Fonctions : image, antécédent, notations

Calcule avec la formule, en respectant les priorités.

1. Avec $L=2,5\times n+4$, pour $n=6$ : $L=$
   $2,5\times 6+4=15+4=19$ : la multiplication passe avant l’addition.
2. Avec $V=120-15\times t$, pour $t=3$ : $V=$
   $120-15\times 3=120-45=75$.
3. Avec $T=18-0,5\times h$, pour $h=7$ : $T=$
   $18-0,5\times 7=18-3,5=14,5$ : on multiplie avant de soustraire.

Question inverse ou formule à écrire.

1. Un traiteur facture $30$ € de livraison, puis $12$ € par personne : $P=12\times n+30$. Pour $246$ €, il y a personnes
   On défait à l’envers : $246-30=216$, puis $216÷12=18$. Vérification : $12\times 18+30=216+30=246$.
2. Programme : « choisir un nombre, le multiplier par $3$, puis soustraire $8$ ». Le nombre de départ qui donne $25$ :
   On défait à l’envers : $25+8=33$, puis $33÷3=11$. Vérification : $3\times 11-8=25$.
3. Sur une étagère, il y a déjà $24$ cm de dictionnaires ; on ajoute $n$ livres de $3$ cm d’épaisseur. Épaisseur totale : $E=$ $n+$
   Avec $2$ livres : $3\times 2+24$. On remplace $2$ par $n$ : $E=3n+24$.

Programme : « Choisir un nombre ; le multiplier par $4$ ; soustraire au résultat le carré du nombre choisi. »

1. Résultat pour $-3$ :
   $4\times (-3)=-12$ et $(-3{)}^2=9$, donc $-12-9=-21$.
2. En partant de $x$, le résultat s’écrit $R=$ $x-x^2$
   On multiplie par $4$ : $4x$ ; on soustrait le carré : $R=4x-x^2$.
3. Le nombre de départ, non nul, qui donne $0$ :
   $4x-x^2=x(4-x)$ : ce produit vaut $0$ pour $x=0$ ou $x=4$. Le nombre non nul est $4$ : $4\times 4-16=0$.
4. (a) $d=4t+1$ ; (b) $d=4t$ ; (c) $d=t^2$. Lettre de la seule situation de proportionnalité :
   Seule $d=4t$ s’écrit « coefficient × $t$ » : ses points sont alignés avec l’origine. Pour (a), $t=0$ donne $1$ ; pour (c), $t=1$ donne $1$ et $t=2$ donne $4$, pas le double.

On donne $f(x)=4x-3$. Calcule les images demandées.

1. $f(2)=$
   $f(2)=4\times 2-3=8-3=5$.
2. $f(0)=$
   $f(0)=4\times 0-3=-3$.
3. $f(-1,5)=$
   $f(-1,5)=4\times (-1,5)-3=-6-3=-9$.
4. $f(0,25)=$
   $f(0,25)=4\times 0,25-3=1-3=-2$.
5. $f(10)=$
   $f(10)=40-3=37$.

Vocabulaire. On sait que $h(-2)=6$ et que $h(7)=7$.

1. L’image de $-2$ par $h$ :
   $h(-2)=6$ : l’image de $-2$ est le résultat, $6$.
2. Un antécédent de $6$ par $h$ :
   $h(-2)=6$ : $-2$ est un nombre de départ qui donne $6$, c’est un antécédent de $6$.
3. Dans $h(7)=7$, le nombre $7$ est l’image de $7$, un antécédent de $7$, ou les deux ?
   $7$ est à la fois le nombre de départ (un antécédent de $7$) et le résultat (l’image de $7$) : les deux.
4. Combien d’images le nombre $-2$ a-t-il par $h$ ?
   Par une fonction, chaque nombre a une seule image : ici $6$. Ce sont les antécédents qui peuvent être plusieurs.
5. On apprend aussi que $h(3)=7$. Combien d’antécédents de $7$ par $h$ connaît-on maintenant ?
   $h(7)=7$ et $h(3)=7$ : $7$ et $3$ sont deux antécédents de $7$. Il ne faut pas oublier $7$ lui-même.

