Collège · 3ᵉ · Mathématiques
Notion de fonction
Définition, notation, image et antécédent, tableau de valeurs et lecture graphique — programme de 3e
À propos de cette page
Ce cours de mathématiques en troisième sur « Notion de fonction » suit le programme officiel de mathématiques de troisième. Il présente les définitions, les propriétés et les méthodes essentielles, accompagnées d'exemples résolus pour bien comprendre. Au programme : Qu'est-ce qu'une fonction ?, La notation f(x) et le vocabulaire, Image et antécédent, Le tableau de valeurs. Chaque notion est expliquée pas à pas, puis mise en pratique grâce à des exercices interactifs, un QCM et une évaluation corrigée. Idéal pour réviser à son rythme, combler ses lacunes et progresser, en autonomie ou avec un professeur. Cours rédigé par un professeur particulier à Marseille pour aider les élèves de troisième à réussir en mathématiques.
1
Qu'est-ce qu'une fonction ?
Le prix d'une course de taxi dépend de la distance, la hauteur d'une balle dépend du temps, l'aire d'un carré dépend de son côté : dès qu'une grandeur dépend d'une autre, on parle de fonction.
Définition. Une fonction est un procédé qui, à chaque nombre $x$ (la variable), associe un seul nombre, appelé l'image de $x$. Ce procédé peut être donné par une formule, un tableau, un graphique ou un programme de calcul.
Exemples. « Multiplier par 3 puis ajouter 2 » est une fonction : à $2$ elle associe $8$, à $0$ elle associe $2$. La fonction « carré » associe à $-3$ le nombre $9$.
Un seul résultat. Un procédé qui associerait deux nombres différents au même $x$ n'est pas une fonction. En revanche, deux nombres différents peuvent avoir la même image ($3$ et $-3$ ont tous deux pour carré $9$).
2
La notation f(x) et le vocabulaire
Notation. On nomme la fonction par une lettre ($f$, $g$, $h$…). L'image du nombre $x$ par $f$ se note $f(x)$ et se lit « $f$ de $x$ ». On écrit la formule sous la forme $f(x) = 3x + 2$, ou $f : x \longmapsto 3x + 2$.
Exemple. Pour $f(x) = 3x + 2$ : $f(2) = 3 \times 2 + 2 = 8$ ; $f(-1{,}5) = 3 \times (-1{,}5) + 2 = -2{,}5$ ; $f(0{,}25) = 2{,}75$.
Attention ! Les parenthèses de $f(x)$ ne sont pas une multiplication : $f(2)$ n'est pas « $f$ fois $2$ », c'est le nombre obtenu quand on applique $f$ à $2$. Pour calculer une image d'un nombre négatif, on le remplace entre parenthèses.
3
Image et antécédent
Définitions. Si $f(a) = b$ : $b$ est l'image de $a$ par $f$ ; $a$ est un antécédent de $b$ par $f$.
| Image | Il y en a toujours une seule. On la calcule en remplaçant $x$ dans la formule. |
| Antécédent | Il peut y en avoir un, plusieurs ou aucun. On le cherche en résolvant l'équation $f(x) = b$. |
Exemple. $f(x) = 2x - 7$. L'image de $3$ est $f(3) = -1$. L'antécédent de $-13$ : on résout $2x - 7 = -13$, soit $x = -3$.
Avec la fonction carré $g(x) = x^2 + 1$ : les antécédents de $10$ sont $3$ et $-3$ ($x^2 = 9$) ; $1$ a un seul antécédent, $0$ ; $0$ n'en a aucun (un carré n'est jamais négatif, donc $x^2 + 1 \geq 1$).
Mémo. On dit « l'image » (unique) mais « un antécédent » (pas forcément unique).
4
Le tableau de valeurs
Règle. Un tableau de valeurs range sur la première ligne des valeurs de $x$ et sur la seconde leurs images $f(x)$. Il se lit dans les deux sens : de haut en bas pour une image, de bas en haut pour un antécédent.
