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Nombre dérivé et tangente

Q: Comment calculer un taux de variation ?

Entre deux réels a et b, on calcule f(a) et f(b), puis (f(b) − f(a))/(b − a), en gardant le même ordre en haut et en bas. C’est le coefficient directeur de la sécante qui joint les deux points de la courbe ; pour une position en fonction du temps, c’est une vitesse moyenne.

Q: Comment calculer un nombre dérivé avec la définition ?

On calcule f(a) et f(a + h), on factorise f(a + h) − f(a) par h, on simplifie le taux (f(a + h) − f(a))/h, puis on fait tendre h vers 0. La limite obtenue, si c’est un réel, est f′(a). Pour 1/x on réduit au même dénominateur, pour √x on peut utiliser la quantité conjuguée (approfondissement).

Q: Comment lire un nombre dérivé sur un graphique ?

f(a) est l’ordonnée du point de la courbe d’abscisse a ; f′(a) est le coefficient directeur de la tangente en ce point. On repère deux points de la tangente à coordonnées entières et on divise l’écart des ordonnées par l’écart des abscisses. Tangente horizontale : f′(a) = 0.

Q: Quelle est l’équation de la tangente en un point ?

Au point d’abscisse a, la tangente a pour équation y = f′(a)(x − a) + f(a). On calcule f(a) et f′(a), on remplace, on réduit sous la forme y = mx + p, puis on vérifie que x = a redonne f(a).

Q: À quoi sert l’approximation affine ?

Elle donne une valeur approchée de f(a + h) quand h est petit : f(a + h) ≈ f(a) + h f′(a). Par exemple √4,1 ≈ 2 + 0,1 × 1/4 = 2,025. Elle traduit le fait que, près du point de contact, la courbe se confond presque avec sa tangente.

Taux de variation et sécante, nombre dérivé comme limite du taux de variation, lecture graphique, équation de la tangente, approximation affine ; la racine carrée n’est pas dérivable en 0.

À propos de cette page

Ce cours de spécialité maths de 1re sur le nombre dérivé suit cinq parties : taux de variation et sécante, nombre dérivé comme limite du taux quand h tend vers 0, lecture graphique sur la tangente, équation de la tangente y = f′(a)(x − a) + f(a), approximation affine avec vitesse instantanée et coût marginal. Les deux démonstrations à connaître de ce chapitre (formule de la tangente, racine carrée non dérivable en 0) y sont rédigées.

Taux de variation et sécante

Ce qu’il faut savoir

Taux de variation. Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ , et $a$ , $b$ deux réels distincts de $I$ . Le taux de variation de $f$ entre $a$ et $b$ est le nombre $\frac{f (b) - f (a)}{b - a}$ .

Avec un pas $h$ . En posant $b = a + h$ , avec $h \neq 0$ et $a + h \in I$ , le taux de variation de $f$ entre $a$ et $a + h$ s’écrit $\frac{f (a + h) - f (a)}{h}$ .

Sécante. Ce nombre est le coefficient directeur de la droite $(A M)$ , appelée sécante, qui passe par les points $A (a; f (a))$ et $M (b; f (b))$ de la courbe $𝒞_{f}$ . Taux positif : la sécante monte ; taux négatif : elle descend ; taux nul : $f (a) = f (b)$ .

Lecture concrète. Si $f (t)$ est une position (en m) à l’instant $t$ (en s), le taux de variation entre deux instants est la vitesse moyenne (en m/s) : la variation moyenne de $f$ par unité de $t$ .

Exemples

Entre deux réels. $g (x) = \frac{1}{x}$ entre $1$ et $4$ : $g (1) = 1$ et $g (4) = \frac{1}{4}$ . Le taux vaut $\frac{\frac{1}{4} - 1}{4 - 1}$ $= \frac{- \frac{3}{4}}{3} = - \frac{1}{4}$ : la sécante descend.

Avec un pas $h$ . $f (x) = x^{2}$ entre $1$ et $1 + h$ : $\frac{(1 + h)^{2} - 1^{2}}{h}$ $= \frac{1 + 2 h + h^{2} - 1}{h}$ $= \frac{h (2 + h)}{h}$ $= 2 + h$ (on simplifie par $h \neq 0$ ).

Pour $h = 1$ (entre $1$ et $2$ ), le taux vaut $3$ ; pour $h = 0, 1$ , il vaut $2, 1$ ; pour $h = 0, 01$ , il vaut $2, 01$ . Plus $h$ est proche de $0$ , plus le taux est proche de $2$ : c’est l’idée du nombre dérivé.

