Lycée · 1ʳᵉ · Spécialité Mathématiques

Dérivation — nombre dérivé et tangente

Taux de variation, limite et tangente à une courbe (programme de 1re Spécialité)

Ce chapitre définit le nombre dérivé comme limite d'un taux de variation et l'interprète comme pente de la tangente : il faut savoir le calculer par la définition, le lire sur un graphique, écrire une équation de tangente et reconnaître une fonction non dérivable.

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Définitions

Taux de variation de $f$ entre $a$ et $a + h$ : $\frac{f (a + h) - f (a)}{h}$ , pente de la sécante passant par les points d'abscisses $a$ et $a + h$ .
Nombre dérivé : $f^{'} (a) = lim_{h \to 0} \frac{f (a + h) - f (a)}{h}$ , si cette limite existe et est finie. On dit alors que $f$ est dérivable en $a$ .
Tangente en $A (a; f (a))$ : droite passant par $A$ de coefficient directeur $f^{'} (a)$ .

Formules

Équation de la tangente en $a$ : $y = f^{'} (a) (x - a) + f (a)$ .
Approximation affine pour $h$ proche de 0 : $f (a + h) \approx f (a) + h f^{'} (a)$ .
Nombres dérivés usuels : $k \to 0$ ; $m x + p \to m$ ; $x^{2} \to 2 a$ ; $x^{3} \to 3 a^{2}$ ; $\frac{1}{x} \to - \frac{1}{a^{2}}$ ( $a \neq 0$ ) ; $\sqrt{x} \to \frac{1}{2 \sqrt{a}}$ ( $a > 0$ ).

Méthodes

Nombre dérivé par la définition : calculer $f (a)$ et $f (a + h)$ , développer, factoriser $f (a + h) - f (a)$ par $h$ , simplifier, puis faire tendre $h$ vers 0. Pour $\sqrt{x}$ , multiplier par la quantité conjuguée ; pour $\frac{1}{x}$ , réduire au même dénominateur.
Équation de tangente : $f (a)$ , puis $f^{'} (a)$ , puis $y = f^{'} (a) (x - a) + f (a)$ ; vérifier que $x = a$ redonne $f (a)$ .
Lecture graphique : $f (a)$ = ordonnée du point de contact ; $f^{'} (a)$ = pente de la tangente, calculée avec deux points de cette droite.
Tangente de pente donnée $m$ : résoudre $f^{'} (a) = m$ ; tangente passant par un point donné : écrire la tangente en $a$ et imposer que le point vérifie l'équation.

Interprétations

Physique : position $d (t)$ → le taux de variation est la vitesse moyenne, $d^{'} (t)$ la vitesse instantanée.
Économie : coût $C (q)$ → $C^{'} (q)$ est le coût marginal, proche du coût de l'unité supplémentaire.
Signe : $f^{'} (a) > 0$ tangente qui monte, $f^{'} (a) < 0$ tangente qui descend, $f^{'} (a) = 0$ tangente horizontale.

Pièges

Ne pas laisser $h$ dans $f^{'} (a)$ : le nombre dérivé est une limite, un nombre fixe.
Taux de variation entre $a$ et $b$ $\neq$ nombre dérivé : l'un est une pente moyenne, l'autre une pente en un point.
$f^{'} (a) = 0$ n'implique pas $f (a) = 0$ .
Écrire $y = f^{'} (a) (x - a) + f (a)$ en entier, pas seulement $y = f^{'} (a) x$ .
$| x |$ n'est pas dérivable en 0 (taux $\pm 1$ selon le signe de $h$ ) ; $\sqrt{x}$ non plus (taux $\frac{1}{\sqrt{h}}$ infini, tangente verticale). Être définie en $a$ ne suffit pas.

L'essentiel

Le nombre dérivé $f^{'} (a)$ est la limite du taux de variation $\frac{f (a + h) - f (a)}{h}$ quand $h$ tend vers 0.
Graphiquement, $f^{'} (a)$ est le coefficient directeur de la tangente au point d'abscisse $a$ .
Équation de la tangente en $a$ : $y = f^{'} (a) (x - a) + f (a)$ .
Pour $h$ petit, $f (a + h) \approx f (a) + h f^{'} (a)$ : la courbe se confond presque avec sa tangente.
$x^{2} \to 2 a$ , $x^{3} \to 3 a^{2}$ , $\frac{1}{x} \to - \frac{1}{a^{2}}$ , $\sqrt{x} \to \frac{1}{2 \sqrt{a}}$ ; $| x |$ et $\sqrt{x}$ ne sont pas dérivables en 0.

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