Devoir surveillé : Dérivation : nombre dérivé, calcul de dérivées et variations

1. a)$f^{\prime }(x)=2\times 4x^3-3\times 2x+5=8x^3-6x+5$. (1 pt) (1)
2. b)${\left({\displaystyle \frac{1}{x}}\right)}^{\prime }=-{\displaystyle \frac{1}{x^2}}$ et $(\sqrt{x}{)}^{\prime }={\displaystyle \frac{1}{2\sqrt{x}}}$, donc $g^{\prime }(x)=-{\displaystyle \frac{3}{x^2}}+{\displaystyle \frac{4}{2\sqrt{x}}}=-{\displaystyle \frac{3}{x^2}}+{\displaystyle \frac{2}{\sqrt{x}}}$. (1 pt) (1)
3. c)Produit $uv$ avec $u(x)=2x+1$, $u^{\prime }(x)=2$, $v(x)=x^2-3$, $v^{\prime }(x)=2x$ : $h^{\prime }(x)=2(x^2-3)+(2x+1)\times 2x=2x^2-6+4x^2+2x=6x^2+2x-6$. (1 pt) (1)
4. d)$k(x)=f(5x-2)$ avec $f(X)=X^3$, $f^{\prime }(X)=3X^2$ ; donc $k^{\prime }(x)=5\times 3(5x-2{)}^2=15(5x-2{)}^2$. (1 pt) (1)
5. e)$ℝ$ est symétrique par rapport à $0$ et $p(-x)=(-x{)}^4-3(-x{)}^2=x^4-3x^2=p(x)$ : $p$ est paire (0,5 pt). $p^{\prime }(x)=4x^3-6x$ et $p^{\prime }(-x)=-4x^3+6x=-p^{\prime }(x)$ : $p^{\prime }$ est impaire (0,5 pt). (1)

Méthode — Pour $x\mapsto f(ax+b)$, on dérive la fonction « extérieure » puis on multiplie par $a$ : le facteur $5$ de la question d) est le plus souvent oublié.

1. a)$f(1)=1-4+1=-2$ et $f(3)=9-12+1=-2$, donc ${\displaystyle \frac{f(3)-f(1)}{3-1}}={\displaystyle \frac{0}{2}}=0$. (1 pt) (1,25)
2. b)$f(3+h)=9+6h+h^2-12-4h+1=h^2+2h-2$ et $f(3)=-2$, donc $f(3+h)-f(3)=h^2+2h$ et, pour $h\ne 0$, ${\displaystyle \frac{f(3+h)-f(3)}{h}}=h+2$ (1 pt). Quand $h$ tend vers $0$, ce quotient tend vers $2$ : $f$ est dérivable en $3$ et $f^{\prime }(3)=2$. (0,5 pt) (1,25)
3. c)$y=f^{\prime }(3)(x-3)+f(3)=2(x-3)-2$, soit $y=2x-8$. (1 pt) (1,25)
4. d)$f^{\prime }(x)=2x-4$ (on retrouve bien $f^{\prime }(3)=2$) (0,5 pt). $f^{\prime }(x)=0⟺x=2$ et $f(2)=4-8+1=-3$ : la tangente est horizontale au point $(2;-3)$, d'équation $y=-3$ (0,5 pt). La sécante passant par $(1;-2)$ et $(3;-2)$ a pour coefficient directeur le taux de a), c'est-à-dire $0$ : elle est horizontale, donc parallèle à cette tangente. (0,5 pt) (1,25)

Piège — Le taux de variation donne la pente d'une sécante, pas un nombre dérivé : ici il vaut $0$ entre $1$ et $3$, alors que $f^{\prime }(1)=-2$ et $f^{\prime }(3)=2$.

1. a)$f^{\prime }(x)=3x^2-12=3(x^2-4)=3(x-2)(x+2)$. (1 pt) (1,2)
2. b)Trinôme de racines $-2$ et $2$, de coefficient $3>0$ : $f^{\prime }(x)>0$ sur $[-3;-2[$ et sur $]2;4]$, $f^{\prime }(x)<0$ sur $]-2;2[$, $f^{\prime }(\pm 2)=0$. (1 pt) (1,2)
3. c)$f(-3)=-27+36+3=12$, $f(-2)=-8+24+3=19$, $f(2)=8-24+3=-13$, $f(4)=64-48+3=19$ (0,5 pt). $f$ est croissante sur $[-3;-2]$ (de $12$ à $19$), décroissante sur $[-2;2]$ (de $19$ à $-13$), croissante sur $[2;4]$ (de $-13$ à $19$). (1 pt) (1,2)
4. d)Maximum local $19$ en $x=-2$ ($f^{\prime }$ s'annule en changeant de signe, de $+$ à $-$), minimum local $-13$ en $x=2$ (de $-$ à $+$) (1 pt). Sur $[-3;4]$ : maximum $19$, atteint en $-2$ et en $4$ ; minimum $-13$, atteint en $2$. (0,5 pt) (1,2)
5. e)$f(0)=3$ et $f^{\prime }(0)=-12$, donc $y=-12x+3$. (1 pt) (1,2)

