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Spécialité Mathématiques 1ʳᵉ

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Nombre dérivé et tangente

Taux de variation et sécante, nombre dérivé comme limite du taux de variation, lecture graphique, équation de la tangente, approximation affine ; la racine carrée n’est pas dérivable en 0.

À propos de cette page
Un QCM sur le nombre dérivé et la tangente en trois niveaux de douze questions : définitions du taux de variation et du nombre dérivé, équations de tangentes, approximations affines, dérivabilité de la racine carrée et pièges entre pente moyenne et pente en un point. Chaque réponse est expliquée.

Les 36 questions du QCM en version texte

Pour réviser sans écran ou imprimer : chaque question avec ses propositions ; la bonne réponse et son explication se déplient.

Niveau facile ★ — 12 questions

  1. Le taux de variation de f entre a et b (a ≠ b) est :

    • A. (f(b) + f(a))/(b − a)
    • B. (f(b) − f(a))/(b − a)
    • C. (b − a)/(f(b) − f(a))
    • D. (f(b) − f(a))/(b + a)
    Réponse

    B. (f(b) − f(a))/(b − a) — C’est l’écart des images divisé par l’écart des abscisses : le coefficient directeur de la sécante.

  2. Le nombre dérivé f′(a) est défini comme :

    • A. la valeur du taux de variation pour h = 1
    • B. la limite de f(a + h) quand h tend vers 0
    • C. la limite du taux de variation quand h tend vers 0
    • D. la valeur de f(a + h) − f(a) pour h = 0
    Réponse

    C. la limite du taux de variation quand h tend vers 0 — f′(a) est la limite de (f(a + h) − f(a))/h quand h tend vers 0, si cette limite est un réel.

  3. Graphiquement, f′(a) est :

    • A. l’ordonnée du point de la courbe d’abscisse a
    • B. le coefficient directeur de la tangente au point d’abscisse a
    • C. l’ordonnée à l’origine de la tangente en a
    • D. l’abscisse où la tangente coupe l’axe des abscisses
    Réponse

    B. le coefficient directeur de la tangente au point d’abscisse a — Le nombre dérivé est la pente de la tangente ; l’ordonnée du point de contact est f(a).

  4. La tangente à la courbe de f au point d’abscisse a a pour équation :

    • A. y = f(a)(x − a) + f′(a)
    • B. y = f′(a)x + f(a)
    • C. y = f′(a)(x + a) + f(a)
    • D. y = f′(a)(x − a) + f(a)
    Réponse

    D. y = f′(a)(x − a) + f(a) — Droite de pente f′(a) qui passe par (a ; f(a)) : y = f′(a)(x − a) + f(a).

  5. La tangente à la courbe de f au point d’abscisse a est horizontale. Alors :

    • A. f′(a) = 0
    • B. f(a) = 0
    • C. f′(a) = 1
    • D. f(a) = a
    Réponse

    A. f′(a) = 0 — Une droite horizontale a un coefficient directeur nul, et ce coefficient est f′(a). f(a) peut valoir n’importe quoi.

  6. La tangente au point A(7 ; 3) de la courbe de f passe par B(9 ; −5). Alors f′(7) vaut :

    • A. 4
    • B. −2
    • C. −8
    • D. −4
    Réponse

    D. −4 — Pente de (AB) : (−5 − 3)/(9 − 7) = −8/2 = −4.

  7. Pour la fonction affine f(x) = −3x + 8, le nombre dérivé f′(a) vaut, pour tout réel a :

    • A. −3
    • B. 8
    • C. −3a + 8
    • D. −3a
    Réponse

    A. −3 — f(a + h) − f(a) = −3h : le taux vaut −3 pour tout h, donc f′(a) = −3. La droite est sa propre tangente.

  8. L’approximation affine de f au voisinage de a s’écrit :

    • A. f(a + h) ≈ f(a) + f′(a)
    • B. f(a + h) ≈ f(a) + h f′(a)
    • C. f(a + h) ≈ h f(a) + f′(a)
    • D. f(a + h) ≈ f′(a) + h f(a)
    Réponse

