Calcul de dérivées

Calculer le taux de variation entre $a$ et $a+h$ ($h\ne 0$), le simplifier, puis donner le nombre dérivé demandé.

1. $f(x)=x^2-8x$ : $f\prime (5)=$
   $f(a+h)-f(a)=(a+h{)}^2-8(a+h)-a^2+8a$ $=2ah+h^2-8h$. Le taux vaut $2a-8+h$, qui tend vers $2a-8$ : $f\prime (a)=2a-8$ et $f\prime (5)=10-8=2$.
2. $f(x)=2x^2+x$ : $f\prime (-1)=$
   $f(a+h)-f(a)=2(2ah+h^2)+h$ $=4ah+2h^2+h$. Le taux vaut $4a+1+2h$, qui tend vers $4a+1$. Donc $f\prime (-1)=-4+1=-3$.
3. $f(x)=5-x^2$ : $f\prime (3)=$
   $f(a+h)-f(a)=5-(a+h{)}^2-5+a^2$ $=-2ah-h^2$. Le taux vaut $-2a-h$, qui tend vers $-2a$. Donc $f\prime (3)=-6$.

La fonction valeur absolue en $0$ et ailleurs.

1. Pour $h>0$, le taux de variation de $x\mapsto |x|$ entre $0$ et $h$ vaut
   Pour $h>0$, $|h|=h$, donc ${\displaystyle \frac{|h|-|0|}{h}}={\displaystyle \frac{h}{h}}=1$.
2. Pour $h<0$, ce même taux vaut
   Pour $h<0$, $|h|=-h$, donc ${\displaystyle \frac{|h|}{h}}={\displaystyle \frac{-h}{h}}=-1$. Les deux valeurs sont différentes : le taux n’a pas de limite quand $h$ tend vers $0$, et $|x|$ n’est pas dérivable en $0$.
3. La valeur absolue est dérivable en $3$ ; son nombre dérivé en $3$ vaut
   Sur $]0;+\infty [$, $|x|=x$, dont la dérivée est $1$ : le nombre dérivé en $3$ vaut $1$.
4. Son nombre dérivé en $-2$ vaut
   Sur $]-\infty ;0[$, $|x|=-x$, dont la dérivée est $-1$ : le nombre dérivé en $-2$ vaut $-1$ (la pente de la demi-droite $y=-x$).

Calculer un nombre dérivé à partir de la définition. Une fraction s’écrit avec « / » (exemple : 2/5).

1. Démontrer, à partir de la définition, que $k(x)={\displaystyle \frac{3}{x}}$ vérifie $k\prime (a)=-{\displaystyle \frac{3}{a^2}}$ pour tout $a\ne 0$. Application : $k\prime (2)=$
   Rédaction attendue. Soit $a\ne 0$ et $h\ne 0$ tel que $a+h$ soit non nul et du même signe que $a$. $k(a+h)-k(a)={\displaystyle \frac{3}{a+h}}-{\displaystyle \frac{3}{a}}$ $={\displaystyle \frac{3a-3(a+h)}{a(a+h)}}={\displaystyle \frac{-3h}{a(a+h)}}$. Le taux vaut donc ${\displaystyle \frac{-3}{a(a+h)}}$. Quand $h$ tend vers $0$, $a(a+h)$ tend vers $a^2\ne 0$, donc le taux tend vers $-{\displaystyle \frac{3}{a^2}}$ : $k$ est dérivable en $a$ et $k\prime (a)=-{\displaystyle \frac{3}{a^2}}$. Ainsi $k\prime (2)=-{\displaystyle \frac{3}{4}}=-0,75$.
2. $m(x)=2x^3$. Sachant que $(a+h{)}^3=a^3+3a^{2}h+3a{h}^2+h^3$, simplifier le taux entre $a$ et $a+h$, puis donner $m\prime (-1)=$
   $m(a+h)-m(a)=2(3a^{2}h+3a{h}^2+h^3)$, donc le taux vaut $6a^2+6ah+2h^2$, qui tend vers $6a^2$ quand $h$ tend vers $0$. $m\prime (-1)=6\times 1=6$.
3. $p(x)={\displaystyle \frac{1}{x+2}}$ sur $]-2;+\infty [$ : le taux entre $0$ et $h$ se simplifie ; $p\prime (0)=$
   $p(h)-p(0)={\displaystyle \frac{1}{h+2}}-{\displaystyle \frac{1}{2}}={\displaystyle \frac{2-(h+2)}{2(h+2)}}={\displaystyle \frac{-h}{2(h+2)}}$. Le taux vaut $-{\displaystyle \frac{1}{2(h+2)}}$, qui tend vers $-{\displaystyle \frac{1}{4}}$ : $p\prime (0)=-{\displaystyle \frac{1}{4}}$.

