Devoir surveillé : données, probabilités, proportionnalité et programmation

1. a)Total 6e A : $8+5+12=25$. Bus 6e B : $26-10-3=13$. Totaux : à pied $8+10=18$, vélo $5+3=8$, bus $12+13=25$, total général $25+26=51$ (vérification : $18+8+25=51$). (1 pt : 0,5 pour les deux cases des lignes + 0,5 pour la ligne des totaux) (1)
2. b)Ceux qui ne viennent pas en bus viennent à pied ou à vélo : $18+8=26$ élèves (ou $51-25=26$). (1 pt : 0,5 tri + 0,5 calcul) (1)
3. c)La 6e A compte 25 élèves, tous ont la même chance d'être choisis, et 12 viennent en bus : la probabilité est ${\displaystyle \frac{12}{25}}$. (1 pt : 0,5 bon effectif total + 0,5 fraction) (1)
4. d)Il y a 51 élèves dont 18 viennent à pied : la probabilité est ${\displaystyle \frac{18}{51}}$, que l'on peut simplifier en ${\displaystyle \frac{6}{17}}$. (1 pt : 0,5 + 0,5) (1)

Piège — le dénominateur d'une probabilité est le nombre d'issues possibles du tirage : 25 si l'on choisit dans la 6e A seulement, 51 si l'on choisit parmi tous les élèves.

1. a)$3+5+2=10$ jetons. Chaque jeton a la même chance d'être tiré, mais les couleurs n'ont pas le même nombre de jetons : il y a plus de chances de tirer un bleu qu'un vert. Les couleurs ne sont pas équiprobables. (1 pt : 0,5 total + 0,5 justification) (1)
2. b)5 jetons bleus sur 10 : $P={\displaystyle \frac{5}{10}}={\displaystyle \frac{1}{2}}$. (1 pt) (1)
3. c)Ne pas tirer un rouge, c'est tirer un bleu ou un vert : $5+2=7$ jetons sur 10, donc $P={\displaystyle \frac{7}{10}}$. (1 pt : 0,5 dénombrement + 0,5 fraction) (1)
4. d)Aucun jeton n'est jaune : la probabilité est 0, l'événement est impossible. Tous les jetons sont rouges, bleus ou verts : la probabilité est 1, l'événement est certain. (1 pt : 0,5 + 0,5) (1)

Méthode — sur l'échelle des probabilités, un événement impossible est placé à 0, un événement certain à 1, et tous les autres entre les deux.

1. a)Passage à l'unité : $200÷4=50$ g par personne. Pour 6 personnes : $6\times 50=300$ g ; pour 10 personnes : $10\times 50=500$ g. (1 pt : 0,5 par réponse) (1)
2. b)12 personnes, c'est 3 fois 4 personnes : $3\times 50=150$ cL, soit 1,5 L. (1 pt : 0,5 calcul + 0,5 conversion) (1)
3. c)Pour 2 personnes, il faut $3÷2=1,5$ œuf, donc pour 6 personnes $3+1,5=4,5$ œufs. On ne peut pas casser un demi-œuf : on en met 4 ou 5 (par exemple 4 gros œufs). (1 pt : 0,5 calcul + 0,5 interprétation) (1)
4. d)Chaque personne demande 50 g de farine : $700÷50=14$ personnes. (1 pt : 0,5 + 0,5) (1)

Astuce — le passage à l'unité (la quantité pour 1 personne) permet de traiter tous les cas, même quand le nombre cherché n'est pas un multiple simple du nombre donné.

1. a)Le lutin trace 4 côtés de 60 pas, en tournant de 90° (un angle droit) à chaque coin : 4 côtés égaux et 4 angles droits, c'est un carré de 60 pas de côté. (1 pt : 0,5 carré + 0,5 justification) (1)
2. b)Le bloc « avancer de 60 pas » est exécuté 4 fois : $4\times 60=240$ pas. (1 pt) (1)
3. c)Il faut « répéter 3 fois » (3 côtés) et « tourner de 120 degrés », car le lutin doit faire un tour complet en 3 rotations : $360÷3=120$. Le bloc « avancer de 60 pas » ne change pas. (1 pt : 0,5 + 0,5) (1)
4. d)Un carré a 4 côtés égaux : $360÷4=90$. On remplace 60 par 90. (1 pt : 0,5 + 0,5) (1)

Erreur fréquente — tourner de 60° pour un triangle équilatéral sous prétexte que ses angles mesurent 60° : le lutin tourne de l'angle qui complète le coin, et la somme de ses rotations fait 360°.

