Ressources · 1ʳᵉ · Spécialité Mathématiques

Calcul de dérivées

Fonction dérivée, démonstrations des dérivées de x² et 1/x, dérivées usuelles et puissances xⁿ (n ∈ ℤ), somme, produit, inverse et quotient, valeur absolue non dérivable en 0.

À propos de cette page

Ce cours de spécialité maths de 1re sur le calcul de dérivées suit cinq parties : la fonction dérivée et les démonstrations des dérivées de x² et de 1/x (avec la valeur absolue, non dérivable en 0), les dérivées usuelles et les puissances xⁿ pour n entier relatif, la dérivée d’un produit, la dérivée de l’inverse et d’un quotient, puis les combinaisons de formules avec l’ensemble de dérivabilité. Les démonstrations exigibles (dérivées de x² et de 1/x, dérivée d’un produit) y sont rédigées.

Fonction dérivée ; démonstrations pour x² et 1/x

Ce qu’il faut savoir

Fonction dérivable sur un intervalle. Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ . $f$ est dérivable sur $I$ si elle est dérivable en tout réel $a$ de $I$ : le taux de variation $\frac{f (a + h) - f (a)}{h}$ a une limite finie, notée $f' (a)$ , quand $h$ tend vers $0$ .

Fonction dérivée. La fonction qui à tout $x$ de $I$ associe le nombre dérivé $f' (x)$ est la fonction dérivée de $f$ , notée $f'$ . En physique, si $y = f (x)$ , on écrit aussi $\frac{d y}{d x} = f' (x)$ .

Nombre ou fonction. $f' (3)$ est un nombre (le nombre dérivé en $3$ ) ; $f'$ est une fonction. Ce chapitre donne des formules pour obtenir $f' (x)$ sans recalculer de limite.

Démonstrations exigibles. À partir de la définition : $(x^{2})^{'} = 2 x$ sur $ℝ$ et ${(\frac{1}{x})}^{'} = - \frac{1}{x^{2}}$ sur $] - \infty; 0 [$ et sur $] 0; + \infty [$ .

Fonction valeur absolue. $| x | = x$ si $x ⩾ 0$ et $| x | = - x$ si $x < 0$ . La fonction valeur absolue est dérivable sur $] - \infty; 0 [$ (dérivée $- 1$ ) et sur $] 0; + \infty [$ (dérivée $1$ ), mais pas en $0$ .

Exemples

Démonstration : dérivée de la fonction carré. Pour $a$ réel et $h \neq 0$ : $\frac{(a + h)^{2} - a^{2}}{h}$ $= \frac{2 a h + h^{2}}{h} = 2 a + h$ . Quand $h$ tend vers $0$ , ce taux tend vers $2 a$ . La fonction carré est donc dérivable sur $ℝ$ et $(x^{2})^{'} = 2 x$ .

Démonstration : dérivée de la fonction inverse. Soit $a \neq 0$ et $h \neq 0$ assez petit pour que $a + h$ soit du même signe que $a$ . $\frac{1}{a + h} - \frac{1}{a} = \frac{a - (a + h)}{a (a + h)} = \frac{- h}{a (a + h)}$ , donc le taux vaut $- \frac{1}{a (a + h)}$ . Quand $h$ tend vers $0$ , $a (a + h)$ tend vers $a^{2}$ et le taux tend vers $- \frac{1}{a^{2}}$ . Ainsi ${(\frac{1}{x})}^{'} = - \frac{1}{x^{2}}$ sur $] - \infty; 0 [$ et sur $] 0; + \infty [$ .

Valeur absolue en $0$ . Pour $h \neq 0$ , $\frac{| 0 + h | - | 0 |}{h} = \frac{| h |}{h}$ vaut $1$ si $h > 0$ et $- 1$ si $h < 0$ . Le taux ne se rapproche pas d’un nombre unique : $x \mapsto | x |$ n’est pas dérivable en $0$ . Sur $] 0; + \infty [$ , $| x | = x$ a pour dérivée $1$ ; sur $] - \infty; 0 [$ , $| x | = - x$ a pour dérivée $- 1$ .

