Nombre dérivé et tangente

1. a)$f(-1)=1-4=-3$ et $f(3)=9-4=5$. Taux : ${\displaystyle \frac{5-(-3)}{3-(-1)}}={\displaystyle \frac{8}{4}}=2$. (1)
2. b)Le coefficient directeur de la tangente est le nombre dérivé : $f\prime (2)=-5$. Le point de contact est sur la tangente : $f(2)=-5\times 2+4=-6$. (1)
3. c)$g(5+0,2)\approx g(5)+0,2\times g\prime (5)$ $=2+0,08=2,08$. (1)
4. d)$u\prime (1)$ est la pente de $(AB)$ : ${\displaystyle \frac{-4-2}{3-1}}={\displaystyle \frac{-6}{2}}=-3$. (1)

Repère — Sur une équation de tangente, la pente donne f′(a) et le point de contact donne f(a).

1. a)$f(0)=-2$ et $f(5)=-25+30-2=3$. Taux : ${\displaystyle \frac{f(5)-f(0)}{5-0}}={\displaystyle \frac{3-(-2)}{5}}={\displaystyle \frac{5}{5}}=1$. (1)
2. b)$f(4)=-16+24-2=6$. $f(4+h)=-(16+8h+h^2)+6(4+h)-2$ $=-16-8h-h^2+24+6h-2$ $=6-2h-h^2$. Donc $f(4+h)-f(4)=-2h-h^2=h(-2-h)$ et, comme $h\ne 0$, ${\displaystyle \frac{f(4+h)-f(4)}{h}}=-2-h$. (1)
3. c)Quand $h$ tend vers $0$, $-2-h$ tend vers $-2$ : le taux de variation a une limite finie, donc $f$ est dérivable en $4$ et $f\prime (4)=-2$. (1)
4. d)$y=f\prime (4)(x-4)+f(4)$ $=-2(x-4)+6$ $=-2x+8+6$, soit $y=-2x+14$. Contrôle : $x=4$ donne $y=-8+14=6=f(4)$. (1)

Repère — Le taux se simplifie toujours par h avant que l’on fasse tendre h vers 0.

1. a)$r(36)=6$. On multiplie le numérateur et le dénominateur de ${\displaystyle \frac{\sqrt{36+h}-6}{h}}$ par la quantité conjuguée $\sqrt{36+h}+6$, qui est strictement positive : ${\displaystyle \frac{(\sqrt{36+h}-6)(\sqrt{36+h}+6)}{h(\sqrt{36+h}+6)}}$ $={\displaystyle \frac{(36+h)-36}{h(\sqrt{36+h}+6)}}$ $={\displaystyle \frac{h}{h(\sqrt{36+h}+6)}}$ $={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{36+h}+6}}$, après simplification par $h\ne 0$. (1)
2. b)Quand $h$ tend vers $0$, $\sqrt{36+h}$ tend vers $\sqrt{36}=6$, donc le taux tend vers ${\displaystyle \frac{1}{6+6}}={\displaystyle \frac{1}{12}}$. Le taux a une limite finie : $r$ est dérivable en $36$ et $r\prime (36)={\displaystyle \frac{1}{12}}$. (1)
3. c)$y={\displaystyle \frac{1}{12}}(x-36)+6$ $={\displaystyle \frac{1}{12}}x-3+6$, soit $y={\displaystyle \frac{1}{12}}x+3$. Approximation affine avec $h=0,6$ : $\sqrt{36,6}\approx 6+0,6\times {\displaystyle \frac{1}{12}}$ $=6+0,05=6,05$. (1)
4. d)Pour $h>0$ (la fonction n’est définie qu’à droite de $0$) : ${\displaystyle \frac{r(0+h)-r(0)}{h}}={\displaystyle \frac{\sqrt{h}}{h}}={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{h}}}$. Quand $h$ tend vers $0$, $\sqrt{h}$ tend vers $0$ et ${\displaystyle \frac{1}{\sqrt{h}}}$ devient aussi grand que l’on veut : le taux n’a pas de limite finie. La fonction racine carrée n’est donc pas dérivable en $0$, bien qu’elle y soit définie ; sa courbe a une tangente verticale à l’origine. (1)

Repère — Racine carrée : quantité conjuguée pour simplifier le taux ; en 0, le taux 1/√h devient infini.

