Ce cours de mathématiques en troisième sur « Notion de fonction » suit le programme officiel de mathématiques de troisième. Il présente les définitions, les propriétés et les méthodes essentielles, accompagnées d'exemples résolus pour bien comprendre. Au programme : Qu'est-ce qu'une fonction ?, Calculer une image (par calcul), Chercher un antécédent (par calcul), Le tableau de valeurs. Chaque notion est expliquée pas à pas, puis mise en pratique grâce à des exercices interactifs, un QCM et une évaluation corrigée. Idéal pour réviser à son rythme, combler ses lacunes et progresser, en autonomie ou avec un professeur. Cours rédigé par un professeur particulier à Marseille pour aider les élèves de troisième à réussir en mathématiques.
Au programme
1 · Qu'est-ce qu'une fonction ?
2 · La notation f(x) et le vocabulaire
3 · Calculer une image (par calcul)
4 · Chercher un antécédent (par calcul)
5 · Le tableau de valeurs
6 · La représentation graphique
7 · Lire une image et un antécédent sur un graphique
8 · Lire et interpréter un graphique
1Qu'est-ce qu'une fonction ?
Une fonction, c'est une machine à transformer les nombres : on lui donne un nombre en entrée, elle applique une règle, et elle renvoie un seul nombre en sortie.
Définition. Une fonctionf est un procédé qui, à un nombre de départ, associe un seul nombre d'arrivée. On dit que ce nombre d'arrivée est l'image du nombre de départ par la fonctionf.
On peut imaginer la fonction comme une boîte avec une entrée et une sortie :
Avec la fonction « multiplier par 2 » : si on entre 3, on obtient 6. Le nombre 6 est l'image de 3 par cette fonction.
⚠️ Une fonction donne une seule image pour chaque nombre de départ. Par contre, un même résultat d'arrivée peut provenir de plusieurs nombres de départ : c'est permis dans l'autre sens.
2La notation f(x) et le vocabulaire
Pour décrire une fonction, on utilise une lettre (souvent f, g ou h) et une notation spéciale.
Notation. Si la fonction f associe au nombre x le nombre y, on écrit :
f(x) = y
x est le nombre de départ (on dit aussi l'antécédent) ;
f(x) (qui se lit « f de x ») est le nombre d'arrivée : l'image de x ;
y est la valeur de cette image.
On rencontre aussi l'écriture avec une flèche, qui veut dire exactement la même chose :
f : x ↦ 2x se lit « f qui à x associe 2x ».
On dit / on écrit
Ce que ça veut dire
f(3) = 6
L'image de 3 par f est 6
3 est un antécédent de 6
6 est l'image de 3
f(x) = 2x
La règle de calcul de la fonction
💡 Image = ce qui SORT (à droite du « = »). Antécédent = ce qui ENTRE (le nombre dont on cherche l'image). On part de l'antécédent, on arrive à l'image.
⚠️ f(x) ne veut pas dire « f multiplié par x » ! C'est une notation : « la valeur de la fonction f pour le nombre x ».
3Calculer une image (par calcul)
Quand la fonction est donnée par une formule, calculer l'image d'un nombre, c'est remplacer x par ce nombre dans la formule, puis effectuer le calcul.
Méthode pas à pas. Pour calculer f(a) :
1. J'écris la formule de la fonction.
2. Je remplace chaque x par le nombre a (entre parenthèses si besoin).
3. Je calcule en respectant les priorités.
Exemple 1. Soit f(x) = 3x + 1. Calculons l'image de 4.
f(4) = 3 × 4 + 1 = 12 + 1 = 13. Donc f(4) = 13 : l'image de 4 est 13.
Exemple 2. Soit g(x) = x² − 5. Calculons l'image de −3.
g(−3) = (−3)² − 5 = 9 − 5 = 4. Donc g(−3) = 4.
⚠️ Avec un nombre négatif, on met des parenthèses : (−3)² = 9, alors que −3² = −9. Les parenthèses évitent l'erreur de signe.
💡 Vérifie toujours que tu as bien remplacé tous les x par la même valeur.
4Chercher un antécédent (par calcul)
Chercher un antécédent, c'est faire le travail dans l'autre sens : on connaît l'image (la sortie), et on cherche quel nombre de départ (l'entrée) la produit.
Méthode. Pour trouver les antécédents d'un nombre k par f :
1. J'écris l'équation f(x) = k.
2. Je remplace f(x) par sa formule.
3. Je résous l'équation pour trouver x.
Exemple. Soit f(x) = 3x + 1. Quel est l'antécédent de 16 ?
On résout f(x) = 16, c'est-à-dire 3x + 1 = 16.
3x = 16 − 1 = 15, donc x = 153 = 5.