Illustration. La courbe de la valeur absolue (elle n’est plus au programme, on la montre seulement) est formée de deux demi-droites, $y = - x$ pour $x ⩽ 0$ et $y = x$ pour $x ⩾ 0$ : elle fait un « coin » à l’origine, là où la fonction n’est pas dérivable.

Réflexe — J’écris $f (a + h) - f (a)$ , je développe, je mets $h$ en facteur, je simplifie le taux par $h$ (permis car $h \neq 0$ ), puis seulement je fais tendre $h$ vers $0$ .

Attention — Remplacer $h$ par $0$ avant d’avoir simplifié donne « $\frac{0}{0}$ », qui ne veut rien dire. Et être définie en un point ne suffit pas pour y être dérivable : $| x |$ est définie en $0$ mais n’y est pas dérivable.

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Dérivées usuelles, sommes et multiples

Ce qu’il faut savoir

Dérivées des fonctions usuelles.

$f (x)$	$f' (x)$	$f$ dérivable sur
$k$ (constante)	$0$	$ℝ$
$x$	$1$	$ℝ$
$x^{2}$	$2 x$	$ℝ$
$x^{3}$	$3 x^{2}$	$ℝ$
$x^{n}$ ( $n$ entier, $n ⩾ 1$ )	$n x^{n - 1}$	$ℝ$
$\frac{1}{x}$	$- \frac{1}{x^{2}}$	$] - \infty; 0 [$ et $] 0; + \infty [$
$x^{n}$ ( $n$ entier, $n ⩽ - 1$ )	$n x^{n - 1}$	$] - \infty; 0 [$ et $] 0; + \infty [$
$\sqrt{x}$	$\frac{1}{2 \sqrt{x}}$	$] 0; + \infty [$
$\| x \|$	$- 1$ si $x < 0$ , $1$ si $x > 0$	$] - \infty; 0 [$ et $] 0; + \infty [$

Puissances entières relatives. Pour tout entier relatif $n$ non nul, $(x^{n})^{'} = n x^{n - 1}$ : sur $ℝ$ si $n ⩾ 1$ , sur $] - \infty; 0 [$ et sur $] 0; + \infty [$ si $n ⩽ - 1$ . Pour $n ⩾ 1$ , $\frac{1}{x^{n}} = x^{- n}$ .

Somme et multiple. Si $u$ et $v$ sont dérivables sur $I$ et $k$ est un réel : $(u + v)^{'} = u' + v'$ et $(k u)^{'} = k u'$ . Conséquence : toute fonction polynôme est dérivable sur $ℝ$ et se dérive terme à terme.

Exemples

Polynôme. $f (x) = 2 x^{4} - 7 x^{2} + x - 9$ : $f' (x) = 2 \times 4 x^{3} - 7 \times 2 x + 1 - 0$ , soit $f' (x) = 8 x^{3} - 14 x + 1$ .

Puissance négative. $g (x) = \frac{1}{x^{3}} = x^{- 3}$ , donc $g' (x) = - 3 x^{- 4} = - \frac{3}{x^{4}}$ pour $x \neq 0$ .

D’où vient $(\sqrt{x})^{'}$ (non exigible). Pour $a > 0$ et $h \neq 0$ avec $a + h > 0$ : $\frac{\sqrt{a + h} - \sqrt{a}}{h}$ $= \frac{(a + h) - a}{h (\sqrt{a + h} + \sqrt{a})}$ $= \frac{1}{\sqrt{a + h} + \sqrt{a}}$ , qui tend vers $\frac{1}{2 \sqrt{a}}$ .

Préparer l’écriture. $f (x) = \frac{4}{x^{2}} - 3 \sqrt{x} + 7$ sur $] 0; + \infty [$ . On écrit $f (x) = 4 x^{- 2} - 3 \sqrt{x} + 7$ , d’où $f' (x) = - 8 x^{- 3} - \frac{3}{2 \sqrt{x}}$ $= - \frac{8}{x^{3}} - \frac{3}{2 \sqrt{x}}$ .

