Fonctions : image, antécédent, notations

Rappels de 5e et de 4e (une grandeur en fonction d’une autre, formule, programme de calcul, question inverse, image et antécédent, proportionnalité) ; notation f(x) et f : x ⟼ …, calcul d’images ; antécédents par le calcul (équation du premier degré, carré, produit nul) ; tableau de valeurs et courbe représentative, point qui appartient à une courbe ; lecture graphique d’images, d’antécédents, de maximum et de minimum, résolution graphique d’une équation.

À propos de cette page

Ce cours de maths de 3e sur la notion de fonction commence par les rappels de 5e et de 4e (grandeur en fonction d’une autre, formule, programme de calcul, question inverse), puis présente la notation f(x), le calcul d’une image, la recherche d’antécédents par une équation, le tableau de valeurs, la courbe représentative et la lecture graphique des images, des antécédents, du maximum et du minimum.

Rappels de 5ᵉ et de 4ᵉ : une grandeur en fonction d’une autre

Ce chapitre reprend tout ce qui a été vu en 5ᵉ et en 4ᵉ sur les grandeurs qui dépendent d’une autre, avec de nouveaux exemples ; la 3ᵉ y ajoute la notation $f (x)$ , la courbe représentative et la recherche d’antécédents par une équation.

Ce qu’il faut savoir Quand la valeur d’une grandeur B dépend de la valeur d’une grandeur A, on dit que B est en fonction de A : A est la grandeur de départ (celle qu’on choisit), B la grandeur qui en dépend (celle qu’on obtient). Cette dépendance se donne par une formule, un programme de calcul, un tableau de valeurs ou un graphique.
• Écrire la formule : je fais le calcul avec un nombre simple, puis je remplace ce nombre par une lettre, la variable ; je contrôle avec une autre valeur. On écrit

3 \times x = 3 x

x \times x = x^{2}

.
• Utiliser la formule : je remplace la lettre par la valeur choisie et je calcule en respectant les priorités. Question inverse : je connais le résultat et je retrouve la valeur de départ en défaisant les opérations à l’envers, en commençant par la dernière, puis je vérifie.
• Vocabulaire de 4ᵉ : si le nombre de départ

4

donne le résultat

11

, on dit que

11

est l’image de

4

et que

4

est un antécédent de

11

.
• Dans un repère, la grandeur de départ se lit en abscisse, celle qui en dépend en ordonnée. Une situation est de proportionnalité si, et seulement si, ses points sont alignés avec l’origine du repère.

Exemples

Un loueur de kayaks demande $4$ € pour le gilet, puis $9$ € par heure. Le prix $P$ (en €) est en fonction de la durée $h$ (en heures). Pour $3$ h : $9 \times 3 + 4 = 31$ €. On remplace $3$ par $h$ : $P = 9 h + 4$ .

Question inverse : avec $58$ €, combien d’heures ? On défait à l’envers : $58 - 4 = 54$ , puis $54 \div 9 = 6$ . C’est $6$ heures. Vérification : $9 \times 6 + 4 = 58$ ✓

Les points $(1; 13)$ , $(2; 22)$ et $(3; 31)$ sont alignés, mais pas avec l’origine : pour une durée nulle, on paierait déjà le gilet. Le prix n’est pas proportionnel à la durée.

Programme de calcul, formule et nombres relatifs

Exemples

« Choisir un nombre ; lui soustraire $5$ ; multiplier le résultat par le double du nombre choisi. » En partant de $x$ , le résultat est $R = 2 x (x - 5)$ , soit $2 x^{2} - 10 x$ en développant.

Pour $- 3$ : $- 3 - 5 = - 8$ et $2 \times (- 3) = - 6$ , donc $R = (- 8) \times (- 6) = 48$ .
Avec la forme développée : $2 \times (- 3)^{2} - 10 \times (- 3) = 18 + 30 = 48$ ✓

Un cube d’arête $a$ cm est peint sur ses six faces. Avec $a = 3$ : $6 \times 3 \times 3 = 54$ cm². On remplace $3$ par $a$ : $S = 6 a^{2}$ . Contrôle avec $a = 5$ : la formule donne $6 \times 25 = 150$ cm², comme $6 \times 5 \times 5 = 150$ ✓

Réflexe — je repère la grandeur qu’on choisit et celle qu’on obtient ; pour écrire une formule, je calcule d’abord avec un nombre simple ; pour la question inverse, je défais à l’envers, puis je vérifie avec la formule.

Attention — $9 h + 4$ ne se réduit pas en $13 h$ : on multiplie avant d’ajouter. Et $2 x^{2}$ n’est pas $(2 x)^{2}$ : pour $x = - 3$ , $2 x^{2} = 18$ mais $(2 x)^{2} = 36$ .

