Rappels de 5e et de 4e (une grandeur en fonction d’une autre, formule, programme de calcul, question inverse, image et antécédent, proportionnalité) ; notation f(x) et f : x ⟼ …, calcul d’images ; antécédents par le calcul (équation du premier degré, carré, produit nul) ; tableau de valeurs et courbe représentative, point qui appartient à une courbe ; lecture graphique d’images, d’antécédents, de maximum et de minimum, résolution graphique d’une équation.
À propos de cette page
Six problèmes corrigés où une fonction modélise une situation : une trottinette en libre-service, un rectangle qui s’allonge, une fusée à eau, les températures d’une journée, deux bougies qui se consument et un rectangle de périmètre 20 cm dont on cherche la plus grande aire.
6 problèmes, du plus simple au plus difficile. Écris tes réponses, puis « Vérifier ».
Résoudre un problème : la méthode
Je lis l’énoncé et je repère la fonction : quelle est la grandeur de départ (la variable) et celle qu’on obtient (l’image) ?
J’écris la formule si elle n’est pas donnée, en faisant d’abord le calcul avec un nombre simple.
Je choisis : on me donne la grandeur de départ → je calcule une image ; on me donne le résultat → je cherche un antécédent en résolvant une équation, ou par lecture sur le tableau ou le graphique.
Je vérifie que la réponse a un sens (une durée positive, une longueur possible), puis je réponds par une phrase, avec l’unité.
Problème 1 · La trottinette électrique★★★Facile
Une trottinette électrique en libre-service coûte € pour le déverrouillage, puis € par minute. On note le prix, en €, d’un trajet de minutes.
1. Expression de :
Pour min : . Donc .
2. Prix d’un trajet de minutes : €
€ : est l’image de .
3. Un trajet a coûté €. Sa durée : min
On cherche l’antécédent de : , donc , donc minutes.
4. Combien coûte un trajet deux fois plus long que celui de la question précédente ? €
Le trajet dure min : €, et non € : le déverrouillage ne se paie qu’une fois, le prix n’est pas proportionnel à la durée.
Problème 2 · Le rectangle qui s’allonge★★★Facile
Un rectangle a pour largeur cm et pour longueur cm. On note son aire, en cm².
1. Expression développée de :
.
2. cm²
: le rectangle mesure cm sur cm.
3. cm²
.
4. En essayant les nombres entiers , , …, trouve la largeur pour laquelle l’aire vaut cm² : cm
, : la largeur est cm (le rectangle mesure cm sur cm).
Problème 3 · La fusée à eau★★★Moyen
On lance une fusée à eau verticalement. Sa hauteur, en mètres, secondes après le lancer, est . On admet que la fusée atteint sa hauteur maximale au bout de secondes.
1. Hauteur au bout de s : m
m.
2. Hauteur maximale : m
m.
3. Instants où la fusée est au sol, dans l’ordre croissant : ; s
On cherche les antécédents de : , produit nul pour (le départ) ou (le retour au sol).
4. Calcule et . Combien d’antécédents le nombre a-t-il par ?
et : la fusée passe à m en montant et en redescendant. a deux antécédents, et .
Problème 4 · Les températures de la journée★★★Moyen
Le tableau donne la température , en °C, relevée à l’heure au cours d’une journée.
(heure)
(°C)
1. Image de par : °C
Dans la colonne de , on lit : à h, il fait °C.
2. Antécédents de , dans l’ordre croissant : ;
apparaît sous et sous : il fait °C à h et à h.
3. Hausse de température entre h et l’heure la plus chaude du tableau : °C
La plus grande valeur est °C, à h ; à h, il fait °C : °C.
4. Combien d’antécédents du nombre peut-on lire dans le tableau ?
n’apparaît pas sur la deuxième ligne : on ne lit aucun antécédent dans le tableau. Pourtant, il a sûrement fait °C entre h et h (la température passe de à °C) : un tableau ne dit rien entre deux colonnes.
Problème 5 · Les deux bougies★★★Difficile
On allume deux bougies en même temps. La bougie A mesure cm et raccourcit de cm par heure ; la bougie B mesure cm et raccourcit de cm par heure. Au bout de heures, leurs hauteurs, en cm, sont et .
1. cm
cm.
2. cm
cm : la bougie A est encore la plus haute.
3. Au bout de combien d’heures les deux bougies ont-elles la même hauteur ? h
On résout : , donc , donc . Vérification : et cm. Sur un graphique, c’est l’abscisse du point d’intersection des deux droites.
4. Au bout de combien d’heures la bougie A est-elle entièrement consumée ? h
On cherche l’antécédent de par : , donc heures.
Problème 6 · Le rectangle de périmètre 20 cm★★★Difficile
Un rectangle a un périmètre de cm. Sa largeur est cm, sa longueur cm, et son aire, en cm², est .
1. cm²
cm².
2. cm²
cm² : c’est le même rectangle, tourné. Deux nombres différents ont la même image.
3. Antécédents de , dans l’ordre croissant : ;
et .
4. En complétant un tableau de valeurs pour , et , trouve la plus grande aire parmi ces valeurs : cm²
, , : la plus grande est cm², pour le carré de côté cm.
5. La largeur et la longueur doivent être positives : est compris entre et cm
Il faut et , soit : seules les valeurs de comprises entre et , ces deux valeurs exclues, ont un sens. Pour , la longueur serait nulle.
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