Ressources · 1ʳᵉ · Spécialité Mathématiques

Nombre dérivé et tangente

Taux de variation et sécante, nombre dérivé comme limite du taux de variation, lecture graphique, équation de la tangente, approximation affine ; la racine carrée n’est pas dérivable en 0.

À propos de cette page

Cinq problèmes corrigés dans l’esprit de l’épreuve anticipée : le profil d’une colline, la chute libre avec vitesse moyenne et vitesse instantanée, le coût marginal d’une entreprise, l’aire constante sous les tangentes à l’hyperbole y = 2/x, et l’approximation d’un nombre dérivé en Python avec une boucle while.

5 problèmes, du plus simple au plus difficile. Écris tes réponses, puis « Vérifier ».

Résoudre un problème : la méthode

Je traduis l’énoncé : quelle fonction, quelle variable, quelles unités (mètres, secondes, euros, hectomètres).
Je distingue moyen et instantané : « entre deux valeurs » = taux de variation ; « à l’instant », « au point », « marginal » = nombre dérivé.
Je démontre par la définition : f(a + h) développé, différence factorisée par h, taux simplifié, puis h → 0, avec la phrase de conclusion.
J’écris la tangente y = f′(a)(x − a) + f(a) ou l’approximation affine, et je contrôle avec x = a.
J’interprète le résultat dans la situation (vitesse, pente, coût) avec son unité.

Problème 1 · Le profil d’une colline★★★Facile

Le profil d’une colline est modélisé par

f (x) = - 0, 1 x^{2} + 2 x

pour

x \in [0; 20]

x

est la distance horizontale et

f (x)

l’altitude, en hectomètres. La pente en un point du profil est le nombre dérivé de

f

en ce point.

1. Altitude au point d’abscisse $5$ : $f (5) =$ hm
$f (5) = - 0, 1 \times 25 + 10$ $= - 2, 5 + 10 = 7, 5$ hm.
2. Pente moyenne entre les abscisses $0$ et $5$ (taux de variation) :
$f (0) = 0$ , donc le taux vaut $\frac{7, 5 - 0}{5 - 0} = 1, 5$ : en moyenne, on monte de $1, 5$ hm par hectomètre parcouru.
3. Démontrer que $f (5 + h) - f (5) = h - 0, 1 h^{2}$ , puis donner la pente au point d’abscisse $5$ : $f' (5) =$
Rédaction attendue. $f (5 + h) = - 0, 1 (25 + 10 h + h^{2}) + 10 + 2 h$ $= - 2, 5 - h - 0, 1 h^{2} + 10 + 2 h$ $= 7, 5 + h - 0, 1 h^{2}$ . Donc $f (5 + h) - f (5) = h - 0, 1 h^{2} = h (1 - 0, 1 h)$ . Pour $h \neq 0$ , le taux vaut $1 - 0, 1 h$ , qui tend vers $1$ quand $h$ tend vers $0$ : $f' (5) = 1$ . La pente en ce point est plus faible que la pente moyenne sur $[0; 5]$ .
4. La tangente au point d’abscisse $5$ a pour équation $y = x + p$ avec $p =$
$y = 1 \times (x - 5) + 7, 5 = x + 2, 5$ .
5. Démontrer que $f' (a) = - 0, 2 a + 2$ pour tout $a$ de $] 0; 20 [$ . Le point du profil où la tangente est horizontale a pour abscisse
Rédaction attendue. Pour $h \neq 0$ : $f (a + h) - f (a) = - 0, 1 (2 a h + h^{2}) + 2 h$ $= h (- 0, 2 a + 2 - 0, 1 h)$ . Le taux vaut $- 0, 2 a + 2 - 0, 1 h$ , qui tend vers $- 0, 2 a + 2$ : $f' (a) = - 0, 2 a + 2$ . Tangente horizontale : $- 0, 2 a + 2 = 0 ⟺ a = 10$ . Au point d’abscisse $10$ , d’altitude $f (10) = 10$ hm, le profil est « à plat ». Comme $f$ est un trinôme de coefficient $- 0, 1 < 0$ , sa courbe est une parabole tournée vers le bas, de sommet d’abscisse $10$ : c’est bien le sommet de la colline.

