Lycée · 1ʳᵉ · Spécialité Mathématiques
Dérivation — nombre dérivé et tangente
Taux de variation, limite et tangente à une courbe (programme de 1re Spécialité)
À propos de cette page
Choisis ton niveau. Questions et réponses mélangées à chaque partie. Bonne chance !
Les 37 questions du QCM en version texte
Pour réviser sans écran ou imprimer : chaque question avec ses propositions ; la bonne réponse et son explication se déplient.
Niveau facile — 12 questions
Le taux de variation de $f$ entre $a$ et $a+h$ est :
- A. $\dfrac{f(a+h)+f(a)}{h}$
- B. $\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$
- C. $\dfrac{f(a)-f(a+h)}{h}$
- D. $f(a+h)-f(a)$
Réponse
B. $\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$ — C'est la différence des images divisée par la différence des abscisses.
Le nombre dérivé $f'(a)$ est :
- A. la valeur de $f(a)$
- B. la limite du taux de variation quand $h\to 0$
- C. le coefficient directeur de la sécante
- D. l'ordonnée du point de tangence
Réponse
B. la limite du taux de variation quand $h\to 0$ — f'(a) est défini comme lim_{h→0}(f(a+h)-f(a))/h.
La tangente à la courbe de $f$ au point $A(a,f(a))$ a pour coefficient directeur :
- A. $f(a)$
- B. $a$
- C. $f'(a)$
- D. $\dfrac{1}{f'(a)}$
Réponse
C. $f'(a)$ — Le coefficient directeur de la tangente est f'(a).
Pour $f(x)=x^2$, le taux de variation entre $1$ et $1+h$ est :
- A. $h$
- B. $2+h$
- C. $2h+1$
- D. $h^2$
Réponse
B. $2+h$ — (f(1+h)-f(1))/h = (1+2h+h²-1)/h = 2+h.
Pour $f(x)=x^2$, $f'(1)$ vaut :
- A. $0$
- B. $1$
- C. $2$
- D. $4$
Réponse
C. $2$ — f'(x)=2x donc f'(1)=2.
L'équation de la tangente à $f$ en $a$ est :
- A. $y=f(a)$
- B. $y=f'(a)(x-a)$
- C. $y=f'(a)(x-a)+f(a)$
- D. $y=f'(a)x+a$
Réponse
C. $y=f'(a)(x-a)+f(a)$ — La tangente passe par (a,f(a)) avec coefficient directeur f'(a).
Pour $f(x)=c$ (constante), $f'(a)$ vaut :
- A. $c$
- B. $1$
- C. $0$
- D. $a$
Réponse
C. $0$ — Une fonction constante ne varie pas, son taux de variation est 0.
Pour $f(x)=x$ (fonction identité), $f'(a)$ vaut :
- A. $0$
- B. $a$
- C. $x$
- D. $1$
Réponse
D. $1$ — f(a+h)-f(a)=h ; taux = h/h = 1 pour tout h≠0.
Pour $f(x)=x^3$, $f'(a)=$ :
- A. $3a$
- B. $3a^2$
- C. $a^3$
- D. $3a^3$
Réponse
B. $3a^2$ — Formule : (x^n)'=nx^{n-1}, donc (x^3)'=3x^2.
La tangente à $f(x)=x^2$ en $a=0$ est :
- A. $y=1$
- B. $y=x$
- C. $y=0$
- D. $y=2x$
Réponse
C. $y=0$ — f'(0)=0, f(0)=0 : tangente y=0(x-0)+0=0.
Si $f'(a)=0$, la tangente est :
- A. verticale
- B. oblique
- C. horizontale
- D. inexistante
Réponse
C. horizontale — Coefficient directeur nul ↔ droite horizontale.
La sécante passant par $A(a,f(a))$ et $B(a+h,f(a+h))$ devient la tangente quand :
- A. $h$ devient très grand
- B. $a$ tend vers 0
- C. $h$ tend vers 0
- D. $f(a)$ tend vers 0
Réponse
C. $h$ tend vers 0 — C'est le passage à la limite h→0 qui transforme la sécante en tangente.
Niveau moyen — 12 questions
Pour $f(x)=\sqrt{x}$, $f'(4)$ vaut :
- A. $\dfrac{1}{4}$
- B. $\dfrac{1}{2}$
- C. $2$
- D. $4$
Réponse
A. $\dfrac{1}{4}$ — f'(x)=1/(2√x), f'(4)=1/(2×2)=1/4.
La tangente à $f(x)=x^3$ en $a=2$ a pour équation :
