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Dérivation et variations : extremums et optimisation

Signe de la dérivée et sens de variation, tableau de variations, extremums locaux, problèmes d'optimisation, étude complète de fonction, méthode de Newton (approche)

À propos de cette page

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Problème 1 — La boîte sans couvercle

Moyen

Dans une plaque de carton rectangulaire de 30 cm sur 20 cm, on découpe aux quatre coins un carré de côté $x$ cm, puis on relève les bords pour former une boîte sans couvercle (pavé droit).

1. Justifier que $x$ appartient à l'intervalle $] 0; 10 [$ .
2. Montrer que le volume de la boîte, en cm³, est $V (x) = 4 x^{3} - 100 x^{2} + 600 x$ .
3. Calculer $V^{'} (x)$ et montrer que $V^{'} (x) = 4 (3 x^{2} - 50 x + 150)$ .
4. Étudier le signe de $V^{'} (x)$ sur $] 0; 10 [$ et dresser le tableau de variations de $V$ .
5. Donner la valeur exacte de $x$ qui rend le volume maximal, puis les dimensions de la boîte et son volume, arrondis au dixième.
6. Un élève a calculé $V (4) = 1056$ et affirme que le maximum est atteint pour $x = 4$ . Que penser de cette affirmation ?

1. $x$ est une longueur, donc $x > 0$ . La largeur de la plaque est 20 cm : il faut $20 - 2 x > 0$ , soit $x < 10$ (la longueur impose seulement $x < 15$ ). Donc $x \in] 0; 10 [$ .

2. Le fond de la boîte mesure $(30 - 2 x)$ sur $(20 - 2 x)$ et la hauteur vaut $x$ : $V (x) = x (30 - 2 x) (20 - 2 x) = x (600 - 60 x - 40 x + 4 x^{2}) = x (4 x^{2} - 100 x + 600)$ , soit $V (x) = 4 x^{3} - 100 x^{2} + 600 x$ .

3. $V^{'} (x) = 12 x^{2} - 200 x + 600 = 4 (3 x^{2} - 50 x + 150)$ .

4. Trinôme $3 x^{2} - 50 x + 150$ : $Δ = 2500 - 1800 = 700$ , $\sqrt{700} = 10 \sqrt{7}$ . Racines : $x_{1} = \frac{50 - 10 \sqrt{7}}{6} = \frac{25 - 5 \sqrt{7}}{3} \approx 3, 924$ et $x_{2} = \frac{25 + 5 \sqrt{7}}{3} \approx 12, 743$ . Le coefficient $3$ est positif : le trinôme est positif à l'extérieur des racines, négatif entre. Comme $x_{2} > 10$ , sur $] 0; 10 [$ : $V^{'} (x) > 0$ sur $] 0; x_{1} [$ et $V^{'} (x) < 0$ sur $] x_{1}; 10 [$ .

$x$	$0$		$x_{1} \approx 3, 924$		$10$
$V^{'} (x)$		$+$	$0$	$-$
$V$		↗	$V (x_{1})$	↘

5. Le volume est maximal pour $x = \frac{25 - 5 \sqrt{7}}{3} \approx 3, 9$ cm. Dimensions : $30 - 2 x_{1} \approx 22, 2$ cm, $20 - 2 x_{1} \approx 12, 2$ cm, hauteur $\approx 3, 9$ cm. Volume : $V (x_{1}) \approx 3, 9237 \times 22, 1525 \times 12, 1525 \approx$ $1056, 3$ cm³.

6. $V (4) = 4 \times 22 \times 12 = 1056$ est bien une très bonne valeur, mais $4 \neq x_{1}$ : comme $V$ est strictement décroissante sur $[x_{1}; 10 [$ et $x_{1} < 4$ , on a $V (4) < V (x_{1}) \approx 1056, 3$ . L'affirmation est fausse : le maximum est atteint en $x_{1}$ , pas en 4. La fonction varie très peu près de son maximum, ce qui explique la confusion.

Problème 2 — Bénéfice maximal d'une entreprise

Moyen

Une entreprise fabrique entre 0 et 1 000 objets par jour. Pour $q$ centaines d'objets ( $q \in [0; 10]$ ), le coût de production, en milliers d'euros, est $C (q) = q^{3} - 9 q^{2} + 40 q + 20$ . Chaque centaine d'objets est vendue 49 milliers d'euros, et toute la production est vendue.