Vitesse moyenne. Un mobile est à la position $p (t) = t^{2} + 3 t$ (en m) à l’instant $t$ (en s). $p (2) = 10$ et $p (4) = 28$ , donc sa vitesse moyenne entre $t = 2$ et $t = 4$ est $\frac{28 - 10}{4 - 2} = 9$ m/s.

Réflexe — Je calcule séparément $f (a)$ et $f (b)$ (avec des parenthèses autour des nombres négatifs), puis je divise la différence des images par la différence des abscisses, dans le même ordre en haut et en bas.

Attention — Écrire $\frac{f (b) - f (a)}{a - b}$ change le signe du résultat. Et un taux nul entre $a$ et $b$ ne veut pas dire que $f$ est constante : seulement que $f (a) = f (b)$ (la courbe a pu monter puis redescendre).

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Nombre dérivé : la limite du taux de variation

Ce qu’il faut savoir

Définition. On dit que $f$ est dérivable en $a$ si le taux de variation $\frac{f (a + h) - f (a)}{h}$ tend vers un nombre réel $ℓ$ quand $h$ tend vers $0$ ( $h$ non nul, positif ou négatif). Ce réel est le nombre dérivé de $f$ en $a$ , noté $f' (a)$ :

$f' (a) = lim_{h \to 0} \frac{f (a + h) - f (a)}{h} .$

« Tend vers $ℓ$ » signifie que le taux devient aussi proche de $ℓ$ que l’on veut dès que $h$ est assez proche de $0$ . En pratique, en 1^re : on simplifie d’abord le taux par $h$ , puis on remplace $h$ par $0$ dans l’expression simplifiée.

Méthode. 1. Calculer $f (a)$ . 2. Calculer et développer $f (a + h)$ . 3. Former $f (a + h) - f (a)$ , qui se factorise par $h$ , et simplifier le taux par $h$ . 4. Faire tendre $h$ vers $0$ et conclure.

Techniques. Polynôme : développer. Inverse : réduire au même dénominateur. Racine carrée : multiplier en haut et en bas par la quantité conjuguée (approfondissement).

Non dérivable. Si le taux n’a pas de limite finie (il devient aussi grand que l’on veut, ou il ne s’approche pas du même nombre selon le signe de $h$ ), $f$ n’est pas dérivable en $a$ . La fonction racine carrée n’est pas dérivable en $0$ (démonstration à connaître).

Exemples

Fonction carré, en tout réel $a$ . Pour $a$ réel et $h \neq 0$ : $\frac{(a + h)^{2} - a^{2}}{h}$ $= \frac{2 a h + h^{2}}{h}$ $= \frac{h (2 a + h)}{h}$ $= 2 a + h$ . Quand $h$ tend vers $0$ , $2 a + h$ tend vers $2 a$ . La fonction carré est dérivable en tout réel $a$ , et $f' (a) = 2 a$ . (C’est la démonstration de $(x^{2})^{'} = 2 x$ , reprise dans le chapitre Calcul de dérivées.)

Polynôme. $f (x) = x^{2} - 3 x$ en $a = 2$ . $f (2) = 4 - 6 = - 2$ et $f (2 + h) = (2 + h)^{2} - 3 (2 + h)$ $= 4 + 4 h + h^{2} - 6 - 3 h$ $= - 2 + h + h^{2}$ . Taux : $\frac{h + h^{2}}{h} = 1 + h$ , qui tend vers $1$ quand $h$ tend vers $0$ . Donc $f$ est dérivable en $2$ et $f' (2) = 1$ .

Inverse : même dénominateur. $g (x) = \frac{1}{x}$ en $a = 1$ , avec $h \neq 0$ et $h \neq - 1$ : $g (1 + h) - g (1) = \frac{1}{1 + h} - 1$ $= \frac{1 - (1 + h)}{1 + h}$ $= \frac{- h}{1 + h}$ . Le taux vaut $- \frac{1}{1 + h}$ , qui tend vers $- 1$ : $g' (1) = - 1$ .

Racine : quantité conjuguée (approfondissement, hors programme 2026). $r (x) = \sqrt{x}$ en $a = 4$ : $\frac{\sqrt{4 + h} - 2}{h}$ $= \frac{(\sqrt{4 + h} - 2) (\sqrt{4 + h} + 2)}{h (\sqrt{4 + h} + 2)}$ $= \frac{(4 + h) - 4}{h (\sqrt{4 + h} + 2)}$ $= \frac{1}{\sqrt{4 + h} + 2}$ . Quand $h$ tend vers $0$ , $\sqrt{4 + h}$ tend vers $2$ , donc le taux tend vers $\frac{1}{4}$ : $r' (4) = \frac{1}{4}$ .

