Ressources · 1ʳᵉ · Spécialité Mathématiques

Dérivation et variations : extremums et optimisation

Signe de la dérivée et sens de variation, tableau de variations, extremums locaux, problèmes d'optimisation, étude complète de fonction, méthode de Newton (approche)

À propos de cette page

Ces exercices corrigés sur « Dérivation et variations : extremums et optimisation » en première permettent de s'entraîner et de vérifier ses acquis en spécialité mathématiques. Ils suivent le programme officiel de première et sont classés par difficulté (facile, moyen, difficile). Au programme : L'essentiel : dérivée et sens de variation, Variations des fonctions : le tableau de variations, Extremums locaux, Optimisation et inégalités. Chaque exercice est suivi d'une correction rédigée, à déplier une fois la recherche faite au brouillon. Cet entraînement aide à mémoriser les méthodes, repérer ses erreurs et gagner en confiance avant un contrôle. Exercices gratuits proposés par un professeur particulier à Marseille pour réviser spécialité mathématiques en première.

Exercices corrigés, classés du plus simple au plus complexe. Cherche d'abord seul au brouillon, puis déplie la correction détaillée pour vérifier ta méthode et tes raisonnements.

Exercice 1 — Variations d'un trinôme

Facile

Soit $f$ la fonction définie sur $ℝ$ par $f (x) = x^{2} - 6 x + 5$ .

a) Calculer $f^{'} (x)$ .
b) Étudier le signe de $f^{'} (x)$ selon les valeurs de $x$ .
c) Dresser le tableau de variations de $f$ et préciser son extremum.

a) $f$ est un polynôme, donc dérivable sur $ℝ$ , et $f^{'} (x) = 2 x - 6$ .

b) $2 x - 6 \geq 0 ⟺ x \geq 3$ . Donc $f^{'} (x) < 0$ sur $] - \infty; 3 [$ , $f^{'} (3) = 0$ et $f^{'} (x) > 0$ sur $] 3; + \infty [$ .

c) D'après le théorème liant signe de la dérivée et variations, $f$ est décroissante sur $] - \infty; 3]$ et croissante sur $[3; + \infty [$ . On calcule $f (3) = 9 - 18 + 5 = - 4$ .

$x$	$- \infty$		$3$		$+ \infty$
$f^{'} (x)$		$-$	$0$	$+$
$f$		↘	$- 4$	↗

$f^{'}$ s'annule en 3 en passant de $-$ à $+$ : $f$ admet un minimum égal à $- 4$ , atteint en $x = 3$ .

Exercice 2 — Maximum et minimum sur un segment

Facile

Soit $f$ la fonction définie sur $[- 3; 3]$ par $f (x) = - x^{3} + 12 x + 1$ .

a) Calculer $f^{'} (x)$ et le factoriser.
b) Étudier le signe de $f^{'} (x)$ sur $[- 3; 3]$ .
c) Dresser le tableau de variations de $f$ sur $[- 3; 3]$ .
d) Déterminer le maximum et le minimum de $f$ sur $[- 3; 3]$ .

a) $f$ est un polynôme, dérivable sur $[- 3; 3]$ : $f^{'} (x) = - 3 x^{2} + 12 = - 3 (x^{2} - 4) = - 3 (x - 2) (x + 2)$ .

b) Le trinôme $- 3 x^{2} + 12$ a pour racines $- 2$ et $2$ et un coefficient dominant négatif : il est positif entre les racines, négatif à l'extérieur. Donc $f^{'} (x) \leq 0$ sur $[- 3; - 2]$ , $f^{'} (x) \geq 0$ sur $[- 2; 2]$ , $f^{'} (x) \leq 0$ sur $[2; 3]$ .

c) $f (- 3) = 27 - 36 + 1 = - 8$ ; $f (- 2) = 8 - 24 + 1 = - 15$ ; $f (2) = - 8 + 24 + 1 = 17$ ; $f (3) = - 27 + 36 + 1 = 10$ .