Erreur fréquente — Oublier les bornes de l'intervalle : ici $f(4)=19$ égale le maximum local, et sur un autre intervalle une borne peut même le dépasser.

1. a)Le côté parallèle à la rivière mesure $60-2x$ ; il faut $x>0$ et $60-2x>0$, soit $x\in ]0;30[$. L'aire vaut $x(60-2x)=60x-2x^2$. (1 pt) (1)
2. b)$A^{\prime }(x)=60-4x$ ; $A^{\prime }(x)>0⟺x<15$ : $A^{\prime }(x)>0$ sur $]0;15[$, $A^{\prime }(15)=0$, $A^{\prime }(x)<0$ sur $]15;30[$. (1 pt) (1)
3. c)$A$ est croissante sur $]0;15]$ et décroissante sur $[15;30[$ : maximum en $x=15$, avec $A(15)=900-450=450$ (1 pt). L'enclos optimal mesure $15$ m sur $60-30=30$ m, pour une aire de $450$ m². (0,5 pt) (1)
4. d)Non : pour tout $x\in ]0;30[$, $A(x)\le 450<460$. (0,5 pt) (1)

Astuce — Avant de dériver, on fixe l'intervalle d'étude grâce aux contraintes concrètes (longueurs positives) : il sert ensuite à lire le tableau.

1. a)$u=x^2+1$, $u^{\prime }=2x$, $v=x-2$, $v^{\prime }=1$ : $f^{\prime }(x)={\displaystyle \frac{2x(x-2)-(x^2+1)}{(x-2{)}^2}}={\displaystyle \frac{x^2-4x-1}{(x-2{)}^2}}$. (1 pt) (1)
2. b)$g^{\prime }(x)=1\times \sqrt{x}+x\times {\displaystyle \frac{1}{2\sqrt{x}}}=\sqrt{x}+{\displaystyle \frac{\sqrt{x}}{2}}={\displaystyle \frac{3\sqrt{x}}{2}}$ (car ${\displaystyle \frac{x}{\sqrt{x}}}=\sqrt{x}$). (1 pt) (1)
3. c)$h(x)=r(3x+6)$ avec $r(X)=\sqrt{X}$, dérivable sur $]0;+\infty [$ ; il faut $3x+6>0⟺x>-2$ : $h$ est dérivable sur $]-2;+\infty [$ et $h^{\prime }(x)=3\times {\displaystyle \frac{1}{2\sqrt{3x+6}}}={\displaystyle \frac{3}{2\sqrt{3x+6}}}$. (1 pt) (1)
4. d)$k={\displaystyle \frac{4}{v}}$ avec $v(x)=1-2x$, $v^{\prime }(x)=-2$ : $k^{\prime }(x)=-{\displaystyle \frac{4v^{\prime }(x)}{v(x{)}^2}}={\displaystyle \frac{8}{(1-2x{)}^2}}$. (1 pt) (1)

Piège — La racine carrée est définie en $0$ mais n'y est pas dérivable : pour $\sqrt{3x+6}$, on exclut $x=-2$ et l'intervalle de dérivabilité est ouvert.