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La notation f(x) : calculer une image

Ce qu’il faut savoir Une fonction est un procédé qui, à chaque nombre

x

, associe un seul nombre, appelé l’image de

x

. On la nomme par une lettre :

f

g

h

…
L’image de

x

par

f

se note

f (x)

, qui se lit «

f

x

». On écrit

f (x) = 2 x^{2} - 5

, ou

f : x ⟼ 2 x^{2} - 5

(«

f

est la fonction qui à

x

associe

2 x^{2} - 5

») :

x

est la variable,

f

est la fonction,

f (x)

est un nombre.
Écrire

k (- 4) = 9

, c’est dire que

9

est l’image de

- 4

par

k

, et que

- 4

est un antécédent de

9

par

k

.
Calculer une image : je remplace

x

par le nombre dans la formule, entre parenthèses s’il est négatif, et je respecte les priorités (puissances, puis multiplications, puis additions et soustractions).
Une fonction peut être donnée par une formule, un programme de calcul, un tableau de valeurs ou une courbe.

Exemples

$f (x) = 2 x^{2} - 5$ : $f (3) = 2 \times 3^{2} - 5 = 2 \times 9 - 5 = 13$ ; $f (0) = - 5$ ;
$(- 1, 5)^{2} = 2, 25$ , donc $f (- 1, 5) = 2 \times 2, 25 - 5 = - 0, 5$ .

$g : x ⟼ 7 - 4 x$ : $g (- 2) = 7 - 4 \times (- 2) = 7 + 8 = 15$ ; $g (0, 25) = 7 - 1 = 6$ .

Le programme « choisir un nombre ; lui ajouter $4$ ; élever le résultat au carré » définit la fonction $h : x ⟼ (x + 4)^{2}$ .
$h (- 7) = (- 7 + 4)^{2} = (- 3)^{2} = 9$ et $h (- 1) = 3^{2} = 9$ : deux nombres différents peuvent avoir la même image.

Une seule image… quand il y en a une

Un procédé qui donnerait deux résultats pour un même nombre n’est pas une fonction : associer à $16$ « un nombre dont le carré vaut $16$ » donnerait $4$ et $- 4$ .
En revanche, une fonction peut ne pas être définie pour certains nombres : avec $q (x) = \frac{6}{x - 2}$ , le nombre $2$ n’a pas d’image, car on ne peut pas diviser par $0$ ; mais $q (5) = \frac{6}{3} = 2$ .

Réflexe — « image de… », « calcule $f (\dots)$ » : je recopie la formule en remplaçant $x$ par le nombre entre parenthèses, puis je calcule en respectant les priorités.

Attention — $f (3)$ n’est pas « $f$ fois $3$ » : c’est le nombre obtenu en appliquant $f$ à $3$ . Avec un nombre négatif : $(- 3)^{2} = 9$ mais $- 3^{2} = - 9$ ; pour $f (x) = 2 x^{2} - 5$ , $f (- 3) = 2 \times 9 - 5 = 13$ , et non $(2 \times (- 3))^{2} - 5 = 31$ .

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Chercher un antécédent par le calcul

Ce qu’il faut savoir Les antécédents d’un nombre

b

par une fonction

f

sont les nombres

x

tels que

f (x) = b

: on les trouve en résolvant l’équation

f (x) = b

, puis on vérifie en calculant leur image.
Un nombre a une seule image, mais il peut avoir aucun, un ou plusieurs antécédents : on dit « l’image », mais « un antécédent ».
• Avec une formule comme

4 x - 9

, l’équation

f (x) = b

est du premier degré : elle a une seule solution.
• Avec un carré : l’équation

x^{2} = a

a deux solutions si

a > 0

(

\sqrt{a}

- \sqrt{a}

), une seule si

a = 0

(le nombre

0

), aucune si

a < 0

(un carré n’est jamais négatif).
• Avec un produit : les antécédents de

0

s’obtiennent avec la règle du produit nul (un produit est nul si l’un de ses facteurs est nul).
• De même, le nombre

a

tel que

f (a) = a

, ou le nombre

x

tel que

f (x) = g (x)

(deux fonctions donnent la même image), se trouve en résolvant une équation.

