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Dérivation et variations : extremums et optimisation

Signe de la dérivée et sens de variation, tableau de variations, extremums locaux, problèmes d'optimisation, étude complète de fonction, méthode de Newton (approche)

À propos de cette page

Ce QCM sur « Dérivation et variations : extremums et optimisation » en première teste tes connaissances en spécialité mathématiques de manière interactive. Les questions, classées par niveau (facile, moyen, difficile), respectent le programme officiel de première. Au programme : L'essentiel : dérivée et sens de variation, Variations des fonctions : le tableau de variations, Extremums locaux, Optimisation et inégalités. À chaque réponse, une explication détaillée t'aide à comprendre tes erreurs et à mémoriser l'essentiel. Idéal pour s'auto-évaluer rapidement, réviser avant un contrôle ou consolider ses acquis. Quiz gratuit conçu par un professeur particulier à Marseille pour progresser en spécialité mathématiques en première.

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Les 24 questions du QCM en version texte

Pour réviser sans écran ou imprimer : chaque question avec ses propositions ; la bonne réponse et son explication se déplient.

Niveau facile — 8 questions

$f$ est dérivable sur un intervalle $I$ et $f^{'} (x) > 0$ pour tout $x \in I$ . Alors $f$ est :
- A. strictement décroissante sur $I$
- B. strictement croissante sur $I$
- C. constante sur $I$
- D. positive sur $I$
Réponse
B. strictement croissante sur $I$ — Une dérivée strictement positive sur un intervalle donne une fonction strictement croissante. Elle ne dit rien du signe de $f$ elle-même.
Si $f^{'} (x) = x - 4$ sur $ℝ$ , sur quel intervalle $f$ est-elle décroissante ?
- A. $] - \infty; 4]$
- B. $[4; + \infty [$
- C. $] - \infty; - 4]$
- D. $[- 4; + \infty [$
Réponse
A. $] - \infty; 4]$ — $x - 4 \leq 0 ⟺ x \leq 4$ : la dérivée est négative sur $] - \infty; 4]$ , donc $f$ y est décroissante.
$f$ est dérivable sur un intervalle ouvert et admet un extremum local en $a$ . Que peut-on affirmer ?
- A. $f (a) = 0$
- B. $f^{'} (a) > 0$
- C. $f^{'} (a) < 0$
- D. $f^{'} (a) = 0$
Réponse
D. $f^{'} (a) = 0$ — Condition nécessaire : en un extremum local intérieur, la tangente est horizontale, donc $f^{'} (a) = 0$ .
$f^{'}$ est négative avant 2, s'annule en 2 et est positive après 2. En 2, $f$ admet :
- A. un maximum local
- B. un minimum local
- C. aucun extremum
- D. une tangente verticale
Réponse
B. un minimum local — $f$ décroît puis croît : $f (2)$ est un minimum local.
Pour $f (x) = x^{2} + 2 x$ , sur quel intervalle $f$ est-elle croissante ?
- A. $[- 1; + \infty [$
- B. $] - \infty; - 1]$
- C. $[1; + \infty [$
- D. $[- 2; + \infty [$
Réponse
A. $[- 1; + \infty [$ — $f^{'} (x) = 2 x + 2 \geq 0 ⟺ x \geq - 1$ .
Dans la méthode de Newton, $x_{n + 1}$ est égal à :
- A. $x_{n} + \frac{f (x_{n})}{f^{'} (x_{n})}$
- B. $x_{n} - \frac{f^{'} (x_{n})}{f (x_{n})}$
- C. $x_{n} - \frac{f (x_{n})}{f^{'} (x_{n})}$
- D. $f (x_{n}) - \frac{x_{n}}{f^{'} (x_{n})}$
Réponse
C. $x_{n} - \frac{f (x_{n})}{f^{'} (x_{n})}$ — C'est l'abscisse du point où la tangente en $x_{n}$ coupe l'axe des abscisses : $x_{n} - \frac{f (x_{n})}{f^{'} (x_{n})}$ .
Si $f^{'} (x) = 0$ pour tout $x$ d'un intervalle $I$ , alors $f$ est :
- A. croissante sur $I$
- B. nulle sur $I$
- C. constante sur $I$
- D. décroissante sur $I$
Réponse
C. constante sur $I$ — Dérivée nulle sur un intervalle : la fonction est constante, pas forcément nulle (par exemple $f (x) = 5$ ).
$f$ est croissante sur $[0; 5]$ . Son maximum sur $[0; 5]$ est :
- A. $f (0)$
- B. $f (2, 5)$
- C. $0$
- D. $f (5)$
Réponse
D. $f (5)$ — Une fonction croissante atteint sa plus grande valeur à la borne de droite : $f (5)$ .

