Ressources · 1ʳᵉ · Spécialité Mathématiques

Calcul de dérivées

Fonction dérivée, démonstrations des dérivées de x² et 1/x, dérivées usuelles et puissances xⁿ (n ∈ ℤ), somme, produit, inverse et quotient, valeur absolue non dérivable en 0.

À propos de cette page

Cinq problèmes corrigés dans l’esprit de l’épreuve anticipée : l’éclairement d’un capteur qui s’éloigne d’une lampe, le coût marginal et le coût moyen d’une entreprise, la vitesse et l’accélération d’un mobile, une fonction rationnelle dérivée de deux façons, et un programme Python qui dérive un polynôme.

5 problèmes, du plus simple au plus difficile. Écris tes réponses, puis « Vérifier ».

Résoudre un problème : la méthode

Je lis ce que représente la dérivée dans la situation : vitesse, coût marginal, vitesse de variation d’une grandeur.
Je repère la forme de la fonction (somme, produit, inverse, quotient) et l’intervalle où elle est dérivable.
Je dérive en écrivant u, u′, v, v′ à part, puis je simplifie jusqu’à la forme demandée (« démontrer que f′(x) = … »).
Je calcule les valeurs demandées sans calculatrice : fractions, puissances de petits nombres, discriminant.
Je conclus dans le contexte, avec l’unité (m/s, € par objet, lux par seconde).

Problème 1 · Une lampe qui s’éloigne★★★Facile

Un capteur s’éloigne d’une lampe : à l’instant

t

(en secondes,

t ⩾ 0

), il se trouve à

2 t + 1

mètres de la lampe et l’éclairement qu’il reçoit, en lux, vaut

E (t) = \frac{100}{(2 t + 1)^{2}}

. Une fraction s’écrit avec « / » (exemple : 2/5).

1. Justifier que $E$ est dérivable sur $[0; + \infty [$ et démontrer que $E' (t) = - \frac{400}{(2 t + 1)^{3}}$ . Puis $E' (0) =$
Rédaction attendue. On écrit $E (t) = 100 \times \frac{1}{v (t)}$ avec $v (t) = (2 t + 1)^{2} = 4 t^{2} + 4 t + 1$ , fonction polynôme dérivable, et $v' (t) = 8 t + 4 = 4 (2 t + 1)$ . Pour $t ⩾ 0$ , $2 t + 1 ⩾ 1$ , donc $v (t) ⩾ 1$ ne s’annule pas : $E$ est dérivable sur $[0; + \infty [$ . Par ${(\frac{1}{v})}^{'} = - \frac{v'}{v^{2}}$ : $E' (t) = - 100 \times \frac{4 (2 t + 1)}{(2 t + 1)^{4}} = - \frac{400}{(2 t + 1)^{3}}$ . $E' (0) = - 400$ : au départ, l’éclairement diminue d’environ $400$ lux par seconde.
2. $E' (1, 5) =$
$2 \times 1, 5 + 1 = 4$ et $4^{3} = 64$ : $E' (1, 5) = - \frac{400}{64} = - 6, 25$ .
3. L’instant où $E' (t) = - 50$ est $t =$ s
$- \frac{400}{(2 t + 1)^{3}} = - 50 ⟺ (2 t + 1)^{3} = 8 ⟺ 2 t + 1 = 2$ (car $2^{3} = 8$ et la fonction cube est strictement croissante) $⟺ t = 0, 5$ .
4. Combien de fois la diminution est-elle plus rapide à $t = 0$ qu’à l’instant trouvé à la question précédente ?
$\frac{E' (0)}{E' (0, 5)} = \frac{- 400}{- 50} = 8$ : en doublant la distance (de $1$ m à $2$ m), la vitesse de diminution est divisée par $2^{3} = 8$ .

Problème 2 · Coût marginal et coût moyen★★★Moyen

Une entreprise fabrique entre

1

80

objets par jour. Le coût total de fabrication de

q

objets, en euros, est

C (q) = 0, 02 q^{3} - 1, 5 q^{2} + 60 q + 400

. Les économistes appellent coût marginal la dérivée

C' (q)

: elle estime le coût de fabrication d’un objet supplémentaire. Le coût moyen par objet est

C_{M} (q) = \frac{C (q)}{q}

pour

q \in [1; 80]

. Écris un nombre décimal avec une virgule.