$x$	$- 3$		$- 2$		$2$		$3$
$f^{'} (x)$		$-$	$0$	$+$	$0$	$-$
$f$	$- 8$	↘	$- 15$	↗	$17$	↘	$10$

d) On compare les extremums locaux et les valeurs aux bornes. Le maximum est $max (- 8; 17; 10)$ et le minimum $min (- 8; - 15; 10)$ : maximum 17 atteint en $x = 2$ , minimum $- 15$ atteint en $x = - 2$ .

Exercice 3 — Exploiter un tableau de signes de la dérivée

Facile

Une fonction $f$ est dérivable sur $[- 4; 5]$ . On sait que $f^{'} (x) < 0$ sur $] - 4; - 1 [$ , $f^{'} (x) > 0$ sur $] - 1; 3 [$ , $f^{'} (x) < 0$ sur $] 3; 5 [$ , et que $f (- 4) = 2$ , $f (- 1) = - 3$ , $f (3) = 6$ , $f (5) = 1$ .

a) Dresser le tableau de variations de $f$ .
b) Donner les extremums locaux de $f$ en précisant leur nature.
c) Comparer $f (0)$ et $f (2)$ , sans calcul.
d) Justifier que $f (x) > 0$ pour tout $x \in [3; 5]$ .

a) Par le théorème liant signe de $f^{'}$ et variations : $f$ est décroissante sur $[- 4; - 1]$ , croissante sur $[- 1; 3]$ , décroissante sur $[3; 5]$ .

$x$	$- 4$		$- 1$		$3$		$5$
$f^{'} (x)$		$-$	$0$	$+$	$0$	$-$
$f$	$2$	↘	$- 3$	↗	$6$	↘	$1$

b) $f^{'}$ passe de $-$ à $+$ en $- 1$ : minimum local $f (- 1) = - 3$ . $f^{'}$ passe de $+$ à $-$ en 3 : maximum local $f (3) = 6$ .

c) $0$ et $2$ appartiennent à $[- 1; 3]$ , où $f$ est strictement croissante. Comme $0 < 2$ , $f (0) < f (2)$ .

d) Sur $[3; 5]$ , $f$ est décroissante, donc pour tout $x$ de cet intervalle, $f (x) \geq f (5) = 1$ . Ainsi $f (x) \geq 1 > 0$ sur $[3; 5]$ .

Exercice 4 — Fonction homographique

Moyen

Soit $f$ la fonction définie sur $] - 3; + \infty [$ par $f (x) = \frac{2 x - 1}{x + 3}$ .

a) Calculer $f^{'} (x)$ .
b) En déduire le sens de variation de $f$ sur $] - 3; + \infty [$ .
c) Montrer que $f (x) < 2$ pour tout $x \in] - 3; + \infty [$ .

a) $f = \frac{u}{v}$ avec $u (x) = 2 x - 1$ , $u^{'} (x) = 2$ , $v (x) = x + 3$ , $v^{'} (x) = 1$ , et $v$ ne s'annule pas sur $] - 3; + \infty [$ . Donc $f^{'} (x) = \frac{2 (x + 3) - (2 x - 1) \times 1}{(x + 3)^{2}} = \frac{2 x + 6 - 2 x + 1}{(x + 3)^{2}} = \frac{7}{(x + 3)^{2}} .$

b) Pour tout $x > - 3$ , $(x + 3)^{2} > 0$ et $7 > 0$ , donc $f^{'} (x) > 0$ . Sur l'intervalle $] - 3; + \infty [$ , $f$ est strictement croissante.

c) On étudie le signe de la différence : $f (x) - 2 = \frac{2 x - 1 - 2 (x + 3)}{x + 3} = \frac{- 7}{x + 3} .$ Pour $x > - 3$ , $x + 3 > 0$ , donc $\frac{- 7}{x + 3} < 0$ . Ainsi $f (x) - 2 < 0$ , c'est-à-dire $f (x) < 2$ pour tout $x \in] - 3; + \infty [$ .

Remarque : la croissance de $f$ ne suffit pas à conclure ; il fallait un calcul direct.

