Fiche de révision : pourcentages d’évolution et coefficient multiplicateur

Rappels de 5ᵉ et de 4ᵉ (proportionnalité dans un tableau et sur un graphique, lien avec le théorème de Thalès, quatrième proportionnelle, ratio, échelle, proportions et pourcentage d’une quantité), coefficient multiplicateur d’une hausse ou d’une baisse et fonction linéaire associée, taux d’évolution, valeur de départ, évolutions successives et répétées, évolution réciproque en complément ; problèmes.

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Pourcentages d’évolution et coefficient multiplicateur

Fiche méthode

(Mathématiques 3ᵉ · Organisation et gestion de données, fonctions · Proportionnalité)

La démarche pour traiter une évolution en pourcentage

1. Je repère la valeur de départ, la valeur d’arrivée et le pourcentage : s’agit-il d’une proportion (une partie d’un tout) ou d’une évolution (une hausse, une baisse) ?

2. Je traduis chaque évolution par son coefficient multiplicateur : $1 + \frac{t}{100}$ pour une hausse, $1 - \frac{t}{100}$ pour une baisse.

3. Je calcule : je multiplie pour aller vers l’arrivée, je divise pour remonter au départ, je multiplie les coefficients successifs.

4. Je contrôle (une hausse donne un résultat plus grand) et je conclus par une phrase avec l’unité.

Le réflexe — un seul outil, le coefficient multiplicateur : on multiplie pour avancer, on divise pour revenir, et on n’additionne jamais deux pourcentages d’évolution.

Cas 1 · Proportionnalité, quatrième proportionnelle, ratio et échelle

Réflexe — je vérifie la proportionnalité (quotients égaux), puis produit en croix ; ratio $p : q$ → $p + q$ parts ; échelle $1 / n$ → tout en cm, réel $=$ plan $\times n$ .

Exemple 1. $5$ kg de pommes de terre coûtent $11, 50$ €. Quel est le prix de $8$ kg ?

Produit en croix : $8 \times 11, 50 \div 5 = 92 \div 5 = 18, 40$ €.

Contrôle par l’unité : $11, 50 \div 5 = 2, 30$ € le kg et $8 \times 2, 30 = 18, 40$ €.

Exemple 2. Partager $64$ € dans le ratio $5 : 3$ .

$5 + 3 = 8$ parts de $64 \div 8 = 8$ € : $5 \times 8 = 40$ € et $3 \times 8 = 24$ €. Contrôle : $40 + 24 = 64$ .

Attention — pas de produit en croix sans proportionnalité (un montant fixe l’empêche) ; pour une échelle, les deux longueurs dans la même unité.

Cas 2 · Proportions et pourcentage d’une quantité

Réflexe — proportion $=$ partie $\div$ total ; $t %$ de $Q = Q \times \frac{t}{100}$ ; total $=$ partie $\div \frac{t}{100}$ .

Exemple 1. Quel pourcentage représentent $14$ élèves sur $40$ ?

$14 \div 40 = 0, 35 = 35 %$ .

Exemple 2. $8 %$ des billets d’une tombola, soit $22$ billets, sont gagnants. Combien y a-t-il de billets ?

$22 \div 0, 08 = 275$ billets. Contrôle : $275 \times 0, 08 = 22$ .

Attention — on divise par le total, et $t %$ de $u %$ se multiplie : $\frac{t}{100} \times \frac{u}{100}$ .

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Cas 3 · Coefficient multiplicateur et fonction linéaire

Réflexe — hausse de $t %$ : $\times (1 + \frac{t}{100})$ ; baisse : $\times (1 - \frac{t}{100})$ ; l’évolution est la fonction linéaire $f (x) = c x$ .

Exemple 1. Un forfait de $18$ € augmente de $15 %$ . Nouveau prix ?

Coefficient : $1 + 0, 15 = 1, 15$ . Nouveau prix : $18 \times 1, 15 = 20, 70$ €.

Exemple 2. Quelle évolution traduit la fonction $f (x) = 0, 96 x$ ?

$0, 96 = 1 - 0, 04$ : plus petit que $1$ , c’est une baisse de $4 %$ .

Attention — $\times 1, 05$ (hausse de $5 %$ ) n’est pas $\times 1, 5$ (hausse de $50 %$ ) ; une baisse de $t %$ ne multiplie pas par $\frac{t}{100}$ .

Cas 4 · Taux d’évolution et valeur de départ

Réflexe — taux $= \frac{V_{A} - V_{D}}{V_{D}}$ ; valeur de départ $V_{D} = V_{A} \div$ coefficient multiplicateur.

Exemple 1. Un prix passe de $75$ € à $63$ €. Quel est le taux d’évolution ?

$\frac{63 - 75}{75} = \frac{- 12}{75} = - 0, 16$ : une baisse de $16 %$ .

Exemple 2. Après une hausse de $12 %$ , un article coûte $89, 60$ €. Quel était son prix ?

$89, 60 \div 1, 12 = 80$ €. Contrôle : $80 \times 1, 12 = 89, 60$ .

Attention — on divise par la valeur de départ ; pour remonter, on divise par le coefficient, on ne retire pas le pourcentage.

Cas 5 · Évolutions successives et réciproques

Réflexe — je multiplie les coefficients ; $n$ fois la même évolution : $c^{n}$ ; pour revenir au départ : $\times \frac{1}{c}$ .

Exemple 1. Une baisse de $10 %$ puis une hausse de $30 %$ : quelle évolution globale ?

$0, 9 \times 1, 3 = 1, 17$ : une hausse de $17 %$ (et non de $20 %$ ).

Exemple 2. Après une baisse de $60 %$ , quelle hausse ramène à la valeur de départ ?

Coefficient $0, 4$ ; $1 \div 0, 4 = 2, 5 = 1 + 1, 5$ : une hausse de $150 %$ .

Attention — les pourcentages successifs ne s’additionnent pas, et une baisse ne se compense pas par une hausse du même pourcentage.

Les pièges

Additionner deux évolutions : $+ 50 %$ puis $+ 50 %$ donne $1, 5 \times 1, 5 = 2, 25$ , soit $+ 125 %$ , et non $+ 100 %$ .
Diviser par la valeur d’arrivée pour un taux d’évolution : de $80$ à $60$ , c’est $\frac{- 20}{80} = - 25 %$ , pas $\frac{- 20}{60} \approx - 33 %$ .
Retirer le pourcentage pour remonter au départ : avant une hausse de $25 %$ , un prix de $100$ € valait $100 \div 1, 25 = 80$ €, pas $75$ €.
Écrire $\times 0, 3$ pour une baisse de $30 %$ : c’est $\times 0, 7$ .
Utiliser le produit en croix alors qu’il y a un montant fixe, ou une échelle sans convertir dans la même unité.

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À propos de cette page

Cette fiche méthode donne la démarche pour traiter une évolution en pourcentage : distinguer proportion et évolution, traduire par un coefficient multiplicateur, multiplier pour avancer et diviser pour revenir. Un ou deux exemples corrigés par cas (produit en croix, ratio, pourcentage d’un total, fonction 0,96x, taux d’évolution, baisse puis hausse) et les cinq pièges classiques.

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