Nombre dérivé et tangente

Soit $f$ la fonction définie sur $ℝ$ par $f(x)=x^2+5x$. Calculer chaque taux de variation.

1. Entre $1$ et $3$ :
   $f(1)=1+5=6$ et $f(3)=9+15=24$. Taux : ${\displaystyle \frac{f(3)-f(1)}{3-1}}$ $={\displaystyle \frac{24-6}{2}}=9$.
2. Entre $-2$ et $0$ :
   $f(-2)=4-10=-6$ et $f(0)=0$. Taux : ${\displaystyle \frac{0-(-6)}{0-(-2)}}={\displaystyle \frac{6}{2}}=3$.
3. Entre $-5$ et $-1$ :
   $f(-5)=25-25=0$ et $f(-1)=1-5=-4$. Taux : ${\displaystyle \frac{-4-0}{-1-(-5)}}={\displaystyle \frac{-4}{4}}=-1$ : la sécante descend.

Calculer chaque taux de variation. Une fraction s’écrit avec « / » (exemple : 2/5).

1. $k(x)=\sqrt{x}$ entre $4$ et $9$ :
   $k(4)=2$ et $k(9)=3$. Taux : ${\displaystyle \frac{3-2}{9-4}}={\displaystyle \frac{1}{5}}$.
2. $u(x)=3x-7$ entre $-4$ et $10$ :
   $u(-4)=-12-7=-19$ et $u(10)=30-7=23$. Taux : ${\displaystyle \frac{23-(-19)}{10-(-4)}}={\displaystyle \frac{42}{14}}=3$. Pour une fonction affine, le taux vaut toujours le coefficient directeur, entre deux réels quelconques.
3. Un mobile a parcouru $d(t)=3t^2+2t$ mètres au bout de $t$ secondes. Sa vitesse moyenne entre $t=1$ et $t=4$ est m/s
   $d(1)=3+2=5$ et $d(4)=48+8=56$. Vitesse moyenne : ${\displaystyle \frac{56-5}{4-1}}={\displaystyle \frac{51}{3}}=17$ m/s.

Soit $f(x)=x^2+5x$ et $h$ un réel non nul.

1. Démontrer que le taux de variation de $f$ entre $4$ et $4+h$ vaut $13+h$. Pour $h=-0,5$, ce taux vaut
   Rédaction attendue. $f(4)=16+20=36$ et $f(4+h)=(4+h{)}^2+5(4+h)$ $=16+8h+h^2+20+5h$ $=36+13h+h^2$. Donc $f(4+h)-f(4)=13h+h^2=h(13+h)$ et, comme $h\ne 0$, ${\displaystyle \frac{f(4+h)-f(4)}{h}}=13+h$. Pour $h=-0,5$ (taux entre $4$ et $3,5$) : $13-0,5=12,5$.
2. Démontrer que, pour tout réel $a$, le taux de variation de $f$ entre $a$ et $a+h$ vaut $2a+5+h$. Entre $10$ et $10,1$, il vaut
   Rédaction attendue. $f(a+h)-f(a)=(a+h{)}^2+5(a+h)-a^2-5a$ $=2ah+h^2+5h$ $=h(2a+5+h)$. On divise par $h\ne 0$ : le taux vaut $2a+5+h$. Avec $a=10$ et $h=0,1$ : $20+5+0,1=25,1$.
3. En déduire $f\prime (4)=$
   Quand $h$ tend vers $0$, $13+h$ tend vers $13$ : $f$ est dérivable en $4$ et $f\prime (4)=13$.

Soit $g$ la fonction inverse, $g(x)={\displaystyle \frac{1}{x}}$ sur ${ℝ}^{*}$, et $a$, $b$ deux réels non nuls distincts. Une fraction s’écrit avec « / ».