1. Montrer que le coût $C$ est strictement croissant sur $[0; 10]$ .
2. Montrer que le bénéfice est $B (q) = - q^{3} + 9 q^{2} + 9 q - 20$ .
3. Calculer $B (1)$ et $B (2)$ ; interpréter ces résultats.
4. Calculer $B^{'} (q)$ et étudier son signe sur $[0; 10]$ .
5. Dresser le tableau de variations de $B$ sur $[0; 10]$ .
6. Pour quelle production le bénéfice est-il maximal ? Donner la valeur exacte de ce bénéfice, puis sa valeur arrondie à l'euro.

1. $C^{'} (q) = 3 q^{2} - 18 q + 40$ . Discriminant : $324 - 480 = - 156 < 0$ , et le coefficient dominant est positif : $C^{'} (q) > 0$ pour tout $q$ . Donc $C$ est strictement croissante : produire plus coûte toujours plus.

2. Recette : $R (q) = 49 q$ . $B (q) = R (q) - C (q) = 49 q - q^{3} + 9 q^{2} - 40 q - 20 =$ $- q^{3} + 9 q^{2} + 9 q - 20$ .

3. $B (1) = - 1 + 9 + 9 - 20 = - 3$ et $B (2) = - 8 + 36 + 18 - 20 = 26$ . Avec 100 objets, l'entreprise perd 3 000 € ; avec 200 objets, elle gagne 26 000 €. Elle devient bénéficiaire entre 100 et 200 objets.

4. $B^{'} (q) = - 3 q^{2} + 18 q + 9 = - 3 (q^{2} - 6 q - 3)$ . Pour $q^{2} - 6 q - 3$ : $Δ = 36 + 12 = 48$ , $\sqrt{48} = 4 \sqrt{3}$ , racines $3 - 2 \sqrt{3} \approx - 0, 46$ et $3 + 2 \sqrt{3} \approx 6, 46$ . $q^{2} - 6 q - 3$ est négatif entre ses racines, donc $B^{'} (q) = - 3 (q^{2} - 6 q - 3)$ y est positif. Sur $[0; 10]$ : $B^{'} (q) > 0$ sur $[0; 3 + 2 \sqrt{3} [$ et $B^{'} (q) < 0$ sur $] 3 + 2 \sqrt{3}; 10]$ .

5. $B (0) = - 20$ ; $B (10) = - 1000 + 900 + 90 - 20 = - 30$ .

$q$	$0$		$3 + 2 \sqrt{3}$		$10$
$B^{'} (q)$		$+$	$0$	$-$
$B$	$- 20$	↗	$61 + 48 \sqrt{3}$	↘	$- 30$

6. Calcul exact avec $q_{0} = 3 + 2 \sqrt{3}$ : $q_{0}^{2} = 21 + 12 \sqrt{3}$ et $q_{0}^{3} = q_{0} \times q_{0}^{2} = 63 + 36 \sqrt{3} + 42 \sqrt{3} + 72 = 135 + 78 \sqrt{3}$ . $B (q_{0}) = - (135 + 78 \sqrt{3}) + 9 (21 + 12 \sqrt{3}) + 9 (3 + 2 \sqrt{3}) - 20 = 61 + 48 \sqrt{3} .$ Le bénéfice est maximal pour $q_{0} \approx 6, 46$ , soit environ 646 objets ; il vaut $61 + 48 \sqrt{3} \approx 144, 138$ milliers d'euros, soit environ 144 138 €.

Problème 3 — Rectangle sous une parabole

Difficile

Dans un repère orthonormé, on considère la parabole $𝒫$ d'équation $y = 12 - x^{2}$ . Pour $x \in] 0; 2 \sqrt{3} [$ , on construit le rectangle $A B C D$ avec $A (- x; 0)$ , $B (x; 0)$ , $C (x; 12 - x^{2})$ et $D (- x; 12 - x^{2})$ . Partie A : aire. Partie B : périmètre. Partie C : généralisation à la parabole $y = a - x^{2}$ , avec $a > 0$ .

