Comment étudier les variations d'une fonction en première ?

On calcule la dérivée f'(x), on étudie son signe (en la factorisant si besoin), puis on applique le théorème : f est croissante là où f' 0 et décroissante là où f' 0, sur un intervalle. On résume le tout dans un tableau de variations complété par les images des bornes et des points où f' s'annule.

Quel est le lien entre dérivation et variations d'une fonction ?

Le signe du nombre dérivé f'(x) donne la pente de la tangente : positive, la courbe monte ; négative, elle descend. Le théorème du cours transforme cette idée en règle : sur un intervalle, le signe de f' donne le sens de variation de f.

Comment trouver un extremum avec la dérivée ?

On cherche les valeurs a où f'(a)=0, puis on vérifie que f' change de signe en a : de + à -, c'est un maximum local ; de - à +, un minimum local. Si f' s'annule sans changer de signe, comme pour x³ en 0, il n'y a pas d'extremum.

À quoi sert la méthode de Newton en première ?

Elle fournit des valeurs approchées d'une solution de f(x)=0 quand on ne sait pas la résoudre exactement. On remplace la courbe par sa tangente en x_n et on prend le point où cette tangente coupe l'axe des abscisses : x_n+1=x_n-f(x_n)/f'(x_n).

Spécialité Mathématiques 1ʳᵉ

Ressources · 1ʳᵉ · Spécialité Mathématiques

Dérivation et variations : extremums et optimisation

Signe de la dérivée et sens de variation, tableau de variations, extremums locaux, problèmes d'optimisation, étude complète de fonction, méthode de Newton (approche)

À propos de cette page

Ce cours de spécialité mathématiques en première sur « Dérivation et variations : extremums et optimisation » suit le programme officiel de spécialité mathématiques de première. Il présente les définitions, les propriétés et les méthodes essentielles, accompagnées d'exemples résolus pour bien comprendre. Au programme : L'essentiel : dérivée et sens de variation, Variations des fonctions : le tableau de variations, Extremums locaux, Optimisation et inégalités. Chaque notion est expliquée pas à pas, puis mise en pratique grâce à des exercices interactifs, un QCM et une évaluation corrigée. Idéal pour réviser à son rythme, combler ses lacunes et progresser, en autonomie ou avec un professeur. Cours rédigé par un professeur particulier à Marseille pour aider les élèves de première à réussir en spécialité mathématiques.

L'essentiel : dérivée et sens de variation

Rappel (calcul de dérivées).

(x^{n})^{'} = n x^{n - 1}

;

{(\frac{1}{x})}^{'} = - \frac{1}{x^{2}}

;

(\sqrt{x})^{'} = \frac{1}{2 \sqrt{x}}

;

(u v)^{'} = u^{'} v + u v^{'}

;

{(\frac{u}{v})}^{'} = \frac{u^{'} v - u v^{'}}{v^{2}}

Théorème (signe de la dérivée et variations). Soit

f

une fonction dérivable sur un intervalle

I

.
• Si

f^{'} (x) \geq 0

pour tout

x \in I

, alors

f

est croissante sur

I

.
• Si

f^{'} (x) \leq 0

pour tout

x \in I

, alors

f

est décroissante sur

I

.
• Si

f^{'} (x) = 0

pour tout

x \in I

, alors

f

est constante sur

I

.
Si

f^{'} (x) > 0

sur

I

, sauf en un nombre fini de points où elle s'annule,

f

est strictement croissante sur

I

(de même pour « strictement décroissante »).

Exemple.

f (x) = x^{3} - 3 x + 1

sur

ℝ

f^{'} (x) = 3 x^{2} - 3 = 3 (x - 1) (x + 1)

. Ce produit est positif hors de

[- 1; 1]

et négatif entre

- 1

1

f

croît sur

] - \infty; - 1]

, décroît sur

[- 1; 1]

, croît sur

[1; + \infty [

Idée à garder :

f^{'} (x)

est la pente de la tangente. Pente positive, la courbe monte ; pente négative, elle descend.

Variations des fonctions : le tableau de variations

Tableau de variations. Il résume, sur le domaine d'étude : les valeurs de

x

remarquables (bornes, points où

f^{'}

s'annule), le signe de

f^{'} (x)

et les flèches de variation de

f

, avec les images aux points remarquables.

Exemple (suite).

f (- 1) = - 1 + 3 + 1 = 3

f (1) = 1 - 3 + 1 = - 1

$x$	$- \infty$		$- 1$		$1$		$+ \infty$
signe de $f^{'} (x)$		$+$	$0$	$-$	$0$	$+$
variations de $f$		↗	$3$	↘	$- 1$	↗

Pour étudier le signe de

f^{'} (x)

: factoriser, puis faire un tableau de signes (signe de

a x + b

, signe d'un trinôme selon son discriminant). Un dénominateur

v (x)^{2}

est toujours positif : il ne compte pas dans le signe.