Problème 2 · Chute libre : vitesse moyenne et vitesse instantanée★★★Moyen

Un objet lâché sans vitesse initiale a parcouru, au bout de

t

secondes, la distance

d (t) = 4, 9 t^{2}

(en mètres). La vitesse moyenne entre deux instants est le taux de variation de

d

entre ces instants ; la vitesse instantanée à l’instant

t

est le nombre dérivé

d' (t)

1. Vitesse moyenne entre $t = 1$ s et $t = 3$ s : m/s
$d (1) = 4, 9$ m et $d (3) = 4, 9 \times 9 = 44, 1$ m. Vitesse moyenne : $\frac{44, 1 - 4, 9}{3 - 1} = \frac{39, 2}{2} = 19, 6$ m/s.
2. Démontrer que, pour tout instant $t$ et tout $h \neq 0$ , $d (t + h) - d (t) = 9, 8 t h + 4, 9 h^{2}$ . Vitesse instantanée à $t = 2$ s : m/s
Rédaction attendue. $d (t + h) = 4, 9 (t^{2} + 2 t h + h^{2})$ $= 4, 9 t^{2} + 9, 8 t h + 4, 9 h^{2}$ , donc $d (t + h) - d (t) = 9, 8 t h + 4, 9 h^{2}$ . Le taux vaut $9, 8 t + 4, 9 h$ , qui tend vers $9, 8 t$ quand $h$ tend vers $0$ : $d' (t) = 9, 8 t$ . À $t = 2$ s : $d' (2) = 19, 6$ m/s, la même valeur que la vitesse moyenne entre $1$ s et $3$ s.
3. Démontrer que, pour $t_{1} < t_{2}$ , la vitesse moyenne entre $t_{1}$ et $t_{2}$ est égale à la vitesse instantanée à l’instant $\frac{t_{1} + t_{2}}{2}$ . Contrôle : vitesse moyenne entre $0, 5$ s et $2, 5$ s : m/s
Rédaction attendue. Vitesse moyenne : $\frac{4, 9 t_{2}^{2} - 4, 9 t_{1}^{2}}{t_{2} - t_{1}}$ $= \frac{4, 9 (t_{2} - t_{1}) (t_{2} + t_{1})}{t_{2} - t_{1}}$ $= 4, 9 (t_{1} + t_{2})$ . Vitesse instantanée au milieu : $d' (\frac{t_{1} + t_{2}}{2}) = 9, 8 \times \frac{t_{1} + t_{2}}{2}$ $= 4, 9 (t_{1} + t_{2})$ . Les deux sont égales. Entre $0, 5$ s et $2, 5$ s : $4, 9 \times 3 = 14, 7$ m/s, c’est aussi $d' (1, 5)$ .
4. L’instant où la vitesse instantanée vaut $29, 4$ m/s est $t =$ s
$9, 8 t = 29, 4 ⟺ t = 3$ s ( $9, 8 \times 3 = 29, 4$ ).
5. Distance parcourue à cet instant : m
$d (3) = 4, 9 \times 9 = 44, 1$ m.
6. Approximation affine de $d (2, 05)$ : m
$d (2 + h) \approx d (2) + h d' (2) = 19, 6 + 19, 6 h$ . Pour $h = 0, 05$ : $19, 6 + 0, 98 = 20, 58$ m. Valeur exacte : $4, 9 \times 4, 202 5 = 20, 592 25$ m ; l’écart est le terme négligé $4, 9 h^{2} = 0, 012 25$ m.

Problème 3 · Coût marginal d’une production★★★Moyen

Une entreprise fabrique

q

objets par jour, pour

0 ⩽ q ⩽ 100

. Le coût total de production, en euros, est

C (q) = 0, 5 q^{2} + 20 q + 800

. Le coût moyen par objet est

\frac{C (q)}{q}

; le coût marginal au niveau

q

est le nombre dérivé

C' (q)