    B. f(a + h) ≈ f(a) + h f′(a) — On remplace la courbe par sa tangente : f(a + h) ≈ f(a) + h f′(a), pour h proche de 0.

  9. Le taux de variation de f entre 2 et 2 + h vaut 5 + h. Alors f′(2) vaut :

    • A. 5 + h
    • B. 6
    • C. 5
    • D. 0
    Réponse

    C. 5 — Quand h tend vers 0, 5 + h tend vers 5 : f′(2) = 5. 6 est le taux pour h = 1.

  10. d(t) est la distance parcourue (en m) au bout de t secondes. Le nombre d′(3) est :

    • A. la vitesse moyenne entre 0 et 3 s
    • B. la distance parcourue en 3 s
    • C. le temps mis pour parcourir 3 m
    • D. la vitesse instantanée à l’instant 3 s
    Réponse

    D. la vitesse instantanée à l’instant 3 s — Le taux de variation donne une vitesse moyenne ; sa limite, le nombre dérivé, donne la vitesse à l’instant 3 s.

  11. La fonction racine carrée en 0 :

    • A. est dérivable et sa dérivée en 0 vaut 0
    • B. n’est pas dérivable : le taux 1/√h n’a pas de limite finie
    • C. n’est pas dérivable, car elle n’est pas définie en 0 (√0 n’existe pas)
    • D. est dérivable et sa dérivée en 0 vaut 1/2
    Réponse

    B. n’est pas dérivable : le taux 1/√h n’a pas de limite finie — √0 = 0 existe, mais pour h > 0 le taux vaut √h/h = 1/√h, qui devient aussi grand que l’on veut.

  12. La tangente à la courbe de f au point d’abscisse a descend. Alors :

    • A. f(a) < 0
    • B. f′(a) = 0
    • C. f′(a) < 0
    • D. f(a) > f′(a)
    Réponse

    C. f′(a) < 0 — Une droite qui descend a un coefficient directeur négatif : f′(a) < 0. Le signe de f(a) n’est pas lié.

Niveau moyen ★★ — 12 questions

  1. Pour f(x) = x² + 2x, le taux de variation de f entre 1 et 4 vaut :

    • A. 21
    • B. 3
    • C. 8
    • D. 7
    Réponse

    D. 7 — f(4) = 16 + 8 = 24 et f(1) = 3 : (24 − 3)/(4 − 1) = 21/3 = 7.

  2. Pour f(x) = x², l’expression f(5 + h) − f(5) est égale à :

    • A. h²
    • B. 10h + h²
    • C. 25 + 10h + h²
    • D. 10h
    Réponse

    B. 10h + h² — (5 + h)² − 25 = 25 + 10h + h² − 25 = 10h + h².

  3. Pour f(x) = x² (f′(a) = 2a), la tangente au point d’abscisse −3 a pour équation :

    • A. y = −6x − 9
    • B. y = −6x + 9
    • C. y = 6x − 9
    • D. y = −6x − 27
    Réponse

    A. y = −6x − 9 — f(−3) = 9 et f′(−3) = −6 : y = −6(x + 3) + 9 = −6x − 9.

  4. Pour g(x) = 1/x, on admet g′(1/2) = −4. La tangente au point d’abscisse 1/2 a pour équation :

    • A. y = −4x + 2
    • B. y = 4x
    • C. y = −4x + 4
    • D. y = −2x + 3
    Réponse

    C. y = −4x + 4 — g(1/2) = 2 : y = −4(x − 1/2) + 2 = −4x + 2 + 2 = −4x + 4.

  5. Pour r(x) = √x, on admet r′(1) = 1/2. La tangente au point d’abscisse 1 a pour équation :

    • A. y = x/2
    • B. y = x/2 + 1/2
    • C. y = x
    • D. y = 2x − 1
    Réponse