1. a)Le point d'ordonnée 15 a pour abscisse 6 : on obtient 6 kg de pommes pour 15 €. (1 pt) (1)
2. b)On calcule prix ÷ masse : $2,5÷1=5÷2=10÷4=15÷6=2,5$. Le quotient est toujours le même : le prix est proportionnel à la masse, de coefficient 2,5 (1 kg coûte 2,50 €). (1 pt : 0,5 vérification + 0,5 coefficient) (1)
3. c)$9\times 2,5=22,5$ : 9 kg coûtent 22,50 €. (1 pt) (1)
4. d)$30÷2,5=12$ (ou : 30 € c'est 2 fois 15 €, donc $2\times 6=12$ kg). On peut acheter 12 kg. (1 pt : 0,5 + 0,5) (1)

Méthode — pour lire une valeur, pars de l'axe où se trouve la donnée (ici le prix, sur l'axe vertical), rejoins le point puis descends jusqu'à l'autre axe.

1. a)Les 8 secteurs sont de même taille : situation d'équiprobabilité. $P(\text{peluche})={\displaystyle \frac{1}{8}}$ et $P(\text{bonbon})={\displaystyle \frac{3}{8}}$. (1 pt : 0,5 + 0,5) (1)
2. b)Fréquence : ${\displaystyle \frac{15}{120}}$. Or $15\times 8=120$, donc ${\displaystyle \frac{15}{120}}={\displaystyle \frac{1}{8}}$ : la fréquence observée est égale à la probabilité (ce n'est pas toujours le cas, mais sur beaucoup de parties elle s'en rapproche). (1 pt : 0,5 fréquence + 0,5 comparaison) (1)
3. c)$120\times 1,50=180$ : la kermesse a récolté 180 €. (1 pt) (1)
4. d)Avec 1 cm pour 5 parties, la barre « perdu » mesurerait $58÷5=11,6$ cm : trop haute. Avec 1 cm pour 10 parties, la plus haute barre mesure 5,8 cm, ce qui convient ; la barre « bonbon » mesure alors $47÷10=4,7$ cm. (1 pt : 0,5 refus justifié + 0,5 nouvelle échelle et hauteur) (1)
5. e)Non : la roue ne se souvient pas des tours précédents. À chaque tour, la probabilité de perdre reste ${\displaystyle \frac{4}{8}}={\displaystyle \frac{1}{2}}$ ; gagner est possible, mais pas certain. (1 pt : 0,5 + 0,5) (1)

Piège — une série de pertes ne rend pas un gain « obligatoire » : chaque tour est une nouvelle expérience, avec les mêmes probabilités que les précédents.

1. a)Zoé a tort : le dé est truqué, les faces ne sont pas équiprobables. La face 6 a une probabilité d'environ ${\displaystyle \frac{1}{2}}$, bien plus que ${\displaystyle \frac{1}{6}}$ ; on ne peut pas calculer en comptant les faces. (1 pt : 0,5 + 0,5) (1)
2. b)Adam a raison : un cahier coûte $4,20÷3=1,40$ € dans le premier cas et $7÷5=1,40$ € dans le second. Le prix d'un cahier est le même : coefficient 1,40. (1 pt : 0,5 par calcul) (1)
3. c)Chloé a tort : un quart de 80, c'est $80÷4=20$ réponses, et non 25. (1 pt : 0,5 + 0,5) (1)
4. d)Yanis a raison : après 6 rotations de 60°, le lutin a tourné de $6\times 60=360$ degrés (un tour complet) ; il revient à son point de départ après 6 côtés égaux : c'est un hexagone régulier. (1 pt : 0,5 + 0,5) (1)

Erreur fréquente — compter les issues pour calculer une probabilité n'est valable que si elles ont toutes la même chance : un dé truqué ou une roue à secteurs inégaux demande un autre raisonnement.

1. a)1 cm sur le plan représente 500 cm = 5 m en réalité. $9\times 5=45$ : la cour mesure 45 m. (1 pt : 0,5 conversion + 0,5 résultat) (1)
2. b)30 m = 3 000 cm et $3000÷500=6$ : le gymnase mesure 6 cm sur le plan. (1 pt : 0,5 + 0,5) (1)
3. c)Le script trace un rectangle de côtés 80 pas et 50 pas, soit 8 cm et 5 cm sur le plan, c'est-à-dire $8\times 5=40$ m et $5\times 5=25$ m en réalité. Périmètre réel : $2\times (40+25)=130$ m. (1 pt : 0,5 dimensions réelles + 0,5 périmètre) (1)
4. d)2 cm représentent 3 000 cm, donc 1 cm représente $3000÷2=1500$ cm. L'échelle est ${\displaystyle \frac{1}{1500}}$. (1 pt : 0,5 même unité + 0,5 échelle) (1)

Méthode — avec une échelle, on convertit d'abord les longueurs dans la même unité (souvent le cm), puis on multiplie ou on divise par le dénominateur de l'échelle.

