Lycée · 1ʳᵉ · Spécialité Mathématiques
Dérivation — fonctions dérivées et applications
Fonctions dérivées des fonctions usuelles, opérations sur les dérivées, variations et extremums — programme de 1re spécialité maths
À propos de cette page
Calculatrice interdite · Tous les calculs doivent figurer sur la copie. Les résultats seront donnés sous la forme la plus simple possible.
Devoir surveillé de fin de chapitre, tout en niveau difficile. Travaille seul et sans aide, puis vérifie tes réponses avec le corrigé détaillé dépliable en bas de page.
Exercice 1 — Calcul de dérivées
/ 6 pts- Calculer la dérivée de $f(x) = 4x^3 - 7x^2 + 5x - 2$ et donner $f'(1)$.
- Calculer la dérivée de $g(x) = (x^2 - 3)(2x + 1)$ en appliquant la formule du produit, puis simplifier.
- Calculer la dérivée de $h(x) = \dfrac{x+1}{2x-3}$ ($x \neq \frac{3}{2}$).
- Calculer la dérivée de $k(x) = \sqrt{3x + 2}$ pour $x \gt -\frac{2}{3}$.
Exercice 2 — Tableau de variations d'une fonction polynôme
/ 5 pts- Soit $f(x) = 2x^3 - 3x^2 - 12x + 5$ sur $\mathbb{R}$.
- 1. Calculer $f'(x)$ et factoriser.
- 2. Résoudre $f'(x) = 0$ et dresser le tableau de signe de $f'$.
- 3. Dresser le tableau de variations de $f$ avec les valeurs de $f$ aux points critiques.
Exercice 3 — Équations de tangentes
/ 4 pts- Soit $g(x) = x^3 - 6x + 4$.
- 1. Écrire l'équation de la tangente à la courbe de $g$ au point d'abscisse $x = 2$.
- 2. Déterminer les abscisses des points où la tangente est horizontale (pente nulle) et préciser la nature de ces points (extremum ou point d'inflexion).
Exercice 4 — Problème d'optimisation
/ 5 pts- Un producteur de boîtes de conserve fabrique des boîtes cylindriques de volume fixe $V = 500\pi$ cm³. Pour réduire les coûts, on veut minimiser la surface totale $S$ (en cm²) de la boîte (deux disques + cylindre latéral).
- On note $r$ le rayon de la base (cm) et $h$ la hauteur (cm).
- 1. À partir de la contrainte de volume $\pi r^2 h = 500\pi$, exprimer $h$ en fonction de $r$.
- 2. Écrire $S(r) = 2\pi r^2 + 2\pi r h$ en fonction de $r$ seulement (on peut simplifier par $2\pi$, étudier $s(r) = r^2 + r \cdot \frac{500}{r^2}= r^2 + \frac{500}{r}$).
- 3. Calculer $s'(r)$ et trouver la valeur de $r$ qui minimise $s$ pour $r \gt 0$.
- 4. Vérifier qu'il s'agit bien d'un minimum et donner la valeur de $h$ correspondante.
Corrigé détaillé — à n'ouvrir qu'après avoir rendu la copie
Exercice 1 — Calcul de dérivées
Corrigé :
1. $f'(x) = 12x^2 - 14x + 5$. $f'(1) = 12 - 14 + 5 = 3$.
2. $u = x^2-3$, $v=2x+1$, $u'=2x$, $v'=2$. $g'(x)=2x(2x+1)+(x^2-3)\cdot 2 = 4x^2+2x+2x^2-6 = 6x^2+2x-6$.
3. $u=x+1$, $v=2x-3$, $u'=1$, $v'=2$. $h'(x) = \frac{1\cdot(2x-3)-(x+1)\cdot 2}{(2x-3)^2} = \frac{2x-3-2x-2}{(2x-3)^2} = \frac{-5}{(2x-3)^2}$.
4. $u=3x+2$, $u'=3$. $k'(x)=\frac{3}{2\sqrt{3x+2}}$.
Exercice 2 — Tableau de variations d'une fonction polynôme
Corrigé :
1. $f'(x) = 6x^2 - 6x - 12 = 6(x^2 - x - 2) = 6(x-2)(x+1)$.
2. $f'(x) = 0 \Leftrightarrow x = 2$ ou $x = -1$. Tableau de signes : $f' \gt 0$ sur $]-\infty;-1[$, $f'\lt 0$ sur $]-1;2[$, $f'\gt 0$ sur $]2;+\infty[$.