Niveau moyen — 8 questions

Quelle est la valeur du maximum local de $f (x) = x^{3} - 27 x$ ?
- A. $54$
- B. $- 54$
- C. $27$
- D. $0$
Réponse
A. $54$ — $f^{'} (x) = 3 (x - 3) (x + 3)$ passe de $+$ à $-$ en $- 3$ : maximum local $f (- 3) = - 27 + 81 = 54$ .
Quel est le maximum de $f (x) = - 2 x^{2} + 10 x + 3$ sur $ℝ$ ?
- A. $2, 5$
- B. $15, 5$
- C. $3$
- D. $12, 5$
Réponse
B. $15, 5$ — $f^{'} (x) = - 4 x + 10$ s'annule en $2, 5$ en passant de $+$ à $-$ ; $f (2, 5) = - 12, 5 + 25 + 3 = 15, 5$ . $2, 5$ est l'abscisse, pas la valeur.
Quel est le minimum de $f (x) = 4 x + \frac{25}{x}$ sur $] 0; + \infty [$ ?
- A. $\frac{5}{2}$
- B. $10$
- C. $20$
- D. $29$
Réponse
C. $20$ — $f^{'} (x) = 4 - \frac{25}{x^{2}}$ s'annule en $\frac{5}{2}$ en passant de $-$ à $+$ ; $f (\frac{5}{2}) = 10 + 10 = 20$ .
Soit $f (x) = \frac{x - 1}{x + 2}$ sur $] - 2; + \infty [$ . Alors $f$ est :
- A. décroissante sur $] - 2; + \infty [$
- B. croissante sur $] - 2; + \infty [$
- C. décroissante puis croissante
- D. croissante puis décroissante
Réponse
B. croissante sur $] - 2; + \infty [$ — $f^{'} (x) = \frac{(x + 2) - (x - 1)}{(x + 2)^{2}} = \frac{3}{(x + 2)^{2}} > 0$ .
Méthode de Newton pour $f (x) = x^{2} - 5$ avec $x_{0} = 2$ . Que vaut $x_{1}$ ?
- A. $2, 5$
- B. $2, 2$
- C. $1, 75$
- D. $2, 25$
Réponse
D. $2, 25$ — $f (2) = - 1$ , $f^{'} (2) = 4$ : $x_{1} = 2 - \frac{- 1}{4} = 2, 25$ .
Sur quel intervalle $f (x) = 2 x^{3} - 9 x^{2} + 12 x$ est-elle décroissante ?
- A. $[1; 2]$
- B. $] - \infty; 1]$
- C. $[2; + \infty [$
- D. $[- 2; - 1]$
Réponse
A. $[1; 2]$ — $f^{'} (x) = 6 x^{2} - 18 x + 12 = 6 (x - 1) (x - 2)$ est négatif entre les racines 1 et 2.
$f$ est dérivable sur $ℝ$ avec $f^{'} (x) = (x + 1) (3 - x)$ . $f$ est croissante sur :
- A. $] - \infty; - 1]$
- B. $[3; + \infty [$
- C. $[- 1; 3]$
- D. $[- 3; 1]$
Réponse
C. $[- 1; 3]$ — Le trinôme $- (x + 1) (x - 3)$ a un coefficient dominant négatif : il est positif entre ses racines $- 1$ et 3.
Un rectangle a un périmètre de 36 cm. Son aire maximale, en cm², vaut :
- A. $36$
- B. $18$
- C. $324$
- D. $81$
Réponse
D. $81$ — $A (x) = x (18 - x)$ , $A^{'} (x) = 18 - 2 x$ s'annule en 9 : carré de côté 9, aire 81 cm².