Les constantes. $π^{2}$ et $\sqrt{5}$ sont des nombres : leur dérivée est $0$ . Et $(\sqrt{5} x^{2})^{'} = 2 \sqrt{5} x$ : le facteur constant reste.

Réflexe — J’écris d’abord les quotients à numérateur constant sous la forme $k x^{n}$ avec $n$ négatif, je sors les constantes multiplicatives, puis je dérive terme à terme. Je vérifie l’ensemble : $\sqrt{x}$ impose $x > 0$ , $x^{n}$ avec $n ⩽ - 1$ impose $x \neq 0$ .

Attention — L’exposant diminue de $1$ : $(x^{- 3})^{'} = - 3 x^{- 4}$ , pas $- 3 x^{- 2}$ . Et pour $\frac{7}{x}$ , inutile d’utiliser la formule du quotient : ${(\frac{7}{x})}^{'} = 7 \times (- \frac{1}{x^{2}}) = - \frac{7}{x^{2}}$ .

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Dérivée d’un produit

Ce qu’il faut savoir

Dérivée d’un produit. Si $u$ et $v$ sont dérivables sur un intervalle $I$ , alors $u v$ est dérivable sur $I$ et

$(u v)^{'} = u' v + u v'$ .

Cette formule se démontre à partir de la définition (démonstration exigible ci-dessous).

Exemples

Démonstration. Soit $a \in I$ et $h \neq 0$ tel que $a + h \in I$ . En ajoutant et en retranchant $u (a) v (a + h)$ :

$\frac{u (a + h) v (a + h) - u (a) v (a)}{h}$ $= \frac{u (a + h) - u (a)}{h} v (a + h)$ $+ u (a) \frac{v (a + h) - v (a)}{h}$ .

Quand $h$ tend vers $0$ , le premier quotient tend vers $u' (a)$ , $v (a + h)$ tend vers $v (a)$ (on l’admet, $v$ étant dérivable en $a$ ) et le second quotient tend vers $v' (a)$ . Le taux tend donc vers $u' (a) v (a) + u (a) v' (a)$ : $(u v)^{'} = u' v + u v'$ .

Avec une racine carrée. $f (x) = (2 x + 1) \sqrt{x}$ sur $] 0; + \infty [$ . $u (x) = 2 x + 1$ , $u' (x) = 2$ ; $v (x) = \sqrt{x}$ , $v' (x) = \frac{1}{2 \sqrt{x}}$ . $f' (x) = 2 \sqrt{x} + \frac{2 x + 1}{2 \sqrt{x}}$ $= \frac{4 x + 2 x + 1}{2 \sqrt{x}} = \frac{6 x + 1}{2 \sqrt{x}}$ (on a écrit $2 \sqrt{x} = \frac{2 \sqrt{x} \times 2 \sqrt{x}}{2 \sqrt{x}} = \frac{4 x}{2 \sqrt{x}}$ ).

Deux polynômes. $h (x) = (x^{2} + 3) (2 x - 5)$ . $u' (x) = 2 x$ , $v' (x) = 2$ : $h' (x) = 2 x (2 x - 5) + 2 (x^{2} + 3)$ $= 4 x^{2} - 10 x + 2 x^{2} + 6 = 6 x^{2} - 10 x + 6$ . Contrôle : $h (x) = 2 x^{3} - 5 x^{2} + 6 x - 15$ a bien pour dérivée $6 x^{2} - 10 x + 6$ .

Réflexe — Je nomme $u$ et $v$ , j’écris $u'$ et $v'$ à part, j’applique $u' v + u v'$ , puis je simplifie (même dénominateur s’il y a une racine). Pour deux polynômes, je contrôle en développant.

Attention — $(u v)^{'} \neq u' v'$ . Contre-exemple : $x \times x = x^{2}$ a pour dérivée $2 x$ , alors que $1 \times 1 = 1$ . Et un facteur constant ne demande pas la formule du produit : $(3 u)^{'} = 3 u'$ .