1. a)Le lutin trace 5 côtés de même longueur et tourne de 72° à chaque coin ; $5\times 72=360$, il fait un tour complet et revient au départ : c'est un polygone régulier à 5 côtés, un pentagone régulier. (1 pt : 0,5 figure + 0,5 justification) (1)
2. b)Il dit $40\times 5=200$. C'est la longueur totale tracée, 5 côtés de 40 pas : le périmètre du pentagone. (1 pt : 0,5 + 0,5) (1)
3. c)$25\times 5=125$ et $70\times 5=350$ (et 200 pour 40). On passe toujours de la première ligne à la seconde en multipliant par 5 : c'est un tableau de proportionnalité de coefficient 5. (1 pt : 0,5 valeurs + 0,5 justification) (1)
4. d)$450÷5=90$ : il faut taper 90. (1 pt) (1)

Astuce — dans un polygone régulier, le périmètre est proportionnel à la longueur du côté : le coefficient est le nombre de côtés.

1. a)Le demi-disque représente les 60 élèves. Football : $60÷2=30$ ; basket : $60÷4=15$ ; natation : $60-30-15=15$. (1 pt : 0,5 si deux sont justes) (1)
2. b)15 élèves sur 60 : $P={\displaystyle \frac{15}{60}}={\displaystyle \frac{1}{4}}$. (1 pt) (1)
3. c)Le basket représente un quart des élèves : $80÷4=20$ élèves. (1 pt : 0,5 proportion + 0,5 calcul) (1)

Piège — dans un diagramme semi-circulaire, c'est le demi-disque, et non le disque entier, qui représente l'effectif total.

1. a)Un tiers de 12 : $12÷3=4$ jetons rouges (et 8 bleus). Vérification : ${\displaystyle \frac{4}{12}}={\displaystyle \frac{1}{3}}$. (1 pt : 0,5 + 0,5) (1)
2. b)Les 4 rouges doivent représenter un quart des jetons : il faut $4\times 4=16$ jetons en tout, donc ajouter $16-12=4$ jetons verts. (1 pt : 0,5 total + 0,5 réponse) (1)
3. c)Il faut plus de rouges que de bleus, donc au moins 7 rouges (6 et 6 donnent la même chance), et au moins 1 bleu pour que ce ne soit pas certain, donc au plus 11 rouges. Solutions : 7 rouges et 5 bleus, 8 et 4, 9 et 3, 10 et 2, 11 et 1 : 5 compositions. (1 pt : 0,5 pour les bornes + 0,5 liste complète) (1)
4. d)Il a tort : 20 rouges correspondent à la probabilité ${\displaystyle \frac{1}{3}}$ (un tiers de 60), mais une fréquence varie d'une série à l'autre. Obtenir 26 rouges (${\displaystyle \frac{26}{60}}$) n'a rien d'impossible ; pour se faire une idée, il faudrait beaucoup plus de tirages, la fréquence se rapprochant alors de ${\displaystyle \frac{1}{3}}$. (1 pt : 0,5 fréquence ≠ probabilité + 0,5 argument du grand nombre de tirages) (1)

Méthode — pour une recherche « toutes les solutions », fixe d'abord les limites (ici au moins 7 rouges, au plus 11), puis écris la liste complète dans l'ordre pour n'en oublier aucune.

1. a)Le calcul est juste, mais l'unité est celle de la carte : $350000$ cm $=3500$ m $=3,5$ km. Les refuges sont à 3,5 km. (1 pt : 0,5 erreur d'unité + 0,5 conversion) (1)
2. b)Ligne 2 : 60 min pour 4 km, donc $60÷4=15$ min pour 1 km (Max a confondu avec les 4 km). Ligne 3 : $3,5\times 15=52,5$ min, soit 52 min 30 s. (1 pt : 0,5 + 0,5) (1)
3. c)Sur une carte à ${\displaystyle \frac{1}{50000}}$, 1 cm représente 50 000 cm, deux fois plus qu'à ${\displaystyle \frac{1}{25000}}$ : les distances sur la carte sont donc deux fois plus petites. $350000÷50000=7$ : les refuges seraient à 7 cm, pas 28. (1 pt : 0,5 raisonnement + 0,5 résultat) (1)
4. d)9 h 10 min + 52 min 30 s = 9 h 62 min 30 s = 10 h 2 min 30 s. Max arrive à 10 h 02 min 30 s. (1 pt : 0,5 addition + 0,5 conversion des minutes) (1)

Erreur fréquente — oublier que le calcul avec l'échelle donne un résultat dans l'unité de la carte : 14 cm × 25 000 donne des centimètres, qu'il faut ensuite convertir en km.