Dérivable en $0$ ou non ? On étudie le taux entre $0$ et $h$.

1. Démontrer que $f(x)=x|x|$ est dérivable en $0$ : $f\prime (0)=$
   Rédaction attendue. Pour $h\ne 0$, ${\displaystyle \frac{f(h)-f(0)}{h}}={\displaystyle \frac{h|h|-0}{h}}=|h|$. Quand $h$ tend vers $0$, $|h|$ tend vers $0$ (que $h$ soit positif ou négatif). Le taux a une limite finie : $f$ est dérivable en $0$ et $f\prime (0)=0$. Multiplier $|x|$ par $x$ « aplatit » le coin en $0$.
2. $g(x)=|x|+x^2$. Pour $h>0$, le taux de $g$ entre $0$ et $h$ vaut $1+h$. Pour $h<0$, il vaut $c+h$ avec $c=$
   Pour $h<0$, $|h|=-h$ et ${\displaystyle \frac{g(h)-g(0)}{h}}={\displaystyle \frac{-h+h^2}{h}}=-1+h$. Donc $c=-1$.
3. Justifier que $g$ n’est pas dérivable en $0$, puis donner $g\prime (3)$, sachant que $g(x)=x+x^2$ pour $x>0$ : $g\prime (3)=$
   Rédaction attendue. D’après la question précédente, quand $h$ tend vers $0$, le taux se rapproche de $1$ pour $h>0$ et de $-1$ pour $h<0$ : il n’a pas une limite unique, donc $g$ n’est pas dérivable en $0$. Sur $]0;+\infty [$, $g(x)=x+x^2$ est une somme de fonctions dérivables : $g\prime (x)=1+2x$, et $g\prime (3)=7$.

Calculer la fonction dérivée sur l’intervalle indiqué (sur $ℝ$ si rien n’est précisé), puis la valeur demandée. Pour π, écris pi.

1. $f(x)=7x^3-5x^2+2x-9$ : $f\prime (1)=$
   $f$ est un polynôme, dérivable sur $ℝ$ : $f\prime (x)=7\times 3x^2-5\times 2x+2-0$, soit $f\prime (x)=21x^2-10x+2$. Donc $f\prime (1)=21-10+2=13$.
2. $g(x)=-2x^6+3x^4-11$ : $g\prime (x)=-12x^5+k{x}^3$ avec $k=$
   $g\prime (x)=-2\times 6x^5+3\times 4x^3-0$, soit $g\prime (x)=-12x^5+12x^3$. La constante $-11$ a une dérivée nulle.
3. $h(x)=6\sqrt{x}-{\displaystyle \frac{1}{x}}$ sur $]0;+\infty [$ : $h\prime (1)=$
   $h\prime (x)=6\times {\displaystyle \frac{1}{2\sqrt{x}}}-(-{\displaystyle \frac{1}{x^2}})$, soit $h\prime (x)={\displaystyle \frac{3}{\sqrt{x}}}+{\displaystyle \frac{1}{x^2}}$. Donc $h\prime (1)=3+1=4$.
4. $p(x)={\displaystyle \frac{2}{3}}{x}^3+\pi x$ : $p\prime (0)=$
   ${\displaystyle \frac{2}{3}}$ et $\pi$ sont des constantes multiplicatives : $p\prime (x)={\displaystyle \frac{2}{3}}\times 3x^2+\pi \times 1=2x^2+\pi$. Donc $p\prime (0)=\pi$.

Les fonctions sont définies sur $]-\infty ;0[$ et sur $]0;+\infty [$. Les écrire avec des puissances de $x$, puis dériver. Une fraction s’écrit avec « / » (exemple : 2/5).

1. $f(x)={\displaystyle \frac{1}{x^4}}$ : $f\prime (1)=$
   $f(x)=x^{-4}$, donc $f\prime (x)=-4x^{-5}=-{\displaystyle \frac{4}{x^5}}$ et $f\prime (1)=-4$.
2. $g(x)={\displaystyle \frac{3}{x^2}}+x^2$ : $g\prime (-1)=$
   $g(x)=3x^{-2}+x^2$, donc $g\prime (x)=3\times (-2)x^{-3}+2x$ $=-{\displaystyle \frac{6}{x^3}}+2x$. $g\prime (-1)=-{\displaystyle \frac{6}{-1}}-2=6-2=4$.
3. $h(x)=-{\displaystyle \frac{5}{2x^3}}$ : $h\prime (1)=$
   $h(x)=-{\displaystyle \frac{5}{2}}{x}^{-3}$, donc $h\prime (x)=-{\displaystyle \frac{5}{2}}\times (-3)x^{-4}={\displaystyle \frac{15}{2x^4}}$ et $h\prime (1)={\displaystyle \frac{15}{2}}$. Écrire d’abord sous forme de puissance évite la formule du quotient.

