Lycée · 1ʳᵉ · Spécialité Mathématiques
Dérivation — fonctions dérivées et applications
Fonctions dérivées des fonctions usuelles, opérations sur les dérivées, variations et extremums — programme de 1re spécialité maths
À propos de cette page
Choisis ton niveau. Questions et réponses mélangées à chaque partie. Bonne chance !
Les 36 questions du QCM en version texte
Pour réviser sans écran ou imprimer : chaque question avec ses propositions ; la bonne réponse et son explication se déplient.
Niveau facile — 12 questions
Quelle est la dérivée de $f(x) = x^6$ ?
- A. $6x^5$
- B. $6x^7$
- C. $x^5$
- D. $5x^6$
Réponse
A. $6x^5$ — $(x^n)' = nx^{n-1}$ donc $(x^6)' = 6x^5$.
Quelle est la dérivée de $g(x) = 5x^2 - 3x + 7$ ?
- A. $10x - 3$
- B. $5x - 3$
- C. $10x + 7$
- D. $10x^2 - 3$
Réponse
A. $10x - 3$ — On dérive terme par terme : $(5x^2)' = 10x$, $(3x)' = 3$, constante $= 0$.
La dérivée de $h(x) = \sqrt{x}$ est :
- A. $\frac{1}{2\sqrt{x}}$
- B. $2\sqrt{x}$
- C. $\frac{1}{\sqrt{x}}$
- D. $\frac{\sqrt{x}}{2}$
Réponse
A. $\frac{1}{2\sqrt{x}}$ — $(\sqrt{x})' = \frac{1}{2\sqrt{x}}$ pour $x \gt 0$.
La dérivée de $k(x) = \cos x$ est :
- A. $-\sin x$
- B. $\sin x$
- C. $-\cos x$
- D. $\tan x$
Réponse
A. $-\sin x$ — $(\cos x)' = -\sin x$.
La dérivée de $p(x) = \frac{1}{x}$ ($x \neq 0$) est :
- A. $-\frac{1}{x^2}$
- B. $\frac{1}{x^2}$
- C. $\frac{-1}{x}$
- D. $\ln x$
Réponse
A. $-\frac{1}{x^2}$ — $(x^{-1})' = -x^{-2} = -\frac{1}{x^2}$.
Si $f'(x) \gt 0$ sur $[a;b]$, alors $f$ est :
- A. croissante sur $[a;b]$
- B. décroissante sur $[a;b]$
- C. constante sur $[a;b]$
- D. nulle sur $[a;b]$
Réponse
A. croissante sur $[a;b]$ — Un signe positif de $f'$ implique que $f$ est strictement croissante.
Si $f'(x) \lt 0$ sur $[a;b]$, alors $f$ est :
- A. décroissante sur $[a;b]$
- B. croissante sur $[a;b]$
- C. constante
- D. nulle
Réponse
A. décroissante sur $[a;b]$ — Un signe négatif de $f'$ implique que $f$ est strictement décroissante.
Quelle est la dérivée de $f(x) = 8$ (constante) ?
- A. $0$
- B. $8$
- C. $8x$
- D. $1$
Réponse
A. $0$ — La dérivée de toute constante est 0.
Quelle est la dérivée de $f(x) = \sin x$ ?
- A. $\cos x$
- B. $-\cos x$
- C. $-\sin x$
- D. $\tan x$
Réponse
A. $\cos x$ — $(\sin x)' = \cos x$.
Quelle est la dérivée de $f(x) = 3x$ ?
- A. $3$
- B. $3x$
- C. $x$
- D. $0$
Réponse
A. $3$ — $(3x)' = 3 \cdot (x)' = 3 \cdot 1 = 3$.
Si $f'(a) = 0$ et $f'$ change de signe de $-$ à $+$ en $a$, alors $f$ admet en $a$ un :
- A. minimum local
- B. maximum local
- C. point d'inflexion
- D. zéro de $f$
Réponse
A. minimum local — Quand $f'$ passe de négatif à positif, $f$ passe de décroissante à croissante : c'est un minimum local.
La pente de la tangente à la courbe de $f$ en $x = a$ est :
- A. $f'(a)$
- B. $f(a)$
- C. $f(a) - f'(a)$
- D. $\frac{f(a)}{a}$
Réponse
A. $f'(a)$ — Par définition, la pente de la tangente en $a$ est le nombre dérivé $f'(a)$.
Niveau moyen — 12 questions
Quelle est la dérivée de $f(x) = (x+2)(x-3)$ ?