1. a)Le lutin tourne de $360÷8=45$ degrés à chaque coin et trace 8 côtés de 30 pas : c'est un octogone régulier (polygone régulier à 8 côtés). Longueur : $8\times 30=240$ pas. (1 pt : 0,5 figure + 0,5 longueur) (1)
2. b)Il faut que 360 soit divisible par la réponse : 3 (120°), 4 (90°), 5 (72°), 6 (60°), 8 (45°), 9 (40°), 10 (36°) et 12 (30°) conviennent ; 7 et 11 ne conviennent pas, car 360 n'est pas divisible par 7 ni par 11. (1 pt : 0,5 si une seule valeur manque, 1 pour la liste complète justifiée) (1)
3. c)La longueur vaut toujours $30\times$ réponse : elle est proportionnelle au nombre de côtés (coefficient 30). L'angle ne l'est pas : pour 3 côtés il vaut 120°, pour 6 côtés 60° ; quand le nombre de côtés double, l'angle est divisé par 2 au lieu de doubler. (1 pt : 0,5 + 0,5) (1)
4. d)Le lutin tourne de $180÷6=30$ degrés à chaque coin, soit $6\times 30=180$ degrés en tout : un demi-tour seulement. On voit une ligne brisée de 6 segments de 30 pas, en forme d'arc, qui ne se referme pas. Parti vers la droite, le lutin finit orienté vers la gauche. (1 pt : 0,5 figure non fermée + 0,5 direction finale) (1)

Astuce — pour savoir si une figure se referme, additionne toutes les rotations du lutin : il faut obtenir exactement un tour complet, 360°.

1. a)Élèves de 5e : $40-24=16$. 5e échecs : $16-9=7$. 6e échecs : $15-7=8$. 6e théâtre : $24-8=16$. Théâtre en tout : $40-15=25$ (vérification : $16+9=25$). (1 pt : 0,5 pour un ordre de calcul correct + 0,5 tableau complet juste) (1)
2. b)8 élèves de 6e font des échecs, sur 40 : $P={\displaystyle \frac{8}{40}}={\displaystyle \frac{1}{5}}$. (1 pt) (1)
3. c)On choisit seulement parmi les 25 élèves qui font du théâtre, dont 9 sont en 5e : $P={\displaystyle \frac{9}{25}}$. (1 pt : 0,5 bon effectif total 25 + 0,5 fraction) (1)
4. d)Pour 40 élèves, 8 ; pour 20 élèves (la moitié), 4 ; pour 60 élèves ($40+20$), $8+4=12$ élèves. (1 pt : 0,5 méthode + 0,5 résultat) (1)

Piège — quand on choisit « parmi ceux qui font du théâtre », le tirage ne se fait plus sur tout le club : le dénominateur devient l'effectif du théâtre, pas 40.

1. a)Faux : ${\displaystyle \frac{7}{10}}$ est la fréquence observée sur ces 10 lancers. Pour une pièce équilibrée, pile et face ont la même chance : la probabilité vaut ${\displaystyle \frac{1}{2}}$. (1 pt : 0,5 + 0,5) (1)
2. b)Vrai : 1 cm représente 100 000 cm, c'est-à-dire 1 000 m, soit 1 km. (1 pt : 0,5 + 0,5 conversion) (1)
3. c)Vrai : chaque effectif et l'effectif total sont multipliés par 2, donc chaque réponse représente la même fraction du total qu'avant ; chaque secteur garde la même part du disque. (1 pt : 0,5 + 0,5) (1)
4. d)Faux : au temps 0, la hauteur vaut 5 cm et non 0 ; de plus $10÷10=1$ alors que $20÷30$ ne vaut pas 1 : les quotients ne sont pas égaux. Monter régulièrement ne suffit pas pour être proportionnel. (1 pt : 0,5 + 0,5) (1)

Erreur fréquente — croire que deux grandeurs qui augmentent régulièrement sont proportionnelles : il faut un quotient constant, et donc 0 pour 0.