Transformer l’écriture avant de dériver. Une fraction s’écrit avec « / » (exemple : 2/5).

1. Démontrer que pour $x>0$, $f(x)={\displaystyle \frac{x^3-2x+4}{x}}$ a pour dérivée $f\prime (x)=2x-{\displaystyle \frac{4}{x^2}}$. Puis $f\prime (2)=$
   Rédaction attendue. Pour $x>0$, on divise chaque terme par $x$ : $f(x)=x^2-2+{\displaystyle \frac{4}{x}}$. C’est une somme de fonctions dérivables sur $]0;+\infty [$ : $f\prime (x)=2x-0+4\times (-{\displaystyle \frac{1}{x^2}})=2x-{\displaystyle \frac{4}{x^2}}$. Donc $f\prime (2)=4-1=3$.
2. $g(x)=(2x-1{)}^2$, développé avant de dériver : $g\prime (3)=$
   $g(x)=4x^2-4x+1$, donc $g\prime (x)=8x-4$ et $g\prime (3)=24-4=20$.
3. $k(x)={\displaystyle \frac{x^2+1}{x^2}}$ pour $x\ne 0$ : $k\prime (-1)=$
   $k(x)=1+{\displaystyle \frac{1}{x^2}}=1+x^{-2}$, donc $k\prime (x)=-2x^{-3}=-{\displaystyle \frac{2}{x^3}}$. $k\prime (-1)=-{\displaystyle \frac{2}{-1}}=2$.

Erreurs et coefficients. Une fraction s’écrit avec « / » (exemple : 2/5).

1. Un élève écrit : « ${\left({\displaystyle \frac{1}{x^5}}\right)}^{\prime }=-{\displaystyle \frac{5}{x^4}}$ ». Corriger, puis donner la valeur exacte de la dérivée en $2$ :
   ${\displaystyle \frac{1}{x^5}}=x^{-5}$ et l’exposant diminue de $1$ : $-5-1=-6$. Donc ${\left({\displaystyle \frac{1}{x^5}}\right)}^{\prime }=-5x^{-6}=-{\displaystyle \frac{5}{x^6}}$ ; en $2$ : $-{\displaystyle \frac{5}{64}}$. L’élève a écrit $x^{-4}$ au dénominateur au lieu de $x^{-6}$.
2. Un élève écrit : « $f(x)=x^3+{\pi }^3$ donne $f\prime (x)=3x^2+3{\pi }^2$ ». Corriger : $f\prime (1)=$
   ${\pi }^3$ est un nombre (une constante) : sa dérivée est $0$. Donc $f\prime (x)=3x^2$ et $f\prime (1)=3$.
3. $f(x)=a{x}^3+bx$ vérifie $f\prime (0)=-3$ et $f\prime (1)=6$. Déterminer $a$ en justifiant : $a=$
   Rédaction attendue. $f$ est un polynôme : $f\prime (x)=3a{x}^2+b$. $f\prime (0)=b$, donc $b=-3$. $f\prime (1)=3a+b=3a-3$, donc $3a-3=6$, soit $a=3$. Ainsi $f(x)=3x^3-3x$ (contrôle : $f\prime (x)=9x^2-3$, $f\prime (0)=-3$, $f\prime (1)=6$).

Dériver avec la formule du produit, simplifier, puis donner la valeur demandée.

1. $f(x)=(x+2)(3x-1)$ sur $ℝ$ : $f\prime (2)=$
   $u(x)=x+2$, $u\prime (x)=1$ ; $v(x)=3x-1$, $v\prime (x)=3$. $f\prime (x)=1\times (3x-1)+(x+2)\times 3$ $=6x+5$, donc $f\prime (2)=17$. Contrôle : $f(x)=3x^2+5x-2$ a pour dérivée $6x+5$.
2. $g(x)=x^2\sqrt{x}$ sur $]0;+\infty [$ : $g\prime (4)=$
   $u(x)=x^2$, $u\prime (x)=2x$ ; $v(x)=\sqrt{x}$, $v\prime (x)={\displaystyle \frac{1}{2\sqrt{x}}}$. $g\prime (x)=2x\sqrt{x}+{\displaystyle \frac{x^2}{2\sqrt{x}}}$. Or ${\displaystyle \frac{x^2}{\sqrt{x}}}=x\sqrt{x}$, donc $g\prime (x)={\displaystyle \frac{5}{2}}x\sqrt{x}$ et $g\prime (4)={\displaystyle \frac{5}{2}}\times 4\times 2=20$.
3. $h(x)=(4-x)(x^2+1)$ sur $ℝ$ : $h\prime (1)=$
   $u\prime (x)=-1$, $v\prime (x)=2x$ : $h\prime (x)=-(x^2+1)+(4-x)\times 2x$ $=-3x^2+8x-1$. Donc $h\prime (1)=-3+8-1=4$.

