Ressources · 3ᵉ · Mathématiques
Fonctions linéaires et affines
Reprendre les acquis de 5e et de 4e (proportionnalité dans un tableau et sur un graphique, coefficient, pourcentages et coefficient multiplicateur) ; fonction linéaire f(x) = ax et proportionnalité (images, antécédents, coefficient à partir d’une valeur, linéarité) ; fonction affine f(x) = ax + b (coefficient directeur, ordonnée à l’origine, cas particuliers, reconnaître, images et antécédents) ; représentation graphique par une droite (tracer, lire a et b, sens de variation, droites parallèles) ; déterminer une fonction affine par deux valeurs et modéliser une situation.
À propos de cette page
Rappels de 5e et de 4e : proportionnalité, graphique et pourcentages
En 5e et en 4e, on a reconnu des situations de proportionnalité dans un tableau, sur un graphique ou avec une formule, et on a calculé des pourcentages avec un coefficient multiplicateur. Ces acquis sont la base des fonctions linéaires : on les reprend ici.
Sur un graphique, une situation est une situation de proportionnalité si et seulement si elle est représentée par des points alignés avec l’origine du repère. Le coefficient est alors l’ordonnée du point d’abscisse 1.
Une droite qui coupe l’axe des ordonnées ailleurs qu’en 0 traduit une partie fixe : ce n’est pas une proportionnalité.
Augmenter de t % revient à multiplier par 1 + t/100 ; diminuer de t % revient à multiplier par 1 − t/100. Ce nombre est le coefficient multiplicateur.
Notation de 3e : si une fonction f associe au nombre x le nombre f(x) (on lit « f de x »), f(x) est l’image de x et x est un antécédent de f(x).
| Masse de café (kg) | 0,25 | 0,6 | 1,5 |
|---|---|---|---|
| Prix (€) | 4,50 | 10,80 | 27 |
4,50 ÷ 0,25 = 18 ; 10,80 ÷ 0,6 = 18 ; 27 ÷ 1,5 = 18. Les quotients sont égaux : le prix est proportionnel à la masse, de coefficient 18 €/kg. Formule : y = 18x.
Pour le tableau 2 → 9 et 5 → 18 : 9 ÷ 2 = 4,5 mais 18 ÷ 5 = 3,6. Les quotients sont différents : pas de proportionnalité.
Une hausse de 6 % : coefficient multiplicateur 1 + 0,06 = 1,06. Une baisse de 18 % : 1 − 0,18 = 0,82.
La cuve A, vide au départ, se remplit de 3 L par minute : la droite passe par l’origine, le volume est proportionnel à la durée. Pour 1 min, on lit 3 L : c’est le coefficient.
La cuve B contient déjà 4 L et se remplit de 2 L par minute : la droite coupe l’axe vertical en 4. Pas de proportionnalité. Les deux droites se croisent en (4 ; 12) : au bout de 4 min, les deux cuves contiennent 12 L (3 × 4 = 12 et 4 + 2 × 4 = 12).
Notation : pour la fonction f définie par f(x) = 2x − 5, l’image de 4 est f(4) = 2 × 4 − 5 = 3 ; un antécédent de −11 est la solution de 2x − 5 = −11, soit x = −3.
Réflexe — pour reconnaître une proportionnalité, je calcule les quotients y ÷ x (tableau) ou je regarde si les points sont alignés avec l’origine (graphique).
Attention — une droite ne suffit pas : il faut qu’elle passe par l’origine. Et une hausse de 6 % multiplie par 1,06, pas par 0,06 (ce serait prendre 6 % de la quantité).
1 / 5
La fonction linéaire f(x) = ax
Une fonction linéaire traduit une situation de proportionnalité : a est le coefficient de proportionnalité. Inversement, toute situation de proportionnalité se modélise par une fonction linéaire.
Pour toute fonction linéaire, f(0) = 0, et pour tout x non nul, : une seule image connue suffit pour trouver a.
Image : on multiplie par a. Antécédent (si a ≠ 0) : on résout ax = y, donc on divise par a.
Augmenter ou diminuer de t % est une fonction linéaire : son coefficient est le coefficient multiplicateur.
