € à 672 €, c’est 32 ÷ 640 = 0,05, une hausse de 5 %. Pour retrouver une valeur de départ, on divise par le coefficient multiplicateur : avant une hausse de 8 %, 70,20 € valaient 70,20 ÷ 1,08 = 65 €.
Pourquoi les pourcentages successifs ne s’additionnent-ils pas ?
Chaque pourcentage s’applique à une valeur différente : on multiplie les coefficients. Une hausse de 15 % puis une baisse de 10 % donnent 1,15 × 0,9 = 1,035, soit une hausse de 3,5 % et non de 5 %. Une baisse de 37,5 % se compense par une hausse de 60 %, car 1 ÷ 0,625 = 1,6.
Moi c'est Ben, j'ai créé ce site pour aider le plus d'élèves possible, partout en France. Je peux aussi reprendre avec toi ce qui coince en cours particulier : en visio, ou à domicile si tu es à Marseille.
Prof de maths à Marseille · Cours particuliers au collège · Aide aux devoirs