1. Démontrer que le taux de variation de $g$ entre $a$ et $b$ vaut $-{\displaystyle \frac{1}{ab}}$. Entre $2$ et $5$, il vaut
   Rédaction attendue. $g(b)-g(a)={\displaystyle \frac{1}{b}}-{\displaystyle \frac{1}{a}}$ $={\displaystyle \frac{a-b}{ab}}$ $=-{\displaystyle \frac{b-a}{ab}}$. On divise par $b-a\ne 0$ : ${\displaystyle \frac{g(b)-g(a)}{b-a}}=-{\displaystyle \frac{1}{ab}}$. Entre $2$ et $5$ : $-{\displaystyle \frac{1}{2\times 5}}=-{\displaystyle \frac{1}{10}}$.
2. Entre $-1$ et $4$, ce taux vaut
   $-{\displaystyle \frac{1}{(-1)\times 4}}={\displaystyle \frac{1}{4}}$. Le taux est positif : la sécante monte, alors que chaque branche de l’hyperbole descend. Les deux points sont sur deux branches différentes, de part et d’autre de $0$.
3. Le taux de $g$ entre $3$ et un réel $b$ vaut $-{\displaystyle \frac{1}{12}}$ pour $b=$
   $-{\displaystyle \frac{1}{3b}}=-{\displaystyle \frac{1}{12}}⟺3b=12⟺b=4$ (et $4\ne 3$).

Le taux de variation a été simplifié : donner le nombre dérivé. Une fraction s’écrit avec « / ».

1. $f(3+h)-f(3)=4h-h^2$ : $f\prime (3)=$
   Taux : ${\displaystyle \frac{4h-h^2}{h}}=4-h$, qui tend vers $4$ quand $h$ tend vers $0$ : $f\prime (3)=4$.
2. ${\displaystyle \frac{g(-1+h)-g(-1)}{h}}={\displaystyle \frac{-3}{2+h}}$ : $g\prime (-1)=$
   Quand $h$ tend vers $0$, $2+h$ tend vers $2$, donc le taux tend vers $-{\displaystyle \frac{3}{2}}$ : $g\prime (-1)=-{\displaystyle \frac{3}{2}}$.
3. $k(2+h)-k(2)=h^3+6h^2+12h$ : $k\prime (2)=$
   Taux : $h^2+6h+12$ (on divise par $h\ne 0$), qui tend vers $12$ : $k\prime (2)=12$.
4. ${\displaystyle \frac{m(49+h)-m(49)}{h}}={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{49+h}+7}}$ : $m\prime (49)=$
   Quand $h$ tend vers $0$, $\sqrt{49+h}$ tend vers $7$ : le taux tend vers ${\displaystyle \frac{1}{7+7}}={\displaystyle \frac{1}{14}}$.

Calculer le nombre dérivé par la définition (taux de variation simplifié, puis limite quand $h$ tend vers $0$).

1. $f(x)=x^2-6x$ en $1$ : $f\prime (1)=$
   $f(1)=1-6=-5$ et $f(1+h)=1+2h+h^2-6-6h$ $=-5-4h+h^2$. Taux : ${\displaystyle \frac{-4h+h^2}{h}}=-4+h$, qui tend vers $-4$ : $f\prime (1)=-4$.
2. $f(x)=-x^2+2$ en $3$ : $f\prime (3)=$
   $f(3)=-9+2=-7$ et $f(3+h)=-(9+6h+h^2)+2$ $=-7-6h-h^2$. Taux : ${\displaystyle \frac{-6h-h^2}{h}}=-6-h$, qui tend vers $-6$ : $f\prime (3)=-6$.
3. $f(x)=4x-1$ en $7$ : $f\prime (7)=$
   $f(7+h)-f(7)=4(7+h)-1-27=4h$. Le taux vaut $4$ pour tout $h\ne 0$, donc $f\prime (7)=4$ : la tangente à une droite est la droite elle-même.

Soit $f$ la fonction définie sur $ℝ$ par $f(x)=2x^2-x+3$.

1. Démontrer que, pour $h\ne 0$, ${\displaystyle \frac{f(-1+h)-f(-1)}{h}}=-5+2h$, puis en déduire $f\prime (-1)=$
   Rédaction attendue. $f(-1)=2+1+3=6$. $f(-1+h)=2(1-2h+h^2)-(-1+h)+3$ $=2-4h+2h^2+1-h+3$ $=6-5h+2h^2$. Donc $f(-1+h)-f(-1)=-5h+2h^2=h(-5+2h)$ et, pour $h\ne 0$, le taux vaut $-5+2h$. Quand $h$ tend vers $0$, $-5+2h$ tend vers $-5$ : $f$ est dérivable en $-1$ et $f\prime (-1)=-5$.
2. Le taux de variation de $f$ entre $-1$ et $0$ vaut
   $f(0)=3$, donc le taux vaut ${\displaystyle \frac{3-6}{0-(-1)}}=-3$. C’est la valeur de $-5+2h$ pour $h=1$. Ce n’est pas $f\prime (-1)=-5$ : le taux sur $[-1;0]$ est une pente moyenne, $f\prime (-1)$ est la limite du taux quand $h$ tend vers $0$.
3. La tangente au point d’abscisse $-1$ a pour équation $y=-5x+p$ avec $p=$
   $y=f\prime (-1)(x+1)+f(-1)=-5(x+1)+6=-5x+1$.