Exemples

$f (x) = 4 x - 9$ . Antécédent de $15$ : $4 x - 9 = 15$ , donc $4 x = 24$ , donc $x = 6$ . Vérification : $f (6) = 24 - 9 = 15$ ✓
Antécédent de $- 11$ : $4 x - 9 = - 11$ , donc $4 x = - 2$ , donc $x = - 0, 5$ .
Le nombre $a$ tel que $f (a) = a$ : $4 a - 9 = a$ , donc $3 a = 9$ , donc $a = 3$ . Vérification : $f (3) = 12 - 9 = 3$ ✓
Avec $g (x) = 2 x + 1$ : $f (x) = g (x)$ donne $4 x - 9 = 2 x + 1$ , donc $2 x = 10$ , donc $x = 5$ . Vérification : $f (5) = 11$ et $g (5) = 11$ ✓

$g (x) = x^{2} - 3$ . Antécédents de $46$ : $x^{2} - 3 = 46$ , donc $x^{2} = 49$ : $x = 7$ ou $x = - 7$ .
Antécédent de $- 3$ : $x^{2} = 0$ : seul $0$ convient. Antécédents de $- 8$ : $x^{2} = - 5$ est impossible : aucun.
Antécédents de $2$ : $x^{2} = 5$ , donc $x = \sqrt{5}$ ou $x = - \sqrt{5}$ (environ $2, 24$ et $- 2, 24$ ).

$k (x) = (x - 2) (x + 5)$ . Antécédents de $0$ : $x - 2 = 0$ ou $x + 5 = 0$ , donc $x = 2$ ou $x = - 5$ .

Image ou antécédent ? Dans un problème

La question…	C’est…	On fait…
« Calcule $f (7)$ », « l’image de $7$ »	une image	remplacer $x$ par $7$
« Pour quel $x$ a-t-on $f (x) = 7$ ? », « un antécédent de $7$ »	un antécédent	résoudre $f (x) = 7$

Exemples

Livraison de pizzas : $P (x) = 9, 5 x + 3$ est le prix, en €, de $x$ pizzas, frais de livraison de $3$ € compris.
Prix de $4$ pizzas : $P (4) = 38 + 3 = 41$ € : $41$ est l’image de $4$ .
Nombre de pizzas pour $60$ € : $9, 5 x + 3 = 60$ , donc $9, 5 x = 57$ , donc $x = 6$ : $6$ est l’antécédent de $60$ .
Pour $63, 80$ €, l’équation donnerait $9, 5 x = 60, 8$ , donc $x = 6, 4$ : aucune commande ne coûte exactement ce prix, car $x$ est un nombre entier de pizzas.

Réflexe — la donnée est un nombre de départ (une durée, un nombre d’objets, une longueur) : je calcule une image ; la donnée est un résultat (un prix, une hauteur, une aire) : je cherche un antécédent en résolvant une équation.

Attention — je n’oublie aucun antécédent : $x^{2} = 49$ donne $7$ et $- 7$ . Et l’antécédent de $15$ par $f$ n’est pas $f (15)$ : on cherche le nombre de départ, pas une image. Dans un problème, je garde seulement les valeurs qui ont un sens : une longueur ou une durée est positive, un nombre d’objets est entier.

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Tableau de valeurs et courbe représentative

Ce qu’il faut savoir Un tableau de valeurs de

f

donne, sur la première ligne, des valeurs de

x

et, sur la deuxième ligne, leurs images

f (x)

. De haut en bas, on lit une image ; de bas en haut, on lit les antécédents, en parcourant toute la deuxième ligne. Un tableau ne donne que quelques valeurs : il ne permet pas d’affirmer qu’un nombre absent de la deuxième ligne n’a pas d’antécédent. En revanche, une seule colonne qui ne vérifie pas une formule suffit pour affirmer que cette formule ne convient pas.
Au tableur, la formule commence par = et utilise la cellule du nombre de départ ; on la recopie vers la droite.
Dans un repère, la courbe représentative de

f

est l’ensemble des points de coordonnées

(x; f (x))

: l’abscisse est le nombre de départ, l’ordonnée est son image. Le point

M (a; b)

est sur la courbe si, et seulement si,

f (a) = b

.
Tracer la courbe : je dresse un tableau de valeurs, je place les points, puis je les relie par une courbe régulière, à main levée (à la règle si les points sont alignés).

Exemples

$f (x) = 0, 5 x^{2} - 2$ . Pour $x = - 3$ : $0, 5 \times (- 3)^{2} - 2 = 0, 5 \times 9 - 2 = 2, 5$ . Pour $x = 1$ : $0, 5 \times 1 - 2 = - 1, 5$ . Et ainsi de suite, colonne par colonne :

$x$	$- 3$	$- 2$	$- 1$	$0$	$1$	$2$	$3$
$f (x)$	$2, 5$	$0$	$- 1, 5$	$- 2$	$- 1, 5$	$0$	$2, 5$

Au tableur : les valeurs de $x$ dans les cellules B1 à H1, et dans la cellule B2 la formule =0,5*B1*B1-2, recopiée vers la droite.