Extremums locaux

Définition.

f (a)

est un maximum local de

f

s'il existe un intervalle ouvert

J

contenant

a

tel que

f (x) \leq f (a)

pour tout

x \in J

du domaine. Minimum local :

f (x) \geq f (a)

. Un extremum est un maximum ou un minimum.

Propriété 1 (condition nécessaire). Si

f

est dérivable sur un intervalle ouvert

I

et admet un extremum local en

a \in I

, alors

f^{'} (a) = 0

: la tangente y est horizontale.
Propriété 2 (condition suffisante). Si

f^{'}

s'annule en

a

en changeant de signe, alors

f (a)

est un extremum local : maximum si

f^{'}

passe de

+

-

, minimum si

f^{'}

passe de

-

+

Exemple. Pour

f (x) = x^{3} - 3 x + 1

f (- 1) = 3

est un maximum local et

f (1) = - 1

un minimum local. Ce ne sont pas des extremums sur

ℝ

f (2) = 3

f (3) = 19 > 3

La réciproque de la propriété 1 est fausse :

g (x) = x^{3}

vérifie

g^{'} (0) = 0

, mais

g^{'} (x) = 3 x^{2} \geq 0

ne change pas de signe, et

g

n'a pas d'extremum en 0.

Extremum sur $[a; b]$ . Le maximum (ou le minimum) de

f

sur un segment se trouve parmi les extremums locaux et les valeurs aux bornes

f (a)

f (b)

: on les compare.

Optimisation et inégalités

Optimiser une grandeur (aire, volume, coût, bénéfice…), c'est l'exprimer comme une fonction d'une variable

x

sur un intervalle précis, puis chercher son maximum ou son minimum grâce au tableau de variations.

Exemple. Un rectangle a un périmètre de 20 cm ; on note

x

sa largeur,

x \in] 0; 10 [

. Sa longueur vaut

10 - x

et son aire

A (x) = x (10 - x) = 10 x - x^{2}

A^{'} (x) = 10 - 2 x

: positive sur

] 0; 5]

, négative sur

[5; 10 [

. L'aire est maximale pour

x = 5

: c'est le carré de côté 5 cm, d'aire 25 cm².

Démontrer une inégalité $f (x) \geq g (x)$ sur $I$ . On étudie

d (x) = f (x) - g (x)

: si son minimum sur

I

est positif ou nul, alors

d (x) \geq 0

, donc

f (x) \geq g (x)

sur

I

Exemple. Pour

x \geq 0

, montrons

x^{3} \geq 3 x - 2

. Soit

d (x) = x^{3} - 3 x + 2

;

d^{'} (x) = 3 (x - 1) (x + 1)

, négatif sur

[0; 1]

et positif sur

[1; + \infty [

. Le minimum de

d

sur

[0; + \infty [

est

d (1) = 0

, donc

d (x) \geq 0

: $x^{3} \geq 3 x - 2$ , avec égalité seulement pour

x = 1

Méthode de Newton (approche)

Principe. Pour approcher une solution de

f (x) = 0

, on part d'une valeur

x_{0}

proche de la solution. On remplace la courbe par sa tangente au point d'abscisse

x_{n}

, d'équation

y = f^{'} (x_{n}) (x - x_{n}) + f (x_{n})

, et on note

x_{n + 1}

l'abscisse du point où elle coupe l'axe des abscisses. Si

f^{'} (x_{n}) \neq 0

x_{n + 1} = x_{n} - \frac{f (x_{n})}{f^{'} (x_{n})} .

Exemple : approcher $\sqrt{2}$ .

f (x) = x^{2} - 2

f^{'} (x) = 2 x

x_{0} = 1

x_{1} = 1 - \frac{- 1}{2} = 1, 5

;

x_{2} = 1, 5 - \frac{0, 25}{3} \approx 1, 416 67

;

x_{3} \approx 1, 414 216

. Or

\sqrt{2} \approx 1, 414 214

: trois étapes suffisent pour 5 décimales.

En Python, avec

f

et sa dérivée

d f

définies au préalable :
def newton(x, n):
    for k in range(n):
        x = x - f(x) / df(x)
    return x

La méthode échoue si

f^{'} (x_{n}) = 0

(tangente horizontale : division par zéro) et peut s'éloigner de la solution si

x_{0}

est mal choisi. On choisit

x_{0}

à l'aide du tableau de variations.

Méthodes

Méthode 1 — Étudier les variations d'une fonction

Préciser l'intervalle d'étude et justifier que $f$ y est dérivable.
Calculer $f^{'} (x)$ et le factoriser.
Étudier le signe de $f^{'} (x)$ (tableau de signes).
Conclure avec le théorème et dresser le tableau de variations, images comprises.