Propriétés de linéarité : f(x₁ + x₂) = f(x₁) + f(x₂) et f(kx) = k × f(x).
f(x) = −4x : f(3) = −4 × 3 = −12 ; f(−1,5) = −4 × (−1,5) = 6. Antécédent de 10 : −4x = 10, donc x = 10 ÷ (−4) = −2,5.
f est linéaire et f(5) = 2 : a = 2 ÷ 5 = 0,4. Donc f(x) = 0,4x et f(12) = 0,4 × 12 = 4,8.
Réduire un prix de 20 % : p(x) = 0,8x. Un article à 45 € coûte p(45) = 0,8 × 45 = 36 €. Un article payé 30 € après réduction coûtait 30 ÷ 0,8 = 37,50 €.
Une pompe débite 35 L par minute : le volume pompé en t minutes est V(t) = 35t, fonction linéaire de coefficient 35.
La linéarité
f(x) = 1,2x : f(2) = 2,4 et f(7) = 8,4. Leur somme 2,4 + 8,4 = 10,8 est égale à f(9) = 1,2 × 9 = 10,8, car 2 + 7 = 9. De même, f(14) = 2 × f(7) = 16,8.
Réflexe — pour une fonction linéaire, je cherche d’abord a = image ÷ nombre de départ, puis je multiplie (image) ou je divise (antécédent).
Attention — l’antécédent s’obtient en divisant par a, pas en multipliant : pour 8x, l’antécédent de 40 est 5, pas 320. Et une baisse de 20 % correspond à 0,8x, pas à 0,2x.
2 / 5
La fonction affine f(x) = ax + b
a est le coefficient directeur (le nombre qui multiplie x) et b l’ordonnée à l’origine : b = f(0).
Cas particuliers : si b = 0, f(x) = ax est linéaire ; si a = 0, f(x) = b est constante. Toute fonction linéaire est affine ; l’inverse est faux.
Pour reconnaître une fonction affine, je développe et je réduis l’expression : si elle s’écrit ax + b, la fonction est affine. Si, après réduction, x reste au carré ou au dénominateur, elle n’est ni affine ni linéaire.
Image : je remplace x par le nombre. Antécédent de y : je résous l’équation ax + b = y.
Si b ≠ 0, une fonction affine ne traduit pas une proportionnalité.
f(x) = 3x − 7 : a = 3 et b = −7.
g(x) = 5 − 2x = −2x + 5 : a = −2 et b = 5 (le coefficient directeur n’est pas forcément écrit en premier).
h(x) = −2 : a = 0 et b = −2, fonction constante.
| Expression | Après réduction | Nature |
|---|---|---|
| 4(x − 1) + 3 | 4x − 1 | affine |
| x(x + 5) − x² | 5x | linéaire (donc affine) |
| x² + 1 | x² + 1 | ni l’une ni l’autre |
| ni l’une ni l’autre |
Avec f(x) = 3x − 7 : f(−2) = 3 × (−2) − 7 = −6 − 7 = −13.
Antécédent de 8 par f : 3x − 7 = 8, donc 3x = 15 et x = 5. Vérification : 3 × 5 − 7 = 8 ✓
Une salle de concert se loue 30 € de l’heure plus 15 € de ménage : L(x) = 30x + 15. L(1) = 45 € mais L(2) = 75 €, pas 90 € : 2 h ne coûtent pas le double d’1 h. Pas de proportionnalité, car b = 15 ≠ 0.
Réflexe — j’écris l’expression sous la forme ax + b (en développant si besoin) : a est devant x, avec son signe ; b est le nombre seul.
Attention — dans 5 − 2x, le coefficient directeur est −2, pas 5. Et une fonction constante est affine (a = 0), mais pas linéaire si b ≠ 0.
3 / 5
Représentation graphique : des droites
Un point M(x ; y) est sur la droite si et seulement si y = f(x).
Tracer : deux points suffisent, par exemple (0 ; b) et un point calculé ; un troisième sert de contrôle.
Lire b : c’est l’ordonnée du point où la droite coupe l’axe des ordonnées. Lire a : quand x augmente de 1, f(x) varie de a ; plus généralement, quand x augmente de k, f(x) varie de a × k.
Sens de variation : si a > 0, la fonction est croissante (la droite monte) ; si a < 0, elle est décroissante (la droite descend) ; si a = 0, elle est constante (droite horizontale). Plus a est éloigné de 0, plus la droite est raide.