L'antécédent de 16 est 5. On vérifie : f(5) = 3 × 5 + 1 = 16. ✓
⚠️ Un nombre peut avoir plusieurs antécédents, un seul, ou aucun. C'est différent de l'image, qui est toujours unique.
💡 Pour ne pas confondre : « image de 5 » → je calcule f(5). « antécédent de 16 » → je résous f(x) = 16.
5Le tableau de valeurs
Un tableau de valeurs range, sur deux lignes, des nombres de départ x et leurs images f(x). C'est une façon pratique de présenter plusieurs résultats d'un coup.
Construisons le tableau de f(x) = 2x + 1 :
x
−2
−1
0
1
2
3
f(x)
−3
−1
1
3
5
7
Chaque colonne se lit ensemble : par exemple, la colonne « x = 2 / f(x) = 5 » signifie f(2) = 5.
Lire un tableau de valeurs.
• Pour trouver une image : je cherche la valeur sur la ligne x, puis je lis en dessous sur la ligne f(x).
• Pour trouver un antécédent : je cherche la valeur sur la ligne f(x), puis je lis au-dessus sur la ligne x.
Exemple. Dans le tableau ci-dessus :
a) L'image de −1 est −1 (colonne x = −1).
b) Un antécédent de 7 est 3 (colonne f(x) = 7).
⚠️ Un tableau ne donne que quelques valeurs. Si un nombre n'y figure pas, on ne peut pas lire son image directement : il faut calculer (avec la formule).
6La représentation graphique
On peut dessiner une fonction dans un repère. Chaque couple (x ; f(x)) du tableau devient un point : x se lit sur l'axe horizontal (abscisses), f(x) sur l'axe vertical (ordonnées).
Définition. La représentation graphique (ou courbe) d'une fonction f est l'ensemble de tous les points de coordonnées (x ; f(x)).
Reprenons f(x) = 2x + 1. On place les points du tableau, puis on les relie :
La courbe de cette fonction est une droite (c'est une fonction très régulière). Le point (1 ; 3) sur la courbe traduit f(1) = 3.
💡 Un point est sur la courbe si ses coordonnées vérifient « ordonnée = image de l'abscisse ». Le point (2 ; 5) est sur la courbe car f(2) = 5.
7Lire une image et un antécédent sur un graphique
C'est l'un des savoir-faire les plus importants du brevet. La règle d'or : on se déplace en suivant les axes, jamais en diagonale.
Lire l'IMAGE d'un nombre a (on connaît x = a, on cherche f(a)) :
1. Je repère a sur l'axe horizontal (abscisses).
2. Je monte (ou descends) verticalement jusqu'à la courbe.
3. Je lis horizontalement l'ordonnée du point : c'est f(a).
Lire un ANTÉCÉDENT d'un nombre k (on connaît f(x) = k, on cherche x) :
1. Je repère k sur l'axe vertical (ordonnées).
2. Je me déplace horizontalement jusqu'à la courbe.
3. Je descends (ou monte) verticalement jusqu'à l'axe horizontal : je lis x.
Sur ce graphique, lisons l'image de 1 (en vert) et un antécédent de 4 (en or) :
En vert : je pars de 1 sur l'axe horizontal, je monte à la courbe, je lis ≈ 1 à gauche → l'image de 1 vaut environ 1.
En or : je pars de 4 sur l'axe vertical, je vais à la courbe, je descends et je lis ≈ 2,5 → un antécédent de 4 est environ 2,5.
⚠️ Sens des déplacements : pour une image, on part de l'axe horizontal ; pour un antécédent, on part de l'axe vertical. Beaucoup d'élèves les inversent.
8Lire et interpréter un graphique
Au brevet, on demande souvent de lire des informations sur un graphique « concret » (température, distance, prix… selon le temps). Voici ce qu'on peut lire :
la valeur maximale ou minimale : le point le plus haut / le plus bas de la courbe ;
le ou les moments où la fonction vaut une valeur donnée (un antécédent) ;
quand la courbe monte (la grandeur augmente) ou descend (elle diminue).
Toujours regarder les unités des axes ! Sur un graphique, l'axe horizontal et l'axe vertical n'ont pas forcément la même échelle. Note ce que représente chaque axe (par ex. : « temps en heures », « température en °C ») avant de lire.
Exemple de lecture. Sur un graphique donnant la température au cours d'une journée :
a) « température à 6 h » → c'est l'image de 6 (je pars de 6 sur l'axe du temps) ;
b) « à quelle(s) heure(s) fait-il 20 °C ? » → c'est un antécédent de 20 (je pars de 20 sur l'axe vertical).
💡 Récap du chapitre : une fonction associe à chaque x une seule image f(x) · image = ce qui sort, antécédent = ce qui entre · image par calcul : on remplace x · antécédent par calcul : on résout f(x) = k · sur un graphique : image → on part de l'axe horizontal, antécédent → on part de l'axe vertical.