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Dérivée de l’inverse et d’un quotient

Ce qu’il faut savoir

Inverse et quotient. Soit $u$ et $v$ dérivables sur un intervalle $I$ , avec $v$ qui ne s’annule pas sur $I$ . Alors $\frac{1}{v}$ et $\frac{u}{v}$ sont dérivables sur $I$ et

${(\frac{1}{v})}^{'} = - \frac{v'}{v^{2}}$ ${(\frac{u}{v})}^{'} = \frac{u' v - u v'}{v^{2}}$ .

D’où viennent ces formules. En admettant que $\frac{1}{v}$ est dérivable, on dérive $v \times \frac{1}{v} = 1$ avec la formule du produit : $v' \times \frac{1}{v} + v \times {(\frac{1}{v})}^{'} = 0$ , d’où ${(\frac{1}{v})}^{'} = - \frac{v'}{v^{2}}$ . Puis $\frac{u}{v} = u \times \frac{1}{v}$ donne $\frac{u'}{v} - \frac{u v'}{v^{2}} = \frac{u' v - u v'}{v^{2}}$ .

Exemples

Quotient de deux fonctions affines. $g (x) = \frac{x - 3}{x + 2}$ sur $] - 2; + \infty [$ , où $x + 2 > 0$ . $g' (x) = \frac{1 \times (x + 2) - (x - 3) \times 1}{(x + 2)^{2}}$ $= \frac{5}{(x + 2)^{2}}$ .

Réponse rédigée. $f (x) = \frac{3 x^{2} - 1}{x^{2} + 1}$ sur $ℝ$ . Pour tout réel $x$ , $x^{2} + 1 ⩾ 1$ : le dénominateur ne s’annule pas. $u (x) = 3 x^{2} - 1$ , $u' (x) = 6 x$ ; $v (x) = x^{2} + 1$ , $v' (x) = 2 x$ .

$f' (x) = \frac{6 x (x^{2} + 1) - (3 x^{2} - 1) \times 2 x}{(x^{2} + 1)^{2}}$ $= \frac{6 x^{3} + 6 x - 6 x^{3} + 2 x}{(x^{2} + 1)^{2}}$ $= \frac{8 x}{(x^{2} + 1)^{2}}$ .

Inverse d’une fonction. $k (x) = \frac{1}{x^{2} - 2 x + 3}$ . Comme $x^{2} - 2 x + 3 = (x - 1)^{2} + 2 ⩾ 2$ , le dénominateur ne s’annule pas : $k$ est dérivable sur $ℝ$ et $k' (x) = - \frac{2 x - 2}{(x^{2} - 2 x + 3)^{2}}$ .

Réflexe — Je justifie d’abord que le dénominateur ne s’annule pas sur l’intervalle (signe, carré + constante). Je note $u$ , $u'$ , $v$ , $v'$ à part, je développe et je réduis le numérateur, et je laisse le dénominateur sous la forme $v^{2}$ . Numérateur constant : j’utilise ${(\frac{1}{v})}^{'}$ , plus court.

Attention — Le numérateur est $u' v - u v'$ , dans cet ordre (l’inverser change le signe), et le dénominateur est $v^{2}$ , pas $v$ . ${(\frac{u}{v})}^{'} \neq \frac{u'}{v'}$ . Enfin, mettre $u$ entre parenthèses avant de soustraire : $- (3 x^{2} - 1) \times 2 x$ .

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Combiner les formules et ensemble de dérivabilité

Ce qu’il faut savoir

Ensemble de dérivabilité. Une fonction construite avec des sommes, des produits, des inverses et des quotients de fonctions de référence est dérivable sur tout intervalle où :

• chaque fonction de référence utilisée est dérivable : $\sqrt{x}$ demande $x > 0$ ; $\frac{1}{x}$ et $x^{n}$ ( $n ⩽ - 1$ ) demandent $x \neq 0$ ;

• chaque dénominateur ne s’annule pas : on résout $v (x) = 0$ (avec le discriminant si $v$ est un trinôme) et on retire ces valeurs.