Même consigne. Une fraction s’écrit avec « / » (exemple : 2/5).

1. $f(x)=x\sqrt{x}$ sur $]0;+\infty [$ : $f\prime (4)=$
   $f\prime (x)=1\times \sqrt{x}+x\times {\displaystyle \frac{1}{2\sqrt{x}}}=\sqrt{x}+{\displaystyle \frac{\sqrt{x}}{2}}={\displaystyle \frac{3}{2}}\sqrt{x}$, car ${\displaystyle \frac{x}{\sqrt{x}}}=\sqrt{x}$. Donc $f\prime (4)={\displaystyle \frac{3}{2}}\times 2=3$.
2. $g(x)=(x^2-3)(x+1)$ : $g\prime (-2)=$
   $g\prime (x)=2x(x+1)+(x^2-3)\times 1$ $=3x^2+2x-3$. Donc $g\prime (-2)=12-4-3=5$.
3. $h(x)={\displaystyle \frac{1}{x}}(x^2+5)$ sur $]0;+\infty [$, avec la formule du produit : $h\prime (5)=$
   $u(x)={\displaystyle \frac{1}{x}}$, $u\prime (x)=-{\displaystyle \frac{1}{x^2}}$ ; $v(x)=x^2+5$, $v\prime (x)=2x$. $h\prime (x)=-{\displaystyle \frac{x^2+5}{x^2}}+{\displaystyle \frac{2x}{x}}$ $=-1-{\displaystyle \frac{5}{x^2}}+2=1-{\displaystyle \frac{5}{x^2}}$. Donc $h\prime (5)=1-{\displaystyle \frac{5}{25}}={\displaystyle \frac{4}{5}}$. Contrôle : $h(x)=x+{\displaystyle \frac{5}{x}}$.

Démontrer une expression de la dérivée.

1. Démontrer que $f(x)=(x+3)\sqrt{x}$ a pour dérivée $f\prime (x)={\displaystyle \frac{3(x+1)}{2\sqrt{x}}}$ sur $]0;+\infty [$. Puis $f\prime (9)=$
   Rédaction attendue. Sur $]0;+\infty [$, $u(x)=x+3$ et $v(x)=\sqrt{x}$ sont dérivables, avec $u\prime (x)=1$ et $v\prime (x)={\displaystyle \frac{1}{2\sqrt{x}}}$. Par la formule du produit, $f\prime (x)=\sqrt{x}+{\displaystyle \frac{x+3}{2\sqrt{x}}}$. Comme $\sqrt{x}={\displaystyle \frac{2x}{2\sqrt{x}}}$ : $f\prime (x)={\displaystyle \frac{2x+x+3}{2\sqrt{x}}}={\displaystyle \frac{3x+3}{2\sqrt{x}}}={\displaystyle \frac{3(x+1)}{2\sqrt{x}}}$. Donc $f\prime (9)={\displaystyle \frac{3\times 10}{2\times 3}}=5$.
2. Démontrer que $g(x)=x^2(x-4{)}^2$ a pour dérivée $g\prime (x)=4x(x-2)(x-4)$. Puis $g\prime (1)=$
   Rédaction attendue. $u(x)=x^2$, $u\prime (x)=2x$ ; $v(x)=(x-4{)}^2=x^2-8x+16$, $v\prime (x)=2x-8=2(x-4)$. Par la formule du produit : $g\prime (x)=2x(x-4{)}^2+x^2\times 2(x-4)$. On factorise par $2x(x-4)$ : $g\prime (x)=2x(x-4)[(x-4)+x]$ $=2x(x-4)(2x-4)=4x(x-2)(x-4)$. Donc $g\prime (1)=4\times 1\times (-1)\times (-3)=12$.
3. $u$ et $v$ sont dérivables avec $u(2)=3$, $u\prime (2)=-1$, $v(2)=4$, $v\prime (2)=5$. Alors $(uv{)}^{\prime }(2)=$
   $(uv{)}^{\prime }(2)=u\prime (2)v(2)+u(2)v\prime (2)=-1\times 4+3\times 5$ $=-4+15=11$.