On place les sept points, puis on les relie par une courbe régulière :

La courbe de la fonction carré, $x ⟼ x^{2}$ , a la même forme : on l’appelle une parabole. Elle est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées, car $x$ et $- x$ ont la même image, et son point le plus bas est l’origine du repère, car un carré n’est jamais négatif.

Exemples

Le point $A (- 4; 6)$ : $f (- 4) = 0, 5 \times 16 - 2 = 6$ : l’image de $- 4$ est bien l’ordonnée de $A$ , donc $A$ est sur la courbe.

Le point $B (1, 5; - 1)$ : $f (1, 5) = 0, 5 \times 2, 25 - 2 = - 0, 875$ , et $- 0, 875 \neq - 1$ : $B$ n’est pas sur la courbe.

Lire un tableau dans les deux sens

$x$	$- 2$	$0$	$1$	$3$	$6$
$m (x)$	$4$	$- 2$	$0$	$4$	$- 2$

Exemples

L’image de $1$ par $m$ est $0$ . Le nombre $4$ apparaît deux fois sur la deuxième ligne : ses antécédents lus dans le tableau sont $- 2$ et $3$ . De même, $- 2$ a pour antécédents lus $0$ et $6$ .
La formule $m (x) = 2 x - 2$ convient pour $0$ , $1$ et $3$ ( $2 \times 3 - 2 = 4$ ), mais pas pour $- 2$ : $2 \times (- 2) - 2 = - 6$ , et non $4$ . Elle ne correspond donc pas à ce tableau.

Réflexe — pour savoir si un point est sur la courbe, je calcule l’image de son abscisse et je la compare à son ordonnée ; dans un tableau, je lis toute la deuxième ligne avant de donner les antécédents.

Attention — dans $(a; b)$ , l’abscisse vient en premier : le point $(2; 0)$ de la courbe de $f$ dit que $f (2) = 0$ , pas que $f (0) = 2$ . Et un nombre absent du tableau peut quand même avoir des antécédents.

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Lecture graphique : images, antécédents, extremums

Ce qu’il faut savoir Lire l’image de $a$ : je pars de

a

sur l’axe des abscisses, je vais verticalement jusqu’à la courbe, puis horizontalement jusqu’à l’axe des ordonnées, où je lis

f (a)

.
Lire les antécédents de $b$ : je pars de

b

sur l’axe des ordonnées et je trace l’horizontale ; chaque point d’intersection avec la courbe donne un antécédent, son abscisse. Il y a autant d’antécédents que de points d’intersection. C’est aussi résoudre graphiquement l’équation

f (x) = b

.
Le maximum (le minimum) de

f

est l’ordonnée du point le plus haut (le plus bas) de la courbe.
Deux courbes : les solutions de l’équation

f (x) = g (x)

sont les abscisses des points d’intersection des deux courbes ; là où la courbe de

f

est au-dessus de celle de

g

f (x)

est plus grand que

g (x)

.
Une lecture graphique donne une valeur approchée ; quand on a la formule, on vérifie par le calcul.

La courbe bleue représente une fonction $f$ pour $x$ compris entre $- 4$ et $4$ ; la droite verte représente la fonction $g : x ⟼ x$ .

Exemples

Image de $2$ (en rouge) : je descends de $2$ jusqu’à la courbe, puis je lis $- 4$ sur l’axe des ordonnées : $f (2) = - 4$ .

Antécédents de $4$ (en orange) : l’horizontale d’ordonnée $4$ touche la courbe en deux points, d’abscisses $- 2$ et $4$ . Le nombre $4$ a deux antécédents.

L’horizontale d’ordonnée $2$ coupe la courbe trois fois : $2$ a trois antécédents, l’un entre $- 4$ et $- 3$ , un autre entre $- 1$ et $0$ , le dernier entre $3$ et $4$ . On ne peut les lire que de façon approchée.

Le maximum de $f$ est $4$ , atteint pour $x = - 2$ et pour $x = 4$ ; le minimum est $- 4$ , atteint pour $x = - 4$ et pour $x = 2$ . Le nombre $5$ n’a aucun antécédent.

Les courbes de $f$ et de $g$ se coupent en trois points, d’abscisses $- 4$ , $0$ et $4$ : l’équation $f (x) = g (x)$ a trois solutions. Entre $- 4$ et $0$ , la courbe de $f$ est au-dessus de la droite : $f (x)$ est plus grand que $x$ .