1. Coût total pour $40$ objets : €
$C (40) = 0, 5 \times 1 600 + 800 + 800$ $= 800 + 800 + 800 = 2 400$ €.
2. Coût moyen pour $40$ objets : € par objet
$\frac{2 400}{40} = 60$ € par objet.
3. Coût du $41^{e}$ objet : $C (41) - C (40) =$ €
$C (41) = 0, 5 \times 1 681 + 820 + 800$ $= 840, 5 + 1 620 = 2 460, 5$ €, donc $C (41) - C (40) = 60, 5$ €.
4. Pour $h \neq 0$ , simplifier $\frac{C (40 + h) - C (40)}{h}$ , puis en déduire le coût marginal $C' (40) =$ €
Rédaction attendue. $C (40 + h) = 0, 5 (1 600 + 80 h + h^{2}) + 800 + 20 h + 800$ $= 2 400 + 60 h + 0, 5 h^{2}$ . Donc $\frac{C (40 + h) - C (40)}{h} = \frac{60 h + 0, 5 h^{2}}{h} = 60 + 0, 5 h$ , qui tend vers $60$ quand $h$ tend vers $0$ : $C' (40) = 60$ €. Le coût du $41^{e}$ objet ( $60, 5$ €) est le taux pour $h = 1$ : proche du coût marginal, sans lui être égal.
5. Approximation affine de $C (40, 2)$ : €
$C (40 + h) \approx 2 400 + 60 h$ . Pour $h = 0, 2$ : $2 400 + 12 = 2 412$ €. Valeur exacte : $0, 5 \times 1 616, 04 + 804 + 800 = 2 412, 02$ € ; l’écart vaut $0, 5 h^{2} = 0, 02$ €.
6. La tangente au point d’abscisse $40$ a pour équation $y = m q + p$ avec $p =$
$y = 60 (q - 40) + 2 400 = 60 q$ : $p = 0$ , la tangente passe par l’origine. Son coefficient directeur $60$ est donc aussi la pente de la droite qui joint $O$ au point $(40; 2 400)$ , c’est-à-dire le coût moyen : pour $q = 40$ , coût marginal et coût moyen sont égaux.

Problème 4 · Tangente à une hyperbole et aire constante★★★Difficile

Soit

f

la fonction définie sur

] 0; + \infty [

par

f (x) = \frac{2}{x}

, et

ℋ

sa courbe dans un repère orthonormé. Pour

a > 0

, on note

M

le point de

ℋ

d’abscisse

a

T_{a}

la tangente à

ℋ

M

P

le point où

T_{a}

coupe l’axe des abscisses et

Q

le point où elle coupe l’axe des ordonnées.

1. Démontrer que $f$ est dérivable en $a$ et que $f' (a) = - \frac{2}{a^{2}}$ . Pour $a = 0, 5$ : $f' (0, 5) =$
Rédaction attendue. Pour $h \neq 0$ avec $a + h > 0$ : $f (a + h) - f (a) = \frac{2}{a + h} - \frac{2}{a}$ $= \frac{2 a - 2 (a + h)}{a (a + h)}$ $= \frac{- 2 h}{a (a + h)}$ . Le taux vaut $- \frac{2}{a (a + h)}$ ; quand $h$ tend vers $0$ , $a + h$ tend vers $a$ et le taux tend vers $- \frac{2}{a^{2}}$ . Pour $a = 0, 5$ : $- \frac{2}{0, 25} = - 8$ .
2. Montrer que $T_{a}$ a pour équation $y = - \frac{2}{a^{2}} x + \frac{4}{a}$ . Pour $a = 2$ , l’ordonnée à l’origine de $T_{2}$ est
Rédaction attendue. $M (a; \frac{2}{a})$ . $T_{a}$ : $y = - \frac{2}{a^{2}} (x - a) + \frac{2}{a}$ $= - \frac{2}{a^{2}} x + \frac{2 a}{a^{2}} + \frac{2}{a}$ $= - \frac{2}{a^{2}} x + \frac{4}{a}$ . Pour $a = 2$ : $\frac{4}{2} = 2$ .
3. Montrer que $P$ a pour abscisse $2 a$ . Pour $a = 3$ , $P$ a pour abscisse
$y = 0 ⟺ \frac{2}{a^{2}} x = \frac{4}{a} ⟺ x = \frac{4}{a} \times \frac{a^{2}}{2} = 2 a$ : $P (2 a; 0)$ et $Q (0; \frac{4}{a})$ . Pour $a = 3$ : $2 \times 3 = 6$ .
4. Démontrer que l’aire du triangle $O P Q$ ne dépend pas de $a$ : elle vaut unités d’aire
Rédaction attendue. Le triangle $O P Q$ est rectangle en $O$ (axes perpendiculaires), de côtés de l’angle droit $O P = 2 a$ et $O Q = \frac{4}{a}$ (positifs car $a > 0$ ). Son aire vaut $\frac{O P \times O Q}{2} = \frac{2 a \times \frac{4}{a}}{2} = \frac{8}{2} = 4$ , quelle que soit la valeur de $a$ .
5. Démontrer que $M$ est le milieu de $[P Q]$ . Contrôle pour $a = 0, 5$ : $Q$ a pour ordonnée
Rédaction attendue. Le milieu de $[P Q]$ a pour coordonnées $(\frac{2 a + 0}{2}; \frac{0 + \frac{4}{a}}{2}) = (a; \frac{2}{a})$ : ce sont les coordonnées de $M$ . Pour $a = 0, 5$ : $Q (0; 8)$ , $P (1; 0)$ , et le milieu $(0, 5; 4)$ est bien $M$ , car $f (0, 5) = 4$ .

