Lycée · 1ʳᵉ · Spécialité Mathématiques
Dérivation — nombre dérivé et tangente
Taux de variation, limite et tangente à une courbe (programme de 1re Spécialité)
À propos de cette page
Calculatrice interdite · Tous les calculs doivent figurer sur la copie. Les résultats seront donnés sous la forme la plus simple possible.
Devoir surveillé de fin de chapitre, tout en niveau difficile. Travaille seul et sans aide, puis vérifie tes réponses avec le corrigé détaillé dépliable en bas de page.
Exercice 1 — Taux de variation et limite
/ 5 pts- Soit $f(x) = 2x^2 - 3$.
a) Calcule le taux de variation de $f$ entre $a$ et $a+h$. Simplifie au maximum. - b) En déduire $f'(a)$.
- c) Calcule $f'(2)$ et $f'(-1)$.
Exercice 2 — Dérivabilité et point anguleux
/ 4 pts- Soit $f(x) = |2x-4|$.
- a) Calcule $\dfrac{f(2+h)-f(2)}{h}$ pour $h \gt 0$ puis pour $h \lt 0$.
- b) $f$ est-elle dérivable en $a=2$ ? Justifie et interprète graphiquement.
Exercice 3 — Équation de tangente
/ 5 pts- Soit $f(x) = x^3 - x$. On admet que $f'(x) = 3x^2 - 1$.
- a) Calcule $f'(1)$ et $f(1)$.
- b) Écris l'équation de la tangente à $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse $a=1$.
- c) Détermine les abscisses des points où la tangente à $\mathcal{C}_f$ est horizontale.
Exercice 4 — Dérivée de $\sqrt{x}$ par définition
/ 4 pts- Soit $f(x) = \sqrt{x}$ et $a \gt 0$.
- a) Écris le taux de variation $\dfrac{\sqrt{a+h}-\sqrt{a}}{h}$.
- b) Multiplie le numérateur et le dénominateur par $(\sqrt{a+h}+\sqrt{a})$ et simplifie.
- c) Calcule $f'(a)$, puis $f'(16)$.
Exercice 5 — Problème de synthèse
/ 2 pts- Soit $f(x) = x^2$ et $g(x) = mx + p$ une droite tangente à $\mathcal{C}_f$ en un point d'abscisse $a$.
- Sachant que cette tangente passe aussi par le point $P(3, 5)$, détermine toutes les valeurs possibles de $a$.
Corrigé détaillé — à n'ouvrir qu'après avoir rendu la copie
Exercice 1 — Taux de variation et limite
Corrigé :
a) $\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h} = \dfrac{2(a+h)^2-3-(2a^2-3)}{h} = \dfrac{2a^2+4ah+2h^2-3-2a^2+3}{h} = \dfrac{4ah+2h^2}{h} = 4a+2h$.
b) $f'(a) = \lim_{h\to 0}(4a+2h) = 4a$.
c) $f'(2) = 8$ ; $f'(-1) = -4$.
Exercice 2 — Dérivabilité et point anguleux
Corrigé :
a) $f(2) = |0| = 0$.
Pour $h\gt 0$ : $f(2+h)=|2h|=2h$, taux $= 2h/h = 2$.
Pour $h\lt 0$ : $f(2+h)=|2h|=-2h$ (car $h\lt 0$), taux $= -2h/h = -2$.
b) Les limites à droite ($2$) et à gauche ($-2$) sont différentes : $f$ n'est pas dérivable en $2$. Graphiquement, la courbe a un point anguleux (en forme de V) en $x=2$.
Exercice 3 — Équation de tangente
Corrigé :
a) $f'(1) = 3-1 = 2$ ; $f(1) = 1-1 = 0$.
b) Tangente en $a=1$ : $y = 2(x-1)+0 = 2x-2$.
c) Tangente horizontale $\Leftrightarrow f'(x)=0 \Leftrightarrow 3x^2-1=0 \Leftrightarrow x^2 = \dfrac{1}{3} \Leftrightarrow x = \pm\dfrac{1}{\sqrt{3}} = \pm\dfrac{\sqrt{3}}{3}$.
Exercice 4 — Dérivée de $\sqrt{x}$ par définition
Corrigé :
a) Taux $= \dfrac{\sqrt{a+h}-\sqrt{a}}{h}$.
b) $\dfrac{(\sqrt{a+h}-\sqrt{a})(\sqrt{a+h}+\sqrt{a})}{h(\sqrt{a+h}+\sqrt{a})} = \dfrac{a+h-a}{h(\sqrt{a+h}+\sqrt{a})} = \dfrac{1}{\sqrt{a+h}+\sqrt{a}}$.
c) $f'(a) = \lim_{h\to 0}\dfrac{1}{\sqrt{a+h}+\sqrt{a}} = \dfrac{1}{2\sqrt{a}}$ ; $f'(16) = \dfrac{1}{8}$.
Exercice 5 — Problème de synthèse
Corrigé :
La tangente en $a$ a pour équation $y = 2a(x-a)+a^2 = 2ax - a^2$.
Elle passe par $P(3,5)$ : $5 = 2a(3) - a^2 = 6a - a^2$.
$a^2 - 6a + 5 = 0 \Rightarrow (a-1)(a-5) = 0 \Rightarrow a = 1$ ou $a = 5$.
Il y a donc deux tangentes à la parabole passant par $P$ : en $a=1$ ($y=2x-1$) et en $a=5$ ($y=10x-25$).
Ce contrôle de spécialité mathématiques 1ʳᵉ en bref
Un devoir surveillé type contrôle en classe sur « Dérivation — nombre dérivé et tangente » : 5 exercices, 60 minutes, noté sur 20. Le corrigé détaillé est dépliable sous le sujet.
- Exercice 1 — Taux de variation et limite/ 5 pts
- Exercice 2 — Dérivabilité et point anguleux/ 4 pts
- Exercice 3 — Équation de tangente/ 5 pts
- Exercice 4 — Dérivée de $\sqrt{x}$ par définition/ 4 pts
- Exercice 5 — Problème de synthèse/ 2 pts
Notions évaluées
Taux de variation d'une fonction, Limite du taux de variation et nombre dérivé, Interprétation graphique : la tangente, Dérivabilité en un point, Calcul du nombre dérivé — exemples fondamentaux, Équation de la tangente — méthode générale.
Pour préparer ce contrôle
- Relire le cours.
- Refaire les exercices corrigés et les problèmes.
- Se tester avec le QCM (37 questions).
- Faire ce sujet en conditions réelles — 60 min, sans le cours — puis se corriger et noter les points à revoir.
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Questions fréquentes sur ce sujet
- Combien de temps dure ce contrôle sur « Dérivation — nombre dérivé et tangente » ?
- 60 minutes pour 5 exercices notés sur 20. Prévois le double si tu enchaînes avec la correction.
- Le corrigé est-il fourni ?
- Oui : le corrigé détaillé se déplie sous le sujet, à n'ouvrir qu'après avoir rendu la copie.
- Ce sujet peut-il servir de DS, de contrôle ou d'interrogation ?
- Oui : c'est un devoir surveillé complet de 60 minutes. Pour une interrogation courte, garde un ou deux exercices ; pour un DS ou un contrôle de fin de chapitre, fais le sujet entier en temps limité.
- Ce sujet suit-il le programme de spécialité mathématiques de première ?
- Oui : il évalue uniquement les notions du chapitre « Dérivation — nombre dérivé et tangente » du programme officiel de spécialité mathématiques en première, soit Taux de variation d'une fonction, Limite du taux de variation et nombre dérivé, Interprétation graphique : la tangente, Dérivabilité en un point.
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