À propos de cette page
Ce cours de mathématiques en troisième sur « Notion de fonction » suit le programme officiel de mathématiques de troisième. Il présente les définitions, les propriétés et les méthodes essentielles, accompagnées d'exemples résolus pour bien comprendre. Au programme : Qu'est-ce qu'une fonction ?, La notation f(x) et le vocabulaire, Image et antécédent, Le tableau de valeurs. Chaque notion est expliquée pas à pas, puis mise en pratique grâce à des exercices interactifs, un QCM et une évaluation corrigée. Idéal pour réviser à son rythme, combler ses lacunes et progresser, en autonomie ou avec un professeur. Cours rédigé par un professeur particulier à Marseille pour aider les élèves de troisième à réussir en mathématiques.
Au programme
1 · Qu'est-ce qu'une fonction ?
2 · La notation f(x) et le vocabulaire
3 · Image et antécédent
4 · Le tableau de valeurs
5 · La courbe représentative d'une fonction
6 · Lire des images et des antécédents sur un graphique
7 · Méthode : reconnaître image et antécédent
1Qu'est-ce qu'une fonction ?
On rencontre des fonctions partout : la distance parcourue dépend du temps, le prix à payer dépend du nombre d'articles, l'aire d'un carré dépend de son côté… Dès qu'une grandeur dépend d'une autre, on peut souvent décrire la situation par une fonction.
Définition. Une fonction $f$ est un procédé qui, à chaque nombre $x$, associe un seul nombre. Le nombre $x$ s'appelle la variable (ou l'antécédent), et le nombre qu'on lui associe s'appelle son image.
On peut voir une fonction comme une machine : on entre un nombre $x$, la machine le transforme selon une règle, et elle renvoie un nombre en sortie.
Exemple. La fonction « multiplier par 3 puis ajouter 1 » transforme $2$ en $3 \times 2 + 1 = 7$, et transforme $5$ en $3 \times 5 + 1 = 16$. À chaque nombre entré correspond bien une seule sortie.
Attention ! Pour qu'un procédé soit une fonction, chaque nombre $x$ doit avoir une seule image. « Donner un diviseur de $x$ » n'est pas une fonction, car $12$ a plusieurs diviseurs.
2La notation f(x) et le vocabulaire
Pour gagner du temps, on donne un nom à la fonction (souvent $f$, $g$ ou $h$) et on note son image avec des parenthèses.
Notation. Si $f$ est une fonction, l'image du nombre $x$ se note $f(x)$, ce qui se lit « $f$ de $x$ ». On écrit la fonction de deux façons équivalentes :
$$f : x \mapsto 3x + 1 \qquad \text{ou} \qquad f(x) = 3x + 1$$La flèche $\mapsto$ se lit « a pour image ».
Exemple. Avec $f(x) = 3x + 1$ :
$f(2) = 3 \times 2 + 1 = 7$, donc l'image de $2$ par $f$ est $7$.
$f(0) = 3 \times 0 + 1 = 1$ et $f(-4) = 3 \times (-4) + 1 = -11$.
| Phrase en français | Écriture mathématique |
|---|
| l'image de $2$ par $f$ est $7$ | $f(2) = 7$ |
| $f$ associe à $x$ le nombre $3x+1$ | $f : x \mapsto 3x+1$ |
| la fonction $f$ a pour formule… | $f(x) = 3x + 1$ |
Attention ! $f(x)$ n'est pas $f \times x$ : les parenthèses ne sont pas une multiplication, elles désignent l'image de $x$ par la fonction $f$.
Astuce. Pour calculer une image, remplace partout la lettre $x$ par la valeur donnée (mets-la entre parenthèses si elle est négative), puis effectue le calcul en respectant les priorités.
3Image et antécédent
Ce sont les deux mots les plus importants du chapitre. Ils correspondent aux deux sens de lecture d'une fonction.
Définitions. Soit $f$ une fonction et deux nombres $x$ et $y$ tels que $f(x) = y$.
• $y$ est l'image de $x$ par $f$ (on part de $x$, on calcule).
• $x$ est un antécédent de $y$ par $f$ (on part de $y$, on cherche).
| Image | Antécédent |
|---|
| On connaît | $x$ | $y$ |
| On cherche | $f(x)$ | les $x$ tels que $f(x)=y$ |
| Combien ? | une seule image | 0, 1 ou plusieurs antécédents |
Exemple 1 — calculer une image. Avec $f(x) = 2x - 5$, l'image de $4$ est $f(4) = 2 \times 4 - 5 = 3$.
Exemple 2 — chercher un antécédent. Toujours avec $f(x) = 2x - 5$, cherchons un antécédent de $7$. On résout $f(x) = 7$, c'est-à-dire $2x - 5 = 7$, donc $2x = 12$ et $x = 6$. L'antécédent de $7$ est $6$ (on vérifie : $f(6) = 2\times 6 - 5 = 7$). ✓
Attention au nombre d'antécédents ! Un nombre a toujours une seule image, mais il peut avoir plusieurs antécédents, un seul, ou aucun. Par exemple avec $g(x) = x^2$, le nombre $9$ a deux antécédents : $3$ et $-3$, car $3^2 = 9$ et $(-3)^2 = 9$.
