Lycée · 1ʳᵉ · Spécialité Mathématiques
Dérivation — nombre dérivé et tangente
Taux de variation, limite et tangente à une courbe (programme de 1re Spécialité)
À propos de cette page
Ce cours de spécialité mathématiques en première sur « Dérivation — nombre dérivé et tangente » suit le programme officiel de spécialité mathématiques de première. Il présente les définitions, les propriétés et les méthodes essentielles, accompagnées d'exemples résolus pour bien comprendre. Au programme : Taux de variation d'une fonction, Limite du taux de variation et nombre dérivé, Interprétation graphique : la tangente, Dérivabilité en un point. Chaque notion est expliquée pas à pas, puis mise en pratique grâce à des exercices interactifs, un QCM et une évaluation corrigée. Idéal pour réviser à son rythme, combler ses lacunes et progresser, en autonomie ou avec un professeur. Cours rédigé par un professeur particulier à Marseille pour aider les élèves de première à réussir en spécialité mathématiques.
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Taux de variation d'une fonction
Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$, et $a$ un point de $I$. Pour tout réel $h \neq 0$ tel que $a+h \in I$, on définit le taux de variation de $f$ entre $a$ et $a+h$ par :
Définition. $$\tau(h) = \frac{f(a+h)-f(a)}{h}$$
C'est le coefficient directeur de la sécante passant par les points $A(a, f(a))$ et $B(a+h, f(a+h))$ de la courbe.
Exemple. Soit $f(x) = x^2$ et $a = 1$.
Le taux de variation entre $1$ et $1+h$ est :
$$\tau(h) = \frac{(1+h)^2 - 1^2}{h} = \frac{1+2h+h^2-1}{h} = \frac{2h+h^2}{h} = 2+h$$
Le taux de variation entre $1$ et $1+h$ est :
$$\tau(h) = \frac{(1+h)^2 - 1^2}{h} = \frac{1+2h+h^2-1}{h} = \frac{2h+h^2}{h} = 2+h$$
Interprétation : quand $h$ diminue, le point $B$ se rapproche de $A$, et la sécante « pivote » autour de $A$. À la limite, elle devient la tangente en $A$.
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Limite du taux de variation et nombre dérivé
Définition. Soit $f$ définie sur un intervalle $I$ et $a \in I$. On dit que $f$ est dérivable en $a$ si la limite suivante existe et est finie :
$$f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h)-f(a)}{h}$$
$$f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h)-f(a)}{h}$$
Ce réel $f'(a)$ s'appelle le nombre dérivé de $f$ en $a$.
Autre notation. On peut écrire $f'(a) = \lim_{x \to a} \dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}$ (en posant $x = a+h$).
Exemple (suite). Avec $f(x)=x^2$, $a=1$ :
$$f'(1) = \lim_{h \to 0}(2+h) = 2$$
$$f'(1) = \lim_{h \to 0}(2+h) = 2$$
Le nombre dérivé de $x^2$ en $1$ est donc $2$.
Exemple 2. Soit $f(x) = x^3$, calculons $f'(a)$.
$$\frac{(a+h)^3 - a^3}{h} = \frac{a^3+3a^2h+3ah^2+h^3-a^3}{h} = 3a^2+3ah+h^2 \xrightarrow[h\to0]{} 3a^2$$
$$\frac{(a+h)^3 - a^3}{h} = \frac{a^3+3a^2h+3ah^2+h^3-a^3}{h} = 3a^2+3ah+h^2 \xrightarrow[h\to0]{} 3a^2$$
Donc $f'(a) = 3a^2$.
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Interprétation graphique : la tangente
Définition. Lorsque $f$ est dérivable en $a$, la tangente à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point $A(a, f(a))$ est la droite passant par $A$ de coefficient directeur $f'(a)$.
Son équation est :
$$\boxed{y = f'(a)(x-a)+f(a)}$$Exemple. $f(x)=x^2$, $a=1$ : la tangente en $(1,1)$ a pour équation
$$y = 2(x-1)+1 = 2x-1$$
$$y = 2(x-1)+1 = 2x-1$$
Méthode. Pour tracer la tangente en $a$ :
1. Calculer $f'(a)$ (nombre dérivé = coefficient directeur).
2. Calculer $f(a)$ (ordonnée du point de tangence).
3. Écrire $y = f'(a)(x-a)+f(a)$.
1. Calculer $f'(a)$ (nombre dérivé = coefficient directeur).
2. Calculer $f(a)$ (ordonnée du point de tangence).
3. Écrire $y = f'(a)(x-a)+f(a)$.
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Dérivabilité en un point
Définition. $f$ est dérivable en $a$ si $\displaystyle\lim_{h \to 0} \frac{f(a+h)-f(a)}{h}$ existe et est finie. Sinon, $f$ n'est pas dérivable en $a$.
Attention ! Si la limite existe à droite et à gauche mais qu'elles sont différentes, la fonction n'est pas dérivable en $a$ (la courbe a un « coin »).
Exemple. $f(x) = |x|$, en $a = 0$ :
$$\frac{f(0+h)-f(0)}{h} = \frac{|h|}{h} = \begin{cases}1 & \text{si } h\gt 0 \\ -1 & \text{si } h\lt 0\end{cases}$$
$$\frac{f(0+h)-f(0)}{h} = \frac{|h|}{h} = \begin{cases}1 & \text{si } h\gt 0 \\ -1 & \text{si } h\lt 0\end{cases}$$
La limite n'existe pas : $f$ n'est pas dérivable en $0$. La courbe a un point anguleux.