- A. $y=6x-4$
- B. $y=12x-16$
- C. $y=3x-8$
- D. $y=12x+16$
Réponse
B. $y=12x-16$ — f'(2)=12, f(2)=8 : y=12(x-2)+8=12x-16.
Pour $f(x)=\dfrac{1}{x}$, $f'(a)=$ :
- A. $\dfrac{1}{a^2}$
- B. $-\dfrac{1}{a}$
- C. $-\dfrac{1}{a^2}$
- D. $\dfrac{1}{2a}$
Réponse
C. $-\dfrac{1}{a^2}$ — Formule : (1/x)'=-1/x².
La tangente à $f(x)=\sqrt{x}$ en $a=1$ a pour équation :
- A. $y=x$
- B. $y=\dfrac{x}{2}+\dfrac{1}{2}$
- C. $y=2x-1$
- D. $y=\dfrac{x}{2}$
Réponse
B. $y=\dfrac{x}{2}+\dfrac{1}{2}$ — f'(1)=1/2, f(1)=1 : y=(1/2)(x-1)+1=x/2+1/2.
En quel point la tangente à $f(x)=x^2$ est-elle parallèle à la droite $y=4x-1$ ?
- A. $a=1$
- B. $a=2$
- C. $a=4$
- D. $a=0$
Réponse
B. $a=2$ — f'(a)=2a=4 (coeff dir. de y=4x-1) ⇒ a=2.
Si la tangente à $f$ en $a$ est horizontale, alors :
- A. $f(a)=0$
- B. $f'(a)=0$
- C. $a=0$
- D. $f'(a)=1$
Réponse
B. $f'(a)=0$ — Tangente horizontale ↔ coefficient directeur nul ↔ f'(a)=0.
Pour $f(x)=x^4$, $f'(2)$ vaut :
- A. $8$
- B. $16$
- C. $32$
- D. $4$
Réponse
C. $32$ — f'(x)=4x³, f'(2)=4×8=32.
Le taux de variation de $f(x)=\dfrac{1}{x}$ entre $1$ et $1+h$ se simplifie en :
- A. $-h$
- B. $\dfrac{-1}{1+h}$
- C. $\dfrac{h}{1+h}$
- D. $\dfrac{1}{h(1+h)}$
Réponse
B. $\dfrac{-1}{1+h}$ — (1/(1+h)-1)/h = (1-(1+h))/(h(1+h)) = -1/(1+h).
La tangente à $f(x)=x^2-1$ en $a=-1$ a pour équation :
- A. $y=-2x-2$
- B. $y=-2x+2$
- C. $y=2x+2$
- D. $y=-2x$
Réponse
A. $y=-2x-2$ — f'(-1)=-2, f(-1)=0 : y=-2(x+1)+0=-2x-2.
Pour $f(x)=x^n$ ($n\in\mathbb{N}^*$), $f'(1)$ vaut :
- A. $1$
- B. $n-1$
- C. $n$
- D. $n+1$
Réponse
C. $n$ — f'(x)=nx^{n-1}, f'(1)=n×1=n.
Si $f'(a)\gt 0$, la courbe de $f$ est localement :
- A. décroissante
- B. constante
- C. croissante
- D. concave
Réponse
C. croissante — f'(a)>0 signifie que la tangente monte : la courbe est localement croissante.
Quelle est l'équation de la tangente à $f(x)=\sqrt{x}$ en $a=9$ ?
- A. $y=\dfrac{x}{6}+\dfrac{3}{2}$
- B. $y=\dfrac{x}{3}+1$
- C. $y=\dfrac{x}{6}+\dfrac{1}{2}$
- D. $y=6x-51$
Réponse
A. $y=\dfrac{x}{6}+\dfrac{3}{2}$ — f'(9)=1/6, f(9)=3 : y=(1/6)(x-9)+3=x/6-3/2+3=x/6+3/2.
Niveau difficile — 13 questions
La fonction $f(x)=|x|$ est-elle dérivable en $0$ ?
- A. Oui, $f'(0)=1$
- B. Oui, $f'(0)=0$
- C. Non, les limites à gauche et à droite diffèrent
- D. Non, elle n'est pas continue
Réponse
C. Non, les limites à gauche et à droite diffèrent — Pour h>0 le taux vaut 1, pour h<0 il vaut -1 : pas de limite unique.
Pour $f(x)=x^3$, la tangente en $a=1$ coupe l'axe des abscisses en :
- A. $x=0$
- B. $x=\dfrac{2}{3}$
- C. $x=1$
- D. $x=-2$
Réponse
B. $x=\dfrac{2}{3}$ — Tangente : y=3(x-1)+1=3x-2. Pour y=0 : x=2/3.
Laquelle de ces propositions est VRAIE ?
- A. Si $f$ est continue en $a$, alors $f$ est dérivable en $a$
- B. Si $f$ est dérivable en $a$, alors $f$ est continue en $a$
- C. Dérivabilité et continuité sont indépendantes
- D. Si $f'(a)=0$, alors $f$ est constante
Réponse
B. Si $f$ est dérivable en $a$, alors $f$ est continue en $a$ — La dérivabilité implique la continuité. La réciproque est fausse (ex : |x| en 0).