- A. $2x-1$
- B. $x^2-x-6$
- C. $2x-5$
- D. $x+2$
Réponse
A. $2x-1$ — $(uv)' = u'v + uv' = 1 \cdot (x-3) + (x+2) \cdot 1 = 2x-1$.
La dérivée de $g(x) = \frac{x}{x+1}$ ($x \neq -1$) est :
- A. $\frac{1}{(x+1)^2}$
- B. $\frac{-1}{(x+1)^2}$
- C. $\frac{x+1-x}{x+1}$
- D. $\frac{1}{x+1}$
Réponse
A. $\frac{1}{(x+1)^2}$ — $(u/v)' = (u'v - uv')/v^2 = ((x+1) - x)/(x+1)^2 = 1/(x+1)^2$.
La dérivée de $h(x) = (3x+1)^4$ est :
- A. $12(3x+1)^3$
- B. $4(3x+1)^3$
- C. $12(3x+1)^4$
- D. $3(3x+1)^3$
Réponse
A. $12(3x+1)^3$ — Composée : $u = 3x+1$, $u' = 3$ ; $h' = 3 \cdot 4(3x+1)^3 = 12(3x+1)^3$.
La dérivée de $k(x) = \sqrt{x^2+1}$ est :
- A. $\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}$
- B. $\frac{1}{2\sqrt{x^2+1}}$
- C. $\frac{2x}{x^2+1}$
- D. $\frac{x+1}{\sqrt{x^2+1}}$
Réponse
A. $\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}$ — Composée : $u = x^2+1$, $u' = 2x$ ; $k' = \frac{2x}{2\sqrt{x^2+1}} = \frac{x}{\sqrt{x^2+1}}$.
Si $f'(x) = 3(x-1)(x+2)$, sur quel intervalle $f$ est-elle décroissante ?
- A. $]-2;1[$
- B. $]-\infty;-2[$
- C. $]1;+\infty[$
- D. $]-1;2[$
Réponse
A. $]-2;1[$ — $f'(x) \lt 0$ quand $x \in ]-2;1[$ (les deux facteurs de signe opposé). Donc $f$ est décroissante sur cet intervalle.
Soit $f(x) = x^3 - 3x^2$. La valeur de $f'(2)$ est :
- A. $0$
- B. $-6$
- C. $6$
- D. $4$
Réponse
A. $0$ — $f'(x) = 3x^2 - 6x$. $f'(2) = 12 - 12 = 0$.
L'équation de la tangente à $f(x) = x^2$ en $x = 3$ est :
- A. $y = 6x - 9$
- B. $y = 6x + 9$
- C. $y = 3x + 9$
- D. $y = 9x - 6$
Réponse
A. $y = 6x - 9$ — $f'(3)=6$, $f(3)=9$. Tangente : $y = 6(x-3)+9 = 6x-9$.
La dérivée de $f(x) = \cos(2x)$ est :
- A. $-2\sin(2x)$
- B. $2\sin(2x)$
- C. $-\sin(2x)$
- D. $2\cos(2x)$
Réponse
A. $-2\sin(2x)$ — Composée : $u=2x$, $u'=2$ ; $(\cos u)' = -u' \sin u = -2\sin(2x)$.
La dérivée de $f(x) = \frac{1}{x^3}$ est :
- A. $-\frac{3}{x^4}$
- B. $\frac{3}{x^4}$
- C. $-\frac{1}{3x^2}$
- D. $\frac{-3}{x^2}$
Réponse
A. $-\frac{3}{x^4}$ — $f(x)=x^{-3}$, donc $f'(x)=-3x^{-4} = -\frac{3}{x^4}$.
Si $f$ est dérivable et admet un maximum local en $a$, alors nécessairement :
- A. $f'(a) = 0$
- B. $f'(a) \gt 0$
- C. $f'(a) \lt 0$
- D. $f(a) = 0$
Réponse
A. $f'(a) = 0$ — Condition nécessaire d'extremum : si $f$ admet un extremum local en $a$ et est dérivable en $a$, alors $f'(a) = 0$.
Soit $f(x) = x^2 - 4x + 3$. Sur quel intervalle $f$ est-elle croissante ?
- A. $[2 ; +\infty[$
- B. $]-\infty ; 2]$
- C. $[1 ; 3]$
- D. $]-\infty ; 0[$
Réponse
A. $[2 ; +\infty[$ — $f'(x) = 2x-4 \geq 0 \Leftrightarrow x \geq 2$. Donc $f$ est croissante sur $[2;+\infty[$.
La dérivée de $f(x) = x \sin x$ est :
- A. $\sin x + x \cos x$
- B. $\cos x - x\sin x$
- C. $x \cos x$
- D. $\sin x - x\cos x$
Réponse
A. $\sin x + x \cos x$ — $(uv)' = u'v+uv' = 1 \cdot \sin x + x \cos x = \sin x + x\cos x$.
Niveau difficile — 12 questions
Soit (x) = \frac{x^2+1}{x-1}$ ( \neq 1$). Quelle est la valeur de '(0)$ ?
- A. 569Xl1$
- B. $
- C. /bin/zsh$
- D. $
Réponse
A. 569Xl1$ — '(x) = \frac{2x(x-1)-(x^2+1)}{(x-1)^2} = \frac{x^2-2x-1}{(x-1)^2}$. En =0$ : '(0) = \frac{-1}{1} = -1$.
La dérivée de $f(x) = \left(\frac{x+1}{x-1}\right)^2$ en utilisant la règle de la composée est :
- A. $\frac{-4(x+1)}{(x-1)^3}$
- B. $\frac{4(x+1)}{(x-1)^3}$
- C. $\frac{2(x+1)}{(x-1)^2}$
- D. $\frac{-2}{(x-1)^2}$
Réponse
A. $\frac{-4(x+1)}{(x-1)^3}$ — Soit $u = \frac{x+1}{x-1}$, $u' = \frac{-2}{(x-1)^2}$. $f' = 2u \cdot u' = 2 \cdot \frac{x+1}{x-1} \cdot \frac{-2}{(x-1)^2} = \frac{-4(x+1)}{(x-1)^3}$.