    B. y = x/2 + 1/2 — r(1) = 1 : y = (1/2)(x − 1) + 1 = x/2 + 1/2.

  6. Avec r(9) = 3 et r′(9) = 1/6 pour r(x) = √x, l’approximation affine de √9,06 donne :

    • A. 3,06
    • B. 3,02
    • C. 3,03
    • D. 3,01
    Réponse

    D. 3,01 — √9,06 = r(9 + 0,06) ≈ 3 + 0,06 × 1/6 = 3 + 0,01 = 3,01.

  7. Le taux de variation de x ↦ 1/x entre 2 et 3 vaut :

    • A. −1/6
    • B. 1/6
    • C. −1/4
    • D. −1
    Réponse

    A. −1/6 — (1/3 − 1/2)/(3 − 2) = (2 − 3)/6 = −1/6.

  8. La tangente à la courbe de f au point d’abscisse 3 a pour équation y = 5x − 7. Alors :

    • A. f(3) = 5 et f′(3) = −7
    • B. f(3) = −7 et f′(3) = 5
    • C. f(3) = 8 et f′(3) = 5
    • D. f(3) = 8 et f′(3) = −7
    Réponse

    C. f(3) = 8 et f′(3) = 5 — La pente donne f′(3) = 5 ; le point de contact est sur la tangente : f(3) = 5 × 3 − 7 = 8.

  9. Pour f(x) = x², la tangente a pour coefficient directeur −7 au point d’abscisse :

    • A. −7
    • B. 7/2
    • C. −14
    • D. −7/2
    Réponse

    D. −7/2 — f′(a) = 2a = −7 donne a = −7/2.

  10. Pour g(x) = x² − 6x + 1, le taux de variation entre 3 et 3 + h vaut h. Alors g′(3) est égal à :

    • A. 0
    • B. h
    • C. 1
    • D. −6
    Réponse

    A. 0 — Quand h tend vers 0, h tend vers 0 : g′(3) = 0, la tangente en 3 est horizontale (sommet de la parabole).

  11. Pour f(x) = x³, on a f′(a) = 3a². L’équation f′(a) = 48 a pour solutions :

    • A. a = 16 seulement
    • B. a = 4 seulement
    • C. a = 4 ou a = −4
    • D. a = √48 seulement
    Réponse

    C. a = 4 ou a = −4 — 3a² = 48 ⟺ a² = 16 ⟺ a = 4 ou a = −4 : deux points de la courbe.

  12. Avec g(x) = 1/x, g(3) = 1/3 et g′(3) = −1/9, l’approximation affine de 1/3,03 donne environ :

    • A. 0,340
    • B. 0,330
    • C. 0,333
    • D. 0,327
    Réponse

    B. 0,330 — g(3 + 0,03) ≈ 1/3 + 0,03 × (−1/9) = 1/3 − 1/300 = 99/300 = 0,33.

Niveau difficile ★★★ — 12 questions

  1. Si f′(a) = 0, on peut affirmer que :

    • A. f(a) = 0
    • B. f est constante autour de a
    • C. la courbe coupe l’axe des abscisses en a
    • D. la tangente au point d’abscisse a est horizontale
    Réponse

    D. la tangente au point d’abscisse a est horizontale — f′(a) = 0 renseigne seulement sur la pente de la tangente, pas sur la valeur f(a).

  2. Soit f(x) = x² si x ≤ 0 et f(x) = x si x > 0. En 0 :

    • A. f est dérivable et f′(0) = 0, car les deux morceaux valent 0 en 0
    • B. non dérivable : taux h à gauche, 1 à droite
    • C. f est dérivable et f′(0) = 1
    • D. f n’est pas définie en 0
    Réponse

    B. non dérivable : taux h à gauche, 1 à droite — Pour h < 0, le taux vaut h²/h = h, qui tend vers 0 ; pour h > 0, il vaut h/h = 1. Pas de limite commune : pas de nombre dérivé.

  3. Soit k(x) = √(x − 1), définie pour x ≥ 1. Au point d’abscisse 1 :

    • A. k est dérivable et k′(1) = 1/2, comme √x en 1
    • B. k est dérivable et k′(1) = 0
    • C. k n’est pas définie en 1, car √0 n’existe pas
    • D. k n’est pas dérivable : tangente verticale
    Réponse

    D. k n’est pas dérivable : tangente verticale — k(1) = 0 et, pour h > 0, le taux vaut √h/h = 1/√h, qui n’a pas de limite finie : tangente verticale.

