À propos de cette page
Ce cours de mathématiques en troisième sur « Fonctions linéaires et affines » suit le programme officiel de mathématiques de troisième. Il présente les définitions, les propriétés et les méthodes essentielles, accompagnées d'exemples résolus pour bien comprendre. Au programme : Qu'est-ce qu'une fonction ?, La fonction linéaire f(x) = ax, Linéaire = proportionnalité, Les pourcentages, des fonctions linéaires. Chaque notion est expliquée pas à pas, puis mise en pratique grâce à des exercices interactifs, un QCM et une évaluation corrigée. Idéal pour réviser à son rythme, combler ses lacunes et progresser, en autonomie ou avec un professeur. Cours rédigé par un professeur particulier à Marseille pour aider les élèves de troisième à réussir en mathématiques.
Au programme
1 · Notion de fonction : image et antécédent
2 · La fonction linéaire f(x) = ax
3 · Linéaire = proportionnalité
4 · Les pourcentages comme fonction linéaire
5 · Représenter une linéaire : droite par l'origine
6 · Le coefficient directeur
7 · La fonction affine f(x) = ax + b
8 · Représenter une affine : une droite
9 · Déterminer une fonction (a et b)
10 · Antécédents & lecture graphique
1Qu'est-ce qu'une fonction ?
Une fonction, c'est une machine à calculer : on lui donne un nombre (on l'appelle x), elle applique toujours la même règle et renvoie un seul nombre en sortie. On note cette sortie f(x), qui se lit « f de x ».
Vocabulaire. Pour la fonction définie par
f(x) = 3x + 1 :
- x est l'antécédent (le nombre qu'on entre dans la machine) ;
- f(x) est l'image de x (le nombre qui sort).
Pour calculer une image, on remplace x par la valeur dans l'expression. On dit qu'on « calcule l'image de 2 par f » :
Exemple. Avec f(x) = 3x + 1 : f(2) = 3 × 2 + 1 = 6 + 1 = 7. L'image de 2 est 7. On peut aussi écrire f(0) = 3 × 0 + 1 = 1 et f(−2) = 3 × (−2) + 1 = −5.
💡 Une image se calcule toujours : il suffit de remplacer. Trouver un antécédent est l'opération inverse (on connaît la sortie, on cherche l'entrée), c'est souvent une équation à résoudre.
⚠️ Ne confonds pas image et antécédent. « l'image de 2 » → on remplace x par 2. « un antécédent de 7 » → on cherche x tel que f(x) = 7.
2La fonction linéaire f(x) = ax
Définition. Une fonction linéaire est une fonction de la forme f(x) = a × x (souvent écrit ax), où a est un nombre fixé appelé le coefficient.
Exemples : f(x) = 5x (ici a = 5), g(x) = −2x (a = −2), h(x) = 12x (a = 12).
Pour calculer une image, on multiplie simplement l'antécédent par a :
Exemple. Avec f(x) = 5x : f(3) = 5 × 3 = 15 · f(0) = 5 × 0 = 0 · f(−4) = 5 × (−4) = −20.
💡 Pour toute fonction linéaire, f(0) = 0 : si on entre 0, il sort 0. C'est le signe reconnaissable d'une fonction linéaire.
⚠️ f(x) = 5x et f(x) = 5x + 2 ne sont pas linéaires de la même façon : la deuxième a un « +2 » en plus, ce n'est plus une fonction linéaire (on verra que c'est une fonction affine).
3Linéaire = proportionnalité
Une fonction linéaire f(x) = ax traduit exactement une situation de proportionnalité : la sortie est proportionnelle à l'entrée, et le coefficient a est le coefficient de proportionnalité.
À retenir. « grandeur de sortie = a × grandeur d'entrée ». Le coefficient a est ce par quoi on multiplie pour passer de x à f(x).
Exemple concret : un cahier coûte 3 €. Le prix de x cahiers est P(x) = 3x. C'est une fonction linéaire de coefficient 3.
| Nombre de cahiers x | 1 | 2 | 5 | 10 |
| Prix P(x) = 3x | 3 € | 6 € | 15 € | 30 € |
On passe de la ligne du haut à celle du bas en multipliant par 3 à chaque fois : c'est bien de la proportionnalité.
💡 Retrouver le coefficient à partir d'un tableau de proportionnalité : a = une valeur de sortiela valeur d'entrée correspondante. Ici a = 62 = 155 = 3.
4Les pourcentages, des fonctions linéaires
Prendre un pourcentage d'un nombre, c'est appliquer une fonction linéaire. En effet, « t % de x » se calcule par f(x) = t100 × x.
Règle. Prendre
t % d'un nombre revient à le multiplier par le coefficient
t100.
- 15 % → coefficient 15100 = 0,15 ·
f(x) = 0,15 x
- 50 % → coefficient 0,5 · 25 % → coefficient 0,25
Exemple. 15 % de 80 € : f(80) = 0,15 × 80 = 12 €.
Augmenter ou diminuer en pourcentage
Une hausse ou une baisse de t % est aussi une fonction linéaire, avec un coefficient multiplicateur :
- Augmenter de 20 % : on multiplie par
1 + 0,20 = 1,2 → f(x) = 1,2 x
- Diminuer de 20 % : on multiplie par
1 − 0,20 = 0,8 → f(x) = 0,8 x
⚠️ Augmenter de 20 % puis baisser de 20 % ne ramène pas au départ ! On multiplie par 1,2 puis par 0,8, soit par 0,96 : il reste 96 % (on a perdu 4 %).