Combiner les formules. On repère l’opération principale (la dernière qu’on effectuerait pour calculer $f (x)$ ), on applique sa formule, et chaque morceau ( $u$ , $v$ ) se dérive à part avec la formule qui lui correspond.

Choisir l’écriture. Avant d’appliquer la formule du quotient, on regarde s’il y a plus court : numérateur constant → ${(\frac{1}{v})}^{'}$ ; dénominateur réduit à $x^{n}$ → on sépare en une somme de puissances.

Exemples

Réponse rédigée. $f (x) = \frac{2 x + 1}{x^{2} - 4 x + 3}$ . Le trinôme $x^{2} - 4 x + 3$ a pour discriminant $Δ = 16 - 12 = 4$ et pour racines $1$ et $3$ . $f$ est un quotient de fonctions polynômes dérivables, dont le dénominateur ne s’annule pas sur $] - \infty; 1 [$ , sur $] 1; 3 [$ et sur $] 3; + \infty [$ : $f$ est dérivable sur chacun de ces intervalles.

$u (x) = 2 x + 1$ , $u' (x) = 2$ ; $v (x) = x^{2} - 4 x + 3$ , $v' (x) = 2 x - 4$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - 4 x + 3) - (2 x + 1) (2 x - 4)}{(x^{2} - 4 x + 3)^{2}}$ $= \frac{2 x^{2} - 8 x + 6 - (4 x^{2} - 6 x - 4)}{(x^{2} - 4 x + 3)^{2}}$ $= \frac{- 2 x^{2} - 2 x + 10}{(x^{2} - 4 x + 3)^{2}}$ .

Une racine au dénominateur. $g (x) = \frac{x}{\sqrt{x} + 1}$ est définie sur $[0; + \infty [$ , mais $\sqrt{x}$ n’est dérivable que pour $x > 0$ : on dérive sur $] 0; + \infty [$ , où $\sqrt{x} + 1 > 0$ . $u (x) = x$ , $u' (x) = 1$ ; $v (x) = \sqrt{x} + 1$ , $v' (x) = \frac{1}{2 \sqrt{x}}$ .

$g' (x) = \frac{(\sqrt{x} + 1) - \frac{x}{2 \sqrt{x}}}{(\sqrt{x} + 1)^{2}}$ . Comme $\frac{x}{2 \sqrt{x}} = \frac{\sqrt{x}}{2}$ : $g' (x) = \frac{\frac{\sqrt{x}}{2} + 1}{(\sqrt{x} + 1)^{2}} = \frac{\sqrt{x} + 2}{2 (\sqrt{x} + 1)^{2}}$ .

Séparer avant de dériver. $m (x) = \frac{x^{3} - 5 x + 2}{x^{2}}$ sur $] 0; + \infty [$ s’écrit $m (x) = x - 5 x^{- 1} + 2 x^{- 2}$ , d’où $m' (x) = 1 + \frac{5}{x^{2}} - \frac{4}{x^{3}}$ , sans formule du quotient.

Réflexe — Je commence par les valeurs interdites (dénominateurs, racine carrée), j’écris les intervalles de dérivabilité, puis je repère l’opération principale et je dérive chaque morceau à part. Je contrôle sur une valeur simple.

Attention — Définie ne veut pas dire dérivable : $g$ ci-dessus est définie en $0$ , mais la formule ne s’applique que sur $] 0; + \infty [$ . Et on ne réunit pas les intervalles : « dérivable sur $] - \infty; 1 [$ et sur $] 1; 3 [$ », pas « sur $] - \infty; 3 [$ ».

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Pour aller plus loin

Nombre dérivé et tangente. Le nombre dérivé comme limite du taux de variation, la lecture graphique d’une pente, l’équation de tangente $y = f (a) + f' (a) (x - a)$ , l’approximation affine et la démonstration « la racine carrée n’est pas dérivable en $0$ » sont dans le chapitre Nombre dérivé et tangente.