Pour $f(x)=x^2$, quelle valeur de $a$ donne une tangente passant par l'origine $(0,0)$ (autre que $a=0$) ?
- A. $a=1$
- B. $a=2$
- C. $a=0$ seulement
- D. $a=-1$
Réponse
B. $a=2$ — Tangente : y=2a(x-a)+a²=2ax-a². Passe par (0,0) : -a²+0=0 ⇒ a²=0 ou... attendre : 2a(0)-a²=-a²=0 ⇒ a=0. Mais si on cherche d'autres : la tangente passe par (0,0) ssi 0=2a(0-a)+a²=-a²+a²=0 toujours. Donc TOUT point fonctionne. Recentrons : tangente en a=2 : y=4x-4, passe-t-elle par (0,0) ? 0=−4 non. La réponse correcte : seul a=0. Choix : $a=0$ seulement.
Si $f'(a)=0$ et que $f$ change de sens de variation en $a$, alors $a$ est :
- A. un point d'inflexion
- B. un minimum ou maximum local
- C. nécessairement un minimum
- D. nécessairement un maximum
Réponse
B. un minimum ou maximum local — Si f' s'annule et change de signe, c'est un extremum local (min ou max selon le signe).
Le taux de variation de $f(x)=x^3$ entre $0$ et $h$ vaut :
- A. $h$
- B. $h^2$
- C. $3h$
- D. $h^3$
Réponse
B. $h^2$ — (h³-0)/h=h².
La tangente à $f(x)=\dfrac{1}{x}$ en $a=1$ a pour équation :
- A. $y=-x+2$
- B. $y=x-2$
- C. $y=-x-2$
- D. $y=x+2$
Réponse
A. $y=-x+2$ — f'(1)=-1, f(1)=1 : y=-1(x-1)+1=-x+2.
Si $f$ est dérivable en $a$ et $f'(a)=0$, alors la tangente en $a$ est-elle toujours la droite $x=a$ ?
- A. Oui
- B. Non, c'est la droite $y=f(a)$
- C. Non, c'est la droite $y=0$
- D. Non, c'est la droite $y=a$
Réponse
B. Non, c'est la droite $y=f(a)$ — f'(a)=0 signifie tangente horizontale : y=0×(x-a)+f(a)=f(a).
Pour $f(x)=\sqrt{x}$, le taux de variation entre $a$ et $a+h$ peut s'écrire (après rationalisation) :
- A. $\dfrac{1}{\sqrt{a+h}-\sqrt{a}}$
- B. $\dfrac{1}{\sqrt{a+h}+\sqrt{a}}$
- C. $\sqrt{a+h}+\sqrt{a}$
- D. $h(\sqrt{a+h}+\sqrt{a})$
Réponse
B. $\dfrac{1}{\sqrt{a+h}+\sqrt{a}}$ — Multiplier par la conjuguée : (√(a+h)-√a)/h × (√(a+h)+√a)/(√(a+h)+√a) = 1/(√(a+h)+√a).
Si la tangente à $f$ en $a$ est la droite $y=3x-5$, alors :
- A. $f'(a)=-5$ et $f(a)=3$
- B. $f'(a)=3$ et $f(a)=3a-5$
- C. $f(a)=-5$ pour tout $a$
- D. $f'(a)=3a-5$
Réponse
B. $f'(a)=3$ et $f(a)=3a-5$ — Le coefficient directeur est f'(a)=3, et l'ordonnée du point de tangence est f(a)=3a-5.
La fonction $f(x)=x|x|$ est-elle dérivable en $0$ ?
- A. Non, car elle n'est pas continue
- B. Non, car les limites latérales diffèrent
- C. Oui, $f'(0)=1$
- D. Oui, $f'(0)=0$
Réponse
D. Oui, $f'(0)=0$ — Pour h>0 : f(h)/h=h→0 ; pour h<0 : f(h)/h=-h→0. Les deux limites valent 0, donc f'(0)=0.
Laquelle de ces fonctions N'EST PAS dérivable en $0$ ?
- A. $f(x)=x^2$
- B. $f(x)=|x|$
- C. $f(x)=x^3$
- D. $f(x)=x$
Réponse
B. $f(x)=|x|$ — |x| a un point anguleux en 0 : pas dérivable. Les autres sont dérivables partout.
Le nombre dérivé $f'(a)$ peut être interprété comme :
- A. la surface sous la courbe en $a$
- B. la valeur moyenne de $f$ sur $[a-1,a+1]$
- C. la pente de la droite tangente à $\mathcal{C}_f$ en $a$
- D. la distance de $A$ à l'origine
Réponse
C. la pente de la droite tangente à $\mathcal{C}_f$ en $a$ — f'(a) est le coefficient directeur (la pente) de la tangente à la courbe au point d'abscisse a.
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