A. 1. Justifier que l'aire du rectangle est $A (x) = 24 x - 2 x^{3}$ .
A. 2. Étudier les variations de $A$ sur $] 0; 2 \sqrt{3} [$ et en déduire l'aire maximale.
B. 3. Exprimer le périmètre $P (x)$ du rectangle et déterminer le rectangle de périmètre maximal.
B. 4. Le rectangle d'aire maximale est-il aussi celui de périmètre maximal ? Justifier.
C. 5. Pour la parabole $y = a - x^{2}$ , montrer que l'aire est maximale pour $x = \sqrt{\frac{a}{3}}$ .
C. 6. Déterminer $a$ pour que le rectangle d'aire maximale soit un carré.

A. 1. Pour $x \in] 0; 2 \sqrt{3} [$ , $12 - x^{2} > 0$ (car $x^{2} < 12$ ), donc $C$ et $D$ sont au-dessus de l'axe. Largeur $A B = 2 x$ , hauteur $B C = 12 - x^{2}$ : $A (x) = 2 x (12 - x^{2}) =$ $24 x - 2 x^{3}$ .

A. 2. $A^{'} (x) = 24 - 6 x^{2} = 6 (4 - x^{2}) = 6 (2 - x) (2 + x)$ . Sur $] 0; 2 \sqrt{3} [$ , $2 + x > 0$ : $A^{'} (x)$ a le signe de $2 - x$ , positif sur $] 0; 2 [$ , négatif sur $] 2; 2 \sqrt{3} [$ (on a bien $2 < 2 \sqrt{3} \approx 3, 46$ ). $A$ est croissante puis décroissante : aire maximale $A (2) = 48 - 16 = 32$ (unités d'aire), pour un rectangle de 4 sur 8.

B. 3. $P (x) = 2 \times 2 x + 2 (12 - x^{2}) = - 2 x^{2} + 4 x + 24$ . $P^{'} (x) = - 4 x + 4$ , positif sur $] 0; 1 [$ , négatif sur $] 1; 2 \sqrt{3} [$ . Périmètre maximal pour $x = 1$ : $P (1) = - 2 + 4 + 24 = 26$ , rectangle de 2 sur 11.

B. 4. Non : l'aire est maximale pour $x = 2$ et le périmètre pour $x = 1$ . Le rectangle d'aire maximale a pour périmètre $P (2) = - 8 + 8 + 24 = 24 < 26$ . Optimiser une grandeur n'optimise pas les autres : les deux rectangles sont différents.

C. 5. Ici $x \in] 0; \sqrt{a} [$ et $A (x) = 2 x (a - x^{2}) = 2 a x - 2 x^{3}$ , $A^{'} (x) = 2 a - 6 x^{2} = 6 (\frac{a}{3} - x^{2})$ . Sur $] 0; \sqrt{a} [$ , $A^{'} (x) > 0 ⟺ x^{2} < \frac{a}{3} ⟺ x < \sqrt{\frac{a}{3}}$ , et $\sqrt{\frac{a}{3}} < \sqrt{a}$ . Donc $A$ croît puis décroît : l'aire est maximale pour $x = \sqrt{\frac{a}{3}}$ .

C. 6. Pour ce $x$ , la largeur vaut $2 \sqrt{\frac{a}{3}}$ et la hauteur $a - \frac{a}{3} = \frac{2 a}{3}$ . Carré $⟺ 2 \sqrt{\frac{a}{3}} = \frac{2 a}{3} ⟺ \sqrt{\frac{a}{3}} = \frac{a}{3} ⟺ \frac{a}{3} = 1$ (car $\frac{a}{3} > 0$ , et un réel positif égal à sa racine carrée vaut 0 ou 1). Donc $a = 3$ : le carré a pour côté 2. Vérification avec $a = 12$ : largeur 4, hauteur 8, ce n'est pas un carré.

Problème 4 — Étude complète et algorithme de Newton

Difficile

Soit $f$ la fonction définie sur $ℝ$ par $f (x) = x^{3} - 6 x^{2} + 9 x - 1$ . On admet la propriété suivante : si une fonction dérivable est strictement monotone sur $[a; b]$ et si $f (a)$ et $f (b)$ sont de signes contraires, alors l'équation $f (x) = 0$ admet une unique solution dans $] a; b [$ . On considère aussi la fonction Python suivante :
def newton(x, n):
    for k in range(n):
        x = x - (x**3 - 6*x**2 + 9*x - 1) / (3*x**2 - 12*x + 9)
    return x