1. a)Faux. Pour $h\ne 0$ : ${\displaystyle \frac{f(1+h)-f(1)}{h}}={\displaystyle \frac{|h|}{h}}$, qui vaut $1$ si $h>0$ et $-1$ si $h<0$ ; ce quotient n'a pas de limite quand $h$ tend vers $0$. (1 pt) (1)
2. b)Faux. Pour $h>0$ : ${\displaystyle \frac{\sqrt{h}-\sqrt{0}}{h}}={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{h}}}$, qui devient arbitrairement grand quand $h$ tend vers $0$ : pas de limite finie (la courbe a une tangente verticale en $0$). (1 pt) (1)
3. c)Vrai. Pour tout $x$, $f(-x)=f(x)$. En dérivant $x\mapsto f(-x)$ (forme $f(ax+b)$ avec $a=-1$, $b=0$) : $-f^{\prime }(-x)=f^{\prime }(x)$. En $x=0$ : $-f^{\prime }(0)=f^{\prime }(0)$, donc $f^{\prime }(0)=0$. (1 pt) (1)
4. d)Faux. Contre-exemple : $f(x)=-{\displaystyle \frac{1}{x}}$, avec $f^{\prime }(x)={\displaystyle \frac{1}{x^2}}>0$ ; pourtant $-1<1$ et $f(-1)=1>f(1)=-1$. Le lien signe de $f^{\prime }$ / variations ne vaut que sur un intervalle. (1 pt) (1)

Erreur fréquente — Dire « $f$ est croissante sur $]-\infty ;0[\cup ]0;+\infty [$ » est incorrect : on étudie les variations intervalle par intervalle.

1. a)$f^{\prime }(x)={\displaystyle \frac{2(x+1)-(2x-1)\times 1}{(x+1{)}^2}}={\displaystyle \frac{2x+2-2x+1}{(x+1{)}^2}}={\displaystyle \frac{3}{(x+1{)}^2}}$. (1 pt) (0,8)
2. b)$f(0)=-1$ et $f^{\prime }(0)=3$ : $T:y=3x-1$. (0,5 pt) (0,8)
3. c)$(3x-1)(x+1)=3x^2+2x-1$, donc $f(x)-(3x-1)={\displaystyle \frac{2x-1-(3x^2+2x-1)}{x+1}}={\displaystyle \frac{-3x^2}{x+1}}$ (0,5 pt). Sur $]-1;+\infty [$, $x+1>0$ et $-3x^2\le 0$ : la différence est négative ou nulle, nulle seulement en $0$. ${𝒞}_f$ est sous $T$ et la touche en $A(0;-1)$. (0,5 pt) (0,8)
4. d)$f^{\prime }(x)={\displaystyle \frac{1}{3}}⟺(x+1{)}^2=9⟺x+1=3$ ou $x+1=-3$ ; comme $x+1>0$, $x=2$ (0,5 pt). $f(2)={\displaystyle \frac{3}{3}}=1$ : point $(2;1)$, tangente $y={\displaystyle \frac{1}{3}}(x-2)+1={\displaystyle \frac{x}{3}}+{\displaystyle \frac{1}{3}}$. (0,5 pt) (0,8)
5. e)$f(0,02)\approx 3\times 0,02-1=-0,94$. La calculatrice donne $f(0,02)={\displaystyle \frac{-0,96}{1,02}}\approx -0,9412$ : écart d'environ $0,001$, et l'approximation est un peu trop grande, conformément à c). (0,5 pt) (0,8)

Méthode — Pour situer une courbe par rapport à une tangente, on étudie le signe de la différence $f(x)-(ax+b)$ mise au même dénominateur.

1. a)$p^{\prime }(x)=6x^2-18x+12=6(x^2-3x+2)$ et $(x-1)(x-2)=x^2-3x+2$, donc $p^{\prime }(x)=6(x-1)(x-2)$. (1 pt) (1)
2. b)$p^{\prime }>0$ sur $[0;1[$ et $]2;3]$, $p^{\prime }<0$ sur $]1;2[$. $p(0)=-4$, $p(1)=2-9+12-4=1$, $p(2)=16-36+24-4=0$, $p(3)=54-81+36-4=5$. $p$ croît de $-4$ à $1$ sur $[0;1]$, décroît de $1$ à $0$ sur $[1;2]$, croît de $0$ à $5$ sur $[2;3]$. (1 pt) (1)
3. c)Maximum local $1$ en $x=1$, minimum local $0$ en $x=2$ ; sur $[0;3]$, maximum $5$ (en $3$) et minimum $-4$ (en $0$). (0,5 pt) (1)
4. d)$(x^2-4x+4)(2x-1)=2x^3-x^2-8x^2+4x+8x-4=2x^3-9x^2+12x-4=p(x)$ (0,5 pt). Si $x\ge {\displaystyle \frac{1}{2}}$ : $(x-2{)}^2\ge 0$ et $2x-1\ge 0$, donc $p(x)\ge 0$, c'est-à-dire $2x^3+12x\ge 9x^2+4$ (0,5 pt). Égalité si et seulement si $x=2$ ou $x={\displaystyle \frac{1}{2}}$. (0,5 pt) (1)

Astuce — Un facteur au carré comme $(x-2{)}^2$ trahit un minimum local où la courbe est tangente à l'axe des abscisses : ici $p(2)=0$ et $p^{\prime }(2)=0$.