5Représenter une fonction linéaire : une droite par l'origine
Propriété. La représentation graphique d'une fonction linéaire f(x) = ax est une droite qui passe par l'origine O du repère (le point (0 ; 0)).
Pour la tracer, il suffit de deux points ; l'origine en donne déjà un, il reste à en calculer un seul :
Méthode pas-à-pas (tracer f(x) = 2x).
- 1) L'origine O(0 ; 0) est toujours sur la droite.
- 2) Je choisis une valeur simple, par ex. x = 3 : f(3) = 2 × 3 = 6 → point A(3 ; 6).
- 3) Je place O et A, puis je trace la droite (OA).
💡 Plus a est grand, plus la droite « monte » vite. Si a > 0 la droite monte ; si a < 0 elle descend ; si a = 0 c'est l'axe horizontal.
6Le coefficient directeur d'une fonction linéaire
Le nombre a s'appelle aussi le coefficient directeur de la droite : il mesure sa pente (combien elle monte ou descend).
Lecture graphique. Quand on avance de
+1 sur l'axe des x (horizontalement), la droite monte de
a sur l'axe des y (verticalement). Donc :
a = déplacement verticaldéplacement horizontal
Exemple. Si en avançant de 2 vers la droite la droite monte de 6, alors a = 62 = 3 : la fonction est f(x) = 3x.
⚠️ Si la droite descend quand on va vers la droite, le coefficient est négatif. Une descente de 4 pour 2 avancés donne a = −42 = −2.
7La fonction affine f(x) = ax + b
Définition. Une
fonction affine est une fonction de la forme
f(x) = ax + b, où
a et
b sont deux nombres fixés :
- a est le coefficient directeur (la pente) ;
- b est l'ordonnée à l'origine (la valeur de f(0)).
Exemples : f(x) = 2x + 3 (a = 2, b = 3), g(x) = −x + 5 (a = −1, b = 5), h(x) = 4x (a = 4, b = 0).
💡 Une fonction linéaire est juste une fonction affine avec b = 0. Et si a = 0, la fonction f(x) = b est constante (elle renvoie toujours b).
On calcule une image en remplaçant x, comme toujours :
Exemple. Avec f(x) = 2x + 3 : f(0) = 3 · f(4) = 2 × 4 + 3 = 11 · f(−1) = 2 × (−1) + 3 = 1.
⚠️ Une fonction affine n'est pas proportionnelle (sauf si b = 0) : f(0) = b ≠ 0, et le tableau ne se remplit pas en multipliant toujours par le même nombre.
8Représenter une fonction affine : une droite
Propriété. La représentation graphique de f(x) = ax + b est une droite. Elle coupe l'axe des ordonnées au point (0 ; b), et sa pente vaut a.
Pour la tracer, on calcule l'image de deux valeurs de x, on place les deux points, on trace la droite :
Méthode pas-à-pas (tracer f(x) = 2x − 1).
- 1) x = 0 : f(0) = −1 → point A(0 ; −1) (c'est l'ordonnée à l'origine b).
- 2) x = 3 : f(3) = 2 × 3 − 1 = 5 → point B(3 ; 5).
- 3) Je place A et B et je trace la droite (AB).
💡 Le point où la droite coupe l'axe vertical te donne directement b ; pour a, on lit de combien la droite monte quand on avance de 1.
9Déterminer une fonction (trouver a et b)
Fonction linéaire : un seul point suffit (en plus de O)
Si on sait que f(4) = 12 pour une fonction linéaire f(x) = ax, alors a = 124 = 3, donc f(x) = 3x.
Fonction affine : deux informations, deux étapes
Méthode. Connaissant deux images, par ex.
f(1) = 5 et
f(3) = 11 :
- 1) Coefficient directeur : a = f(3) − f(1)3 − 1 = 11 − 53 − 1 = 62 = 3.
- 2) Ordonnée à l'origine : on remplace dans f(x) = 3x + b avec un point connu. f(1) = 5 donne 3 × 1 + b = 5, donc b = 2.
- 3) Conclusion : f(x) = 3x + 2. (Vérification : f(3) = 3 × 3 + 2 = 11 ✓.)
Formule du coefficient directeur à partir de deux points A(x₁ ; y₁) et B(x₂ ; y₂) :
a = y₂ − y₁x₂ − x₁
💡 Toujours vérifier à la fin en recalculant une image connue : c'est le meilleur moyen d'éviter une erreur de signe.
10Trouver un antécédent & récapitulatif
Trouver un antécédent (résoudre une équation)
Trouver l'antécédent de 17 par f(x) = 2x + 3, c'est résoudre f(x) = 17 :
2x + 3 = 17 → 2x = 17 − 3 = 14 → x = 142 = 7
L'antécédent de 17 est donc 7. (Vérification : f(7) = 2 × 7 + 3 = 17 ✓.)
Lire graphiquement
- Image de x : on monte depuis x sur l'axe horizontal jusqu'à la droite, puis on lit la hauteur (y).
- Antécédent de y : on part de y sur l'axe vertical, on rejoint la droite, puis on lit le x en dessous.
| Type | Forme | f(0) | Graphique |
|---|
| Linéaire | f(x) = ax | 0 | droite par l'origine |
| Affine | f(x) = ax + b | b | droite coupant l'axe y en b |
| Constante | f(x) = b | b | droite horizontale |
🎓 Récap express : image = on remplace x ; antécédent = on résout f(x) = … · linéaire f(x)=ax : proportionnalité, droite par O, f(0)=0 · pourcentage t % = ×t100 · affine f(x)=ax+b : droite, a = pente, b = ordonnée à l'origine · a = y₂−y₁x₂−x₁ · toujours vérifier en recalculant une image.