Problème 5 · Approcher un nombre dérivé avec Python★★★Difficile

Soit

f (x) = x^{3} - 2 x

. On veut approcher

f' (1, 5)

. On écrit en Python :

def f(x):
    return x**3 - 2*x

def taux(a, h):
    return (f(a + h) - f(a)) / h

1. Calcul à la main : taux(1.5, 1) renvoie
$f (2, 5) = 15, 625 - 5 = 10, 625$ et $f (1, 5) = 3, 375 - 3 = 0, 375$ . taux(1.5, 1) renvoie $\frac{10, 625 - 0, 375}{1} = 10, 25$ .
2. Démontrer que, pour $h \neq 0$ , $\frac{f (1, 5 + h) - f (1, 5)}{h} = 4, 75 + 4, 5 h + h^{2}$ . En déduire $f' (1, 5) =$
Rédaction attendue. $(1, 5 + h)^{3} = 3, 375 + 6, 75 h + 4, 5 h^{2} + h^{3}$ , donc $f (1, 5 + h) = 3, 375 + 6, 75 h + 4, 5 h^{2} + h^{3} - 3 - 2 h$ $= 0, 375 + 4, 75 h + 4, 5 h^{2} + h^{3}$ . Ainsi $f (1, 5 + h) - f (1, 5) = h (4, 75 + 4, 5 h + h^{2})$ et le taux vaut $4, 75 + 4, 5 h + h^{2}$ . Quand $h$ tend vers $0$ , il tend vers $4, 75$ : $f' (1, 5) = 4, 75$ .
3. On exécute L = [taux(1.5, 1/10**k) for k in range(1, 3)] : la liste des coefficients directeurs des sécantes pour les pas $0, 1$ et $0, 01$ . En calcul exact, L contient et
Avec la formule précédente : $4, 75 + 0, 45 + 0, 01 = 5, 21$ , puis $4, 75 + 0, 045 + 0, 000 1 = 4, 795 1$ . Plus $h$ est petit, plus le taux s’approche de $f' (1, 5)$ ; l’écart $4, 5 h + h^{2}$ est à peu près proportionnel à $h$ .
4. La variable d contient la valeur exacte de f′(1,5). Quelle valeur de n ce script affiche-t-il ?
```
h = 1
n = 0
while abs(taux(1.5, h) - d) >= 0.001:
    h = h / 10
    n = n + 1
print(n)
```
La boucle divise $h$ par $10$ tant que l’écart $4, 5 h + h^{2}$ est supérieur ou égal à $0, 001$ . Pour $h = 0, 001$ : écart $0, 004 501 ⩾ 0, 001$ , on continue. Pour $h = 0, 000 1$ ( $n = 4$ ) : écart $0, 000 450 01 < 0, 001$ , la boucle s’arrête. Le script affiche $4$ .
5. La tangente au point d’abscisse $1, 5$ a pour équation $y = m x + p$ avec $p =$
$y = 4, 75 (x - 1, 5) + 0, 375$ $= 4, 75 x - 7, 125 + 0, 375$ $= 4, 75 x - 6, 75$ .
6. Une élève utilise plutôt le quotient « centré » $\frac{f (1, 5 + h) - f (1, 5 - h)}{2 h}$ . Montrer qu’il vaut $f' (1, 5) + h^{2}$ . Pour $h = 0, 01$ , son écart avec $f' (1, 5)$ vaut
Rédaction attendue. Avec $- h$ à la place de $h$ : $f (1, 5 - h) = 0, 375 - 4, 75 h + 4, 5 h^{2} - h^{3}$ . Donc $f (1, 5 + h) - f (1, 5 - h) = 9, 5 h + 2 h^{3}$ et le quotient vaut $\frac{9, 5 h + 2 h^{3}}{2 h} = 4, 75 + h^{2}$ . Pour $h = 0, 01$ , l’écart est $h^{2} = 0, 000 1$ , contre $0, 045 1$ pour le taux ordinaire : le quotient centré est bien plus précis.

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