Quelle est la différence entre une fonction linéaire et une fonction affine ?

Une fonction linéaire s'écrit $f(x)=ax$ et traduit une situation de proportionnalité ; sa droite passe par l'origine. Une fonction affine s'écrit $f(x)=ax+b$ : si $b\neq 0$, ce n'est pas une situation de proportionnalité et sa droite ne passe pas par l'origine.

Que représente le coefficient directeur $a$ ?

Le coefficient directeur $a$ mesure la pente de la droite : quand $x$ augmente de $1$, l'image augmente de $a$. Si $a>0$ la fonction est croissante, si $a<0$ elle est décroissante.

Comment calculer le coefficient directeur $a$ à partir de deux points ?

Si la droite passe par $A(x_A\,;\,y_A)$ et $B(x_B\,;\,y_B)$, alors $a=\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}$.

Collège · 3ᵉ · Mathématiques

Fonctions linéaires et affines

Q: Comment calculer le coefficient directeur $a$ à partir de deux points ?

Si la droite passe par $A(x_A\,;\,y_A)$ et $B(x_B\,;\,y_B)$, alors $a=\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}$.

Coefficient directeur, ordonnée à l'origine et représentation graphique (programme de 3e)

À propos de cette page

Ce cours de mathématiques en troisième sur « Fonctions linéaires et affines » suit le programme officiel de mathématiques de troisième. Il présente les définitions, les propriétés et les méthodes essentielles, accompagnées d'exemples résolus pour bien comprendre. Au programme : Rappel : qu'est-ce qu'une fonction ?, La fonction linéaire f(x) = ax, La fonction affine f(x) = ax + b, Représentation graphique : des droites. Chaque notion est expliquée pas à pas, puis mise en pratique grâce à des exercices interactifs, un QCM et une évaluation corrigée. Idéal pour réviser à son rythme, combler ses lacunes et progresser, en autonomie ou avec un professeur. Cours rédigé par un professeur particulier à Marseille pour aider les élèves de troisième à réussir en mathématiques.

Rappel : qu'est-ce qu'une fonction ?

Vocabulaire. Une fonction $f$ associe à chaque nombre $x$ un unique nombre $f(x)$, son image. Si $f(a) = b$, alors $a$ est un antécédent de $b$. La courbe représentative est l'ensemble des points $(x\,;\,f(x))$.

Exemple. Pour $f(x) = 2x - 5$ : $f(4) = 3$ (image de $4$), et l'antécédent de $-11$ s'obtient en résolvant $2x - 5 = -11$, soit $x = -3$.

Ce chapitre étudie les fonctions les plus simples, celles dont la courbe est une droite : les fonctions linéaires et affines.

La fonction linéaire f(x) = ax

Définition. Une fonction linéaire est une fonction de la forme $f(x) = ax$, où $a$ est un nombre fixé appelé coefficient. Elle traduit une situation de proportionnalité : $a$ est le coefficient de proportionnalité.

Exemples. $f(x) = -4x$ : $f(3) = -12$, $f(-1{,}5) = 6$. Réduire un prix de $20\,\%$ revient à appliquer la fonction linéaire $p(x) = 0{,}8x$.

Propriété. Si $f$ est linéaire, $f(0) = 0$ et $\dfrac{f(x)}{x} = a$ pour tout $x \neq 0$ : une seule valeur suffit pour trouver $a$. Si $f(5) = 2$, alors $a = \dfrac{2}{5} = 0{,}4$ et $f(12) = 4{,}8$.

La fonction affine f(x) = ax + b

Définition. Une fonction affine est une fonction de la forme $f(x) = ax + b$, où $a$ et $b$ sont des nombres fixés. $a$ est le coefficient directeur, $b$ l'ordonnée à l'origine (c'est $f(0)$).

Exemples. $f(x) = 3x - 7$ : $a = 3$, $b = -7$. $g(x) = 5 - 2x$ : $a = -2$, $b = 5$ (attention à l'ordre). $h(x) = -2$ : $a = 0$, $b = -2$ (fonction constante, affine particulière).

Linéaire	$f(x) = ax$ : affine avec $b = 0$. Toute fonction linéaire est affine, pas l'inverse.
Ni l'une ni l'autre	$x^2 + 1$, $\dfrac{3}{x}$ : $x$ n'apparaît pas seulement multiplié par un nombre.

Attention ! Une fonction affine avec $b \neq 0$ ne traduit pas une proportionnalité : $f(2x) \neq 2f(x)$. Par exemple $f(x) = 30x + 15$ (location : caution fixe + prix horaire) : $2$ h ne coûtent pas le double d'$1$ h.