Démonstration — $\sqrt{x}$ n’est pas dérivable en $0$ . $r$ n’est définie qu’à droite de $0$ . Pour $h > 0$ : $\frac{\sqrt{0 + h} - \sqrt{0}}{h}$ $= \frac{\sqrt{h}}{h}$ $= \frac{1}{\sqrt{h}}$ . Quand $h$ tend vers $0$ , $\sqrt{h}$ tend vers $0$ et $\frac{1}{\sqrt{h}}$ devient aussi grand que l’on veut (il vaut $10$ pour $h = 0, 01$ et $100$ pour $h = 0, 000 1$ ). Le taux n’a pas de limite finie : $r$ n’est pas dérivable en $0$ , bien qu’elle y soit définie. Graphiquement, les sécantes $(O M)$ deviennent de plus en plus raides : la courbe « part à la verticale » en $O$ , le long de l’axe des ordonnées (on parle de demi-tangente verticale).

Réflexe — Je simplifie toujours le taux par $h$ avant de faire tendre $h$ vers $0$ , et je conclus par la phrase : « quand $h$ tend vers $0$ , le taux tend vers …, donc $f$ est dérivable en $a$ et $f' (a) = \dots$ ».

Attention — « $f' (a) = 2 a + h$ » est faux : le nombre dérivé est une limite, il ne dépend pas de $h$ . Remplacer $h$ par $0$ avant de simplifier donne « $\frac{0}{0}$ », qui ne veut rien dire. Enfin, être définie en $a$ ne suffit pas pour être dérivable en $a$ .

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Tangente et lecture graphique du nombre dérivé

Ce qu’il faut savoir

Tangente. Quand $h$ tend vers $0$ , le point $M (a + h; f (a + h))$ glisse le long de la courbe vers $A (a; f (a))$ et la sécante $(A M)$ pivote vers une position limite : la tangente à $𝒞_{f}$ en $A$ . Si $f$ est dérivable en $a$ , c’est la droite qui passe par $A$ et dont le coefficient directeur est $f' (a)$ .

Lecture graphique. $f (a)$ est l’ordonnée du point $A$ de la courbe d’abscisse $a$ . $f' (a)$ est la pente de la tangente en $A$ : on choisit sur la tangente un second point $B$ à coordonnées lisibles, et $f' (a) = \frac{y_{B} - y_{A}}{x_{B} - x_{A}}$ . Autre lecture : quand on avance de $1$ sur la tangente, on monte de $f' (a)$ (on descend si $f' (a) < 0$ ).

Signe. Tangente qui monte : $f' (a) > 0$ ; tangente horizontale : $f' (a) = 0$ ; tangente qui descend : $f' (a) < 0$ .

Exemples

La figure montre la courbe $𝒞_{f}$ d’une fonction $f$ et ses tangentes aux points $A$ , $B$ et $C$ , d’abscisses $- 2$ , $0$ et $2$ (un carreau = une unité).

En $A$ . $A (- 2; 6)$ , donc $f (- 2) = 6$ . La tangente est horizontale, donc $f' (- 2) = 0$ .

En $B$ . $B (0; 2)$ , donc $f (0) = 2$ . La tangente passe aussi par $D (1; - 1)$ : $f' (0) = \frac{- 1 - 2}{1 - 0} = - 3$ . Elle descend : le nombre dérivé est négatif. De $B$ à $D$ , on avance de $1$ et on descend de $3$ .

En $C$ . $C (2; - 2)$ , donc $f (2) = - 2$ et, la tangente étant horizontale, $f' (2) = 0$ : une tangente horizontale n’est pas forcément l’axe des abscisses.

Réflexe — $f (a)$ se lit sur la courbe, $f' (a)$ se lit sur la tangente : je repère deux points de la tangente à coordonnées entières, puis je divise l’écart des ordonnées par l’écart des abscisses.

Attention — Ne pas confondre $f (a)$ , une ordonnée, et $f' (a)$ , une pente : $f' (a) = 0$ ne veut pas dire $f (a) = 0$ (au point $C$ , $f (2) = - 2$ ). Si les deux axes n’ont pas la même unité, on compte en graduations, pas en carreaux.