Calcule chaque image en détaillant les priorités.

1. $k(x)=-x^2+3x+1$ : $k(-2)=$
   $k(-2)=-(-2{)}^2+3\times (-2)+1=-4-6+1=-9$ : on calcule $(-2{)}^2=4$, puis on prend l’opposé.
2. Avec la même fonction : $k(0,5)=$
   $k(0,5)=-0,25+1,5+1=2,25$.
3. $m:x⟼(2x-1{)}^2$ : $m(-3)=$
   $2\times (-3)-1=-7$, puis $(-7{)}^2=49$ : on calcule d’abord dans la parenthèse.
4. La fonction $p$ associe à un nombre « son triple, diminué de son carré ». $p(5)=$
   $p(x)=3x-x^2$, donc $p(5)=15-25=-10$.

On donne $f(x)=5x+2$. Trouve l’antécédent demandé en résolvant une équation.

1. Antécédent de $17$ :
   $5x+2=17$, donc $5x=15$, donc $x=3$. Vérification : $5\times 3+2=17$.
2. Antécédent de $-8$ :
   $5x+2=-8$, donc $5x=-10$, donc $x=-2$.
3. Antécédent de $2$ :
   $5x+2=2$, donc $5x=0$, donc $x=0$.
4. Antécédent de $4,5$ :
   $5x+2=4,5$, donc $5x=2,5$, donc $x=0,5$.
5. Antécédent de $0$ :
   $5x+2=0$, donc $5x=-2$, donc $x=-0,4$.

On donne $g(x)=x^2-1$.

1. Antécédents de $24$, dans l’ordre croissant : ;
   $x^2-1=24$, donc $x^2=25$ : $x=-5$ ou $x=5$.
2. Nombre d’antécédents de $-1$ :
   $x^2-1=-1$, donc $x^2=0$ : seul $0$ convient, un seul antécédent.
3. Nombre d’antécédents de $-2$ :
   $x^2-1=-2$, donc $x^2=-1$ : impossible, un carré n’est jamais négatif. Aucun antécédent.
4. Antécédents de $6$, valeurs exactes, dans l’ordre croissant : ;
   $x^2-1=6$, donc $x^2=7$ : $x=-\sqrt{7}$ ou $x=\sqrt{7}$ (environ $-2,65$ et $2,65$).

Produit nul, nombre égal à son image et problème.

1. $q(x)=(x-4)(2x+3)$. Antécédents de $0$, dans l’ordre croissant : ;
   Un produit est nul si l’un des facteurs est nul : $x-4=0$ ou $2x+3=0$, donc $x=4$ ou $x=-1,5$.
2. $f(x)=6-2x$. Le nombre $a$ tel que $f(a)=a$ :
   $6-2a=a$, donc $6=3a$, donc $a=2$. Vérification : $f(2)=6-4=2$.
3. Le prix de $n$ séances dans une salle de sport est $C(n)=8n+25$ (en €). Nombre de séances pour $129$ € :
   On cherche l’antécédent de $129$ : $8n+25=129$, donc $8n=104$, donc $n=13$. Vérification : $C(13)=104+25=129$.

Voici un tableau de valeurs d’une fonction $k$.

1. Image de $2$ par $k$ :
   Dans la colonne de $2$, on lit $0$ : $k(2)=0$.
2. Image de $0$ par $k$ :
   Dans la colonne de $0$, on lit $-3$ : $k(0)=-3$.
3. Antécédents de $9$ lus dans le tableau, dans l’ordre croissant : ;
   $9$ apparaît sous $-4$ et sous $5$ : $k(-4)=9$ et $k(5)=9$.
4. Nombre d’antécédents de $-3$ lus dans le tableau :
   $-3$ n’apparaît qu’une fois, sous $0$. La fonction peut en avoir d’autres, hors du tableau.

Complète le tableau de valeurs de $f(x)=-2x^2+5$.

1. Pour $x=-2$ : $f(x)=$
   $-2\times (-2{)}^2+5=-2\times 4+5=-3$.
2. Pour $x=-1$ : $f(x)=$
   $-2\times (-1{)}^2+5=-2\times 1+5=-2+5=3$.
3. Pour $x=0$ : $f(x)=$
   $-2\times 0+5=5$.
4. Pour $x=1,5$ : $f(x)=$
   $-2\times 2,25+5=-4,5+5=0,5$.
5. Pour $x=3$ : $f(x)=$
   $-2\times 9+5=-18+5=-13$.