Soit $f(x) = x^3 - 3x$. Combien $f$ admet-elle d'extremums locaux ?
- A. 2
- B. 1
- C. 0
- D. 3
Réponse
A. 2 — $f'(x)=3x^2-3=3(x-1)(x+1)$ s'annule en $x=\pm 1$ avec changement de signe. Donc 2 extremums locaux.
Si $f'(a) = 0$ mais $f'$ ne change pas de signe en $a$, alors :
- A. $f$ n'a pas d'extremum en $a$
- B. $f$ a un minimum en $a$
- C. $f$ a un maximum en $a$
- D. $f$ est nulle en $a$
Réponse
A. $f$ n'a pas d'extremum en $a$ — Sans changement de signe de $f'$, il n'y a pas d'extremum. C'est un point d'inflexion à tangente horizontale.
La tangente à $f(x) = \sin x$ en $x = 0$ a pour équation :
- A. $y = x$
- B. $y = 0$
- C. $y = 1$
- D. $y = x + 1$
Réponse
A. $y = x$ — $f(0)=0$, $f'(x)=\cos x$, $f'(0)=1$. Tangente : $y = 1 \cdot (x-0)+0 = x$.
Soit $g(x) = x^4 - 2x^2$. La valeur de $x$ pour laquelle $g$ atteint son minimum global sur $\mathbb{R}$ est :
- A. $x = \pm 1$
- B. $x = 0$
- C. $x = \pm 2$
- D. $x = \pm \sqrt{2}$
Réponse
A. $x = \pm 1$ — $g'(x)=4x^3-4x=4x(x-1)(x+1)$. Les extremums sont en $x=0$ (max local) et $x=\pm 1$ (min locaux). $g(\pm 1)=-1$ est le minimum global.
Pour maximiser $f(x) = -2x^2 + 8x - 3$ sur $\mathbb{R}$, on résout $f'(x) = 0$. La valeur maximale est :
- A. $5$
- B. $3$
- C. $8$
- D. $4$
Réponse
A. $5$ — $f'(x)=-4x+8=0 \Rightarrow x=2$. $f(2)=-8+16-3=5$. C'est un maximum car coefficient de $x^2$ négatif.
Soit $h(x) = \frac{1}{3}x^3 - x^2 - 3x + 1$. Les extremums locaux ont lieu pour :
- A. $x = -1$ et $x = 3$
- B. $x = 1$ et $x = 3$
- C. $x = 0$ et $x = 3$
- D. $x = -3$ et $x = 1$
Réponse
A. $x = -1$ et $x = 3$ — $h'(x) = x^2-2x-3=(x-3)(x+1)$. $h'(x)=0$ pour $x=-1$ et $x=3$, avec changement de signe : extremums locaux.
Un problème d'optimisation donne $V(x) = 4x^3 - 48x^2 + 144x$ sur $[0;6]$. La valeur de $x$ qui maximise $V$ est :
- A. $x = 2$
- B. $x = 6$
- C. $x = 4$
- D. $x = 0$
Réponse
A. $x = 2$ — $V'(x)=12x^2-96x+144=12(x-2)(x-6)$. $V'=0$ en $x=2$ et $x=6$ (hors $]0;6[$). $V'$ change de signe en $x=2$ (de + à –) : maximum en $x=2$.
La dérivée de $f(x) = \sin^2(x)$ est :
- A. $2\sin x \cos x$
- B. $2\sin x$
- C. $\cos^2 x$
- D. $-2\sin x \cos x$
Réponse
A. $2\sin x \cos x$ — Composée : $u = \sin x$, $f = u^2$. $f' = 2u \cdot u' = 2\sin x \cos x = \sin(2x)$.
La dérivée de $f(x) = \cos^3(x)$ est :
- A. $-3\cos^2(x)\sin(x)$
- B. $3\cos^2(x)$
- C. $-3\cos^2(x)$
- D. $3\sin^2(x)\cos(x)$
Réponse
A. $-3\cos^2(x)\sin(x)$ — Composée : $u=\cos x$, $f=u^3$. $f' = 3u^2 \cdot (-\sin x) = -3\cos^2(x)\sin(x)$.
Soit $f(x) = x - \sin x$ sur $[0;2\pi]$. La dérivée $f'(x) = 1 - \cos x$ est :
- A. toujours $\geq 0$
- B. toujours $\leq 0$
- C. tantôt positive, tantôt négative
- D. nulle partout
Réponse
A. toujours $\geq 0$ — $\cos x \leq 1$ pour tout $x$, donc $1-\cos x \geq 0$ toujours. Donc $f$ est croissante (non strictement car $f'=0$ en $x=0$ et $x=2\pi$).
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