Cette fonction a pour formule $f (x) = 0, 25 x^{3} - 3 x$ : le calcul confirme la lecture, $f (2) = 0, 25 \times 8 - 6 = - 4$ et $f (- 2) = 0, 25 \times (- 8) + 6 = 4$ .

Réflexe — pour une image, je vais de l’axe des abscisses vers l’axe des ordonnées ; pour des antécédents, de l’axe des ordonnées vers l’axe des abscisses, en cherchant tous les points d’intersection.

Attention — un antécédent se lit toujours sur l’axe des abscisses, une image sur l’axe des ordonnées. Et le maximum est une valeur de $f (x)$ (ici $4$ ), pas l’abscisse du point où il est atteint.

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Pour aller plus loin

Ensuite — les fonctions dont la courbe est une droite, $f (x) = a x$ et $f (x) = a x + b$ , leur coefficient directeur et leur ordonnée à l’origine : voir Fonctions linéaires et affines.

Les équations utilisées — résoudre une équation du premier degré : voir Équations : premier degré et mise en équation ; la règle du produit nul et les équations $x^{2} = a$ : voir Équations : produit nul et x² = a.

Pour aller plus loin (2ᵈᵉ) — on étudiera le sens de variation d’une fonction (les intervalles où sa courbe monte ou descend), résumé dans un tableau de variations, et l’ensemble des nombres pour lesquels une fonction est définie.

À retenir

« B est en fonction de A » : on choisit A, on obtient B. Pour écrire la formule, je calcule avec un nombre simple, puis je le remplace par la variable ; pour la question inverse, je défais à l’envers.
Une fonction f associe à chaque nombre x une seule image, notée f(x) (« f de x ») ; f : x ⟼ 2x² − 5 se lit « f qui à x associe 2x² − 5 ». Image : je remplace x par le nombre, entre parenthèses.
f(a) = b : b est l’image de a, et a est un antécédent de b. Les antécédents de b sont les solutions de l’équation f(x) = b : il peut y en avoir aucun, un ou plusieurs.
Le point M(a ; b) est sur la courbe de f si, et seulement si, f(a) = b. Un tableau de valeurs se lit dans les deux sens, mais ne donne que quelques valeurs.
Sur une courbe, l’image se lit sur l’axe des ordonnées, les antécédents sur l’axe des abscisses (un par point d’intersection) ; la lecture est approchée.

Questions fréquentes

Que veut dire « une grandeur en fonction d’une autre » ?

Quand la valeur d’une grandeur dépend de celle d’une autre, on dit qu’elle est en fonction de cette autre grandeur. Un kayak loué 4 € pour le gilet plus 9 € par heure coûte P = 9h + 4 euros pour h heures : avec 3 h, P = 31 €. La question inverse se fait en défaisant les opérations : avec 58 €, (58 − 4) ÷ 9 = 6 heures.

Que veut dire la notation f(x) ?

f(x) se lit « f de x » : c’est l’image du nombre x par la fonction f, le nombre obtenu en appliquant f à x. Ce n’est pas une multiplication. Avec f(x) = 2x² − 5, f(3) = 2 × 9 − 5 = 13 : 13 est l’image de 3, et 3 est un antécédent de 13. On écrit aussi f : x ⟼ 2x² − 5.

Comment trouver un antécédent par le calcul ?

On résout l’équation f(x) = b, puis on vérifie. Avec f(x) = 4x − 9, l’antécédent de 15 vérifie 4x − 9 = 15, donc 4x = 24 et x = 6. Un nombre peut avoir plusieurs antécédents ou aucun : avec g(x) = x² − 3, 46 en a deux (7 et −7), et −8 n’en a aucun, car un carré n’est jamais négatif.

Comment savoir si un point est sur la courbe d’une fonction ?

Le point M(a ; b) est sur la courbe représentative de f si, et seulement si, f(a) = b : on calcule l’image de l’abscisse et on la compare à l’ordonnée. Avec f(x) = 0,5x² − 2, f(−4) = 6, donc le point (−4 ; 6) est sur la courbe ; f(1,5) = −0,875, donc le point (1,5 ; −1) n’y est pas.

Comment lire une image et des antécédents sur un graphique ?

Pour l’image de a, on part de a sur l’axe des abscisses, on va verticalement jusqu’à la courbe, puis on lit l’ordonnée. Pour les antécédents de b, on trace l’horizontale d’ordonnée b et on lit l’abscisse de chaque point d’intersection avec la courbe : il peut y en avoir plusieurs, ou aucun. La lecture est approchée : on vérifie par le calcul quand on a la formule.

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