Exercice 5 — Une fonction avec racine carrée

Moyen

Soit $f$ la fonction définie sur $[0; + \infty [$ par $f (x) = x - 2 \sqrt{x}$ .

a) Justifier que $f$ est dérivable sur $] 0; + \infty [$ et calculer $f^{'} (x)$ .
b) Étudier le signe de $f^{'} (x)$ et en déduire les variations de $f$ sur $] 0; + \infty [$ .
c) Montrer que, pour tout réel $x \geq 0$ , $x + 1 \geq 2 \sqrt{x}$ .

a) $x \mapsto x$ est dérivable sur $ℝ$ et $x \mapsto \sqrt{x}$ est dérivable sur $] 0; + \infty [$ , donc $f$ est dérivable sur $] 0; + \infty [$ : $f^{'} (x) = 1 - 2 \times \frac{1}{2 \sqrt{x}} = 1 - \frac{1}{\sqrt{x}} = \frac{\sqrt{x} - 1}{\sqrt{x}} .$

b) Sur $] 0; + \infty [$ , $\sqrt{x} > 0$ : $f^{'} (x)$ a le signe de $\sqrt{x} - 1$ . Or $\sqrt{x} - 1 < 0 ⟺ \sqrt{x} < 1 ⟺ x < 1$ . Donc $f^{'} (x) < 0$ sur $] 0; 1 [$ , $f^{'} (1) = 0$ , $f^{'} (x) > 0$ sur $] 1; + \infty [$ : $f$ est décroissante sur $] 0; 1]$ et croissante sur $[1; + \infty [$ , avec $f (1) = 1 - 2 = - 1$ .

c) D'après b), $f (1) = - 1$ est le minimum de $f$ sur $] 0; + \infty [$ ; de plus $f (0) = 0 \geq - 1$ . Donc pour tout $x \geq 0$ , $f (x) \geq - 1$ , soit $x - 2 \sqrt{x} \geq - 1$ , c'est-à-dire $x + 1 \geq 2 \sqrt{x}$ , avec égalité pour $x = 1$ .

Exercice 6 — Retrouver des coefficients

Moyen

Soit $a$ et $b$ deux réels et $f$ la fonction définie sur $ℝ$ par $f (x) = x^{3} + a x^{2} + b$ . On souhaite que la courbe de $f$ admette un extremum local au point d'abscisse 2, de valeur $- 3$ .

a) Exprimer $f^{'} (x)$ en fonction de $a$ .
b) Déterminer $a$ .
c) Déterminer $b$ .
d) Vérifier que $f (2)$ est bien un extremum local, préciser sa nature, puis donner l'autre extremum local de $f$ .

a) $f$ est un polynôme : $f^{'} (x) = 3 x^{2} + 2 a x$ .

b) $f$ est dérivable sur l'intervalle ouvert $ℝ$ ; si elle admet un extremum local en 2, alors $f^{'} (2) = 0$ : $12 + 4 a = 0$ , donc $a = - 3$ .

c) On veut $f (2) = - 3$ : $8 - 12 + b = - 3$ , donc $b = 1$ . Ainsi $f (x) = x^{3} - 3 x^{2} + 1$ .

d) La condition $f^{'} (2) = 0$ est seulement nécessaire : il faut vérifier le changement de signe. $f^{'} (x) = 3 x^{2} - 6 x = 3 x (x - 2)$ est positif sur $] - \infty; 0 [$ , négatif sur $] 0; 2 [$ , positif sur $] 2; + \infty [$ . En 2, $f^{'}$ passe de $-$ à $+$ : $f (2) = - 3$ est un minimum local. En 0, $f^{'}$ passe de $+$ à $-$ : $f (0) = 1$ est un maximum local.

Exercice 7 — Une tangente horizontale sans extremum

Moyen

Soit $f$ la fonction définie sur $ℝ$ par $f (x) = x^{4} - 4 x^{3}$ .

a) Calculer $f^{'} (x)$ et montrer que $f^{'} (x) = 4 x^{2} (x - 3)$ .
b) Étudier le signe de $f^{'} (x)$ .
c) Dresser le tableau de variations de $f$ .
d) Un élève affirme : « $f^{'} (0) = 0$ et $f^{'} (3) = 0$ , donc $f$ admet deux extremums locaux. » Expliquer son erreur.

a) $f^{'} (x) = 4 x^{3} - 12 x^{2} = 4 x^{2} (x - 3)$ en factorisant par $4 x^{2}$ .

b) $4 x^{2} \geq 0$ , nul seulement en 0 ; $x - 3 < 0$ pour $x < 3$ et $> 0$ pour $x > 3$ . Donc $f^{'} (x) \leq 0$ sur $] - \infty; 3]$ (nul seulement en 0 et en 3) et $f^{'} (x) > 0$ sur $] 3; + \infty [$ .

c) $f^{'}$ est négative sur $] - \infty; 3]$ sauf en deux points : $f$ est strictement décroissante sur $] - \infty; 3]$ et strictement croissante sur $[3; + \infty [$ . $f (3) = 81 - 108 = - 27$ et $f (0) = 0$ .