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Équation de la tangente

Ce qu’il faut savoir

Propriété. Si $f$ est dérivable en $a$ , la tangente à $𝒞_{f}$ au point d’abscisse $a$ a pour équation

$y = f' (a) (x - a) + f (a) .$

Méthode. 1. Calculer $f (a)$ . 2. Calculer $f' (a)$ . 3. Remplacer dans la formule et réduire sous la forme $y = m x + p$ . 4. Contrôler : $x = a$ doit redonner $y = f (a)$ .

Tangente de pente donnée $m$ . On résout $f' (a) = m$ (une tangente parallèle à une droite a le même coefficient directeur qu’elle). Tangente passant par un point $K$ donné : on écrit la tangente au point d’abscisse $a$ , puis on impose que les coordonnées de $K$ vérifient son équation.

Exemples

Démonstration de la formule. La tangente n’est pas verticale et son coefficient directeur est $f' (a)$ : elle a une équation de la forme $y = f' (a) x + p$ . Elle passe par $A (a; f (a))$ , donc $f (a) = f' (a) \times a + p$ , d’où $p = f (a) - a f' (a)$ . Ainsi $y = f' (a) x - a f' (a) + f (a)$ , soit $y = f' (a) (x - a) + f (a)$ .

Suite de la partie 2. $f (x) = x^{2} - 3 x$ en $a = 2$ : $f (2) = - 2$ et $f' (2) = 1$ . Tangente : $y = 1 \times (x - 2) + (- 2)$ , soit $y = x - 4$ . Contrôle : $x = 2$ donne $y = - 2 = f (2)$ .

Fonction carré en $1$ . $f (1) = 1$ et $f' (1) = 2 \times 1 = 2$ : $y = 2 (x - 1) + 1$ , soit $y = 2 x - 1$ .

Pente imposée. En quel point de la parabole d’équation $y = x^{2}$ la tangente est-elle parallèle à la droite $y = - 4 x + 7$ ? Il faut $f' (a) = - 4$ , soit $2 a = - 4$ , donc $a = - 2$ . Comme $f (- 2) = 4$ , cette tangente a pour équation $y = - 4 (x + 2) + 4$ , soit $y = - 4 x - 4$ .

Réflexe — Pour une tangente, il me faut deux nombres : $f (a)$ (le point de contact) et $f' (a)$ (la pente). J’écris la formule avec ses parenthèses, je réduis, puis je contrôle avec $x = a$ .

Attention — « $y = f' (a) x + f (a)$ » oublie le « $- a$ » : ce n’est juste que si $a = 0$ . Avec $a$ négatif, $x - a$ devient $x + 2$ pour $a = - 2$ : on garde les parenthèses.

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Approximation affine, vitesse et coût marginal

Ce qu’il faut savoir

Approximation affine. Si $f$ est dérivable en $a$ , alors pour $h$ proche de $0$ :

$f (a + h) \approx f (a) + h f' (a) .$

On parle aussi d’approximation linéaire ; la fonction $x \mapsto f (a) + f' (a) (x - a)$ est la fonction affine tangente à $f$ en $a$ .

Près du point $A$ , la courbe est presque confondue avec sa tangente : on remplace $f$ par la fonction affine $x \mapsto f' (a) (x - a) + f (a)$ .

Méthode. Écrire la valeur cherchée sous la forme $f (a + h)$ , avec $a$ « simple » (on sait calculer $f (a)$ et $f' (a)$ à la main) et $h$ petit ; calculer $f (a)$ et $f' (a)$ ; conclure.

Interprétations. Si $f (t)$ est une position à l’instant $t$ , le taux de variation est une vitesse moyenne et $f' (a)$ est la vitesse instantanée à l’instant $a$ . Si $C (q)$ est le coût de production de $q$ objets, $C' (q)$ est le coût marginal, proche du coût de fabrication d’un objet de plus.

Exemples

Racine carrée. $r (4) = 2$ et $r' (4) = \frac{1}{4}$ (partie 2). Donc $\sqrt{4, 1} = r (4 + 0, 1)$ $\approx 2 + 0, 1 \times \frac{1}{4}$ $= 2, 025$ . La valeur exacte est $\sqrt{4, 1} = 2, 024 8 \dots$ : l’erreur est inférieure à $0, 000 3$ .