Si a ≠ 0, la droite coupe l’axe des abscisses au point d’abscisse x tel que f(x) = 0 : c’est l’antécédent de 0.
Deux droites qui ont le même coefficient directeur sont parallèles ; si elles ont aussi la même ordonnée à l’origine, elles sont confondues.
Tracer une droite
Pour f(x) = −0,5x + 3 : f(0) = 3 donne A(0 ; 3) ; f(4) = −2 + 3 = 1 donne B(4 ; 1). Je trace la droite (AB). Contrôle : f(−2) = 1 + 3 = 4, et le point C(−2 ; 4) est bien sur la droite.
Lire a et b sur un graphique
d₂ coupe l’axe des ordonnées en −3 : b = −3. En partant de (0 ; −3), on avance de 2 et on monte de 3 pour arriver en (2 ; 0) : a = 3 ÷ 2 = 1,5. d₂ représente y = 1,5x − 3.
d₁ passe par l’origine et a le même coefficient directeur : elle représente y = 1,5x, et elle est parallèle à d₂.
d₃ coupe l’axe des ordonnées en 2 et descend de 1 quand on avance de 1 : a = −1 et b = 2. Elle représente y = −x + 2 : a < 0, la fonction est décroissante.
Interpréter a dans une situation
Un forfait mobile de 90 Go dont on consomme 6 Go par jour : il reste D(t) = −6t + 90 Go après t jours. a = −6 : la quantité diminue de 6 Go par jour.
Une facture de 400 € fixes plus 0,05 € par pièce fabriquée : C(x) = 0,05x + 400. Chaque pièce de plus coûte 0,05 € ; 1 000 pièces de plus coûtent 0,05 × 1 000 = 50 € de plus.
Réflexe — sur un graphique, je lis b sur l’axe vertical, puis j’avance de 1 (ou de plusieurs carreaux) et je compte de combien la droite monte ou descend.
Attention — si la droite descend, a est négatif. Et deux droites qui ont la même ordonnée à l’origine ne sont pas parallèles : elles se coupent au point (0 ; b).
4 / 5
Déterminer une fonction affine et modéliser
Si l’on connaît deux images f(x₁) et f(x₂), avec x₁ ≠ x₂ : , puis b = f(x₁) − a × x₁. On contrôle avec l’autre valeur.
Une droite qui passe par deux points A et B se traite de la même façon, avec leurs coordonnées.
Modéliser : la partie fixe (abonnement, frais, quantité de départ) donne b ; la partie proportionnelle (prix unitaire, débit, vitesse) donne a, négatif si la quantité diminue.
Comparer deux offres : elles coûtent le même prix quand f(x) = g(x), à l’abscisse du point d’intersection des deux droites ; la moins chère est celle dont la droite est en dessous.
f est affine, f(2) = 1 et f(6) = 11 : a = = 2,5 ; b = 1 − 2,5 × 2 = −4. Donc f(x) = 2,5x − 4. Contrôle : f(6) = 15 − 4 = 11 ✓
Droite passant par A(−1 ; 6) et B(3 ; −2) : a = = −2 ; b = 6 − (−2) × (−1) = 6 − 2 = 4. Elle représente f(x) = −2x + 4.
Modéliser et comparer deux offres
Borne A : 0,40 € par kWh, sans frais. Borne B : 3 € de frais de connexion, puis 0,25 € par kWh. Pour x kWh : A(x) = 0,4x (linéaire) et B(x) = 0,25x + 3 (affine).
Image : 30 kWh coûtent B(30) = 0,25 × 30 + 3 = 10,50 € à la borne B. Antécédent : avec 8 € à la borne B, 0,25x + 3 = 8 donne 0,25x = 5, soit x = 20 kWh.
Même prix : 0,4x = 0,25x + 3, donc 0,15x = 3 et x = 20 kWh, pour 0,4 × 20 = 8 €. C’est le point d’intersection (20 ; 8). Au-delà de 20 kWh, la droite B est en dessous : la borne B est la moins chère.
Réflexe — pour trouver a, je divise la différence des images par la différence des nombres de départ, dans le même ordre ; pour modéliser, je sépare ce qui est payé une fois (b) de ce qui est payé à chaque unité (a).