1. Calculer $C' (q)$ , puis $C' (30) =$ €
$C$ est un polynôme : $C' (q) = 0, 02 \times 3 q^{2} - 1, 5 \times 2 q + 60 = 0, 06 q^{2} - 3 q + 60$ . $C' (30) = 0, 06 \times 900 - 90 + 60 = 54 - 90 + 60 = 24$ . Interprétation : quand l’entreprise fabrique déjà $30$ objets, en fabriquer un de plus coûte environ $24$ €.
2. Montrer que $C_{M} (q) = 0, 02 q^{2} - 1, 5 q + 60 + \frac{400}{q}$ , puis que $C_{M}^{'} (q) = \frac{0, 04 q^{3} - 1, 5 q^{2} - 400}{q^{2}}$ . Calculer $C_{M}^{'} (40) =$
Rédaction attendue. Pour $q > 0$ , on divise chaque terme de $C (q)$ par $q$ : $C_{M} (q) = 0, 02 q^{2} - 1, 5 q + 60 + \frac{400}{q}$ . On dérive terme à terme, avec ${(\frac{400}{q})}^{'} = - \frac{400}{q^{2}}$ : $C_{M}^{'} (q) = 0, 04 q - 1, 5 - \frac{400}{q^{2}}$ , puis au même dénominateur $q^{2}$ : $C_{M}^{'} (q) = \frac{0, 04 q^{3} - 1, 5 q^{2} - 400}{q^{2}}$ . Pour $q = 40$ : $0, 04 \times 64 000 = 2 560$ et $1, 5 \times 1 600 = 2 400$ , donc $C_{M}^{'} (40) = \frac{2 560 - 2 400 - 400}{1 600} = \frac{- 240}{1 600} = - 0, 15$ .
3. Démontrer, avec la formule du quotient appliquée à $\frac{C (q)}{q}$ , que $C_{M}^{'} (q) = \frac{C' (q) - C_{M} (q)}{q}$ . Vérifier cette formule pour $q = 40$ : $C_{M} (40) =$ €
Rédaction attendue. Avec $u (q) = C (q)$ , $u' (q) = C' (q)$ , $v (q) = q$ , $v' (q) = 1$ (et $v$ ne s’annule pas sur $[1; 80]$ ) : $C_{M}^{'} (q) = \frac{C' (q) \times q - C (q) \times 1}{q^{2}}$ $= \frac{q (C' (q) - \frac{C (q)}{q})}{q^{2}} = \frac{C' (q) - C_{M} (q)}{q}$ . Vérification : $C_{M} (40) = 32 - 60 + 60 + 10 = 42$ et $C' (40) = 0, 06 \times 1 600 - 120 + 60 = 36$ , donc $\frac{36 - 42}{40} = - 0, 15$ : on retrouve la valeur précédente. Le coût marginal ( $36$ €) est inférieur au coût moyen ( $42$ €), et $C_{M}^{'} (40) < 0$ .
4. Pour $q = 50$ , on a $C' (50) = 60$ et $C_{M} (50) = 43$ . En déduire $C_{M}^{'} (50) =$
Par la formule démontrée : $C_{M}^{'} (50) = \frac{C' (50) - C_{M} (50)}{50} = \frac{60 - 43}{50} = \frac{17}{50} = 0, 34$ . Contrôle avec l’autre expression : $\frac{0, 04 \times 125 000 - 1, 5 \times 2 500 - 400}{2 500} = \frac{5 000 - 3 750 - 400}{2 500} = \frac{850}{2 500} = 0, 34$ . Ici le coût marginal dépasse le coût moyen, et $C_{M}^{'} (50) > 0$ .

Problème 3 · Position, vitesse et accélération d’un mobile★★★Moyen

Un mobile se déplace sur un axe. Sa position, en mètres, à l’instant

t

(en secondes), pour

t \in [0; 6]

, est

x (t) = - 0, 4 t^{3} + 3 t^{2} + 3, 3 t

. Sa vitesse instantanée est

v (t) = x' (t)

, notée aussi

\frac{d x}{d t}

en physique, (en m/s) et son accélération est

a (t) = v' (t)

(en m/s²). Écris un nombre décimal avec une virgule.