On considère la fonction $f(x)=x^2-3x+1$ et sa courbe représentative.

1. Parmi $A(-1;5)$, $B(2;-1)$, $C(4;3)$ et $D(0,5;0)$, écris les points de la courbe : ;
   $f(-1)=1+3+1=5$ : $A$ oui. $f(2)=4-6+1=-1$ : $B$ oui. $f(4)=16-12+1=5\ne 3$ : $C$ non. $f(0,5)=0,25-1,5+1=-0,25\ne 0$ : $D$ non.
2. Ordonnée du point de la courbe d’abscisse $-3$ :
   $f(-3)=9+9+1=19$ : le point $(-3;19)$ est sur la courbe.
3. Au tableur, la cellule B1 contient $-2$ et on tape en B2 la formule =B1*B1-3*B1+1. B2 affiche :
   Le tableur calcule $f(-2)=(-2)\times (-2)-3\times (-2)+1=4+6+1=11$.

La courbe ci-dessous représente une fonction $f$ pour $x$ compris entre $-3$ et $3$.

1. Image de $0$ par $f$ :
   De $0$, on rejoint le point le plus haut de la courbe, $(0;2)$ : $f(0)=2$.
2. Antécédents de $0$, dans l’ordre croissant : ;
   La courbe coupe l’axe des abscisses (ordonnée $0$) en $-2$ et en $2$.
3. Image de $-3$ par $f$ :
   De $-3$, on descend jusqu’à la courbe : le point est à mi-chemin entre $-2$ et $-3$ sur l’axe des ordonnées, $f(-3)=-2,5$.
4. Antécédents de $1,5$, dans l’ordre croissant : ;
   L’horizontale d’ordonnée $1,5$ coupe la courbe en deux points, d’abscisses $-1$ et $1$.
5. Nombre d’antécédents de $3$ :
   La courbe ne monte pas plus haut que $2$ : l’horizontale d’ordonnée $3$ ne la coupe pas. Aucun antécédent.

La courbe bleue représente une fonction $f$ et la droite verte une fonction $g$, pour $x$ compris entre $-1$ et $5$.

1. Image de $1$ par $f$ :
   De $1$, on descend jusqu’à la courbe bleue, puis on lit $-1$ sur l’axe des ordonnées : $f(1)=-1$.
2. Antécédents de $7$ par $f$, dans l’ordre croissant : ;
   L’horizontale d’ordonnée $7$ touche la courbe bleue à ses deux extrémités, d’abscisses $-1$ et $5$.
3. Minimum de $f$ : ; il est atteint pour $x=$
   Le point le plus bas de la courbe bleue est $(2;-2)$ : le minimum est $-2$, atteint pour $x=2$.
4. Solutions de l’équation $f(x)=g(x)$, dans l’ordre croissant : ;
   Les deux courbes se coupent aux points $(0;2)$ et $(3;-1)$ : les solutions sont leurs abscisses, $0$ et $3$.

On remplit une baignoire, puis on la vide. Le graphique donne le volume d’eau, en litres, en fonction du temps, en minutes.

1. Volume d’eau au bout de $3$ min : L
   De $3$ sur l’axe du temps, on monte jusqu’à la courbe : le point est au milieu entre $70$ et $80$, soit $75$ L.
2. Instants où le volume vaut $50$ L, dans l’ordre croissant : ; min
   L’horizontale d’ordonnée $50$ coupe la courbe deux fois : à $2$ min (pendant le remplissage) et à $16$ min (pendant la vidange).
3. Pendant combien de minutes le volume reste-t-il maximal ? min
   Le maximum, $100$ L, est atteint de $4$ min à $14$ min : pendant $14-4=10$ minutes.
4. Au bout de combien de minutes la baignoire est-elle de nouveau vide ? min
   Le volume revient à $0$ L à $18$ min : $18$ est l’antécédent non nul de $0$.