$x$	$- \infty$		$0$		$3$		$+ \infty$
$f^{'} (x)$		$-$	$0$	$-$	$0$	$+$
$f$		↘	$0$	↘	$- 27$	↗

d) $f^{'} (a) = 0$ est une condition nécessaire mais pas suffisante. En 0, $f^{'}$ reste négative de part et d'autre : $f$ continue de décroître, la tangente est horizontale mais il n'y a pas d'extremum en 0. Seul le changement de signe en 3 donne un extremum : le minimum $- 27$ .

Exercice 8 — Quotient et inégalité

Difficile

Soit $f$ la fonction définie sur $] 2; + \infty [$ par $f (x) = \frac{x^{2} + 5}{x - 2}$ .

a) Montrer que $f^{'} (x) = \frac{(x - 5) (x + 1)}{(x - 2)^{2}}$ .
b) Étudier les variations de $f$ sur $] 2; + \infty [$ .
c) En déduire que, pour tout $x > 2$ , $x^{2} + 5 \geq 10 (x - 2)$ .
d) Retrouver le résultat de la question c) par un calcul direct.

a) $u (x) = x^{2} + 5$ , $u^{'} (x) = 2 x$ ; $v (x) = x - 2$ , $v^{'} (x) = 1$ , $v$ ne s'annule pas sur $] 2; + \infty [$ . $f^{'} (x) = \frac{2 x (x - 2) - (x^{2} + 5)}{(x - 2)^{2}} = \frac{x^{2} - 4 x - 5}{(x - 2)^{2}} .$ Or $(x - 5) (x + 1) = x^{2} + x - 5 x - 5 = x^{2} - 4 x - 5$ , d'où $f^{'} (x) = \frac{(x - 5) (x + 1)}{(x - 2)^{2}}$ .

b) Pour $x > 2$ : $(x - 2)^{2} > 0$ et $x + 1 > 0$ , donc $f^{'} (x)$ a le signe de $x - 5$ . $f$ est décroissante sur $] 2; 5]$ et croissante sur $[5; + \infty [$ , avec $f (5) = \frac{30}{3} = 10$ .

c) $f^{'}$ s'annule en 5 en passant de $-$ à $+$ : $f (5) = 10$ est le minimum de $f$ sur $] 2; + \infty [$ . Donc $\frac{x^{2} + 5}{x - 2} \geq 10$ . Comme $x - 2 > 0$ , on multiplie sans changer le sens : $x^{2} + 5 \geq 10 (x - 2)$ .

d) $x^{2} + 5 - 10 (x - 2) = x^{2} - 10 x + 25 = (x - 5)^{2} \geq 0$ . On retrouve l'inégalité, et elle est même vraie pour tout réel $x$ , avec égalité seulement pour $x = 5$ .

Exercice 9 — Minimum et inégalité polynomiale

Difficile

Soit $f$ la fonction définie sur $] 0; + \infty [$ par $f (x) = x^{2} + \frac{16}{x}$ .

a) Montrer que $f^{'} (x) = \frac{2 (x^{3} - 8)}{x^{2}}$ .
b) Vérifier que $x^{3} - 8 = (x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)$ , puis étudier le signe de $f^{'} (x)$ .
c) Déterminer le minimum de $f$ sur $] 0; + \infty [$ .
d) En déduire que, pour tout $x > 0$ , $x^{3} + 16 \geq 12 x$ .

a) $f^{'} (x) = 2 x - \frac{16}{x^{2}} = \frac{2 x^{3} - 16}{x^{2}} = \frac{2 (x^{3} - 8)}{x^{2}}$ .