Inverse. $\frac{1}{1, 02} = g (1 + 0, 02)$ avec $g (x) = \frac{1}{x}$ , $g (1) = 1$ et $g' (1) = - 1$ (partie 2) : $\frac{1}{1, 02} \approx 1 + 0, 02 \times (- 1)$ $= 0, 98$ . Valeur exacte : $0, 980 39 \dots$

Vitesse instantanée. Reprenons le mobile de la partie 1, à la position $p (t) = t^{2} + 3 t$ . Pour $h \neq 0$ : $p (2 + h) - p (2)$ $= (4 + 4 h + h^{2}) + (6 + 3 h) - 10$ $= 7 h + h^{2}$ . Le taux vaut $7 + h$ , qui tend vers $7$ : à l’instant $t = 2$ , la vitesse instantanée est $p' (2) = 7$ m/s, alors que la vitesse moyenne entre $t = 2$ et $t = 4$ était de $9$ m/s.

Réflexe — Je repère $a$ et $h$ dans la valeur à estimer, puis j’écris « $\approx$ » et non « $=$ ». Plus $h$ est proche de $0$ , meilleure est l’approximation.

Attention — C’est $h$ qui multiplie $f' (a)$ : $f (a + h) \approx f (a) + h f' (a)$ , et non $f (a) + f' (a)$ . Pour $h$ négatif, on garde le signe : $\sqrt{3, 9} = r (4 - 0, 1)$ , avec $h = - 0, 1$ .

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Pour aller plus loin

Fonction dérivée et dérivées usuelles. Quand $f$ est dérivable en tout réel d’un intervalle, la fonction $x \mapsto f' (x)$ est sa fonction dérivée. Les formules (puissances, inverse, racine carrée, somme, produit, quotient) et la valeur absolue, non dérivable en $0$ , sont dans le chapitre Calcul de dérivées.

Signe du nombre dérivé et variations. Le lien entre le signe de $f'$ et le sens de variation de $f$ , les extremums et l’optimisation sont traités dans le chapitre Variations, extremums et courbes.

À retenir

Taux de variation de $f$ entre $a$ et $b$ : $\frac{f (b) - f (a)}{b - a}$ , coefficient directeur de la sécante ; avec $b = a + h$ : $\frac{f (a + h) - f (a)}{h}$ .
$f' (a) = lim_{h \to 0} \frac{f (a + h) - f (a)}{h}$ : on simplifie le taux par $h$ , puis on fait tendre $h$ vers $0$ . $\sqrt{x}$ n’est pas dérivable en $0$ (taux $\frac{1}{\sqrt{h}}$ ).
$f' (a)$ est le coefficient directeur de la tangente au point d’abscisse $a$ : $f (a)$ se lit sur la courbe, $f' (a)$ sur la tangente.
Tangente au point d’abscisse $a$ : $y = f' (a) (x - a) + f (a)$ .
Approximation affine : $f (a + h) \approx f (a) + h f' (a)$ pour $h$ proche de $0$ ; $f' (a)$ est une vitesse instantanée ou un coût marginal.

Questions fréquentes

Comment calculer un taux de variation ?

Entre deux réels a et b, on calcule f(a) et f(b), puis (f(b) − f(a))/(b − a), en gardant le même ordre en haut et en bas. C’est le coefficient directeur de la sécante qui joint les deux points de la courbe ; pour une position en fonction du temps, c’est une vitesse moyenne.

Comment calculer un nombre dérivé avec la définition ?

On calcule f(a) et f(a + h), on factorise f(a + h) − f(a) par h, on simplifie le taux (f(a + h) − f(a))/h, puis on fait tendre h vers 0. La limite obtenue, si c’est un réel, est f′(a). Pour 1/x on réduit au même dénominateur, pour √x on peut utiliser la quantité conjuguée (approfondissement).

Comment lire un nombre dérivé sur un graphique ?

f(a) est l’ordonnée du point de la courbe d’abscisse a ; f′(a) est le coefficient directeur de la tangente en ce point. On repère deux points de la tangente à coordonnées entières et on divise l’écart des ordonnées par l’écart des abscisses. Tangente horizontale : f′(a) = 0.

Quelle est l’équation de la tangente en un point ?

Au point d’abscisse a, la tangente a pour équation y = f′(a)(x − a) + f(a). On calcule f(a) et f′(a), on remplace, on réduit sous la forme y = mx + p, puis on vérifie que x = a redonne f(a).

À quoi sert l’approximation affine ?

Elle donne une valeur approchée de f(a + h) quand h est petit : f(a + h) ≈ f(a) + h f′(a). Par exemple √4,1 ≈ 2 + 0,1 × 1/4 = 2,025. Elle traduit le fait que, près du point de contact, la courbe se confond presque avec sa tangente.

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