Lycée · 1ʳᵉ · Spécialité Mathématiques
Dérivation — fonctions dérivées et applications
Fonctions dérivées des fonctions usuelles, opérations sur les dérivées, variations et extremums — programme de 1re spécialité maths
À propos de cette page
Ce cours de spécialité mathématiques en première sur « Dérivation — fonctions dérivées et applications » suit le programme officiel de spécialité mathématiques de première. Il présente les définitions, les propriétés et les méthodes essentielles, accompagnées d'exemples résolus pour bien comprendre. Au programme : Dérivées des fonctions usuelles, Opérations sur les dérivées : somme et produit par une constante, Dérivée d'un produit et d'un quotient, Dérivée d'une fonction composée. Chaque notion est expliquée pas à pas, puis mise en pratique grâce à des exercices interactifs, un QCM et une évaluation corrigée. Idéal pour réviser à son rythme, combler ses lacunes et progresser, en autonomie ou avec un professeur. Cours rédigé par un professeur particulier à Marseille pour aider les élèves de première à réussir en spécialité mathématiques.
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Dérivées des fonctions usuelles
On note $f'$ la fonction dérivée de $f$ : elle associe à chaque $x$ de l'intervalle le nombre dérivé $f'(x)$.
Tableau des dérivées usuelles.
| Fonction $f(x)$ | Dérivée $f'(x)$ | Domaine de dérivabilité |
|---|---|---|
| $c$ (constante) | $0$ | $\mathbb{R}$ |
| $x$ | $1$ | $\mathbb{R}$ |
| $x^n$ ($n \in \mathbb{Z}$, $n \geq 1$) | $n x^{n-1}$ | $\mathbb{R}$ |
| $\frac{1}{x}$ | $-\frac{1}{x^2}$ | $\mathbb{R} \setminus \{0\}$ |
| $\sqrt{x}$ | $\frac{1}{2\sqrt{x}}$ | $]0 ; +\infty[$ |
| $\sin x$ | $\cos x$ | $\mathbb{R}$ |
| $\cos x$ | $-\sin x$ | $\mathbb{R}$ |
Exemple. Soit $f(x) = x^4$. Alors $f'(x) = 4x^3$.
Soit $g(x) = \sqrt{x}$. Alors $g'(x) = \dfrac{1}{2\sqrt{x}}$ pour $x \gt 0$.
Soit $g(x) = \sqrt{x}$. Alors $g'(x) = \dfrac{1}{2\sqrt{x}}$ pour $x \gt 0$.
Astuce. Pour retenir la formule $(x^n)' = nx^{n-1}$, on «descend» l'exposant devant et on le diminue de 1. Cette règle vaut aussi pour les exposants négatifs : $(x^{-1})' = -x^{-2} = -\frac{1}{x^2}$.
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Opérations sur les dérivées : somme et produit par une constante
Ces règles permettent de dériver des combinaisons linéaires de fonctions.
Règles de linéarité. Soient $u$ et $v$ deux fonctions dérivables sur un intervalle $I$, et $k$ un réel.
- $(u + v)' = u' + v'$
- $(ku)' = k \cdot u'$
- $(u - v)' = u' - v'$
Exemple. Soit $f(x) = 3x^3 - 5x^2 + 2x - 7$.
On dérive terme par terme :
$f'(x) = 3 \times 3x^2 - 5 \times 2x + 2 \times 1 - 0 = 9x^2 - 10x + 2$.
On dérive terme par terme :
$f'(x) = 3 \times 3x^2 - 5 \times 2x + 2 \times 1 - 0 = 9x^2 - 10x + 2$.
Exemple. Soit $g(x) = 4\sqrt{x} + \dfrac{3}{x}$.
$g'(x) = 4 \times \dfrac{1}{2\sqrt{x}} + 3 \times \left(-\dfrac{1}{x^2}\right) = \dfrac{2}{\sqrt{x}} - \dfrac{3}{x^2}$ (pour $x \gt 0$).
$g'(x) = 4 \times \dfrac{1}{2\sqrt{x}} + 3 \times \left(-\dfrac{1}{x^2}\right) = \dfrac{2}{\sqrt{x}} - \dfrac{3}{x^2}$ (pour $x \gt 0$).
Attention ! La règle de linéarité ne s'applique qu'à la somme, pas au produit ni à la composition. $(uv)' \neq u'v'$ en général !