Exemple rédigé.

g (x) = 2 x^{3} + 3 x^{2} - 12 x

sur

ℝ

g

est un polynôme, dérivable sur

ℝ

g^{'} (x) = 6 x^{2} + 6 x - 12 = 6 (x^{2} + x - 2) = 6 (x + 2) (x - 1)

. Ce trinôme est positif à l'extérieur des racines

- 2

1

, négatif entre. Donc

g

est croissante sur

] - \infty; - 2]

, décroissante sur

[- 2; 1]

, croissante sur

[1; + \infty [

, avec

g (- 2) = - 16 + 12 + 24 = 20

g (1) = 2 + 3 - 12 = - 7

Méthode 2 — Justifier un extremum local

Résoudre $f^{'} (x) = 0$ sur l'intervalle ouvert d'étude.
Vérifier que $f^{'}$ change de signe en chaque solution.
Conclure (maximum ou minimum) et calculer la valeur de l'extremum.

Exemple rédigé.

h (x) = x + \frac{4}{x}

sur

] 0; + \infty [

h^{'} (x) = 1 - \frac{4}{x^{2}} = \frac{x^{2} - 4}{x^{2}} = \frac{(x - 2) (x + 2)}{x^{2}}

. Sur

] 0; + \infty [

x + 2 > 0

x^{2} > 0

h^{'} (x)

a le signe de

x - 2

, négatif puis positif.

h^{'}

s'annule en 2 en passant de

-

+

: $h (2) = 4$ est un minimum de

h

sur

] 0; + \infty [

Méthode 3 — Résoudre un problème d'optimisation

Choisir la variable $x$ et préciser son intervalle (contraintes concrètes).
Exprimer la grandeur à optimiser en fonction de $x$ seul.
Étudier les variations de cette fonction sur l'intervalle.
Répondre à la question posée, avec unités.

Exemple rédigé. Deux réels positifs ont pour somme 8 ; on veut maximiser le produit du carré du premier par le second. Avec

x \in [0; 8]

P (x) = x^{2} (8 - x) = 8 x^{2} - x^{3}

P^{'} (x) = 16 x - 3 x^{2} = x (16 - 3 x)

, positif sur

[0; \frac{16}{3}]

, négatif ensuite. Maximum pour

x = \frac{16}{3}

P = \frac{256}{9} \times \frac{8}{3} = \frac{2048}{27} \approx 75, 85

. Les deux nombres sont $\frac{16}{3}$ et $\frac{8}{3}$ .

Pièges et erreurs classiques

« $f^{'} (a) = 0$ donc extremum » : faux sans changement de signe (exemple de

x^{3}

en 0). Toujours regarder le signe de part et d'autre.

Oublier l'intervalle :

f (x) = \frac{1}{x}

a une dérivée négative sur

ℝ^{*}

, pourtant

f (- 1) < f (1)

. Elle est décroissante sur

] - \infty; 0 [

et sur

] 0; + \infty [

, pas sur leur réunion.

Confondre le signe de $f$ et celui de $f^{'}$ : une fonction croissante peut être négative ; c'est

f^{'}

qui donne le sens de variation, pas

f

Oublier les bornes : sur

[a; b]

, le maximum peut être atteint en une borne, où

f^{'}

ne s'annule pas.

Optimisation hors domaine : une racine de

f^{'}

qui sort de l'intervalle imposé par la situation (longueur négative, découpe impossible) ne doit pas être retenue.

En bref

Sur un intervalle : $f^{'} \geq 0$ ⇒ $f$ croissante ; $f^{'} \leq 0$ ⇒ $f$ décroissante ; $f^{'} = 0$ ⇒ $f$ constante.
Tableau de variations : $x$ , signe de $f^{'} (x)$ , flèches et images.
Extremum local en $a$ intérieur ⇒ $f^{'} (a) = 0$ ; la réciproque exige un changement de signe de $f^{'}$ .
Sur $[a; b]$ , comparer extremums locaux et valeurs aux bornes.
Optimisation : variable, intervalle, fonction, variations, réponse avec unités.
Inégalité : étudier la différence et montrer que son minimum est positif.
Newton : $x_{n + 1} = x_{n} - \frac{f (x_{n})}{f^{'} (x_{n})}$ , si $f^{'} (x_{n}) \neq 0$ .

Bloqué sur ce chapitre ?

Moi c'est Ben, j'ai créé ce site pour aider le plus d'élèves possible, partout en France. Je peux aussi reprendre avec toi ce qui coince en cours particulier : en visio, ou à domicile si tu es à Marseille.

Réserver un 1^er cours → Voir les tarifs

Prof de maths à Marseille · Cours particuliers au lycée · Aide aux devoirs