Calcul de dérivées

B. 7x⁶ — On applique (xⁿ)′ = n xⁿ⁻¹ avec n = 7 : 7x⁶. L’expression x⁸/8 est une fonction dont la dérivée est x⁷, pas l’inverse.

D. −1/x² — 1/x = x⁻¹, donc sa dérivée est −1 × x⁻² = −1/x². Le signe moins est essentiel.

A. 1/(2√x) — C’est une dérivée usuelle à connaître : (√x)′ = 1/(2√x), valable seulement pour x > 0.

C. u′v + uv′ — Formule du produit : (uv)′ = u′v + uv′. Le produit des dérivées u′v′ est l’erreur classique ; u′v − uv′ est le numérateur de la formule du quotient.

C. 0 — La dérivée d’une fonction constante est la fonction nulle : son taux de variation vaut toujours 0.

B. −6x + 4 — On dérive terme à terme : (−3x²)′ = −6x et (4x)′ = 4, d’où −6x + 4.

D. un nombre — f′(2) est le nombre dérivé de f en 2 ; c’est f′ qui est une fonction (la fonction dérivée).

A. −2/x³ — 1/x² = x⁻², donc sa dérivée est −2x⁻³ = −2/x³ : l’exposant passe de −2 à −3.

D. (u′v − uv′)/v² — Formule du quotient : (u′v − uv′)/v². Inverser l’ordre du numérateur change le signe ; u′/v′ est faux.

B. ]−∞ ; 4[ et ]4 ; +∞[ — Le dénominateur x − 4 s’annule en 4 : la fonction n’y est pas définie. Partout ailleurs, (1/v)′ = −v′/v² s’applique : dérivable sur ]−∞ ; 4[ et sur ]4 ; +∞[, de dérivée −1/(x − 4)².

B. ]0 ; +∞[ — Elle est définie sur [0 ; +∞[ mais n’est pas dérivable en 0 : le taux entre 0 et h > 0 vaut √h/h = 1/√h, qui n’a pas de limite finie (démonstration dans le chapitre Nombre dérivé et tangente).

A. 4 — La dérivée de 4x est 4 et celle de la constante −9 est 0 : la dérivée vaut 4, le coefficient directeur.

C. 4x + 5 — (uv)′ = 1 × (2x − 3) + (x + 4) × 2 = 2x − 3 + 2x + 8 = 4x + 5. On le vérifie en développant : 2x² + 5x − 12.

A. −2/(2x + 1)² — Avec (1/v)′ = −v′/v² et v′(x) = 2 : −2/(2x + 1)².

C. (1 − x²)/(x² + 1)² — x² + 1 ne s’annule pas. [1 × (x² + 1) − x × 2x]/(x² + 1)² = (1 − x²)/(x² + 1)². Inverser l’ordre u′v − uv′ change le signe ; 1/(2x) est u′/v′.

B. 3/(x + 3)² — [1 × (x + 3) − x × 1]/(x + 3)² = 3/(x + 3)².

A. 1 — f′(x) = 6x² − 5, donc f′(−1) = 6 × 1 − 5 = 1. Attention : (−1)² = 1.

B. 3/(2√x) − 1 — 3 × 1/(2√x) − 1 = 3/(2√x) − 1. Ne pas oublier la dérivée de −x, qui vaut −1.

D. −6/x⁴ — 2/x³ = 2x⁻³, dont la dérivée est 2 × (−3)x⁻⁴ = −6/x⁴.

C. ]−∞ ; 2[ — x² − 5x + 6 = (x − 2)(x − 3) s’annule en 2 et en 3. L’intervalle qui contient 1 s’arrête à la première valeur interdite : ]−∞ ; 2[.

D. x² + 5 ≥ 5 ne s’annule pas — La formule (1/v)′ = −v′/v² demande que v soit dérivable (c’est le cas) ET ne s’annule pas : x² + 5 ≥ 5 > 0. x² + 5 n’est pas croissante sur ℝ (elle décroît sur ]−∞ ; 0]).

C. 5 — (uv)′(1) = u′(1)v(1) + u(1)v′(1) = 3 × (−1) + 2 × 4 = 5. 12 est u′v′ ; −11 vient du signe moins du quotient.

B. −1 — Sur ]−∞ ; 0[, |x| = −x, de dérivée −1. Seul le point 0 pose problème ; en −5, la fonction est dérivable.

A. 8a − 1 + 4h — f(a + h) − f(a) = 8ah + 4h² − h, et on divise par h : 8a − 1 + 4h. La limite 8a − 1 n’apparaît qu’après avoir fait tendre h vers 0.

D. est définie en 0 mais n’y est pas dérivable — |0| = 0 donc elle est définie en 0, mais le taux |h|/h vaut 1 ou −1 selon le signe de h : pas de limite, donc pas de dérivabilité en 0.

D. 7/4 — (u/v)′(2) = [u′(2)v(2) − u(2)v′(2)]/v(2)² = (6 + 1)/4 = 7/4. 5/4 oublie le signe de v′(2) ; 7/2 divise par v au lieu de v² ; −3 est u′/v′.

B. ]0 ; +∞[ — x² + 1 ne s’annule jamais, mais √x n’est dérivable que pour x > 0 : la fonction est définie en 0 sans y être dérivable par les formules. Dérivable sur ]0 ; +∞[.

D. 5x⁴ — x² × x³ = x⁵, dont la dérivée est 5x⁴. Par la formule du produit : 2x × x³ + x² × 3x² = 5x⁴. La dérivée d’un produit n’est pas le produit des dérivées.

A. k = 5 — [(x + 2) − (x − k)]/(x + 2)² = (2 + k)/(x + 2)². Il faut 2 + k = 7, soit k = 5.

C. −1/(a(a + h)) — 1/(a + h) − 1/a = −h/(a(a + h)) ; on divise par h : −1/(a(a + h)). C’est sa limite quand h tend vers 0 qui vaut −1/a².

B. −2/(x − 1)³ — Avec (1/v)′ = −v′/v², v(x) = (x − 1)² = x² − 2x + 1 et v′(x) = 2x − 2 = 2(x − 1) : −2(x − 1)/(x − 1)⁴ = −2/(x − 1)³.

D. en 3 — |x − 3| = |X| avec X = x − 3 : le « coin » de la valeur absolue est en X = 0, soit x = 3. Le taux entre 3 et 3 + h vaut |h|/h, égal à 1 ou −1.

A. 1 — √x × √x = x, de dérivée 1. Par la formule du produit : 2 × √x/(2√x) = 1. Le produit des dérivées donnerait 1/(4x), ce qui est faux.

C. (x² − 1)/x² — (x² + 1)/x = x + 1/x, de dérivée 1 − 1/x² = (x² − 1)/x². Par le quotient : [2x × x − (x² + 1)]/x² donne le même résultat.

B. −1/(2x√x) — Avec (1/v)′ = −v′/v², v = √x et v′ = 1/(2√x) : −[1/(2√x)]/x = −1/(2x√x).

D. b = −6 — f′(x) = 2x + b, donc f′(3) = 6 + b = 0 pour b = −6. La valeur −3 annulerait f(3) = 9 + 3b, pas f′(3).