Représentation graphique : des droites

Propriété. La représentation graphique d'une fonction affine $f(x) = ax + b$ est une droite qui coupe l'axe des ordonnées au point $(0\,;\,b)$. Pour une fonction linéaire, la droite passe par l'origine.

Tracer	Deux points suffisent : $(0\,;\,b)$ et un autre point calculé, par exemple $(2\,;\,f(2))$. Un troisième sert de contrôle.
Lire	$b$ se lit à l'intersection avec l'axe vertical ; $a$ se lit en avançant de $1$ vers la droite et en comptant de combien on monte ou descend.

Droites parallèles. Deux droites de même coefficient directeur sont parallèles : $y = 1{,}5x$ et $y = 1{,}5x - 3$ ci-dessus.

Le coefficient directeur a et le sens de variation

Sens de $a$. Quand $x$ augmente de $1$, $f(x)$ varie de $a$ : $a$ est la pente de la droite. Plus $|a|$ est grand, plus la droite est raide.

$a \gt 0$	fonction croissante, droite qui monte
$a \lt 0$	fonction décroissante, droite qui descend
$a = 0$	fonction constante, droite horizontale

Exemple. Pour $h(t) = -6t + 90$ (hauteur en mm d'une bougie qui fond), $a = -6$ : la hauteur diminue de $6$ mm par heure. Pour $C(x) = 0{,}05x + 400$ (facture : $400$ € fixes plus $0{,}05$ € l'unité), chaque unité coûte $0{,}05$ €.

Accroissements. Pour deux nombres $x_1$ et $x_2$ : $f(x_2) - f(x_1) = a \times (x_2 - x_1)$. L'accroissement des images est proportionnel à celui des $x$.

Déterminer a et b à partir de deux points

Formule. Si $f$ est affine et si l'on connaît $f(x_1)$ et $f(x_2)$ (avec $x_1 \neq x_2$) : $$a = \frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1}$$ puis on calcule $b$ avec l'une des deux valeurs : $b = f(x_1) - a \times x_1$.

Exemple. $f(2) = 1$ et $f(6) = 11$ : $a = \dfrac{11 - 1}{6 - 2} = \dfrac{10}{4} = 2{,}5$ ; $b = 1 - 2{,}5 \times 2 = -4$ ; donc $f(x) = 2{,}5x - 4$. Contrôle : $f(6) = 15 - 4 = 11$ ✓.

Avec des points d'une droite. Droite passant par $A(-1\,;\,6)$ et $B(3\,;\,-2)$ : $a = \dfrac{-2 - 6}{3 - (-1)} = \dfrac{-8}{4} = -2$ ; $b = 6 - (-2) \times (-1) = 4$ ; $f(x) = -2x + 4$.

Attention ! Mets les deux différences dans le même ordre (B moins A en haut et en bas) et soigne les signes : $3 - (-1) = 4$.

Méthode : modéliser une situation par une fonction affine

1. Identifier	la partie fixe ($b$ : abonnement, déplacement, quantité de départ) et la partie proportionnelle ($a$ : prix unitaire, vitesse, débit).
2. Écrire	$f(x) = ax + b$ avec le bon signe de $a$ (négatif si la quantité diminue).
3. Utiliser	image → calcul ; antécédent → équation ; comparaison de deux offres → équation $f(x) = g(x)$.
4. Conclure	avec l'unité et le bon sens (nombre entier de jours, valeur positive…).

Exemple — le VTC. Une course coûte $3$ € de prise en charge plus $1{,}25$ € par km : $f(x) = 1{,}25x + 3$. Pour $8$ km : $f(8) = 13$ €. Pour $23$ € : $1{,}25x + 3 = 23$ donne $x = 16$ km. Un concurrent facture $1{,}6$ € par km sans frais fixes, $g(x) = 1{,}6x$ : les deux coûtent pareil quand $1{,}6x = 1{,}25x + 3$, soit $x \approx 8{,}6$ km ; au-delà, le premier est moins cher.

Graphiquement, deux offres coûtent le même prix à l'abscisse du point d'intersection des deux droites ; l'offre la moins chère est celle dont la droite est en dessous.

En bref

Linéaire : $f(x) = ax$, proportionnalité, droite passant par l'origine ; $a = \dfrac{f(x)}{x}$.
Affine : $f(x) = ax + b$ ; $a$ = coefficient directeur (pente), $b = f(0)$ = ordonnée à l'origine ; droite coupant l'axe vertical en $(0\,;\,b)$.
$a \gt 0$ croissante, $a \lt 0$ décroissante, $a = 0$ constante ; même $a$ ⟹ droites parallèles.
Deux points connus : $a = \dfrac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1}$, puis $b = f(x_1) - a x_1$.
Situation « fixe + proportionnel » → affine ; comparer deux offres → résoudre $f(x) = g(x)$.

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