Niveau difficile — 8 questions

Pour $f (x) = x^{3}$ , on a $f^{'} (0) = 0$ . Que peut-on dire en 0 ?
- A. $f$ y a un minimum local
- B. $f$ y a un maximum local
- C. $f$ n'y a pas d'extremum
- D. $f$ n'y est pas dérivable
Réponse
C. $f$ n'y a pas d'extremum — $f^{'} (x) = 3 x^{2} \geq 0$ ne change pas de signe en 0 : $f$ est strictement croissante, sans extremum. $f^{'} (a) = 0$ ne suffit pas.
$f (x) = \frac{1}{x}$ vérifie $f^{'} (x) < 0$ sur $ℝ^{*}$ . « $f$ est décroissante sur $ℝ^{*}$ » est :
- A. vraie car $f^{'} < 0$ sur $ℝ^{*}$
- B. fausse : $f (- 1) < f (1)$
- C. vraie car $f$ est continue
- D. fausse : $f^{'}$ s'annule en 0
Réponse
B. fausse : $f (- 1) < f (1)$ — $ℝ^{*}$ n'est pas un intervalle : $- 1 < 1$ et $f (- 1) = - 1 < f (1) = 1$ . $f$ décroît sur chacun des deux intervalles séparément.
Soit $f (x) = x^{2} - 2 x$ . Le maximum de $f$ sur $[0; 3]$ vaut :
- A. $- 1$
- B. $0$
- C. $1$
- D. $3$
Réponse
D. $3$ — $f^{'}$ s'annule en 1, mais c'est un minimum ( $f (1) = - 1$ ). On compare les bornes : $f (0) = 0$ , $f (3) = 3$ . Le maximum est 3.
Pour $f$ dérivable sur un intervalle $I$ et $a \in I$ , la condition $f^{'} (a) = 0$ est, pour un extremum local en $a$ :
- A. nécessaire si $a$ n'est pas une borne
- B. suffisante dans tous les cas
- C. nécessaire et suffisante
- D. sans lien avec les extremums
Réponse
A. nécessaire si $a$ n'est pas une borne — En un point intérieur, un extremum impose $f^{'} (a) = 0$ (nécessaire), mais $x^{3}$ montre que ce n'est pas suffisant. En une borne, $f^{'} (a)$ peut être non nul.
Méthode de Newton pour $f (x) = x^{3} - 3 x$ avec $x_{0} = 1$ . Que se passe-t-il ?
- A. on obtient $x_{1} = 0$
- B. $x_{1}$ n'existe pas
- C. on obtient $x_{1} = 2$
- D. on obtient $x_{1} = 1$
Réponse
B. $x_{1}$ n'existe pas — $f^{'} (1) = 3 - 3 = 0$ : la tangente est horizontale et la formule impose une division par zéro.
Pour $f (x) = x + \frac{1}{x}$ sur $ℝ^{*}$ , laquelle est vraie ?
- A. son minimum local vaut $- 2$
- B. elle croît sur $ℝ^{*}$
- C. elle n'a pas d'extremum
- D. son maximum local vaut $- 2$
Réponse
D. son maximum local vaut $- 2$ — $f^{'} (x) = \frac{x^{2} - 1}{x^{2}}$ : maximum local $f (- 1) = - 2$ , minimum local $f (1) = 2$ . Un maximum local peut être inférieur à un minimum local.
$f$ est dérivable sur $ℝ$ avec $f^{'} (x) = (x - 2)^{2} (x + 1)$ . En $x = 2$ , $f$ admet :
- A. un minimum local
- B. un maximum local
- C. aucun extremum local
- D. une tangente verticale
Réponse
C. aucun extremum local — $(x - 2)^{2} \geq 0$ : $f^{'}$ a le signe de $x + 1$ , positif de part et d'autre de 2. Pas de changement de signe en 2 (le minimum est en $- 1$ ).
Avec 40 m de grillage, on clôt trois côtés d'un enclos rectangulaire adossé à un mur. Aire maximale ?
- A. $200$ m²
- B. $400$ m²
- C. $100$ m²
- D. $225$ m²
Réponse
A. $200$ m² — Avec $x$ la largeur perpendiculaire au mur : $A (x) = x (40 - 2 x)$ , $A^{'} (x) = 40 - 4 x$ s'annule en 10 ; $A (10) = 10 \times 20 = 200$ m². Ce n'est pas un carré.

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