4Le tableau de valeurs
Un tableau de valeurs range, sur deux lignes, plusieurs nombres $x$ et leurs images $f(x)$. Il sert à organiser les calculs et à préparer le tracé d'une courbe.
Règle. Sur la première ligne, on écrit des valeurs de $x$ ; sur la seconde, on écrit les images correspondantes $f(x)$. Chaque colonne forme un couple $(x\,;\,f(x))$.
Exemple. Tableau de valeurs de $f(x) = x^2 - 1$ :
| $x$ | $-2$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ |
|---|
| $f(x)$ | $3$ | $0$ | $-1$ | $0$ | $3$ | $8$ |
|---|
Par exemple, pour la colonne $x = 3$ : $f(3) = 3^2 - 1 = 9 - 1 = 8$. On lit dans ce tableau que l'image de $-2$ est $3$, et que $0$ a deux antécédents : $-1$ et $1$.
Astuce de lecture. Pour trouver une image, on cherche le nombre sur la ligne du haut et on lit en dessous. Pour trouver un antécédent, on cherche le nombre sur la ligne du bas et on lit au-dessus.
5La courbe représentative d'une fonction
On peut « dessiner » une fonction dans un repère. À chaque nombre $x$ correspond un point dont l'abscisse est $x$ et l'ordonnée est son image $f(x)$.
Définition. La courbe représentative (ou représentation graphique) de la fonction $f$ est l'ensemble de tous les points de coordonnées $(x\,;\,f(x))$ lorsque $x$ parcourt les nombres pour lesquels $f$ est définie.
Voici la courbe de la fonction $f(x) = x^2 - 1$ du paragraphe précédent. On retrouve bien les points du tableau, par exemple $(2\,;\,3)$ et $(3\,;\,8)$.
Exemple. Le point $(0\,;\,-1)$ appartient à la courbe car $f(0) = -1$. En revanche le point $(0\,;\,2)$ n'y appartient pas, car l'image de $0$ n'est pas $2$.
Astuce. Un point $(a\,;\,b)$ est sur la courbe de $f$ si et seulement si $f(a) = b$. Pour vérifier, on remplace $x$ par l'abscisse $a$ et on regarde si on retrouve l'ordonnée $b$.
6Lire des images et des antécédents sur un graphique
Quand on n'a pas la formule mais seulement la courbe, on lit les images et les antécédents directement sur le graphique.
Méthode — lire une IMAGE. Pour lire $f(a)$ : on repère $a$ sur l'axe des abscisses (horizontal), on monte (ou descend) verticalement jusqu'à la courbe, puis on lit l'ordonnée horizontalement sur l'axe vertical.
Méthode — lire un ANTÉCÉDENT. Pour trouver les antécédents de $b$ : on repère $b$ sur l'axe des ordonnées (vertical), on se déplace horizontalement jusqu'à couper la courbe (parfois en plusieurs points), puis on lit chaque abscisse sur l'axe horizontal.
Exemple. Sur la courbe de $f(x) = x^2 - 1$ tracée plus haut :
• Image de $2$ : on part de $2$ en abscisse, on monte jusqu'à la courbe, on lit $3$. Donc $f(2) = 3$.
• Antécédents de $3$ : on part de $3$ en ordonnée, on coupe la courbe en deux points, on lit $-2$ et $2$. Donc $3$ a deux antécédents.
Attention au sens ! Image = on part de l'axe horizontal et on lit en vertical. Antécédent = on part de l'axe vertical et on lit en horizontal. Ne confonds pas les deux trajets.
7Méthode : reconnaître image et antécédent
La plupart des erreurs viennent d'une confusion entre image et antécédent. Ce tableau résume comment réagir selon la question posée.
| La question demande… | On reconnaît | Ce qu'on fait |
|---|
| « l'image de $5$ » | une image | on calcule $f(5)$ |
| « $f(5)$ » | une image | on calcule $f(5)$ |
| « un antécédent de $5$ » | un antécédent | on résout $f(x) = 5$ |
| « les $x$ tels que $f(x) = 5$ » | des antécédents | on résout $f(x) = 5$ |
Exemple complet. Soit $f(x) = 4x - 3$.
• Image de $2$ : $f(2) = 4 \times 2 - 3 = 5$.
• Antécédent de $5$ : on résout $4x - 3 = 5$, donc $4x = 8$ et $x = 2$.
Ici l'image de $2$ est $5$ et, en sens inverse, l'antécédent de $5$ est $2$ : c'est cohérent.
Conseil de copie. Repère d'abord le mot clé de l'énoncé (« image » ou « antécédent »), écris l'égalité correspondante, puis calcule ou résous. Termine toujours par une phrase de conclusion.
★À retenir
À retenir — Notion de fonction :
• Une fonction $f$ associe à chaque nombre $x$ une seule image, notée $f(x)$.
• Image de $x$ : on connaît $x$, on calcule $f(x)$.
• Antécédent de $y$ : on connaît $y$, on résout $f(x) = y$ (0, 1 ou plusieurs solutions).
• Un tableau de valeurs donne des couples $(x\,;\,f(x))$ ; la courbe est l'ensemble des points $(x\,;\,f(x))$.
• Lecture graphique : image = on part de l'axe horizontal ; antécédent = on part de l'axe vertical.