Trois situations, à traiter par la définition. Une fraction s’écrit avec « / ».

1. Soit $g(x)={\displaystyle \frac{1}{x}}$. Démontrer que, pour $h\ne 0$ et $h\ne 2$, ${\displaystyle \frac{g(-2+h)-g(-2)}{h}}={\displaystyle \frac{1}{2(h-2)}}$. En déduire $g\prime (-2)=$
   Rédaction attendue. $g(-2)=-{\displaystyle \frac{1}{2}}$ et $g(-2+h)={\displaystyle \frac{1}{h-2}}$. Au même dénominateur : $g(-2+h)-g(-2)={\displaystyle \frac{1}{h-2}}+{\displaystyle \frac{1}{2}}$ $={\displaystyle \frac{2+(h-2)}{2(h-2)}}$ $={\displaystyle \frac{h}{2(h-2)}}$. On divise par $h\ne 0$ : le taux vaut ${\displaystyle \frac{1}{2(h-2)}}$. Quand $h$ tend vers $0$, $2(h-2)$ tend vers $-4$ : $g$ est dérivable en $-2$ et $g\prime (-2)=-{\displaystyle \frac{1}{4}}$.
2. Soit $f(x)=x^3$ et $a$ un réel. Démontrer que $f(a+h)-f(a)=h(3a^2+3ah+h^2)$, puis donner $f\prime (-2)=$
   Rédaction attendue. $(a+h{)}^3=(a+h{)}^2(a+h)$ $=(a^2+2ah+h^2)(a+h)$ $=a^3+3a^{2}h+3a{h}^2+h^3$. Donc $f(a+h)-f(a)=3a^{2}h+3a{h}^2+h^3$ $=h(3a^2+3ah+h^2)$. Pour $h\ne 0$, le taux vaut $3a^2+3ah+h^2$, qui tend vers $3a^2$ quand $h$ tend vers $0$ : $f\prime (a)=3a^2$. En $-2$ : $f\prime (-2)=3\times 4=12$.
3. Soit $k(x)=\sqrt{x+2}$, définie sur $[-2;+\infty [$. Démontrer que, pour $h>0$, le taux de $k$ entre $-2$ et $-2+h$ vaut ${\displaystyle \frac{1}{\sqrt{h}}}$, et justifier que $k$ n’est pas dérivable en $-2$. Pour $h=0,0004$, ce taux vaut
   Rédaction attendue. $k(-2)=\sqrt{0}=0$ et, pour $h>0$, $k(-2+h)=\sqrt{h}$. Le taux vaut ${\displaystyle \frac{\sqrt{h}-0}{h}}={\displaystyle \frac{\sqrt{h}}{h}}={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{h}}}$. Quand $h$ tend vers $0$, $\sqrt{h}$ tend vers $0$ et ${\displaystyle \frac{1}{\sqrt{h}}}$ devient aussi grand que l’on veut : le taux n’a pas de limite finie, donc $k$ n’est pas dérivable en $-2$ (tangente verticale d’équation $x=-2$). Pour $h=0,0004$ : $\sqrt{h}=0,02$ et le taux vaut ${\displaystyle \frac{1}{0,02}}=50$.

Sur la courbe ${𝒞}_f$ d’une fonction $f$ : la tangente au point $A(3;-1)$ passe par $B(5;7)$ ; la tangente au point d’abscisse $-1$ est horizontale ; la tangente au point d’abscisse $0$ passe par les points $(0;2)$ et $(4;0)$. Une fraction s’écrit avec « / ».

1. $f(3)=$ et $f\prime (3)=$
   $A$ est le point de contact : $f(3)=-1$. $f\prime (3)$ est le coefficient directeur de $(AB)$ : ${\displaystyle \frac{7-(-1)}{5-3}}={\displaystyle \frac{8}{2}}=4$.
2. $f\prime (-1)=$
   Une tangente horizontale a un coefficient directeur nul : $f\prime (-1)=0$.
3. $f(0)=$ et $f\prime (0)=$
   La tangente en $0$ touche la courbe au point d’abscisse $0$, qui est $(0;2)$ : $f(0)=2$. Pente : ${\displaystyle \frac{0-2}{4-0}}=-{\displaystyle \frac{1}{2}}$.