1. Calculer $f^{'} (x)$ , étudier son signe et dresser le tableau de variations de $f$ (sans limites).
2. Calculer $f (0)$ et $f (4)$ , puis justifier que l'équation $f (x) = 0$ admet exactement trois solutions, situées dans $] 0; 1 [$ , $] 1; 3 [$ et $] 3; 4 [$ .
3. On note $β$ la solution de $] 3; 4 [$ . Expliquer ce que calcule l'instruction de la boucle en lien avec la tangente à la courbe de $f$ .
4. Calculer les valeurs exactes de $x_{1}$ et $x_{2}$ renvoyées par $n e w t o n (4, 1)$ et $n e w t o n (4, 2)$ , puis donner une valeur approchée de $β$ à $10^{- 3}$ près à l'aide de $n e w t o n (4, 3)$ .
5. L'appel $n e w t o n (3, 5)$ provoque une erreur. Expliquer pourquoi, graphiquement et par le calcul.

1. $f^{'} (x) = 3 x^{2} - 12 x + 9 = 3 (x^{2} - 4 x + 3) = 3 (x - 1) (x - 3)$ . Ce trinôme est positif à l'extérieur de $[1; 3]$ , négatif entre 1 et 3. Donc $f$ est croissante sur $] - \infty; 1]$ , décroissante sur $[1; 3]$ , croissante sur $[3; + \infty [$ , avec $f (1) = 1 - 6 + 9 - 1 = 3$ et $f (3) = 27 - 54 + 27 - 1 = - 1$ .

$x$	$- \infty$		$1$		$3$		$+ \infty$
$f^{'} (x)$		$+$	$0$	$-$	$0$	$+$
$f$		↗	$3$	↘	$- 1$	↗

2. $f (0) = - 1$ et $f (4) = 64 - 96 + 36 - 1 = 3$ .
• Sur $[0; 1]$ : $f$ strictement croissante, $f (0) = - 1 < 0 < 3 = f (1)$ : une unique solution dans $] 0; 1 [$ . Pour $x < 0$ , $f (x) < f (0) < 0$ : aucune solution.
• Sur $[1; 3]$ : $f$ strictement décroissante, $f (1) = 3 > 0 > - 1 = f (3)$ : une unique solution dans $] 1; 3 [$ .
• Sur $[3; 4]$ : $f$ strictement croissante, $f (3) = - 1 < 0 < 3 = f (4)$ : une unique solution $β \in] 3; 4 [$ . Pour $x > 4$ , $f (x) > f (4) = 3$ : aucune solution.
Au total, exactement trois solutions.

3. Le quotient vaut $\frac{f (x)}{f^{'} (x)}$ : la boucle remplace $x$ par $x - \frac{f (x)}{f^{'} (x)}$ , abscisse du point où la tangente à la courbe au point d'abscisse $x$ (d'équation $y = f^{'} (x) (X - x) + f (x)$ ) coupe l'axe des abscisses. C'est une étape de la méthode de Newton, répétée $n$ fois.

4. $f (4) = 3$ , $f^{'} (4) = 48 - 48 + 9 = 9$ : $x_{1} = 4 - \frac{3}{9} =$ $\frac{11}{3}$ .
$f (\frac{11}{3}) = \frac{1331}{27} - \frac{2178}{27} + \frac{891}{27} - \frac{27}{27} = \frac{17}{27}$ ; $f^{'} (\frac{11}{3}) = \frac{121}{3} - 44 + 9 = \frac{16}{3}$ . $x_{2} = \frac{11}{3} - \frac{17}{27} \times \frac{3}{16} = \frac{11}{3} - \frac{17}{144} =$ $\frac{511}{144} \approx 3, 5486$ .
$f (x_{2}) \approx 0, 0680$ , $f^{'} (x_{2}) \approx 4, 1946$ , $x_{3} \approx 3, 5486 - 0, 0162 \approx 3, 5324$ . Une étape de plus donne $3, 5321$ : $β \approx 3, 532$ .

5. Pour $x = 3$ , le dénominateur vaut $3 \times 9 - 36 + 9 = 0$ : Python tente une division par zéro et s'arrête (erreur $Z e r o D i v i s i o n E r r o r$ ). Graphiquement, $f^{'} (3) = 0$ : la tangente au point d'abscisse 3 est horizontale, elle ne coupe jamais l'axe des abscisses (elle a pour équation $y = - 1$ ). Il faut partir d'une valeur où $f^{'}$ ne s'annule pas, comme $x_{0} = 4$ .

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