1. a)$g(a)=a^2$ et $g\prime (a)=2a$. La tangente a pour équation $y=g\prime (a)(x-a)+g(a)$ $=2a(x-a)+a^2$ $=2ax-2a^2+a^2$, soit $y=2ax-a^2$. (1)
2. b)La tangente au point d’abscisse $a$ passe par $K(1;-3)$ si et seulement si $-3=2a\times 1-a^2$, soit $a^2-2a-3=0$, ou encore $(a-3)(a+1)=0$ (on vérifie en développant : $a^2+a-3a-3$). Donc $a=3$ ou $a=-1$. Pour $a=3$ : $y=6x-9$. Pour $a=-1$ : $y=-2x-1$. Deux tangentes passent par $K$. (1)
3. c)Faux. Contre-exemple : $f(x)=(x-1{)}^2+5$ en $a=1$. Pour $h\ne 0$, $f(1+h)-f(1)=h^2+5-5=h^2$, donc le taux vaut $h$, qui tend vers $0$ : $f\prime (1)=0$. Pourtant $f(1)=5\ne 0$. Une tangente horizontale peut se trouver à n’importe quelle hauteur. (1)
4. d)Le taux est juste : ${\displaystyle \frac{u(2)-u(-1)}{2-(-1)}}={\displaystyle \frac{8-(-1)}{3}}=3$. Mais c’est une pente moyenne sur $[-1;2]$ ; le nombre dérivé est la pente de la tangente en un point, et rien n’oblige la tangente au milieu de l’intervalle à avoir cette pente. Valeur exacte : $u\prime \left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)=3\times {\displaystyle \frac{1}{4}}={\displaystyle \frac{3}{4}}$. (1)

Repère — Tangente passant par un point K : on écrit la tangente au point d’abscisse a, puis on impose que K vérifie l’équation.

1. a)$h(1)=-5+12+1=8$ m et $h(0)=1$ m. Vitesse moyenne : ${\displaystyle \frac{h(1)-h(0)}{1-0}}={\displaystyle \frac{8-1}{1}}=7$ m/s. (1)
2. b)$h(1+k)=-5(1+2k+k^2)+12(1+k)+1$ $=-5-10k-5k^2+12+12k+1$ $=8+2k-5k^2$. Donc $h(1+k)-h(1)=2k-5k^2$. (1)
3. c)Pour $k\ne 0$, le taux de variation vaut ${\displaystyle \frac{2k-5k^2}{k}}=2-5k$, qui tend vers $2$ quand $k$ tend vers $0$. La vitesse instantanée à $t=1$ s est $h\prime (1)=2$ m/s : la balle monte encore, mais bien moins vite qu’en moyenne sur la première seconde. (1)
4. d)Pour $k\ne 0$ : $h(t+k)-h(t)=-5(2tk+k^2)+12k$ $=k(-10t+12-5k)$. Le taux vaut $-10t+12-5k$, qui tend vers $-10t+12$ quand $k$ tend vers $0$ : $v(t)=-10t+12$. Elle est nulle pour $-10t+12=0$, soit $t=1,2$ s : à cet instant, la tangente à la courbe de $h$ est horizontale, la balle cesse de monter : $h$ est un trinôme de coefficient $-5<0$, dont le sommet a pour abscisse ${\displaystyle \frac{12}{10}}=1,2$. (1)

Repère — Vitesse moyenne = taux de variation ; vitesse instantanée = nombre dérivé.