Pour chaque tangente, donner le nombre dérivé. Une fraction s’écrit avec « / ».

1. La tangente au point d’abscisse $-4$ passe par $(-4;1)$ et $(-2;-5)$ : $f\prime (-4)=$
   ${\displaystyle \frac{-5-1}{-2-(-4)}}={\displaystyle \frac{-6}{2}}=-3$.
2. La tangente au point d’abscisse $1$ passe par $(1;3)$ et $(4;5)$ : $f\prime (1)=$
   ${\displaystyle \frac{5-3}{4-1}}={\displaystyle \frac{2}{3}}$ : la tangente monte, $f\prime (1)>0$.
3. Quand on avance de $1$ unité le long de la tangente au point d’abscisse $6$, on descend de $0,5$ unité : $f\prime (6)=$
   Avancer de $1$ et descendre de $0,5$ : le coefficient directeur vaut ${\displaystyle \frac{-0,5}{1}}=-0,5$.
4. La tangente au point d’abscisse $2$ a pour équation $y=7$ : $f\prime (2)=$ et $f(2)=$
   La droite $y=7$ est horizontale : $f\prime (2)=0$. Le point de contact $(2;f(2))$ est sur cette droite : $f(2)=7$.

La tangente à ${𝒞}_f$ au point d’abscisse $1$ passe par l’origine $O$ et par le point $(3;6)$. Une fraction s’écrit avec « / ».

1. $f\prime (1)=$
   Coefficient directeur de la droite qui passe par $O(0;0)$ et $(3;6)$ : ${\displaystyle \frac{6-0}{3-0}}=2$.
2. Justifier la valeur de $f(1)$ : $f(1)=$
   Rédaction attendue. La tangente passe par l’origine et a pour coefficient directeur $f\prime (1)=2$ : son équation est $y=2x$. Le point de contact $(1;f(1))$ appartient à la tangente, donc ses coordonnées vérifient $f(1)=2\times 1=2$.
3. Sur une autre courbe ${𝒞}_g$, la tangente au point d’abscisse $-4$ a pour équation $y={\displaystyle \frac{1}{4}}x+2$ : $g\prime (-4)=$ et $g(-4)=$
   Le coefficient directeur de la tangente est $g\prime (-4)={\displaystyle \frac{1}{4}}$. Le point de contact est sur la tangente : $g(-4)={\displaystyle \frac{1}{4}}\times (-4)+2=1$.

On sait que $f(2)=3$ et $f\prime (2)=-{\displaystyle \frac{3}{2}}$. On note $T$ la tangente à ${𝒞}_f$ au point $A$ d’abscisse $2$.

1. Le point de $T$ d’abscisse $0$ a pour ordonnée
   Sur $T$, quand on avance de $1$, on descend de ${\displaystyle \frac{3}{2}}$. De $x=2$ à $x=0$, on recule de $2$ : on monte de $2\times {\displaystyle \frac{3}{2}}=3$. L’ordonnée vaut $3+3=6$.
2. $T$ coupe l’axe des abscisses au point d’abscisse
   De $A(2;3)$, il faut descendre de $3$ : on avance de $3÷{\displaystyle \frac{3}{2}}=2$, jusqu’à $x=4$. Contrôle avec l’équation $y=-{\displaystyle \frac{3}{2}}x+6$ : pour $x=4$, $y=-6+6=0$.
3. Soit $g(x)=f(x)+5$ (courbe de $f$ décalée de $5$ vers le haut). Justifier que $g\prime (2)=f\prime (2)$ : $g\prime (2)=$ (une fraction s’écrit avec « / »)
   Rédaction attendue. Pour $h\ne 0$ : $g(2+h)-g(2)=f(2+h)+5-f(2)-5=f(2+h)-f(2)$. Les deux fonctions ont le même taux de variation entre $2$ et $2+h$, donc la même limite quand $h$ tend vers $0$ : $g$ est dérivable en $2$ et $g\prime (2)=f\prime (2)=-{\displaystyle \frac{3}{2}}$. Décaler une courbe vers le haut décale ses tangentes sans changer leur pente.

