À propos de cette page
Ce cours de mathématiques en troisième sur « Fonctions linéaires et affines » suit le programme officiel de mathématiques de troisième. Il présente les définitions, les propriétés et les méthodes essentielles, accompagnées d'exemples résolus pour bien comprendre. Au programme : Rappel : qu'est-ce qu'une fonction ?, La fonction linéaire $f(x)=ax$, La fonction affine $f(x)=ax+b$, Représentation graphique : des droites. Chaque notion est expliquée pas à pas, puis mise en pratique grâce à des exercices interactifs, un QCM et une évaluation corrigée. Idéal pour réviser à son rythme, combler ses lacunes et progresser, en autonomie ou avec un professeur. Cours rédigé par un professeur particulier à Marseille pour aider les élèves de troisième à réussir en mathématiques.
Au programme
1 · Rappel : qu'est-ce qu'une fonction ?
2 · La fonction linéaire $f(x)=ax$
3 · La fonction affine $f(x)=ax+b$
4 · Représentation graphique : des droites
5 · Le coefficient directeur $a$
6 · Calculer $a$ et $b$ à partir de deux points
7 · Méthode : reconnaître et utiliser une fonction
1Rappel : qu'est-ce qu'une fonction ?
Une fonction $f$ est un procédé qui, à chaque nombre $x$, associe un seul nombre noté $f(x)$, appelé l'image de $x$.
Vocabulaire. On note $f:x\mapsto f(x)$. Le nombre $x$ est l'antécédent, et $f(x)$ est son image. Un antécédent a une seule image, mais une image peut avoir plusieurs antécédents.
Exemple. Soit $f(x)=3x-2$. L'image de $4$ est $f(4)=3\times 4-2=10$. On dit que l'image de $4$ est $10$, et que $4$ est un antécédent de $10$.
Dans ce chapitre, on étudie deux familles très importantes de fonctions : les fonctions linéaires et les fonctions affines.
2La fonction linéaire $f(x)=ax$
Définition. Une fonction linéaire est une fonction de la forme $f(x)=ax$, où $a$ est un nombre fixé appelé coefficient. Elle traduit une situation de proportionnalité : $a$ est le coefficient de proportionnalité.
Exemple. Si $1$ kg de pommes coûte $2{,}50$ €, alors le prix de $x$ kg est $f(x)=2{,}5\,x$. C'est une fonction linéaire de coefficient $2{,}5$.
Pour calculer une image, on remplace $x$ par sa valeur :
Exemple. Avec $f(x)=2{,}5x$ : $f(3)=2{,}5\times 3=7{,}5$ et $f(10)=2{,}5\times 10=25$.
Astuce. Pour trouver l'antécédent d'un nombre par une fonction linéaire, on divise par $a$. Si $f(x)=2{,}5x=20$, alors $x=\dfrac{20}{2{,}5}=8$.
3La fonction affine $f(x)=ax+b$
Définition. Une fonction affine est une fonction de la forme $f(x)=ax+b$, où $a$ et $b$ sont des nombres fixés. $a$ est le coefficient directeur et $b$ est l'ordonnée à l'origine.
La fonction linéaire est un cas particulier de fonction affine : c'est le cas où $b=0$.
| Forme | Nom | Proportionnalité ? |
|---|
| $f(x)=ax$ | linéaire | Oui |
| $f(x)=ax+b$ avec $b\neq 0$ | affine (non linéaire) | Non |
Exemple. Un abonnement coûte $15$ € par mois plus $5$ € de frais d'inscription. Le coût pour $x$ mois est $f(x)=15x+5$. Ici $a=15$ et $b=5$. Pour $4$ mois : $f(4)=15\times 4+5=65$ €.
Attention ! Avec $b\neq 0$, ce n'est pas de la proportionnalité : $f(2)=35$ mais $f(4)=65$, et $65\neq 2\times 35$. Doubler $x$ ne double pas $f(x)$.
4Représentation graphique : des droites
Propriété. Dans un repère, la représentation graphique d'une fonction affine $f(x)=ax+b$ est une droite. Pour une fonction linéaire $f(x)=ax$, cette droite passe par l'origine $O(0\,;\,0)$.
Astuce. Une droite est entièrement déterminée par deux points. Pour la tracer, on calcule deux images, on place les deux points puis on trace la droite qui les relie.
Exemple. Pour tracer $g(x)=2x+3$ : $g(0)=3$ donne le point $(0\,;\,3)$ et $g(1)=5$ donne le point $(1\,;\,5)$. On relie ces deux points.
5Le coefficient directeur $a$
Sens de $a$. Le coefficient directeur $a$ donne la pente de la droite : quand $x$ augmente de $1$, l'image $f(x)$ varie de $a$.
| Signe de $a$ | Sens de variation | Allure de la droite |
|---|
| $a>0$ | croissante | monte de gauche à droite |
| $a<0$ | décroissante | descend de gauche à droite |
| $a=0$ | constante | droite horizontale |
Sens de $b$. L'ordonnée à l'origine $b$ est l'ordonnée du point où la droite coupe l'axe des ordonnées : ce point est $(0\,;\,b)$, car $f(0)=a\times 0+b=b$.
Exemple. Pour $f(x)=-3x+4$ : $a=-3<0$ donc la fonction est décroissante, et la droite coupe l'axe des ordonnées en $(0\,;\,4)$.
6Calculer $a$ et $b$ à partir de deux points
Formule du coefficient directeur. Si la droite passe par les points $A(x_A\,;\,y_A)$ et $B(x_B\,;\,y_B)$ (avec $x_A\neq x_B$), alors $$a=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}.$$
Exemple. Une fonction affine vérifie $f(1)=5$ et $f(3)=11$. On a les points $A(1\,;\,5)$ et $B(3\,;\,11)$.
Coefficient directeur : $a=\dfrac{11-5}{3-1}=\dfrac{6}{2}=3$.
Ordonnée à l'origine : on remplace dans $f(x)=3x+b$ avec $f(1)=5$ : $3\times 1+b=5$, donc $b=2$.
Conclusion : $f(x)=3x+2$.
Astuce. Pour une fonction linéaire $f(x)=ax$, un seul point (autre que l'origine) suffit : $a=\dfrac{f(x)}{x}$. Si $f(4)=10$, alors $a=\dfrac{10}{4}=2{,}5$.
7Méthode : reconnaître et utiliser une fonction
Méthode. Face à un énoncé : repérer la forme $ax$ ou $ax+b$, identifier $a$ et $b$, puis calculer images et antécédents.
Attention ! Pour trouver un antécédent d'un nombre $k$ par $f(x)=ax+b$, on résout l'équation $ax+b=k$. Exemple : antécédent de $17$ par $f(x)=3x+2$ : $3x+2=17$ donne $3x=15$ puis $x=5$.
★À retenir
En bref :
• Fonction linéaire : $f(x)=ax$ (proportionnalité, droite passant par l'origine).
• Fonction affine : $f(x)=ax+b$ (droite quelconque).
• $a$ = coefficient directeur (pente, sens de variation) ; $b$ = ordonnée à l'origine (point $(0\,;\,b)$).
• $a=\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}$ à partir de deux points.
• Image : on remplace $x$. Antécédent : on résout $ax+b=k$.