Dérivation et variations : extremums et optimisation

1. a)$f^{\prime }(x)=3x^2+6x-9$. (1)
2. b)$f^{\prime }(x)=3(x^2+2x-3)=3(x+3)(x-1)$ : positif sur $]-\infty ;-3[$ et $]1;+\infty [$, négatif sur $]-3;1[$. (1)
3. c)$f$ croissante sur $]-\infty ;-3]$, décroissante sur $[-3;1]$, croissante sur $[1;+\infty [$ ; $f(-3)=-27+27+27+2=29$, $f(1)=1+3-9+2=-3$. (1)
4. d)Maximum local $f(-3)=29$ ($f^{\prime }$ passe de $+$ à $-$) ; minimum local $f(1)=-3$ ($f^{\prime }$ passe de $-$ à $+$). (1)

Erreur fréquente — Donner l'abscisse $-3$ au lieu de la valeur 29 : un extremum est une valeur de $f$, atteinte en une abscisse.

1. a)$g^{\prime }(x)=\frac{4(x^2+4)-4x\times 2x}{(x^2+4{)}^2}=\frac{16-4x^2}{(x^2+4{)}^2}=\frac{4(2-x)(2+x)}{(x^2+4{)}^2}$. (1)
2. b)Dénominateur $>0$ : signe de $(2-x)(2+x)$. $g$ décroissante sur $]-\infty ;-2]$, croissante sur $[-2;2]$, décroissante sur $[2;+\infty [$ ; $g(-2)=-1$, $g(2)=1$. (1)
3. c)$g(x)+1=\frac{(x+2{)}^2}{x^2+4}\ge 0$ et $g(x)-1=\frac{-(x-2{)}^2}{x^2+4}\le 0$, d'où $-1\le g(x)\le 1$. (1)
4. d)Le maximum 1 est atteint en 2, hors de $[-1;1]$. Sur $[-1;1]\subset [-2;2]$, $g$ est croissante : maximum $g(1)=\frac{4}{5}=0,8$. (1)

Attention — Un extremum dépend de l'intervalle d'étude : sur un segment, on regarde d'abord où se trouvent les points où $g^{\prime }$ s'annule.

1. a)$h^{\prime }(x)=4x^3-4=4(x^3-1)$ et $(x-1)(x^2+x+1)=x^3-1$. (1)
2. b)$x^2+x+1$ : $\Delta =1-4=-3<0$, toujours positif. $h^{\prime }(x)$ a le signe de $x-1$ : négatif sur $]-\infty ;1[$, positif sur $]1;+\infty [$. (1)
3. c)$h$ décroissante sur $]-\infty ;1]$, croissante sur $[1;+\infty [$ ; minimum $h(1)=1-4+3=0$. (1)
4. d)$h(x)\ge 0$ pour tout $x$, donc $x^4+3\ge 4x$ ; égalité si et seulement si $x=1$ (seul point où $h$ atteint 0). (1)

À retenir — Pour prouver $f\ge g$, on étudie $f-g$ et on montre que son minimum est positif ou nul.

1. a)Chaque billet rapporte $p-3$ euros : $B(p)=(p-3)(600-20p)-1000=600p-20p^2-1800+60p-1000=-20p^2+660p-2800$. (1)
2. b)$B^{\prime }(p)=-40p+660$, positif sur $[5;16,5[$, négatif sur $]16,5;30]$ : $B$ croissante puis décroissante. (1)
3. c)Prix optimal $16,50$ € ; $B(16,5)=-20\times 272,25+10890-2800=2645$ €. (1)
4. d)$600-20\times 16,5=270$ billets. (1)

Le point clé — La modélisation (bénéfice par billet fois nombre de billets, moins les frais fixes) vaut la moitié de l'exercice : on la rédige avant de dériver.

1. a)$f^{\prime }(x)=3x^2\ge 0$, nulle seulement en 0 : $f$ strictement croissante, donc au plus une solution. $f(2)=-2<0$ et $f(3)=17>0$ : elle ne peut être ni $<2$ ni $>3$. (1)
2. b)$x_{n+1}=x_n-\frac{x_n^3-10}{3x_n^2}=\frac{3x_n^3-x_n^3+10}{3x_n^2}=\frac{2x_n^3+10}{3x_n^2}$. (1)
3. c)$x_1=\frac{16+10}{12}=\frac{26}{12}=\frac{13}{6}$. (1)
4. d)$x_1^3=\frac{2197}{216}$, $x_2=\frac{2197/108+10}{169/12}=\frac{3277}{108}\times \frac{12}{169}=\frac{3277}{1521}\approx 2,1545$. (1)

Astuce — Simplifier la formule de Newton avant de calculer évite les erreurs d'arrondi et donne des fractions exactes.