1. Exprimer $v (t)$ , puis calculer la vitesse à l’instant $t = 2$ : $v (2) =$ m/s
$x$ est un polynôme : $v (t) = - 0, 4 \times 3 t^{2} + 3 \times 2 t + 3, 3 = - 1, 2 t^{2} + 6 t + 3, 3$ . $v (2) = - 1, 2 \times 4 + 12 + 3, 3 = - 4, 8 + 15, 3 = 10, 5$ m/s.
2. Exprimer $a (t)$ , puis l’instant $t_{1}$ où l’accélération est nulle : $t_{1} =$ s
$a (t) = v' (t) = - 1, 2 \times 2 t + 6 = - 2, 4 t + 6$ . $a (t) = 0 ⟺ t = \frac{6}{2, 4} = 2, 5$ , qui appartient bien à $[0; 6]$ .
3. La vitesse à l’instant $t_{1}$ vaut m/s
$v (2, 5) = - 1, 2 \times 6, 25 + 15 + 3, 3 = - 7, 5 + 18, 3 = 10, 8$ m/s.
4. Démontrer que $v (t) = 0$ équivaut à $4 t^{2} - 20 t - 11 = 0$ , puis donner l’instant où le mobile s’arrête avant de repartir en sens inverse : $t =$ s
Rédaction attendue. $v (t) = 0 ⟺ - 1, 2 t^{2} + 6 t + 3, 3 = 0$ . On multiplie les deux membres par $- \frac{10}{3}$ (non nul) : $1, 2 \times \frac{10}{3} = 4$ , $6 \times \frac{10}{3} = 20$ , $3, 3 \times \frac{10}{3} = 11$ , d’où $4 t^{2} - 20 t - 11 = 0$ . $Δ = 400 + 176 = 576 = 24^{2}$ : $t = \frac{20 - 24}{8} = - 0, 5$ (pas dans $[0; 6]$ ) ou $t = \frac{20 + 24}{8} = 5, 5$ . La vitesse est positive au départ ( $v (0) = 3, 3$ ), s’annule à $t = 5, 5$ s puis devient négative ( $v (6) = - 43, 2 + 36 + 3, 3 = - 3, 9$ ) : le mobile repart en sens inverse.

Problème 4 · Une fonction dérivée de deux façons★★★Difficile

Soit

f

la fonction définie sur

ℝ

par

f (x) = \frac{x^{3}}{x^{2} + 3}

. Une fraction s’écrit avec « / » (exemple : 2/5).

1. Démontrer que, pour tout réel $x$ , $f' (x) = \frac{x^{2} (x^{2} + 9)}{(x^{2} + 3)^{2}}$ . Puis $f' (1) =$
Rédaction attendue. Pour tout réel $x$ , $x^{2} + 3 ⩾ 3 > 0$ : $f$ est dérivable sur $ℝ$ comme quotient. $u (x) = x^{3}$ , $u' (x) = 3 x^{2}$ ; $v (x) = x^{2} + 3$ , $v' (x) = 2 x$ . $f' (x) = \frac{3 x^{2} (x^{2} + 3) - x^{3} \times 2 x}{(x^{2} + 3)^{2}}$ $= \frac{3 x^{4} + 9 x^{2} - 2 x^{4}}{(x^{2} + 3)^{2}} = \frac{x^{4} + 9 x^{2}}{(x^{2} + 3)^{2}}$ $= \frac{x^{2} (x^{2} + 9)}{(x^{2} + 3)^{2}}$ . $f' (1) = \frac{1 \times 10}{16} = \frac{5}{8}$ .
2. Montrer que $f (x) = x - \frac{3 x}{x^{2} + 3}$ , puis retrouver $f'$ à partir de cette écriture et calculer $f' (- 3) =$
Rédaction attendue. $x - \frac{3 x}{x^{2} + 3} = \frac{x (x^{2} + 3) - 3 x}{x^{2} + 3} = \frac{x^{3}}{x^{2} + 3} = f (x)$ . Pour $w (x) = \frac{3 x}{x^{2} + 3}$ : $w' (x) = \frac{3 (x^{2} + 3) - 3 x \times 2 x}{(x^{2} + 3)^{2}} = \frac{9 - 3 x^{2}}{(x^{2} + 3)^{2}}$ . Donc $f' (x) = 1 - \frac{9 - 3 x^{2}}{(x^{2} + 3)^{2}}$ $= \frac{x^{4} + 6 x^{2} + 9 - 9 + 3 x^{2}}{(x^{2} + 3)^{2}} = \frac{x^{4} + 9 x^{2}}{(x^{2} + 3)^{2}}$ : c’est le même résultat. $f' (- 3) = 1 - \frac{9 - 27}{144} = 1 + \frac{18}{144} = \frac{9}{8}$ .
3. La seule solution de l’équation $f' (x) = 0$ est
Le dénominateur ne s’annule pas : $f' (x) = 0 ⟺ x^{2} (x^{2} + 9) = 0$ . Comme $x^{2} + 9 ⩾ 9 > 0$ , cela équivaut à $x^{2} = 0$ , soit $x = 0$ .
4. Pour $x > 0$ , on pose $k (x) = \frac{1}{f (x)}$ . Justifier que $k (x) = \frac{1}{x} + \frac{3}{x^{3}}$ , puis calculer $k' (1) =$ de deux façons.
Rédaction attendue. Pour $x > 0$ , $f (x) > 0$ et $k (x) = \frac{x^{2} + 3}{x^{3}} = \frac{x^{2}}{x^{3}} + \frac{3}{x^{3}} = \frac{1}{x} + \frac{3}{x^{3}}$ . Première façon : $k (x) = x^{- 1} + 3 x^{- 3}$ , donc $k' (x) = - \frac{1}{x^{2}} - \frac{9}{x^{4}}$ et $k' (1) = - 1 - 9 = - 10$ . Seconde façon : $f$ ne s’annule pas sur $] 0; + \infty [$ , donc $k' (x) = - \frac{f' (x)}{f (x)^{2}}$ ; avec $f (1) = \frac{1}{4}$ et $f' (1) = \frac{5}{8}$ : $k' (1) = - \frac{5}{8} \times 16 = - 10$ .