Exemple. Pour $m$ :
L'image de $1$ est $0$ ; les antécédents de $4$ sont $-2$ et $3$ ; le nombre $-2$ a deux antécédents, $0$ et $6$.
| $x$ | $-2$ | $0$ | $1$ | $3$ | $6$ |
|---|---|---|---|---|---|
| $m(x)$ | $4$ | $-2$ | $0$ | $4$ | $-2$ |
Attention ! Un tableau ne donne que quelques valeurs : il ne permet pas d'affirmer qu'un nombre absent de la seconde ligne « n'a pas d'antécédent ».
5
La courbe représentative d'une fonction
Définition. Dans un repère, la courbe représentative de $f$ est l'ensemble des points de coordonnées $(x\,;\,f(x))$ : l'abscisse est le nombre de départ, l'ordonnée est son image. Dire que le point $(a\,;\,b)$ est sur la courbe, c'est dire que $f(a) = b$.
Exemple. Pour $f(x) = 0{,}5x^2 - 2$ : $f(2) = 0$ donc le point $(2\,;\,0)$ est sur la courbe ; $f(1) = -1{,}5$ donc $(1\,;\,-1{,}5)$ aussi. Le point $(2\,;\,1)$ n'y est pas car $f(2) \neq 1$.
Pour tracer une courbe : dresser un tableau de valeurs, placer les points, les relier (à la règle si c'est une droite, à main levée sinon).
6
Lire des images et des antécédents sur un graphique
| Lire l'image de $a$ | Partir de $a$ sur l'axe horizontal, monter (ou descendre) jusqu'à la courbe, puis lire l'ordonnée sur l'axe vertical. |
| Lire les antécédents de $b$ | Partir de $b$ sur l'axe vertical, tracer l'horizontale, repérer tous les points d'intersection avec la courbe, lire leurs abscisses. |
Exemple. Sur la courbe de $f(x) = 0{,}5x^2 - 2$ ci-dessus : l'image de $0$ est $-2$ (le point le plus bas) ; les antécédents de $0$ sont $-2$ et $2$ (deux intersections avec l'axe des abscisses) ; le nombre $-3$ n'a aucun antécédent car la courbe ne descend pas si bas.
Attention ! Une lecture graphique est approchée ; si l'on dispose de la formule, on vérifie par le calcul. Ne pas confondre les deux axes : les antécédents se lisent toujours sur l'axe horizontal.
7
Méthode : reconnaître image et antécédent
| La question… | C'est… | On fait… |
|---|---|---|
| « Calcule $f(7)$ », « l'image de $7$ » | une image | remplacer $x$ par $7$ dans la formule |
| « Pour quel $x$ a-t-on $f(x) = 7$ ? », « antécédent de $7$ » | un antécédent | résoudre l'équation $f(x) = 7$ |
| « Combien paie-t-on pour $4$ pizzas ? » | une image | $P(4)$ |
| « Combien de pizzas pour $60$ € ? » | un antécédent | résoudre $P(x) = 60$ |
Exemple — la livraison. $P(x) = 9{,}5x + 3$ (prix en € pour $x$ pizzas livrées, avec $3$ € de frais). $P(4) = 41$ € : $41$ est l'image de $4$. Pour $60$ € : $9{,}5x + 3 = 60$ donne $x = 6$ pizzas : $6$ est l'antécédent de $60$.
Réflexe. Si la donnée est un $x$ (nombre de pizzas, de séances, une durée) → on calcule. Si la donnée est un résultat (prix, hauteur, aire) → on résout.
En bref
- Une fonction associe à chaque nombre $x$ une seule image, notée $f(x)$.
- $f(a) = b$ : $b$ est l'image de $a$ (unique, on calcule) ; $a$ est un antécédent de $b$ (un, plusieurs ou aucun ; on résout $f(x) = b$).
- Tableau de valeurs : $x$ en haut, $f(x)$ en bas ; il ne donne que quelques valeurs.
- Courbe : points $(x\,;\,f(x))$ ; $(a\,;\,b)$ est sur la courbe ⟺ $f(a) = b$.
- Lecture graphique : image = de l'axe horizontal vers la courbe puis l'axe vertical ; antécédents = de l'axe vertical vers la courbe puis l'axe horizontal (tous les points !).
Bloqué sur ce chapitre ?
Cours particuliers de mathématiques à Marseille, en présentiel ou à distance — un prof qui s'adapte à ton rythme et reprend ce qui coince.
Prof de maths à Marseille · Cours particuliers au collège · Aide aux devoirs