1. a)$C(10)=100+100+400=600$ € ; coût moyen ${\displaystyle \frac{600}{10}}=60$ € par objet. (0,5 pt) (0,8)
2. b)$C_M(x)={\displaystyle \frac{x^2+10x+400}{x}}=x+10+{\displaystyle \frac{400}{x}}$ (0,5 pt). $C_M^{\prime }(x)=1-{\displaystyle \frac{400}{x^2}}={\displaystyle \frac{x^2-400}{x^2}}={\displaystyle \frac{(x-20)(x+20)}{x^2}}$. (1 pt) (0,8)
3. c)Sur $[5;60]$, $x^2>0$ et $x+20>0$ : $C_M^{\prime }(x)$ a le signe de $x-20$. $C_M$ décroît sur $[5;20]$ de $C_M(5)=5+10+80=95$ à $C_M(20)=20+10+20=50$, puis croît sur $[20;60]$ jusqu'à $C_M(60)=70+{\displaystyle \frac{20}{3}}={\displaystyle \frac{230}{3}}\approx 76,67$. (1 pt) (0,8)
4. d)Il faut fabriquer $20$ objets : coût moyen minimal $50$ € par objet, coût total $C(20)=400+200+400=1000$ € ($=20\times 50$). (0,5 pt) (0,8)
5. e)$C^{\prime }(x)=2x+10$, donc $C^{\prime }(20)=50=C_M(20)$. (0,5 pt) (0,8)

Erreur fréquente — Minimiser le coût moyen ne revient pas à minimiser le coût total : $C$ est croissante sur $[5;60]$, son minimum est en $5$, pas en $20$.

1. a)Pour $h\ne 0$ avec $a+h\ne 0$ : ${\displaystyle \frac{1}{h}}({\displaystyle \frac{1}{a+h}}-{\displaystyle \frac{1}{a}})={\displaystyle \frac{a-(a+h)}{ha(a+h)}}={\displaystyle \frac{-1}{a(a+h)}}$ (0,5 pt). Quand $h$ tend vers $0$, $a(a+h)$ tend vers $a^2\ne 0$ : le quotient tend vers $-{\displaystyle \frac{1}{a^2}}$. (0,5 pt) (1)
2. b)Pour $h\ne 0$ avec $a+h\ge 0$, en multipliant par la quantité conjuguée : ${\displaystyle \frac{\sqrt{a+h}-\sqrt{a}}{h}}={\displaystyle \frac{(a+h)-a}{h(\sqrt{a+h}+\sqrt{a})}}={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{a+h}+\sqrt{a}}}$ (0,5 pt). Quand $h$ tend vers $0$, le dénominateur tend vers $2\sqrt{a}\ne 0$ : le quotient tend vers ${\displaystyle \frac{1}{2\sqrt{a}}}$. (0,5 pt) (1)
3. c)Pour tout $x$, $f(-x)=-f(x)$. La fonction $x\mapsto f(-x)$ est de la forme $f(ax+b)$ avec $a=-1$ : sa dérivée est $x\mapsto -f^{\prime }(-x)$ (0,5 pt). En dérivant l'égalité : $-f^{\prime }(-x)=-f^{\prime }(x)$, donc $f^{\prime }(-x)=f^{\prime }(x)$ pour tout $x$ : $f^{\prime }$ est paire. (0,5 pt) (1)
4. d)$x^2+1\ge 1$ : $f$ est définie sur $ℝ$, symétrique, et $f(-x)={\displaystyle \frac{-x^3}{x^2+1}}=-f(x)$ ; $f^{\prime }(x)={\displaystyle \frac{3x^2(x^2+1)-x^3\times 2x}{(x^2+1{)}^2}}={\displaystyle \frac{x^4+3x^2}{(x^2+1{)}^2}}={\displaystyle \frac{x^2(x^2+3)}{(x^2+1{)}^2}}$ (0,5 pt). Seules des puissances paires de $x$ apparaissent, donc $f^{\prime }(-x)=f^{\prime }(x)$ ; de plus $f^{\prime }(x)\ge 0$, nul seulement en $0$ : $f$ est strictement croissante sur $ℝ$. (0,5 pt) (1)

Méthode — Pour lever l'indétermination d'un taux de variation avec des racines, on multiplie numérateur et dénominateur par la quantité conjuguée.