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Dérivée d'un produit et d'un quotient
Quand deux fonctions sont multipliées ou divisées, on applique des formules spécifiques.
Dérivée d'un produit. Si $u$ et $v$ sont dérivables sur $I$ :
$$(uv)' = u'v + uv'$$
$$(uv)' = u'v + uv'$$
Dérivée d'un quotient. Si $u$ et $v$ sont dérivables sur $I$ et $v(x) \neq 0$ :
$$\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$$
$$\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$$
Exemple (produit). Soit $h(x) = (2x+1)(x^2-3)$.
On pose $u = 2x+1$, $v = x^2-3$, donc $u' = 2$ et $v' = 2x$.
$h'(x) = 2(x^2-3) + (2x+1)(2x) = 2x^2 - 6 + 4x^2 + 2x = 6x^2 + 2x - 6$.
On pose $u = 2x+1$, $v = x^2-3$, donc $u' = 2$ et $v' = 2x$.
$h'(x) = 2(x^2-3) + (2x+1)(2x) = 2x^2 - 6 + 4x^2 + 2x = 6x^2 + 2x - 6$.
Exemple (quotient). Soit $k(x) = \dfrac{x^2+1}{x-2}$ pour $x \neq 2$.
$u = x^2+1$, $v = x-2$, $u' = 2x$, $v' = 1$.
$k'(x) = \dfrac{2x(x-2) - (x^2+1) \cdot 1}{(x-2)^2} = \dfrac{2x^2-4x-x^2-1}{(x-2)^2} = \dfrac{x^2-4x-1}{(x-2)^2}$.
$u = x^2+1$, $v = x-2$, $u' = 2x$, $v' = 1$.
$k'(x) = \dfrac{2x(x-2) - (x^2+1) \cdot 1}{(x-2)^2} = \dfrac{2x^2-4x-x^2-1}{(x-2)^2} = \dfrac{x^2-4x-1}{(x-2)^2}$.
Astuce mémo-technique. Pour le quotient, retenez «num'·dén – num·dén'» au numérateur, et «dén²» au dénominateur. On peut aussi vérifier en développant $h = uv$ sans la formule.
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Dérivée d'une fonction composée
Composer deux fonctions signifie appliquer l'une après l'autre : $h(x) = f(g(x))$. On note aussi $h = f \circ g$.
Règle de la chaîne (fonction composée). Si $g$ est dérivable en $x$ et $f$ est dérivable en $g(x)$ :
$$h'(x) = g'(x) \cdot f'(g(x))$$
En pratique : on dérive la fonction extérieure $f$ évaluée en $g(x)$, puis on multiplie par $g'(x)$.
$$h'(x) = g'(x) \cdot f'(g(x))$$
En pratique : on dérive la fonction extérieure $f$ évaluée en $g(x)$, puis on multiplie par $g'(x)$.
Cas particuliers très utiles au lycée :
| $h(x)$ | $h'(x)$ |
|---|---|
| $(u)^n$ (avec $u$ dérivable) | $n u^{n-1} \cdot u'$ |
| $\sqrt{u}$ (avec $u \gt 0$) | $\dfrac{u'}{2\sqrt{u}}$ |
| $\dfrac{1}{u}$ (avec $u \neq 0$) | $-\dfrac{u'}{u^2}$ |
| $\sin(u)$ | $u' \cdot \cos(u)$ |
| $\cos(u)$ | $-u' \cdot \sin(u)$ |
Exemple. Soit $h(x) = (3x^2 - 1)^4$.
Ici $g(x) = 3x^2 - 1$ et $f(t) = t^4$, donc $g'(x) = 6x$ et $f'(t) = 4t^3$.
$h'(x) = 6x \cdot 4(3x^2-1)^3 = 24x(3x^2-1)^3$.
Ici $g(x) = 3x^2 - 1$ et $f(t) = t^4$, donc $g'(x) = 6x$ et $f'(t) = 4t^3$.
$h'(x) = 6x \cdot 4(3x^2-1)^3 = 24x(3x^2-1)^3$.
Exemple. Soit $j(x) = \sqrt{x^2 + 5}$.
$u = x^2+5$, $u' = 2x$, donc $j'(x) = \dfrac{2x}{2\sqrt{x^2+5}} = \dfrac{x}{\sqrt{x^2+5}}$.