La tangente au point d’abscisse $a$ a pour équation réduite $y=mx+p$ : donner $m$ et $p$. Une fraction s’écrit avec « / ».

1. $a=1$, $f(1)=4$ et $f\prime (1)=-2$ : $m=$ et $p=$
   $y=-2(x-1)+4$ $=-2x+2+4$ $=-2x+6$.
2. $a=-3$, $f(-3)=2$ et $f\prime (-3)={\displaystyle \frac{1}{3}}$ : $m=$ et $p=$
   $y={\displaystyle \frac{1}{3}}(x+3)+2$ $={\displaystyle \frac{1}{3}}x+1+2$ $={\displaystyle \frac{1}{3}}x+3$.
3. $a=0$, $f(0)=-5$ et $f\prime (0)=7$ : $m=$ et $p=$
   $y=7(x-0)-5=7x-5$ : en $a=0$, l’ordonnée à l’origine est $f(0)$.
4. $a=-1$, $f(-1)=-3$ et $f\prime (-1)=-4$ : $m=$ et $p=$
   $y=-4(x+1)-3$ $=-4x-4-3$ $=-4x-7$. Contrôle : $x=-1$ donne $y=4-7=-3$.

Les nombres dérivés ont été calculés par la définition. Donner $m$ et $p$ (tangente $y=mx+p$). Une fraction s’écrit avec « / ».

1. $f(x)=\sqrt{x}$ au point d’abscisse $9$, avec $f\prime (9)={\displaystyle \frac{1}{6}}$ : $m=$ et $p=$
   $f(9)=3$. $y={\displaystyle \frac{1}{6}}(x-9)+3$ $={\displaystyle \frac{1}{6}}x-{\displaystyle \frac{3}{2}}+3$ $={\displaystyle \frac{1}{6}}x+{\displaystyle \frac{3}{2}}$.
2. $g(x)={\displaystyle \frac{1}{x}}$ au point d’abscisse $3$, avec $g\prime (3)=-{\displaystyle \frac{1}{9}}$ : $m=$ et $p=$
   $g(3)={\displaystyle \frac{1}{3}}$. $y=-{\displaystyle \frac{1}{9}}(x-3)+{\displaystyle \frac{1}{3}}$ $=-{\displaystyle \frac{1}{9}}x+{\displaystyle \frac{1}{3}}+{\displaystyle \frac{1}{3}}$ $=-{\displaystyle \frac{1}{9}}x+{\displaystyle \frac{2}{3}}$.
3. $u(x)=x^3$ au point d’abscisse $-1$, avec $u\prime (-1)=3$ : $m=$ et $p=$
   $u(-1)=-1$. $y=3(x+1)-1=3x+2$. Contrôle : $x=-1$ donne $y=-1$.

Soit $f(x)=x^3$ et $𝒞$ sa courbe. On a démontré, dans le cas 2, que $f\prime (a)=3a^2$ pour tout réel $a$. Une fraction s’écrit avec « / ».

1. Les points de $𝒞$ où la tangente a pour coefficient directeur $27$ ont pour abscisses et (ordre croissant)
   $3a^2=27⟺a^2=9⟺a=-3$ ou $a=3$.
2. La tangente au point d’abscisse $3$ a pour ordonnée à l’origine
   $f(3)=27$ : $y=27(x-3)+27$ $=27x-81+27$ $=27x-54$. (En $-3$ : $y=27x+54$.)
3. Démontrer que $𝒞$ admet exactement deux tangentes parallèles à la droite $d:y={\displaystyle \frac{1}{3}}x+2$. La plus haute des deux a pour ordonnée à l’origine
   Rédaction attendue. Deux droites sont parallèles si elles ont le même coefficient directeur. On cherche $a$ tel que $3a^2={\displaystyle \frac{1}{3}}$, soit $a^2={\displaystyle \frac{1}{9}}$ : $a={\displaystyle \frac{1}{3}}$ ou $a=-{\displaystyle \frac{1}{3}}$, d’où exactement deux tangentes. En ${\displaystyle \frac{1}{3}}$ : $f\left({\displaystyle \frac{1}{3}}\right)={\displaystyle \frac{1}{27}}$ et $y={\displaystyle \frac{1}{3}}(x-{\displaystyle \frac{1}{3}})+{\displaystyle \frac{1}{27}}$ $={\displaystyle \frac{1}{3}}x-{\displaystyle \frac{3}{27}}+{\displaystyle \frac{1}{27}}$ $={\displaystyle \frac{1}{3}}x-{\displaystyle \frac{2}{27}}$. En $-{\displaystyle \frac{1}{3}}$ : $y={\displaystyle \frac{1}{3}}(x+{\displaystyle \frac{1}{3}})-{\displaystyle \frac{1}{27}}$ $={\displaystyle \frac{1}{3}}x+{\displaystyle \frac{2}{27}}$. La plus haute est $y={\displaystyle \frac{1}{3}}x+{\displaystyle \frac{2}{27}}$.
4. Justifier qu’aucune tangente à $𝒞$ n’a pour coefficient directeur $-6$. Le plus petit coefficient directeur d’une tangente à $𝒞$ est
   Rédaction attendue. Il faudrait $3a^2=-6$, soit $a^2=-2$ : impossible, car un carré est positif ou nul. Plus généralement, $f\prime (a)=3a^2⩾0$ pour tout $a$, et $f\prime (0)=0$ : le plus petit coefficient directeur possible est $0$ (tangente horizontale en $O$).