1. a)$f^{\prime }(a)=2a$ : $y=2a(x-a)+a^2=2ax-a^2$. (0,5 pt) (1)
2. b)$g^{\prime }(x)=-2x+4$, $g^{\prime }(b)=4-2b$, $g(b)=-b^2+4b-4$. $y=(4-2b)(x-b)-b^2+4b-4=(4-2b)x-4b+2b^2-b^2+4b-4=(4-2b)x+b^2-4$. (1 pt) (1)
3. c)Une droite est tangente aux deux courbes s'il existe $a$ et $b$ tels que $2a=4-2b$ et $-a^2=b^2-4$ (0,5 pt). La première donne $a=2-b$ ; alors $-(4-4b+b^2)=b^2-4⟺4b-2b^2=0⟺b(2-b)=0$ (0,5 pt). Si $b=0$ : $a=2$, droite $y=4x-4$, contacts $(2;4)$ et $(0;-4)$. Si $b=2$ : $a=0$, droite $y=0$, contacts $(0;0)$ et $(2;0)$. (0,5 pt) (1)
4. d)$x^2-(2ax-a^2)=(x-a{)}^2\ge 0$ et $g(x)-[(4-2b)x+b^2-4]=-x^2+2bx-b^2=-(x-b{)}^2\le 0$ (0,5 pt). Chaque tangente commune laisse donc ${𝒞}_f$ au-dessus et ${𝒞}_g$ au-dessous : elle sépare les deux courbes. (0,5 pt) (1)

Astuce — Deux droites $y=mx+p$ et $y=m^{\prime }x+p^{\prime }$ sont confondues si et seulement si $m=m^{\prime }$ et $p=p^{\prime }$ : on obtient ainsi un système en $a$ et $b$.

1. a)Pour $h>0$ : ${\displaystyle \frac{f(h)-f(0)}{h}}={\displaystyle \frac{(h-1)\sqrt{h}}{h}}={\displaystyle \frac{h-1}{\sqrt{h}}}$. Quand $h$ tend vers $0$, $h-1$ tend vers $-1$ et $\sqrt{h}$ vers $0$ par valeurs positives : le quotient devient négatif et arbitrairement grand en valeur absolue, sans limite finie (0,5 pt). $f$ n'est pas dérivable en $0$ ; la courbe admet en l'origine une tangente verticale. (0,5 pt) (0,8)
2. b)Produit : $f^{\prime }(x)=1\times \sqrt{x}+(x-1)\times {\displaystyle \frac{1}{2\sqrt{x}}}={\displaystyle \frac{2x+x-1}{2\sqrt{x}}}={\displaystyle \frac{3x-1}{2\sqrt{x}}}$. (1 pt) (0,8)
3. c)$2\sqrt{x}>0$ : $f^{\prime }(x)$ a le signe de $3x-1$, négatif sur $]0;\frac{1}{3}[$, positif sur $]\frac{1}{3};+\infty [$. $f$ décroît sur $\left[0;\frac{1}{3}\right]$ de $f(0)=0$ à $f\left(\frac{1}{3}\right)$, puis croît sur $[\frac{1}{3};+\infty [$ (0,5 pt). $f\left(\frac{1}{3}\right)=-{\displaystyle \frac{2}{3}}\times {\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}}=-{\displaystyle \frac{2}{3\sqrt{3}}}=-{\displaystyle \frac{2\sqrt{3}}{9}}\approx -0,385$ : c'est le minimum de $f$. (0,5 pt) (0,8)
4. d)Pour tout $x\ge 0$, $f(x)\ge -{\displaystyle \frac{2\sqrt{3}}{9}}$, soit $(1-x)\sqrt{x}=-f(x)\le {\displaystyle \frac{2\sqrt{3}}{9}}$, avec égalité si et seulement si $x={\displaystyle \frac{1}{3}}$. (0,5 pt) (0,8)
5. e)$f(1)=0$ et $f^{\prime }(1)={\displaystyle \frac{2}{2}}=1$ : $y=x-1$. D'où $f(1,03)\approx 0,03$ (la calculatrice donne $0,03\sqrt{1,03}\approx 0,0304$). (0,5 pt) (0,8)

Piège — Une formule de dérivée valable sur $]0;+\infty [$ ne dit rien en $0$ : la dérivabilité en une borne s'étudie avec le taux de variation.