Utiliser la formule du produit pour aller plus loin.

1. En écrivant $u^2=u\times u$, démontrer que $(u^2{)}^{\prime }=2u\prime u$. Application : la dérivée de $x\mapsto (x^2+x+1{)}^2$ en $1$ vaut
   Rédaction attendue. Par la formule du produit avec $v=u$ : $(u\times u{)}^{\prime }=u\prime u+uu\prime =2u\prime u$. Avec $u(x)=x^2+x+1$ et $u\prime (x)=2x+1$ : la dérivée est $2(2x+1)(x^2+x+1)$. En $1$ : $2\times 3\times 3=18$.
2. $f(x)=(x+c)\sqrt{x}$ sur $]0;+\infty [$, où $c$ est un réel. Pour quelle valeur de $c$ a-t-on $f\prime (1)=0$ ? $c=$
   $f\prime (x)=\sqrt{x}+{\displaystyle \frac{x+c}{2\sqrt{x}}}$, donc $f\prime (1)=1+{\displaystyle \frac{1+c}{2}}$. $f\prime (1)=0⟺1+c=-2⟺c=-3$.

Justifier que la fonction est dérivable sur l’intervalle, la dériver, puis donner la valeur demandée. Une fraction s’écrit avec « / » (exemple : 2/5).

1. $f(x)={\displaystyle \frac{2x+3}{x-1}}$ sur $]1;+\infty [$ : $f\prime (2)=$
   Sur $]1;+\infty [$, $x-1>0$. $f\prime (x)={\displaystyle \frac{2(x-1)-(2x+3)\times 1}{(x-1{)}^2}}$ $={\displaystyle \frac{2x-2-2x-3}{(x-1{)}^2}}=-{\displaystyle \frac{5}{(x-1{)}^2}}$. Donc $f\prime (2)=-5$.
2. $g(x)={\displaystyle \frac{4}{x^2+3}}$ sur $ℝ$ : $g\prime (1)=$
   $x^2+3⩾3>0$. $g=4\times {\displaystyle \frac{1}{v}}$ avec $v(x)=x^2+3$, $v\prime (x)=2x$ : $g\prime (x)=-{\displaystyle \frac{8x}{(x^2+3{)}^2}}$. Donc $g\prime (1)=-{\displaystyle \frac{8}{16}}=-{\displaystyle \frac{1}{2}}$.
3. $h(x)={\displaystyle \frac{x^2}{2x+5}}$ sur $]-{\displaystyle \frac{5}{2}};+\infty [$ : $h\prime (-2)=$
   $2x+5>0$ sur l’intervalle. $h\prime (x)={\displaystyle \frac{2x(2x+5)-2x^2}{(2x+5{)}^2}}$ $={\displaystyle \frac{2x^2+10x}{(2x+5{)}^2}}={\displaystyle \frac{2x(x+5)}{(2x+5{)}^2}}$. $h\prime (-2)={\displaystyle \frac{2\times (-2)\times 3}{1^2}}=-12$.

Numérateur constant : utiliser ${\left({\displaystyle \frac{1}{v}}\right)}^{\prime }=-{\displaystyle \frac{v\prime }{v^2}}$. Une fraction s’écrit avec « / » (exemple : 2/5).

1. $f(x)={\displaystyle \frac{1}{x^3+1}}$ sur $]-1;+\infty [$ : $f\prime (1)=$
   Sur $]-1;+\infty [$, $x^3>-1$ donc $x^3+1>0$. $v\prime (x)=3x^2$ : $f\prime (x)=-{\displaystyle \frac{3x^2}{(x^3+1{)}^2}}$ et $f\prime (1)=-{\displaystyle \frac{3}{4}}$.
2. $g(x)={\displaystyle \frac{6}{x^2-x+1}}$ sur $ℝ$ : $g\prime (2)=$
   $x^2-x+1={(x-{\displaystyle \frac{1}{2}})}^2+{\displaystyle \frac{3}{4}}>0$. $g\prime (x)=6\times (-{\displaystyle \frac{2x-1}{(x^2-x+1{)}^2}})$. $g\prime (2)=-{\displaystyle \frac{6\times 3}{3^2}}=-2$.
3. $k(x)={\displaystyle \frac{2}{5-x^2}}$ sur $]-\sqrt{5};\sqrt{5}[$ : $k\prime (2)=$
   Sur cet intervalle, $x^2<5$ donc $5-x^2>0$. $v\prime (x)=-2x$ : $k\prime (x)=2\times (-{\displaystyle \frac{-2x}{(5-x^2{)}^2}})={\displaystyle \frac{4x}{(5-x^2{)}^2}}$. $k\prime (2)={\displaystyle \frac{8}{1^2}}=8$.