Soit $f(x)=x^2+bx+c$, avec $b$ et $c$ réels. La tangente à ${𝒞}_f$ au point d’abscisse $-3$ a pour équation $y=-2x-5$.

1. $f\prime (-3)=$ et $f(-3)=$
   Le coefficient directeur de la tangente est $f\prime (-3)=-2$. Le point de contact est sur la tangente : $f(-3)=-2\times (-3)-5=1$.
2. Démontrer que $f\prime (a)=2a+b$ pour tout réel $a$, puis trouver $b=$ et $c=$
   Rédaction attendue. Pour $h\ne 0$ : $f(a+h)-f(a)=(a+h{)}^2+b(a+h)+c-a^2-ba-c$ $=2ah+h^2+bh$ $=h(2a+b+h)$. Le taux vaut $2a+b+h$, qui tend vers $2a+b$ : $f\prime (a)=2a+b$. Alors $f\prime (-3)=-6+b=-2$ donne $b=4$, et $f(-3)=9-12+c=c-3=1$ donne $c=4$. Ainsi $f(x)=x^2+4x+4=(x+2{)}^2$.
3. Montrer que la tangente au point d’abscisse $a$ a pour équation $y=(2a+4)x-a^2+4$. Les tangentes qui passent par l’origine touchent la courbe aux points d’abscisses et (ordre croissant)
   Rédaction attendue. $f\prime (a)=2a+4$ et $f(a)=a^2+4a+4$. Tangente : $y=(2a+4)(x-a)+a^2+4a+4$ $=(2a+4)x-2a^2-4a+a^2+4a+4$ $=(2a+4)x-a^2+4$. Elle passe par $O(0;0)$ si et seulement si $0=-a^2+4$, soit $a=-2$ ou $a=2$. En $2$ : $y=8x$. En $-2$ : $y=0$, l’axe des abscisses, tangente au sommet $(-2;0)$ de la parabole.

Donner l’approximation affine demandée.

1. $f(2)=5$ et $f\prime (2)=-3$ : $f(2,1)\approx$
   $h=0,1$ : $f(2,1)\approx 5+0,1\times (-3)$ $=5-0,3=4,7$.
2. $f(-1)=0,5$ et $f\prime (-1)=4$ : $f(-0,98)\approx$
   $-0,98=-1+0,02$, donc $h=0,02$ : $f(-0,98)\approx 0,5+0,02\times 4$ $=0,58$.
3. $f(10)=1$ et $f\prime (10)=0,2$ : $f(9,7)\approx$
   $h=-0,3$ (on est à gauche de $10$) : $f(9,7)\approx 1+(-0,3)\times 0,2$ $=1-0,06=0,94$.
4. Avec $g(x)={\displaystyle \frac{1}{x}}$, $g(2)=0,5$ et $g\prime (2)=-0,25$ : ${\displaystyle \frac{1}{2,04}}\approx$
   ${\displaystyle \frac{1}{2,04}}=g(2+0,04)$ : $\approx 0,5+0,04\times (-0,25)$ $=0,5-0,01=0,49$. Valeur exacte : $0,4901\dots$

Calculer par la définition, puis interpréter.