1. a)Un sommet $M$ situé sur le demi-cercle a pour projeté $H$ sur le diamètre, avec $OH=x$ et $OM=5$. Par Pythagore dans le triangle $OHM$ rectangle en $H$ : $HM=\sqrt{25-x^2}$ (hauteur du rectangle). Largeur $2x$, donc $A(x)=2x\sqrt{25-x^2}$. (1 pt) (1,25)
2. b)Pour tout $x\in [0;5]$, $A(x)\ge 0$, et la fonction carré est strictement croissante sur $[0;+\infty [$ : $A(x)\le A(x_0)⟺A(x{)}^2\le A(x_0{)}^2$. Les deux fonctions ont donc leur maximum au même point. (1 pt) (1,25)
3. c)$g(x)=4x^2(25-x^2)=100x^2-4x^4$, $g^{\prime }(x)=200x-16x^3=8x(25-2x^2)$ (0,5 pt). Sur $[0;5]$, $8x\ge 0$ et $25-2x^2>0⟺x<{\displaystyle \frac{5\sqrt{2}}{2}}$ : $g$ croît sur $\left[0;{\displaystyle \frac{5\sqrt{2}}{2}}\right]$ et décroît sur $\left[{\displaystyle \frac{5\sqrt{2}}{2}};5\right]$ (0,5 pt). $g\left({\displaystyle \frac{5\sqrt{2}}{2}}\right)=100\times {\displaystyle \frac{25}{2}}-4\times {\displaystyle \frac{625}{4}}=1250-625=625$, donc l'aire maximale vaut $\sqrt{625}=25$ cm² (0,5 pt). Dimensions : largeur $5\sqrt{2}\approx 7,07$ cm, hauteur $\sqrt{25-\frac{25}{2}}={\displaystyle \frac{5\sqrt{2}}{2}}\approx 3,54$ cm (la largeur est le double de la hauteur). (0,5 pt) (1,25)
4. d)Aire du demi-disque : ${\displaystyle \frac{25\pi }{2}}$ cm². Proportion : ${\displaystyle \frac{25}{25\pi /2}}={\displaystyle \frac{2}{\pi }}\approx 0,637$, soit environ $64\%$. (1 pt) (1,25)

Astuce — Quand la fonction à optimiser est positive et contient une racine, on optimise son carré : on obtient un polynôme, facile à dériver.

1. a)$f_3^{\prime }(x)=3x^2-3=3(x-1)(x+1)$ ; sur $[0;+\infty [$, $x+1>0$ : $f_3$ décroît sur $[0;1]$ et croît sur $[1;+\infty [$ (0,5 pt). Son minimum est $f_3(1)=1-3+2=0$, donc $f_3(x)\ge 0$, soit $x^3+2\ge 3x$ (d'ailleurs $f_3(x)=(x-1{)}^2(x+2)$). (0,5 pt) (0,75)
2. b)Soit $f_n(x)=x^n-nx+n-1$ ; $f_n^{\prime }(x)=n{x}^{n-1}-n=n(x^{n-1}-1)$. Comme $n-1\ge 1$ : si $0\le x<1$, $x^{n-1}<1$ ; si $x>1$, $x^{n-1}>1$. Donc $f_n$ est strictement décroissante sur $[0;1]$ et strictement croissante sur $[1;+\infty [$ (0,5 pt). Son minimum est $f_n(1)=1-n+n-1=0$ : $f_n(x)\ge 0$, soit $x^n\ge nx-(n-1)$, avec égalité seulement pour $x=1$ (monotonie stricte). (0,5 pt) (0,75)
3. c)Pour $u(x)=x^n$ : $u(1)=1$, $u^{\prime }(1)=n$, tangente au point d'abscisse $1$ : $y=n(x-1)+1=nx-(n-1)$. Sur $[0;+\infty [$, la courbe de $u$ est au-dessus de cette tangente. (0,5 pt) (0,75)
4. d)Avec $n=50$ et $x=1,01$ : $1,{01}^{50}\ge 50\times 1,01-49=50,5-49=1,5$. (0,5 pt) (0,75)

Méthode — Pour démontrer $A(x)\ge B(x)$, on étudie les variations de $A-B$ et on montre que son minimum est positif ou nul.