$u = x^2+5$, $u' = 2x$, donc $j'(x) = \dfrac{2x}{2\sqrt{x^2+5}} = \dfrac{x}{\sqrt{x^2+5}}$.
Attention ! Ne pas confondre $f'(g(x))$ (dérivée de $f$ évaluée en $g(x)$) avec $f'(x)$ évaluée en $g(x)$. La variable d'entrée de $f'$ est bien $g(x)$.
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Signe de la dérivée et sens de variation
Le lien entre le signe de $f'$ et le sens de variation de $f$ est fondamental pour étudier une fonction.
Théorème (sens de variation). Soit $f$ dérivable sur un intervalle $I$.
- Si $f'(x) \gt 0$ pour tout $x \in I$ → $f$ est strictement croissante sur $I$.
- Si $f'(x) \lt 0$ pour tout $x \in I$ → $f$ est strictement décroissante sur $I$.
- Si $f'(x) = 0$ pour tout $x \in I$ → $f$ est constante sur $I$.
Méthode pour dresser un tableau de variations :
- Calculer $f'(x)$.
- Résoudre $f'(x) = 0$ et étudier le signe de $f'$ (tableau de signes si nécessaire).
- Remplir le tableau de variations en utilisant la flèche $\nearrow$ si $f' \gt 0$, $\searrow$ si $f' \lt 0$.
- Calculer les valeurs de $f$ aux bornes et aux points critiques.
Exemple. Soit $f(x) = 2x^3 - 9x^2 + 12x - 1$ sur $\mathbb{R}$.
$f'(x) = 6x^2 - 18x + 12 = 6(x^2 - 3x + 2) = 6(x-1)(x-2)$.
$f'(x) = 0 \Leftrightarrow x = 1$ ou $x = 2$.
Signe de $f'$ : positif sur $]-\infty;1[$, négatif sur $]1;2[$, positif sur $]2;+\infty[$.
$f(1) = 2 - 9 + 12 - 1 = 4$ ; $f(2) = 16 - 36 + 24 - 1 = 3$.
Donc $f$ croît jusqu'à $x=1$ (max local = 4), décroît jusqu'à $x=2$ (min local = 3), puis croît.
$f'(x) = 6x^2 - 18x + 12 = 6(x^2 - 3x + 2) = 6(x-1)(x-2)$.
$f'(x) = 0 \Leftrightarrow x = 1$ ou $x = 2$.
Signe de $f'$ : positif sur $]-\infty;1[$, négatif sur $]1;2[$, positif sur $]2;+\infty[$.
$f(1) = 2 - 9 + 12 - 1 = 4$ ; $f(2) = 16 - 36 + 24 - 1 = 3$.
Donc $f$ croît jusqu'à $x=1$ (max local = 4), décroît jusqu'à $x=2$ (min local = 3), puis croît.
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Extremums locaux et globaux
Un extremum local est un maximum ou minimum de la fonction sur un voisinage du point. Un extremum global est le plus grand ou le plus petit sur tout l'intervalle étudié.
Condition nécessaire d'extremum. Si $f$ est dérivable en $a$ et admet un extremum local en $a$, alors $f'(a) = 0$.
Attention : la réciproque est fausse ! $f'(a) = 0$ ne garantit pas un extremum (ex. : $f(x) = x^3$ en $x=0$).
Attention : la réciproque est fausse ! $f'(a) = 0$ ne garantit pas un extremum (ex. : $f(x) = x^3$ en $x=0$).
Condition suffisante (changement de signe de $f'$).
- Si $f'$ change de signe de $+$ à $-$ en $a$ → maximum local en $a$.
- Si $f'$ change de signe de $-$ à $+$ en $a$ → minimum local en $a$.
- Si $f'$ ne change pas de signe en $a$ → pas d'extremum en $a$ (point d'inflexion).
Exemple. Pour $f(x) = x^3$ : $f'(x) = 3x^2 \geq 0$. $f'(0) = 0$ mais $f'$ ne change pas de signe, donc $f$ n'a pas d'extremum en 0. C'est un point d'inflexion.
Extremum global. Sur un segment $[a;b]$, le maximum global est le plus grand des valeurs aux extremums locaux, en $a$ et en $b$. Il faut donc comparer les valeurs de $f$ en tous ces points.
