Ressources · 1ʳᵉ · Spécialité Mathématiques

Fiche de révision : nombre dérivé et tangente

Taux de variation et sécante, nombre dérivé comme limite du taux de variation, lecture graphique, équation de la tangente, approximation affine ; la racine carrée n’est pas dérivable en 0.

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benprofparticulier.frSpécialité Mathématiques · Première

Nombre dérivé et tangente

Fiche méthode

(Spécialité maths 1re · Analyse · Dérivation)

La démarche face à un nombre dérivé

1. Je repère ce qu’on me demande : un taux entre deux réels, un nombre dérivé, une lecture sur un graphique, une tangente ou une valeur approchée.

2. Je calcule les images utiles : $f (a)$ , puis $f (b)$ ou $f (a + h)$ développé.

3. Pour $f' (a)$ , je factorise $f (a + h) - f (a)$ par $h$ , je simplifie le taux, puis je fais tendre $h$ vers $0$ ; sur un graphique, je lis la pente de la tangente.

4. Je conclus par une phrase : « $f$ est dérivable en $a$ et $f' (a) = \dots$ », « la tangente a pour équation … », « $f (a + h) \approx \dots$ ».

Le réflexe — un nombre dérivé obtenu par la définition se termine toujours par « quand h tend vers 0, le taux tend vers … » : sans cette phrase, le résultat n’est pas justifié.

Cas 1 · Taux de variation

Réflexe — f(a) et f(b) séparément, puis (f(b) − f(a))/(b − a), dans le même ordre en haut et en bas.

Exemple. Questions types : « Calculer le taux de variation de $f$ entre … et … », « Calculer la vitesse moyenne ». Exemple : $f (x) = 2 x^{2} - 3$ entre $- 1$ et $2$ .

$f (- 1) = 2 \times 1 - 3 = - 1$ et $f (2) = 2 \times 4 - 3 = 5$ .

Taux : $\frac{f (2) - f (- 1)}{2 - (- 1)}$ $= \frac{5 - (- 1)}{3}$ $= \frac{6}{3} = 2$ .

La sécante qui joint les points d’abscisses $- 1$ et $2$ a pour coefficient directeur $2$ : elle monte.

Attention — un taux nul signifie seulement f(a) = f(b), pas que f est constante.

Cas 2 · Nombre dérivé par la définition

Réflexe — f(a), f(a + h) développé, différence factorisée par h, taux simplifié, puis h → 0.

Exemple. Questions types : « Montrer que le taux de variation de $f$ entre $a$ et $a + h$ vaut … ; en déduire $f' (a)$ ». Exemple : $f (x) = x^{2} + 4 x$ en $a = - 3$ .

$f (- 3) = 9 - 12 = - 3$ et $f (- 3 + h) = 9 - 6 h + h^{2} - 12 + 4 h$ $= - 3 - 2 h + h^{2}$ .

Pour $h \neq 0$ : $\frac{f (- 3 + h) - f (- 3)}{h} = \frac{- 2 h + h^{2}}{h} = - 2 + h$ .

Quand $h$ tend vers $0$ , $- 2 + h$ tend vers $- 2$ : $f$ est dérivable en $- 3$ et $f' (- 3) = - 2$ .

Attention — f′(a) ne contient jamais h ; inverse : même dénominateur ; racine : quantité conjuguée (approfondissement).

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Cas 3 · Lire f(a) et f′(a) sur un graphique

Réflexe — f(a) : ordonnée du point de contact ; f′(a) : pente de la tangente, avec deux de ses points.

Exemple. Questions types : « Lire $f (a)$ et $f' (a)$ », « Donner le signe de $f' (a)$ ». Exemple : la tangente au point $A (- 1; 4)$ passe par $B (1; - 2)$ .

$A$ est le point de contact : $f (- 1) = 4$ .

$f' (- 1)$ est le coefficient directeur de $(A B)$ : $\frac{- 2 - 4}{1 - (- 1)} = \frac{- 6}{2} = - 3$ .

La tangente descend : $f' (- 1) = - 3 < 0$ .

Attention — f′(a) = 0 (tangente horizontale) ne veut pas dire f(a) = 0.

Cas 4 · Équation de la tangente

Réflexe — f(a), f′(a), puis y = f′(a)(x − a) + f(a), réduite et contrôlée avec x = a.

Exemple. Questions types : « Déterminer l’équation réduite de la tangente au point d’abscisse $a$ ». Exemple : $f (x) = 3 x^{2} - x$ en $a = 1$ .

$f (1) = 3 - 1 = 2$ . Pour $h \neq 0$ : $f (1 + h) - f (1) = 3 (1 + 2 h + h^{2}) - (1 + h) - 2$ $= 5 h + 3 h^{2}$ , donc le taux vaut $5 + 3 h$ , qui tend vers $5$ : $f' (1) = 5$ .

Tangente : $y = 5 (x - 1) + 2$ , soit $y = 5 x - 3$ .

Contrôle : $x = 1$ donne $y = 2 = f (1)$ .

Attention — y = f′(a)x + f(a) oublie le −a : il faut y = f′(a)(x − a) + f(a).

Cas 5 · Approximation affine

Réflexe — écrire la valeur sous la forme f(a + h), a simple, h petit ; f(a + h) ≈ f(a) + h f′(a).

Exemple. Questions types : « En déduire une valeur approchée de … », « Estimer la vitesse ». Exemple : estimer $\sqrt{25, 5}$ , sachant que $r (x) = \sqrt{x}$ vérifie $r' (25) = \frac{1}{10}$ (quantité conjuguée).

$\sqrt{25, 5} = r (25 + 0, 5)$ : $a = 25$ et $h = 0, 5$ .

$r (25) = 5$ et $r' (25) = \frac{1}{10}$ .

$\sqrt{25, 5} \approx 5 + 0, 5 \times \frac{1}{10} = 5, 05$ .

Attention — c’est h qui multiplie f′(a) ; et l’on écrit ≈, pas =.

Les pièges

Écrire f′(a) = 2a + h : on a oublié de faire tendre h vers 0.
Remplacer h par 0 avant de simplifier : on obtient « 0/0 », qui ne veut rien dire.
Confondre le taux entre a et b (pente moyenne) et f′(a) (pente en un point).
Être définie en a ne suffit pas : √x est définie en 0 mais n’y est pas dérivable.
Avec a négatif, x − a devient x + |a| : en a = −3, on écrit (x + 3).
Approximation affine : h est négatif quand on estime une valeur à gauche de a.

Ce document est la propriété intellectuelle de Ben, professeur particulier (benprofparticulier.fr), protégée par le Code de la propriété intellectuelle (art. L. 111-1 et L. 122-4). Il est mis à disposition pour un usage personnel de révision. Toute reproduction, diffusion, mise en ligne ou revente, totale ou partielle, sans autorisation écrite est interdite et constitue une contrefaçon (art. L. 335-2).

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À propos de cette page

Cette fiche méthode donne la démarche face à un nombre dérivé, puis, pour chacun des cinq cas, les questions types et une réponse rédigée : calculer un taux de variation, un nombre dérivé par la définition, lire f(a) et f′(a) sur une tangente, écrire une équation de tangente, faire une approximation affine. Elle se termine par les pièges classiques.

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