  4. Combien de tangentes à la parabole d’équation y = x² passent par l’origine du repère ?

    • A. Une seule
    • B. Aucune
    • C. Deux
    • D. Une infinité
    Réponse

    A. Une seule — La tangente en a est y = 2ax − a² ; elle passe par O si a² = 0, soit a = 0 : l’axe des abscisses.

  5. Un élève écrit : « f′(a) = (f(a + h) − f(a))/h ». Quelle est son erreur ?

    • A. il faut diviser par a et non par h
    • B. il manque le passage à la limite quand h tend vers 0
    • C. il faut écrire f(a − h) au numérateur
    • D. il manque un signe moins devant la fraction
    Réponse

    B. il manque le passage à la limite quand h tend vers 0 — Le quotient écrit est le taux de variation, qui dépend de h ; le nombre dérivé en est la limite.

  6. On sait que f(a + h) − f(a) = 7h + 2h² pour tout h. Alors f′(a) vaut :

    • A. 7 + 2h
    • B. 2
    • C. 7
    • D. 9
    Réponse

    C. 7 — Le taux vaut (7h + 2h²)/h = 7 + 2h, dont la limite quand h tend vers 0 est 7.

  7. L’approximation f(a + h) ≈ f(a) + h f′(a) est d’autant meilleure que :

    • A. h est proche de 0
    • B. f′(a) est grand
    • C. a est proche de 0
    • D. f(a) est proche de 0
    Réponse

    A. h est proche de 0 — On remplace la courbe par sa tangente : c’est valable près du point de contact, donc pour h petit.

  8. Deux fonctions f et g, dérivables en a, ont la même tangente au point d’abscisse a si et seulement si :

    • A. f′(a) = g′(a)
    • B. f(a) = g(a)
    • C. f(x) = g(x) pour tout réel x
    • D. f(a) = g(a) et f′(a) = g′(a)
    Réponse

    D. f(a) = g(a) et f′(a) = g′(a) — Il faut le même point de contact (même ordonnée) et la même pente : les deux conditions.

  9. Le taux de variation de f entre 1 et 3 vaut 4. On peut en déduire que :

    • A. f′(2) = 4, car 2 est le milieu de [1 ; 3]
    • B. f′(1) = 4
    • C. f(3) − f(1) = 8
    • D. f′(3) = 4
    Réponse

    C. f(3) − f(1) = 8 — (f(3) − f(1))/2 = 4 donne f(3) − f(1) = 8. Un taux moyen ne donne en général aucun nombre dérivé.

  10. Pour f(x) = x³, le taux de variation entre 0 et 1 et le nombre dérivé f′(0) valent :

    • A. 1 et 1
    • B. 1 et 0
    • C. 0 et 0
    • D. 3 et 0
    Réponse

    B. 1 et 0 — Taux : (1 − 0)/(1 − 0) = 1. Et (h³ − 0)/h = h² tend vers 0 : f′(0) = 0. Une pente moyenne n’est pas une pente en un point.

  11. La tangente en 0 à la courbe de x ↦ x³ :

    • A. n’existe pas, car la courbe change de forme en 0
    • B. a pour équation y = 3x
    • C. est l’axe des abscisses et traverse la courbe
    • D. a pour équation y = x
    Réponse

    C. est l’axe des abscisses et traverse la courbe — f(0) = 0 et f′(0) = 0 : la tangente est y = 0. La courbe est en dessous pour x < 0 et au-dessus pour x > 0 : une tangente peut traverser la courbe.

  12. La tangente à la courbe de f au point A d’abscisse a a pour équation y = −2x + 9, et f(a) = 1. Alors a vaut :

    • A. −2
    • B. 9
    • C. 5
    • D. 4
    Réponse

    D. 4 — A(a ; 1) est sur la tangente : 1 = −2a + 9, d’où a = 4.

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