b) $(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4) = x^{3} + 2 x^{2} + 4 x - 2 x^{2} - 4 x - 8 = x^{3} - 8$ . Le trinôme $x^{2} + 2 x + 4$ a pour discriminant $4 - 16 = - 12 < 0$ : il est toujours strictement positif. Comme $x^{2} > 0$ sur $] 0; + \infty [$ , $f^{'} (x)$ a le signe de $x - 2$ : négatif sur $] 0; 2 [$ , nul en 2, positif sur $] 2; + \infty [$ .

c) $f$ est décroissante sur $] 0; 2]$ , croissante sur $[2; + \infty [$ : son minimum est $f (2) = 4 + 8 = 12$ .

d) Pour tout $x > 0$ , $f (x) \geq 12$ , soit $x^{2} + \frac{16}{x} \geq 12$ . En multipliant par $x > 0$ (sens conservé) : $x^{3} + 16 \geq 12 x$ , avec égalité pour $x = 2$ .

Exercice 10 — Approcher une solution par la méthode de Newton

Difficile

Soit $f$ la fonction définie sur $ℝ$ par $f (x) = x^{3} + x - 3$ . On admet que l'équation $f (x) = 0$ admet au moins une solution réelle.

a) Montrer que $f$ est strictement croissante sur $ℝ$ .
b) Justifier que l'équation $f (x) = 0$ admet une unique solution $α$ , et que $1 < α < 2$ .
c) Montrer que la tangente à la courbe de $f$ au point d'abscisse $a$ coupe l'axe des abscisses en $a - \frac{f (a)}{f^{'} (a)}$ .
d) On pose $x_{0} = 1$ et $x_{n + 1} = x_{n} - \frac{f (x_{n})}{f^{'} (x_{n})}$ . Calculer $x_{1}$ , puis une valeur approchée de $x_{2}$ et de $x_{3}$ à $10^{- 4}$ près.

a) $f^{'} (x) = 3 x^{2} + 1$ . Pour tout réel $x$ , $3 x^{2} \geq 0$ donc $f^{'} (x) \geq 1 > 0$ : $f$ est strictement croissante sur $ℝ$ .

b) Une fonction strictement croissante ne prend jamais deux fois la même valeur : l'équation $f (x) = 0$ a donc au plus une solution, et au moins une par hypothèse, d'où une unique solution $α$ . De plus $f (1) = - 1 < 0$ et $f (2) = 7 > 0$ ; si l'on avait $α \leq 1$ , on aurait $0 = f (α) \leq f (1) < 0$ , absurde ; de même $α \geq 2$ donnerait $0 \geq 7$ . Donc $1 < α < 2$ .

c) La tangente en $a$ a pour équation $y = f^{'} (a) (x - a) + f (a)$ . Ici $f^{'} (a) \geq 1$ , donc $f^{'} (a) \neq 0$ . Elle coupe l'axe des abscisses quand $y = 0$ : $f^{'} (a) (x - a) = - f (a)$ , soit $x = a - \frac{f (a)}{f^{'} (a)}$ .

d) $f (1) = - 1$ , $f^{'} (1) = 4$ : $x_{1} = 1 - \frac{- 1}{4} =$ $1, 25$ .
$f (1, 25) = 1, 953125 + 1, 25 - 3 = 0, 203125$ ; $f^{'} (1, 25) = 3 \times 1, 5625 + 1 = 5, 6875$ ; $x_{2} = 1, 25 - \frac{0, 203125}{5, 6875} \approx$ $1, 2143$ .
$f (x_{2}) \approx 0, 00474$ ; $f^{'} (x_{2}) \approx 5, 4235$ ; $x_{3} \approx 1, 214286 - 0, 000874 \approx$ $1, 2134$ .
Contrôle : $f (1, 2134) \approx - 0, 0001$ , très proche de 0.

Bloqué sur ce chapitre ?

Moi c'est Ben, j'ai créé ce site pour aider le plus d'élèves possible, partout en France. Je peux aussi reprendre avec toi ce qui coince en cours particulier : en visio, ou à domicile si tu es à Marseille.

Réserver un 1^er cours → Voir les tarifs

Prof de maths à Marseille · Cours particuliers au lycée · Aide aux devoirs