Ce que la dérivée permet de faire. Le signe de $f'$ donne les variations de $f$ , ses extremums, la solution de problèmes d’optimisation ; les fonctions paires et impaires y sont aussi traitées : chapitre Variations, extremums et courbes.

Une nouvelle fonction de référence. La fonction exponentielle est définie comme l’unique fonction dérivable sur $ℝ$ égale à sa dérivée et valant $1$ en $0$ : chapitre Fonction exponentielle.

Se verra en Terminale. La dérivée d’une composée $v \circ u$ , et donc de $x \mapsto g (a x + b)$ , de $\sqrt{u}$ ou de $u^{n}$ : chapitre Compléments sur la dérivation.

À retenir

$f$ est dérivable sur $I$ si le taux $\frac{f (a + h) - f (a)}{h}$ a une limite finie $f' (a)$ en tout $a$ de $I$ ; $f'$ est la fonction dérivée.
$(x^{n})^{'} = n x^{n - 1}$ pour tout entier relatif $n$ non nul ; ${(\frac{1}{x})}^{'} = - \frac{1}{x^{2}}$ ; $(\sqrt{x})^{'} = \frac{1}{2 \sqrt{x}}$ sur $] 0; + \infty [$ .
$| x |$ n’est pas dérivable en $0$ : le taux $\frac{| h |}{h}$ vaut $1$ ou $- 1$ selon le signe de $h$ .
$(u + v)^{'} = u' + v'$ , $(k u)^{'} = k u'$ , $(u v)^{'} = u' v + u v'$ .
Si $v$ ne s’annule pas : ${(\frac{1}{v})}^{'} = - \frac{v'}{v^{2}}$ et ${(\frac{u}{v})}^{'} = \frac{u' v - u v'}{v^{2}}$ .
Avant de dériver, j’écris l’ensemble de dérivabilité : $x > 0$ pour $\sqrt{x}$ , dénominateur non nul pour un quotient, un inverse ou une puissance négative.

Questions fréquentes

Comment démontrer que la dérivée de x² est 2x ?

On calcule le taux de variation entre a et a + h (h ≠ 0) : ((a + h)² − a²)/h = (2ah + h²)/h = 2a + h. Quand h tend vers 0, il tend vers 2a : la fonction carré est dérivable sur ℝ et (x²)′ = 2x. La même méthode donne (1/x)′ = −1/x², car le taux de x ↦ 1/x vaut −1/(a(a + h)).

Quelle est la dérivée de xⁿ quand n est négatif ?

La même formule (xⁿ)′ = n xⁿ⁻¹ reste valable pour tout entier relatif n non nul, sur ]−∞ ; 0[ et sur ]0 ; +∞[ quand n ≤ −1. Par exemple 1/x³ = x⁻³ a pour dérivée −3x⁻⁴ = −3/x⁴ : l’exposant baisse de 1.

Pourquoi la dérivée d’un produit n’est-elle pas le produit des dérivées ?

Parce que la formule est (uv)′ = u′v + uv′, qui se démontre avec le taux de variation. Contre-exemple : x × x = x² a pour dérivée 2x, alors que le produit des dérivées donnerait 1 × 1 = 1.

Comment dériver un quotient u/v ?

On vérifie d’abord que v ne s’annule pas sur l’intervalle, puis on applique (u/v)′ = (u′v − uv′)/v², dans cet ordre. Si le numérateur est constant, (1/v)′ = −v′/v² est plus rapide.

Comment dériver un quotient dont le numérateur est constant ?

On l’écrit k × (1/v) et on applique (1/v)′ = −v′/v², là où v ne s’annule pas : (k/v)′ = −k v′/v². Par exemple, 5/(x² + 4) a pour dérivée −10x/(x² + 4)², sur ℝ car x² + 4 ≥ 4. C’est plus court que la formule du quotient, qui donne le même résultat.

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