Soit $f$ la fonction définie sur $]-1;+\infty [$ par $f(x)={\displaystyle \frac{x^2+3}{x+1}}$. Une fraction s’écrit avec « / » (exemple : 2/5).

1. Démontrer que pour tout $x>-1$, $f\prime (x)={\displaystyle \frac{x^2+2x-3}{(x+1{)}^2}}$. Puis $f\prime (0)=$
   Rédaction attendue. Sur $]-1;+\infty [$, $x+1>0$ : $f$ est un quotient de fonctions dérivables dont le dénominateur ne s’annule pas, donc $f$ est dérivable. $u(x)=x^2+3$, $u\prime (x)=2x$, $v(x)=x+1$, $v\prime (x)=1$. $f\prime (x)={\displaystyle \frac{2x(x+1)-(x^2+3)\times 1}{(x+1{)}^2}}$ $={\displaystyle \frac{2x^2+2x-x^2-3}{(x+1{)}^2}}={\displaystyle \frac{x^2+2x-3}{(x+1{)}^2}}$, ce qu’il fallait démontrer. $f\prime (0)={\displaystyle \frac{-3}{1}}=-3$.
2. $f\prime (2)=$
   $f\prime (2)={\displaystyle \frac{4+4-3}{3^2}}={\displaystyle \frac{5}{9}}$.
3. L’équation $f\prime (x)=0$ a une seule solution dans $]-1;+\infty [$ :
   Le dénominateur ne s’annule pas : $f\prime (x)=0⟺x^2+2x-3=0$. $\Delta =4+12=16$, racines ${\displaystyle \frac{-2-4}{2}}=-3$ et ${\displaystyle \frac{-2+4}{2}}=1$. Seule $1$ appartient à $]-1;+\infty [$.

Paramètres et erreurs. Les fonctions sont définies sur $ℝ$ sauf mention contraire. Une fraction s’écrit avec « / » (exemple : 2/5).

1. $f(x)={\displaystyle \frac{ax+b}{x^2+1}}$. Démontrer que $f\prime (x)={\displaystyle \frac{-a{x}^2-2bx+a}{(x^2+1{)}^2}}$. Pour $a=b=1$, $f\prime (1)=$
   Rédaction attendue. $x^2+1⩾1$ ne s’annule pas. $u(x)=ax+b$, $u\prime (x)=a$, $v(x)=x^2+1$, $v\prime (x)=2x$. $f\prime (x)={\displaystyle \frac{a(x^2+1)-(ax+b)\times 2x}{(x^2+1{)}^2}}$ $={\displaystyle \frac{a{x}^2+a-2a{x}^2-2bx}{(x^2+1{)}^2}}={\displaystyle \frac{-a{x}^2-2bx+a}{(x^2+1{)}^2}}$. Pour $a=b=1$ : $f\prime (1)={\displaystyle \frac{-1-2+1}{4}}=-{\displaystyle \frac{1}{2}}$.
2. Avec la même $f$, on sait que $f(0)=2$ et $f\prime (0)=3$. Alors $a=$
   $f(0)={\displaystyle \frac{b}{1}}=b$, donc $b=2$ ; $f\prime (0)={\displaystyle \frac{a}{1}}=a$, donc $a=3$ : $f(x)={\displaystyle \frac{3x+2}{x^2+1}}$.
3. Tom écrit : « pour $g(x)={\displaystyle \frac{x+5}{x-3}}$ sur $]3;+\infty [$, $g\prime (x)={\displaystyle \frac{1}{1}}=1$ ». Corriger : $g\prime (5)=$
   Tom a dérivé séparément le numérateur et le dénominateur : ${\left({\displaystyle \frac{u}{v}}\right)}^{\prime }\ne {\displaystyle \frac{u\prime }{v\prime }}$. $g\prime (x)={\displaystyle \frac{1\times (x-3)-(x+5)\times 1}{(x-3{)}^2}}=-{\displaystyle \frac{8}{(x-3{)}^2}}$ et $g\prime (5)=-{\displaystyle \frac{8}{4}}=-2$.
4. Noé écrit : « pour $k(x)={\displaystyle \frac{1}{x^2+2x+2}}$, $k\prime (x)={\displaystyle \frac{1}{2x+2}}$ ». Corriger : $k\prime (0)=$
   Noé a « inversé la dérivée », ce qui n’a pas de sens. $x^2+2x+2=(x+1{)}^2+1⩾1$ ne s’annule pas et ${\left({\displaystyle \frac{1}{v}}\right)}^{\prime }=-{\displaystyle \frac{v\prime }{v^2}}$ : $k\prime (x)=-{\displaystyle \frac{2x+2}{(x^2+2x+2{)}^2}}$, donc $k\prime (0)=-{\displaystyle \frac{2}{4}}=-{\displaystyle \frac{1}{2}}$.