1. Un objet est à la position $x(t)=5t^2+t$ (en m) à l’instant $t$ (en s). Sa vitesse instantanée à $t=1$ s est m/s
   $x(1)=6$ et $x(1+h)=5(1+2h+h^2)+1+h$ $=6+11h+5h^2$. Taux : $11+5h$, qui tend vers $11$ : $x\prime (1)=11$ m/s.
2. Le coût de production de $q$ objets est $C(q)=q^2+10q+50$ euros. Le coût marginal pour $q=20$ est €
   $C(20+h)-C(20)=(400+40h+h^2)+(200+10h)+50-650$ $=50h+h^2$. Le taux vaut $50+h$, qui tend vers $50$ : $C\prime (20)=50$ €.
3. Avec ce coût, la fabrication du ${21}^{\text{e}}$ objet coûte $C(21)-C(20)=$ €
   $C(21)=441+210+50=701$ et $C(20)=650$ : $C(21)-C(20)=51$ €. C’est le taux pour $h=1$, soit $50+1$ : le coût marginal ($50$ €) en est une bonne approximation.

Soit $r$ la fonction racine carrée, $r(x)=\sqrt{x}$ sur $[0;+\infty [$. Une fraction s’écrit avec « / ».

1. Démontrer que, pour $h\ne 0$ et $h>-16$, ${\displaystyle \frac{r(16+h)-r(16)}{h}}={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{16+h}+4}}$ (multiplier le numérateur et le dénominateur par $\sqrt{16+h}+4$). En déduire $r\prime (16)=$
   Rédaction attendue. $r(16)=4$. On multiplie le numérateur et le dénominateur de ${\displaystyle \frac{\sqrt{16+h}-4}{h}}$ par la quantité conjuguée $\sqrt{16+h}+4$, qui n’est pas nulle : ${\displaystyle \frac{(\sqrt{16+h}-4)(\sqrt{16+h}+4)}{h(\sqrt{16+h}+4)}}$ $={\displaystyle \frac{(16+h)-16}{h(\sqrt{16+h}+4)}}$ $={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{16+h}+4}}$. Quand $h$ tend vers $0$, $\sqrt{16+h}$ tend vers $4$ : le taux tend vers ${\displaystyle \frac{1}{8}}$, donc $r\prime (16)={\displaystyle \frac{1}{8}}$.
2. La tangente au point d’abscisse $16$ a pour équation $y={\displaystyle \frac{1}{8}}x+p$ avec $p=$
   $y={\displaystyle \frac{1}{8}}(x-16)+4$ $={\displaystyle \frac{1}{8}}x-2+4$ $={\displaystyle \frac{1}{8}}x+2$.
3. Approximation affine : $\sqrt{16,3}\approx$
   $h=0,3$ : $\sqrt{16,3}\approx 4+{\displaystyle \frac{0,3}{8}}$ $=4+0,0375=4,0375$ (valeur exacte : $4,0373\dots$).
4. Approximation affine : $\sqrt{15,6}\approx$
   $h=-0,4$ : $\sqrt{15,6}\approx 4-{\displaystyle \frac{0,4}{8}}$ $=4-0,05=3,95$ (valeur exacte : $3,9496\dots$). L’erreur est faible car $h$ est petit devant $16$.

On étudie l’erreur de l’approximation affine pour la fonction carré $f(x)=x^2$ (on rappelle que $f\prime (a)=2a$).

1. Démontrer que $f(a+h)-(f(a)+hf\prime (a))=h^2$. Approximation affine de $3,{02}^2$ :
   Rédaction attendue. $f(a+h)-(f(a)+hf\prime (a))=(a+h{)}^2-a^2-2ah$ $=a^2+2ah+h^2-a^2-2ah=h^2$. Pour $3,{02}^2$ : $a=3$, $h=0,02$, $f(3)=9$ et $f\prime (3)=6$, donc $3,{02}^2\approx 9+0,02\times 6=9,12$.
2. L’erreur commise sur $3,{02}^2$ vaut exactement
   D’après la question précédente, l’erreur vaut $h^2=0,{02}^2=0,0004$. En effet $3,{02}^2=9,1204$.
3. L’erreur est inférieure à $0,01$ exactement quand $|h|$ est inférieur à
   $h^2<0,01⟺|h|<0,1$ : l’approximation affine de $(a+h{)}^2$ est précise au centième dès que $h$ est entre $-0,1$ et $0,1$, quel que soit $a$.