Propriété. Si $f$ est dérivable en $a$, alors $f$ est continue en $a$ (la réciproque est fausse).
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Calcul du nombre dérivé — exemples fondamentaux
On calcule les nombres dérivés des fonctions usuelles par la définition :
| Fonction $f$ | Nombre dérivé $f'(a)$ |
|---|---|
| $f(x) = c$ (constante) | $f'(a) = 0$ |
| $f(x) = x$ | $f'(a) = 1$ |
| $f(x) = x^n$ ($n \in \mathbb{N}^*$) | $f'(a) = na^{n-1}$ |
| $f(x) = \dfrac{1}{x}$ ($a \neq 0$) | $f'(a) = -\dfrac{1}{a^2}$ |
| $f(x) = \sqrt{x}$ ($a \gt 0$) | $f'(a) = \dfrac{1}{2\sqrt{a}}$ |
Démonstration pour $f(x)=\sqrt{x}$.
$$\frac{\sqrt{a+h}-\sqrt{a}}{h} = \frac{(\sqrt{a+h}-\sqrt{a})(\sqrt{a+h}+\sqrt{a})}{h(\sqrt{a+h}+\sqrt{a})} = \frac{a+h-a}{h(\sqrt{a+h}+\sqrt{a})} = \frac{1}{\sqrt{a+h}+\sqrt{a}} \xrightarrow[h\to 0]{} \frac{1}{2\sqrt{a}}$$
$$\frac{\sqrt{a+h}-\sqrt{a}}{h} = \frac{(\sqrt{a+h}-\sqrt{a})(\sqrt{a+h}+\sqrt{a})}{h(\sqrt{a+h}+\sqrt{a})} = \frac{a+h-a}{h(\sqrt{a+h}+\sqrt{a})} = \frac{1}{\sqrt{a+h}+\sqrt{a}} \xrightarrow[h\to 0]{} \frac{1}{2\sqrt{a}}$$
À retenir. Ces résultats sont les briques de base ; en cours de « dérivation globale » vous apprendrez les règles de combinaison (somme, produit, quotient, composée).
6
Équation de la tangente — méthode générale
Formule. Soit $f$ dérivable en $a$. L'équation de la tangente à $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse $a$ est :
$$\boxed{y = f'(a)(x-a)+f(a)}$$
$$\boxed{y = f'(a)(x-a)+f(a)}$$
Exemple 1. $f(x) = x^3$, tangente en $a = 2$.
$f(2) = 8$, $f'(2) = 3 \times 4 = 12$.
Tangente : $y = 12(x-2)+8 = 12x-16$.
$f(2) = 8$, $f'(2) = 3 \times 4 = 12$.
Tangente : $y = 12(x-2)+8 = 12x-16$.
Exemple 2. $f(x) = \sqrt{x}$, tangente en $a = 4$.
$f(4) = 2$, $f'(4) = \dfrac{1}{2\sqrt{4}} = \dfrac{1}{4}$.
Tangente : $y = \dfrac{1}{4}(x-4)+2 = \dfrac{x}{4}+1$.
$f(4) = 2$, $f'(4) = \dfrac{1}{2\sqrt{4}} = \dfrac{1}{4}$.
Tangente : $y = \dfrac{1}{4}(x-4)+2 = \dfrac{x}{4}+1$.
Piège fréquent. Ne pas confondre $f(a)$ et $f'(a)$ : $f(a)$ est l'ordonnée du point, $f'(a)$ est le coefficient directeur de la tangente.
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Lien entre signe de f'(a) et allure locale de la courbe
Propriété.
- Si $f'(a) \gt 0$, la courbe est croissante localement au voisinage de $a$ : la tangente monte de gauche à droite.
- Si $f'(a) \lt 0$, la courbe est décroissante localement au voisinage de $a$ : la tangente descend.
- Si $f'(a) = 0$, la tangente est horizontale en $a$ : c'est souvent un extremum local (mais pas toujours !).
Attention ! $f'(a) = 0$ ne suffit pas à conclure qu'il y a un extremum. Exemple : $f(x) = x^3$ en $a=0$ vérifie $f'(0)=0$ mais n'a pas d'extremum en $0$ (point d'inflexion).
Exemple. $f(x) = x^2$ : $f'(a) = 2a$.
• $a \lt 0$ : $f'(a) \lt 0$ → courbe décroissante.
• $a = 0$ : $f'(0) = 0$ → tangente horizontale, minimum en $0$.
• $a \gt 0$ : $f'(a) \gt 0$ → courbe croissante.
• $a \lt 0$ : $f'(a) \lt 0$ → courbe décroissante.
• $a = 0$ : $f'(0) = 0$ → tangente horizontale, minimum en $0$.
• $a \gt 0$ : $f'(a) \gt 0$ → courbe croissante.
Lien avec l'étude de fonctions. L'étude du signe de $f'$ sur tout $I$ permettra de dresser le tableau de variations complet (thème du prochain chapitre).
En bref
- Le taux de variation de $f$ entre $a$ et $a+h$ est $\tau(h) = \dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$ (pente de la sécante).
- Le nombre dérivé $f'(a) = \lim_{h \to 0} \tau(h)$ est la pente de la tangente en $a$ (si la limite existe).
- Équation de la tangente en $a$ : $y = f'(a)(x-a)+f(a)$.
- Dérivées usuelles : $(x^n)' = nx^{n-1}$, $(\sqrt{x})' = \dfrac{1}{2\sqrt{x}}$, $\left(\dfrac{1}{x}\right)' = -\dfrac{1}{x^2}$.
- Si $f'(a) = 0$ : tangente horizontale (éventuel extremum local à vérifier).
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