Déterminer où la fonction est dérivable.

1. $x\mapsto {\displaystyle \frac{x+5}{x^2-9}}$ est dérivable sur $ℝ$ privé de deux réels ; le plus grand des deux est
   Le dénominateur s’annule quand $x^2=9$, soit $x=-3$ ou $x=3$. La fonction est dérivable sur $]-\infty ;-3[$, sur $]-3;3[$ et sur $]3;+\infty [$ ; le plus grand réel exclu est $3$.
2. $x\mapsto {\displaystyle \frac{1}{x^2+2x-8}}$ : le plus petit réel où elle n’est pas dérivable est
   $\Delta =4+32=36$ : $x^2+2x-8=0$ pour $x={\displaystyle \frac{-2-6}{2}}=-4$ ou $x={\displaystyle \frac{-2+6}{2}}=2$. Le plus petit est $-4$.
3. Nombre de réels où $x\mapsto {\displaystyle \frac{3}{x^2-6x+9}}$ n’est pas dérivable :
   $x^2-6x+9=(x-3{)}^2$ ne s’annule qu’en $3$ (racine double) : un seul réel est exclu. La fonction est dérivable sur $]-\infty ;3[$ et sur $]3;+\infty [$.

Dériver en combinant les formules, puis donner la valeur demandée. Une fraction s’écrit avec « / » (exemple : 2/5).

1. $f(x)={\displaystyle \frac{x+3}{\sqrt{x}}}$ sur $]0;+\infty [$ : $f\prime (4)=$
   Plus court : $f(x)=\sqrt{x}+{\displaystyle \frac{3}{\sqrt{x}}}$, ou directement le quotient. $u(x)=x+3$, $u\prime (x)=1$ ; $v(x)=\sqrt{x}$, $v\prime (x)={\displaystyle \frac{1}{2\sqrt{x}}}$. $f\prime (x)={\displaystyle \frac{\sqrt{x}-\frac{x+3}{2\sqrt{x}}}{x}}={\displaystyle \frac{2x-(x+3)}{2x\sqrt{x}}}={\displaystyle \frac{x-3}{2x\sqrt{x}}}$. $f\prime (4)={\displaystyle \frac{1}{2\times 4\times 2}}={\displaystyle \frac{1}{16}}$.
2. $g(x)=2x+{\displaystyle \frac{1}{x^2+1}}$ sur $ℝ$ : $g\prime (1)=$
   Somme : $(2x{)}^{\prime }=2$ et, avec $v(x)=x^2+1$ qui ne s’annule pas, ${\left({\displaystyle \frac{1}{v}}\right)}^{\prime }=-{\displaystyle \frac{2x}{(x^2+1{)}^2}}$. $g\prime (x)=2-{\displaystyle \frac{2x}{(x^2+1{)}^2}}$ et $g\prime (1)=2-{\displaystyle \frac{2}{4}}={\displaystyle \frac{3}{2}}$.
3. $h(x)={\displaystyle \frac{1}{x(x+3)}}$ sur $]0;+\infty [$ : $h\prime (1)=$
   $v(x)=x(x+3)=x^2+3x$ ne s’annule pas sur $]0;+\infty [$, $v\prime (x)=2x+3$. $h\prime (x)=-{\displaystyle \frac{2x+3}{(x^2+3x{)}^2}}$ et $h\prime (1)=-{\displaystyle \frac{5}{16}}$.

Soit $f(x)={\displaystyle \frac{x+1}{x^2-2x}}$. On donne $1,7<\sqrt{3}<1,8$. Une fraction s’écrit avec « / » (exemple : 2/5).

