Calcul de dérivées

1. a)$f\prime (x)=4\times 5x^4-3x^2+8=20x^4-3x^2+8$. (1)
2. b)$g\prime (x)=-{\displaystyle \frac{1}{x^2}}$, donc $g\prime \left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)=-{\displaystyle \frac{1}{\frac{1}{4}}}=-4$. (1)
3. c)$k\prime (x)={\displaystyle \frac{1}{2\sqrt{x}}}$, donc $k\prime (9)={\displaystyle \frac{1}{2\times 3}}={\displaystyle \frac{1}{6}}$. (1)

Repère — Les dérivées usuelles se récitent : (xⁿ)′ = n xⁿ⁻¹, (1/x)′ = −1/x², (√x)′ = 1/(2√x).

1. a)Soit $a>0$ et $h\ne 0$ avec $h>-a$, de sorte que $a+h>0$. ${\displaystyle \frac{1}{a+h}}-{\displaystyle \frac{1}{a}}={\displaystyle \frac{a-(a+h)}{a(a+h)}}={\displaystyle \frac{-h}{a(a+h)}}$. Le taux de variation de la fonction inverse entre $a$ et $a+h$ vaut donc $-{\displaystyle \frac{1}{a(a+h)}}$. Quand $h$ tend vers $0$, $a(a+h)$ tend vers $a^2\ne 0$, donc le taux tend vers $-{\displaystyle \frac{1}{a^2}}$ : la fonction inverse est dérivable en $a$ et son nombre dérivé vaut $-{\displaystyle \frac{1}{a^2}}$. (1)
2. b)Pour $h\ne 0$, le taux entre $0$ et $h$ vaut ${\displaystyle \frac{|h|-|0|}{h}}={\displaystyle \frac{|h|}{h}}$. Si $h>0$, il vaut ${\displaystyle \frac{h}{h}}=1$ ; si $h<0$, il vaut ${\displaystyle \frac{-h}{h}}=-1$. Quand $h$ tend vers $0$, le taux ne se rapproche donc pas d’un nombre unique : il n’a pas de limite, et $x\mapsto |x|$ n’est pas dérivable en $0$. (1)

Repère — Taux de variation : on simplifie par h avant de faire tendre h vers 0 ; pour |x|, on sépare h > 0 et h < 0.

1. a)$g=-7\times {\displaystyle \frac{1}{x}}$ : $g\prime (x)=-7\times (-{\displaystyle \frac{1}{x^2}})={\displaystyle \frac{7}{x^2}}$. (1)
2. b)Par somme : $h\prime (x)=2\times {\displaystyle \frac{1}{2\sqrt{x}}}+2x={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{x}}}+2x$. (1)
3. c)$m(x)=x^{-6}$, donc $m\prime (x)=-6x^{-7}=-{\displaystyle \frac{6}{x^7}}$. (1)

Repère — Un quotient à numérateur constant s’écrit k xⁿ avec n négatif : pas besoin de la formule du quotient.

1. a)$u(x)=3x-7$, $u\prime (x)=3$ ; $v(x)=x^2+2$, $v\prime (x)=2x$. Par la formule du produit : $f\prime (x)=3(x^2+2)+(3x-7)\times 2x$ $=3x^2+6+6x^2-14x=9x^2-14x+6$. (1)
2. b)Sur $]{\displaystyle \frac{1}{2}};+\infty [$, $2x-1>0$. $u(x)=x+6$, $u\prime (x)=1$ ; $v(x)=2x-1$, $v\prime (x)=2$. $g\prime (x)={\displaystyle \frac{1\times (2x-1)-(x+6)\times 2}{(2x-1{)}^2}}$ $={\displaystyle \frac{2x-1-2x-12}{(2x-1{)}^2}}=-{\displaystyle \frac{13}{(2x-1{)}^2}}$. (1)
3. c)$x^2+4x+5=(x+2{)}^2+1⩾1$ : le dénominateur ne s’annule pas sur $ℝ$, donc $h$ est dérivable sur $ℝ$. Avec $v(x)=x^2+4x+5$, $v\prime (x)=2x+4$ : $h\prime (x)=5\times (-{\displaystyle \frac{2x+4}{(x^2+4x+5{)}^2}})$ $=-{\displaystyle \frac{5(2x+4)}{(x^2+4x+5{)}^2}}$. (1)
4. d)$u(x)=1-x$, $u\prime (x)=-1$ ; $v(x)=\sqrt{x}$, $v\prime (x)={\displaystyle \frac{1}{2\sqrt{x}}}$. $k\prime (x)=-\sqrt{x}+{\displaystyle \frac{1-x}{2\sqrt{x}}}$. Comme $\sqrt{x}={\displaystyle \frac{2x}{2\sqrt{x}}}$ : $k\prime (x)={\displaystyle \frac{-2x+1-x}{2\sqrt{x}}}={\displaystyle \frac{1-3x}{2\sqrt{x}}}$. (1)

Repère — Avant un quotient, on justifie que le dénominateur ne s’annule pas (un carré plus une constante positive).