3. $f(-1) = -2-3+12+5 = 12$ (maximum local) ; $f(2) = 16-12-24+5=-15$ (minimum local). $f$ croît jusqu'à $-1$, décroît jusqu'à $2$, puis croît.
Exercice 3 — Équations de tangentes
Corrigé :
1. $g(2) = 8-12+4=0$ ; $g'(x)=3x^2-6$ ; $g'(2)=12-6=6$. Tangente : $y=6(x-2)+0 = 6x-12$.
2. $g'(x)=0 \Leftrightarrow 3x^2=6 \Leftrightarrow x^2=2 \Leftrightarrow x=\sqrt{2}$ ou $x=-\sqrt{2}$.
En $x=-\sqrt{2}$ : $g'$ passe de $+$ à $-$ → maximum local ($g(-\sqrt{2})=4+4\sqrt{2}$).
En $x=\sqrt{2}$ : $g'$ passe de $-$ à $+$ → minimum local ($g(\sqrt{2})=4-4\sqrt{2}$).
Exercice 4 — Problème d'optimisation
Corrigé :
1. $\pi r^2 h = 500\pi \Rightarrow h = \frac{500}{r^2}$.
2. $s(r) = r^2 + \frac{500}{r}$ (on a divisé par $2\pi$, ce qui ne change pas l'extremum).
3. $s'(r) = 2r - \frac{500}{r^2}$. $s'(r)=0 \Leftrightarrow 2r = \frac{500}{r^2} \Leftrightarrow r^3 = 250 \Leftrightarrow r = \sqrt[3]{250} \approx 6{,}3$ cm.
4. $s'(r) \lt 0$ pour $r \lt \sqrt[3]{250}$ et $s'(r)\gt 0$ pour $r \gt \sqrt[3]{250}$ → minimum. $h = \frac{500}{(\sqrt[3]{250})^2} = \frac{500}{250^{2/3}} = 2\sqrt[3]{250} \approx 12{,}6$ cm (soit $h = 2r$, la boîte optimale est telle que hauteur = diamètre).
Ce contrôle de spécialité mathématiques 1ʳᵉ en bref
Un devoir surveillé type contrôle en classe sur « Dérivation — fonctions dérivées et applications » : 4 exercices, 60 minutes, noté sur 20. Le corrigé détaillé est dépliable sous le sujet.
- Exercice 1 — Calcul de dérivées/ 6 pts
- Exercice 2 — Tableau de variations d'une fonction polynôme/ 5 pts
- Exercice 3 — Équations de tangentes/ 4 pts
- Exercice 4 — Problème d'optimisation/ 5 pts
Notions évaluées
Dérivées des fonctions usuelles, Opérations sur les dérivées : somme et produit par une constante, Dérivée d'un produit et d'un quotient, Dérivée d'une fonction composée, Signe de la dérivée et sens de variation, Extremums locaux et globaux.
Pour préparer ce contrôle
- Relire le cours.
- Refaire les exercices corrigés et les problèmes.
- Se tester avec le QCM (36 questions).
- Faire ce sujet en conditions réelles — 60 min, sans le cours — puis se corriger et noter les points à revoir.
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Questions fréquentes sur ce sujet
- Combien de temps dure ce contrôle sur « Dérivation — fonctions dérivées et applications » ?
- 60 minutes pour 4 exercices notés sur 20. Prévois le double si tu enchaînes avec la correction.
- Le corrigé est-il fourni ?
- Oui : le corrigé détaillé se déplie sous le sujet, à n'ouvrir qu'après avoir rendu la copie.
- Ce sujet peut-il servir de DS, de contrôle ou d'interrogation ?
- Oui : c'est un devoir surveillé complet de 60 minutes. Pour une interrogation courte, garde un ou deux exercices ; pour un DS ou un contrôle de fin de chapitre, fais le sujet entier en temps limité.
- Ce sujet suit-il le programme de spécialité mathématiques de première ?
- Oui : il évalue uniquement les notions du chapitre « Dérivation — fonctions dérivées et applications » du programme officiel de spécialité mathématiques en première, soit Dérivées des fonctions usuelles, Opérations sur les dérivées : somme et produit par une constante, Dérivée d'un produit et d'un quotient, Dérivée d'une fonction composée.
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