1. Déterminer les intervalles où $f$ est dérivable, puis démontrer que $f\prime (x)={\displaystyle \frac{-x^2-2x+2}{(x^2-2x{)}^2}}$ sur chacun d’eux. Enfin $f\prime (1)=$
   Rédaction attendue. $x^2-2x=x(x-2)$ s’annule en $0$ et en $2$. $f$ est un quotient de fonctions polynômes dont le dénominateur ne s’annule pas sur $]-\infty ;0[$, sur $]0;2[$ et sur $]2;+\infty [$ : $f$ est dérivable sur chacun de ces intervalles. $u(x)=x+1$, $u\prime (x)=1$ ; $v(x)=x^2-2x$, $v\prime (x)=2x-2$. $f\prime (x)={\displaystyle \frac{(x^2-2x)-(x+1)(2x-2)}{(x^2-2x{)}^2}}$ $={\displaystyle \frac{x^2-2x-(2x^2-2)}{(x^2-2x{)}^2}}={\displaystyle \frac{-x^2-2x+2}{(x^2-2x{)}^2}}$. $f\prime (1)={\displaystyle \frac{-1-2+2}{(1-2{)}^2}}=-1$.
2. Les solutions de $-x^2-2x+2=0$ sont $-1-\sqrt{3}$ et $-1+\sqrt{3}$. Combien de solutions l’équation $f\prime (x)=0$ a-t-elle dans $]0;2[$ ?
   $\Delta =4+8=12$ et $\sqrt{12}=2\sqrt{3}$ : $x={\displaystyle \frac{2\pm 2\sqrt{3}}{-2}}=-1\mp \sqrt{3}$. Avec $1,7<\sqrt{3}<1,8$ : $0,7<-1+\sqrt{3}<0,8$ est dans $]0;2[$, et $-1-\sqrt{3}<-2,7$ est dans $]-\infty ;0[$. Une seule solution dans $]0;2[$.
3. Un élève écrit : « $f$ est dérivable sur $]-\infty ;2[$ ». Le réel de cet intervalle où $f$ n’est pas dérivable est
   $0$ annule le dénominateur : $f$ n’y est même pas définie. On écrit « dérivable sur $]-\infty ;0[$ et sur $]0;2[$ », sans réunir les intervalles.

Racines carrées, paramètres et erreurs. Une fraction s’écrit avec « / » (exemple : 2/5).

1. Pour $x>0$, $k(x)={\displaystyle \frac{1}{x+\sqrt{x}}}$. Démontrer que $k\prime (x)=-{\displaystyle \frac{2\sqrt{x}+1}{2\sqrt{x}(x+\sqrt{x}{)}^2}}$. Puis $k\prime (1)=$
   Rédaction attendue. Pour $x>0$, $v(x)=x+\sqrt{x}$ est dérivable (somme de fonctions dérivables sur $]0;+\infty [$) et $v(x)>0$, donc ne s’annule pas. $v\prime (x)=1+{\displaystyle \frac{1}{2\sqrt{x}}}={\displaystyle \frac{2\sqrt{x}+1}{2\sqrt{x}}}$. Par ${\left({\displaystyle \frac{1}{v}}\right)}^{\prime }=-{\displaystyle \frac{v\prime }{v^2}}$ : $k\prime (x)=-{\displaystyle \frac{2\sqrt{x}+1}{2\sqrt{x}}}\times {\displaystyle \frac{1}{(x+\sqrt{x}{)}^2}}=-{\displaystyle \frac{2\sqrt{x}+1}{2\sqrt{x}(x+\sqrt{x}{)}^2}}$. $k\prime (1)=-{\displaystyle \frac{3}{2\times 4}}=-{\displaystyle \frac{3}{8}}$.
2. Inès écrit : « $x\mapsto {\displaystyle \frac{\sqrt{x}}{x-1}}$ est dérivable sur $[0;1[$ et sur $]1;+\infty [$ ». Le réel qu’elle doit encore retirer est
   La fonction est définie en $0$, mais $\sqrt{x}$ n’est pas dérivable en $0$ : les formules donnent la dérivabilité sur $]0;1[$ et sur $]1;+\infty [$ seulement.
3. Pour un réel $c>0$, $f(x)={\displaystyle \frac{x}{x^2+c}}$ sur $ℝ$. Justifier que $f\prime (x)={\displaystyle \frac{c-x^2}{(x^2+c{)}^2}}$, puis donner la valeur de $c$ telle que $f\prime (2)=0$ : $c=$
   Rédaction attendue. $c>0$ donc $x^2+c⩾c>0$ : le dénominateur ne s’annule pas, $f$ est dérivable sur $ℝ$. $u(x)=x$, $u\prime (x)=1$ ; $v(x)=x^2+c$, $v\prime (x)=2x$. $f\prime (x)={\displaystyle \frac{(x^2+c)-x\times 2x}{(x^2+c{)}^2}}={\displaystyle \frac{c-x^2}{(x^2+c{)}^2}}$. $f\prime (2)=0⟺c-4=0⟺c=4$.