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Équation de la tangente — rappel et approfondissement
L'équation de la tangente à la courbe de $f$ au point d'abscisse $a$ est :
Tangente en $x = a$. $$y = f'(a)(x - a) + f(a)$$
La pente de la tangente est $f'(a)$ ; elle passe par le point $(a, f(a))$.
La pente de la tangente est $f'(a)$ ; elle passe par le point $(a, f(a))$.
Exemple. Soit $f(x) = x^3 - 2x + 1$ en $a = 1$.
$f(1) = 1 - 2 + 1 = 0$.
$f'(x) = 3x^2 - 2$, donc $f'(1) = 3 - 2 = 1$.
Équation de la tangente : $y = 1 \times (x-1) + 0 = x - 1$.
$f(1) = 1 - 2 + 1 = 0$.
$f'(x) = 3x^2 - 2$, donc $f'(1) = 3 - 2 = 1$.
Équation de la tangente : $y = 1 \times (x-1) + 0 = x - 1$.
Attention ! Quand on cherche si une tangente est horizontale, on résout $f'(a) = 0$. Une tangente horizontale signifie que $f$ a peut-être un extremum en $a$ (à confirmer par le changement de signe de $f'$).
On peut aussi chercher la tangente en un point d'inflexion : la courbe traverse sa tangente, mais la pente n'est ni maximale ni minimale en ce point.
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Résolution de problèmes d'optimisation
La dérivation est un outil puissant pour minimiser ou maximiser une quantité (distance, coût, volume, etc.).
Méthode générale :
- Modéliser : exprimer la grandeur à optimiser en fonction d'une seule variable $x$, sur un intervalle réaliste.
- Dériver et chercher les points critiques ($f' = 0$).
- Analyser le signe de $f'$ pour identifier le type d'extremum.
- Conclure en donnant la valeur optimale et son interprétation dans le contexte.
Exemple. Un agriculteur dispose de 100 m de clôture pour délimiter un enclos rectangulaire adossé à un mur (le mur forme un côté, il n'y a donc que 3 côtés à clôturer). Maximiser l'aire.
Soit $x$ la longueur perpendiculaire au mur et $y$ la longueur parallèle au mur.
Contrainte : $2x + y = 100$, donc $y = 100 - 2x$.
Aire : $A(x) = x \cdot y = x(100-2x) = 100x - 2x^2$, pour $x \in ]0;50[$.
$A'(x) = 100 - 4x = 0 \Rightarrow x = 25$.
$A'$ est positif avant 25 et négatif après : maximum en $x = 25$.
$A(25) = 25 \times 50 = 1250$ m². L'enclos optimal mesure 25 m × 50 m.
Soit $x$ la longueur perpendiculaire au mur et $y$ la longueur parallèle au mur.
Contrainte : $2x + y = 100$, donc $y = 100 - 2x$.
Aire : $A(x) = x \cdot y = x(100-2x) = 100x - 2x^2$, pour $x \in ]0;50[$.
$A'(x) = 100 - 4x = 0 \Rightarrow x = 25$.
$A'$ est positif avant 25 et négatif après : maximum en $x = 25$.
$A(25) = 25 \times 50 = 1250$ m². L'enclos optimal mesure 25 m × 50 m.
Astuce. Toujours vérifier que la valeur trouvée appartient bien à l'intervalle de définition de la variable. Penser à interpréter le résultat dans le contexte du problème.
En bref
- Les dérivées usuelles à connaître : $(x^n)' = nx^{n-1}$, $(\sqrt{x})' = \frac{1}{2\sqrt{x}}$, $(\frac{1}{x})' = -\frac{1}{x^2}$, $(\sin x)' = \cos x$, $(\cos x)' = -\sin x$.
- Règles de calcul : $(u+v)' = u'+v'$ ; $(ku)' = ku'$ ; $(uv)' = u'v+uv'$ ; $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v-uv'}{v^2}$ ; $(f \circ g)' = g' \cdot f' \circ g$.
- Signe de $f'$ → sens de variation : $f' \gt 0 \Rightarrow f$ croissante ; $f' \lt 0 \Rightarrow f$ décroissante.
- Extremum local en $a$ : $f'(a)=0$ et $f'$ change de signe.
- Tangente en $a$ : $y = f'(a)(x-a)+f(a)$.
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