1. a)Le trinôme $x^2+x-6$ a pour discriminant $\Delta =1+24=25$ ; ses racines sont ${\displaystyle \frac{-1-5}{2}}=-3$ et ${\displaystyle \frac{-1+5}{2}}=2$. $f$ est un quotient de fonctions polynômes dérivables dont le dénominateur ne s’annule pas sur $]-\infty ;-3[$, sur $]-3;2[$ et sur $]2;+\infty [$ : $f$ est dérivable sur chacun de ces trois intervalles. (1)
2. b)$u(x)=3x-1$, $u\prime (x)=3$ ; $v(x)=x^2+x-6$, $v\prime (x)=2x+1$. Par la formule du quotient : $f\prime (x)={\displaystyle \frac{3(x^2+x-6)-(3x-1)(2x+1)}{(x^2+x-6{)}^2}}$ $={\displaystyle \frac{3x^2+3x-18-(6x^2+x-1)}{(x^2+x-6{)}^2}}$ $={\displaystyle \frac{-3x^2+2x-17}{(x^2+x-6{)}^2}}$. (1)
3. c)Le dénominateur est un carré non nul, donc strictement positif. Le numérateur $-3x^2+2x-17$ a pour discriminant $\Delta =4-204=-200<0$ : il garde le signe de son coefficient $-3$, il est strictement négatif. Donc $f\prime (x)<0$ sur chacun des trois intervalles. (1)
4. d)Sur $]0;+\infty [$, $2x+1>0$. $u(x)=\sqrt{x}$, $u\prime (x)={\displaystyle \frac{1}{2\sqrt{x}}}$ ; $v(x)=2x+1$, $v\prime (x)=2$. $g\prime (x)={\displaystyle \frac{\frac{2x+1}{2\sqrt{x}}-2\sqrt{x}}{(2x+1{)}^2}}$. Comme $2\sqrt{x}={\displaystyle \frac{4x}{2\sqrt{x}}}$ : $g\prime (x)={\displaystyle \frac{2x+1-4x}{2\sqrt{x}(2x+1{)}^2}}={\displaystyle \frac{1-2x}{2\sqrt{x}(2x+1{)}^2}}$. (1)

Repère — On cherche d’abord les valeurs interdites (dénominateur nul, racine carrée en 0), puis on dérive : les intervalles ne se réunissent pas.

1. a)Sur $]3;+\infty [$, $x-3>0$ : $f$ est un quotient de fonctions dérivables dont le dénominateur ne s’annule pas. $u(x)=x^2-5$, $u\prime (x)=2x$ ; $v(x)=x-3$, $v\prime (x)=1$. $f\prime (x)={\displaystyle \frac{2x(x-3)-(x^2-5)\times 1}{(x-3{)}^2}}$ $={\displaystyle \frac{2x^2-6x-x^2+5}{(x-3{)}^2}}={\displaystyle \frac{x^2-6x+5}{(x-3{)}^2}}$. (1)
2. b)$f\prime (4)={\displaystyle \frac{16-24+5}{1^2}}=-3$. (1)
3. c)Le dénominateur ne s’annule pas : $f\prime (x)=0⟺x^2-6x+5=0$. $\Delta =36-20=16$, d’où $x={\displaystyle \frac{6-4}{2}}=1$ ou $x={\displaystyle \frac{6+4}{2}}=5$. Seul $5$ appartient à $]3;+\infty [$ : $𝒮=\{5\}$. (1)
4. d)Pour $x>3$, $x^2>9>5$, donc $x^2-5>0$ et $x-3>0$ : $f(x)>0$ ne s’annule pas. $g={\displaystyle \frac{1}{f}}$ est donc dérivable sur $]3;+\infty [$ et $g\prime =-{\displaystyle \frac{f\prime }{f^2}}$. Avec $f(4)={\displaystyle \frac{16-5}{1}}=11$ et $f\prime (4)=-3$ : $g\prime (4)=-{\displaystyle \frac{-3}{{11}^2}}={\displaystyle \frac{3}{121}}$. (1)

Repère — Un quotient s’annule quand son numérateur s’annule, à condition que la valeur soit dans l’intervalle d’étude.