Problème 5 · Dériver un polynôme en Python★★★Difficile

On représente un polynôme

P (x) = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + \dots + a_{n} x^{n}

par la liste Python de ses coefficients [a0, a1, ..., an], rangés par degré croissant. On considère les fonctions suivantes ; une ligne de evaluer est à compléter :

def derivee(coefs):
    return [k * coefs[k] for k in range(1, len(coefs))]

def evaluer(coefs, x):
    s = 0
    for k in range(len(coefs)):
        s = ...
    return s

Écris un nombre décimal avec une virgule.

1. $P (x) = 4 - x + 2 x^{3}$ est représenté par [4, -1, 0, 2]. Calculer $P' (x)$ à la main : son coefficient de $x^{2}$ vaut
$P' (x) = - 1 + 2 \times 3 x^{2} = - 1 + 0 x + 6 x^{2}$ , représenté par [-1, 0, 6]. Le coefficient nul de $x^{2}$ dans $P$ doit figurer dans la liste, sinon les degrés sont décalés.
2. Justifier que derivee(coefs) renvoie la liste des coefficients de $P'$ . Que renvoie derivee([7]) ? Nombre d’éléments de la liste renvoyée :
Rédaction attendue. La dérivée de $a_{k} x^{k}$ est $k a_{k} x^{k - 1}$ pour $k ⩾ 1$ , et celle de $a_{0}$ est nulle : le coefficient de degré $k - 1$ de $P'$ est $k \times a_{k}$ , pour $k$ allant de $1$ à $n$ . La liste parcourt justement $k$ de $1$ à len(coefs) - 1 $= n$ et place $k \times a_{k}$ en position $k - 1$ . Pour [7], range(1, 1) est vide : la fonction renvoie [], liste vide qui représente le polynôme nul. C’est cohérent : la dérivée d’une constante est nulle.
3. Compléter la ligne s = ... pour que evaluer(coefs, x) renvoie $P (x)$ . Avec cette ligne, evaluer([4, -1, 0, 2], 2) renvoie
La ligne est s = s + coefs[k] * x**k : à chaque passage, on ajoute le terme $a_{k} x^{k}$ au total. Pour [4, -1, 0, 2] et $x = 2$ : $4 - 2 + 0 \times 4 + 2 \times 8 = 18$ , c’est bien $P (2)$ .
4. Quelle valeur renvoie evaluer(derivee([4, -1, 0, 2]), 1.5) ?
derivee([4, -1, 0, 2]) vaut [-1, 0, 6], donc on calcule $P' (1, 5) = - 1 + 0 \times 1, 5 + 6 \times 1, 5^{2}$ $= - 1 + 6 \times 2, 25 = - 1 + 13, 5 = 12, 5$ . La fonction renvoie 12.5.
5. Démontrer que si $P$ ne comporte que des puissances paires de $x$ , alors $P'$ ne comporte que des puissances impaires. Illustration : $Q (x) = 1 + 3 x^{2} - x^{4}$ ; $Q' (1) =$
Rédaction attendue. Si $P$ ne contient que des termes $a_{2 p} x^{2 p}$ , chacun a pour dérivée $2 p a_{2 p} x^{2 p - 1}$ , où $2 p - 1$ est impair (le terme constant, $p = 0$ , disparaît). Donc $P'$ ne comporte que des puissances impaires. $Q$ est représenté par [1, 0, 3, 0, -1] et derivee renvoie [0, 6, 0, -4], soit $Q' (x) = 6 x - 4 x^{3}$ : seulement $x$ et $x^{3}$ . $Q' (1) = 6 - 4 = 2$ .

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