Attention — les deux différences se font dans le même ordre (B moins A en haut et en bas) et les signes se soignent : 3 − (−1) = 4. Je conclus avec l’unité et le bon sens (une durée positive, un nombre entier de jours…).
5 / 5
Pour aller plus loin
Notion de fonction — la notation f(x), l’image, l’antécédent, le tableau de valeurs et la lecture d’une courbe quelconque : voir Fonctions : image, antécédent, notations.
Équations — chercher un antécédent par une fonction affine, ou le point d’intersection de deux droites, c’est résoudre une équation du premier degré : voir Équations : premier degré et mise en équation.
Pourcentages d’évolution — taux d’évolution, coefficient multiplicateur et évolutions successives (une baisse de 10 % puis une autre de 10 % : 0,9 × 0,9 = 0,81, soit une baisse de 19 %) : voir Pourcentages d’évolution et coefficient multiplicateur.
En seconde — on étudie le signe de ax + b dans un tableau de signes, les inéquations et l’équation réduite d’une droite y = mx + p.
- Proportionnalité : y = k × x ; sur un graphique, des points alignés avec l’origine. Augmenter de t % : multiplier par 1 + t/100 ; diminuer : par 1 − t/100.
- Fonction linéaire f(x) = ax : proportionnalité de coefficient a ; f(0) = 0 et a = f(x) ÷ x pour x ≠ 0.
- Fonction affine f(x) = ax + b : a coefficient directeur, b ordonnée à l’origine (b = f(0)) ; linéaire si b = 0, constante si a = 0.
- La représentation graphique est une droite qui passe par (0 ; b) ; a > 0 : croissante, a < 0 : décroissante ; même a : droites parallèles.
- Deux images connues : a = (f(x₂) − f(x₁)) ÷ (x₂ − x₁), puis b = f(x₁) − a × x₁. Deux offres coûtent pareil quand f(x) = g(x).
Questions fréquentes
Comment reconnaître une situation de proportionnalité sur un graphique ?
Les points doivent être alignés avec l’origine du repère : une droite qui passe par (0 ; 0). Le coefficient est l’ordonnée du point d’abscisse 1. Une cuve qui se remplit de 3 L par minute à partir de 0 L donne une droite par l’origine ; si elle contient déjà 4 L au départ, la droite coupe l’axe vertical en 4 : ce n’est plus une proportionnalité.
Quelle est la différence entre une fonction linéaire et une fonction affine ?
Une fonction linéaire s’écrit f(x) = ax (proportionnalité, droite par l’origine) ; une fonction affine s’écrit f(x) = ax + b. Une fonction linéaire est une fonction affine avec b = 0 ; l’inverse est faux : f(x) = 30x + 15 est affine mais pas linéaire.
Comment trouver le coefficient directeur et l’ordonnée à l’origine ?
On écrit l’expression sous la forme ax + b : a est le nombre devant x, avec son signe, et b le nombre seul, qui vaut f(0). Pour g(x) = 5 − 2x = −2x + 5, a = −2 et b = 5. Attention à l’ordre d’écriture.
Comment lire a et b sur un graphique ?
b est l’ordonnée du point où la droite coupe l’axe des ordonnées. Pour a, on part de ce point, on avance de 1 vers la droite et on compte de combien on monte (a > 0) ou on descend (a < 0). Si on avance de 2 et qu’on monte de 3, a = 3 ÷ 2 = 1,5.
Comment trouver une fonction affine à partir de deux points ?
On calcule a = (f(x₂) − f(x₁)) ÷ (x₂ − x₁), en faisant les deux différences dans le même ordre, puis b = f(x₁) − a × x₁. Avec f(2) = 1 et f(6) = 11 : a = 10 ÷ 4 = 2,5 et b = 1 − 5 = −4, donc f(x) = 2,5x − 4. On contrôle avec l’autre valeur.
Moi c'est Ben, j'ai créé ce site pour aider le plus d'élèves possible, partout en France. Je peux aussi reprendre avec toi ce qui coince en cours particulier : en visio, ou à domicile si tu es à Marseille.
Prof de maths à Marseille · Cours particuliers au collège · Aide aux devoirs