Ce cours de mathématiques en sixième sur « Initiation à la programmation » suit le programme officiel de mathématiques de sixième. Il présente les définitions, les propriétés et les méthodes essentielles, accompagnées d'exemples résolus pour bien comprendre. Au programme : Qu'est-ce qu'un algorithme ?, Instruction et séquence, Se repérer : nord, sud, est, ouest, Se déplacer sur un quadrillage. Chaque notion est expliquée pas à pas, puis mise en pratique grâce à des exercices interactifs, un QCM et une évaluation corrigée. Idéal pour réviser à son rythme, combler ses lacunes et progresser, en autonomie ou avec un professeur. Cours rédigé par un professeur particulier à Marseille pour aider les élèves de sixième à réussir en mathématiques.
Au programme
1 · Qu'est-ce qu'un algorithme ?
2 · Instruction et séquence
3 · Se repérer : nord, sud, est, ouest
4 · Se déplacer sur un quadrillage
5 · Découvrir Scratch : les blocs
6 · La boucle « répéter »
7 · Tracer un carré avec une boucle
8 · Tracer d'autres polygones réguliers
9 · Suivre et écrire un petit programme
1Qu'est-ce qu'un algorithme ?
Avant même de toucher un ordinateur, tu utilises déjà des algorithmes sans le savoir : une recette de cuisine, le trajet pour aller au collège, les étapes pour faire ses lacets… Tout cela est une suite d'actions à faire dans le bon ordre.
Définition. Un algorithme est une suite d'instructions, écrites dans un ordre précis, qui permet de résoudre un problème ou d'accomplir une tâche.
Une instruction est une seule action simple, comme « avance de 2 pas » ou « tourne à droite ». Pour qu'un algorithme fonctionne, chaque instruction doit être claire et il ne doit y avoir aucune ambiguïté.
Exemple — recette du chocolat chaud. 1) Verser le lait dans la casserole. 2) Chauffer le lait. 3) Ajouter le chocolat en poudre. 4) Remuer. 5) Verser dans la tasse. Si on inverse les étapes 2 et 5, le résultat n'est plus le même : l'ordre compte !
💡 Un ordinateur (ou le robot Scratch) fait exactement ce qu'on lui dit, ni plus ni moins. Il ne devine pas. Si l'algorithme est faux, le résultat sera faux.
⚠️ Un algorithme doit toujours se terminer : il a un début et une fin. Une recette qui dirait « remuer pour toujours » ne serait pas un bon algorithme.
2Instruction et séquence
Quand on met plusieurs instructions les unes après les autres, on obtient une séquence. Les instructions s'exécutent de haut en bas, une par une, dans l'ordre où elles sont écrites.
Définition. Une séquence est une liste d'instructions exécutées dans l'ordre, de la première à la dernière.
Lire une séquence
Voici une séquence donnée à un personnage placé sur une case :
Instruction 1 : avancer de 1 case
Instruction 2 : avancer de 1 case
Instruction 3 : tourner à droite
Instruction 4 : avancer de 1 case
Le personnage a donc avancé de 2 cases tout droit, puis a tourné, puis avancé encore 1 case.
⚠️ Changer l'ordre des instructions change le résultat. « Tourner puis avancer » n'amène pas au même endroit que « avancer puis tourner ».
💡 Pour vérifier une séquence, on la « déroule » : on suit chaque instruction l'une après l'autre avec le doigt, comme si on était le personnage.
3Se repérer : nord, sud, est, ouest
Pour donner des directions, on utilise les 4 points cardinaux. Sur une feuille ou un écran, on les place toujours de la même façon :
Nord = vers le haut ↑ · Sud = vers le bas ↓ Est = vers la droite → · Ouest = vers la gauche ←
💡 Moyen mnémotechnique : en tournant dans le sens des aiguilles d'une montre depuis le haut, on lit Nord, Est, Sud, Ouest → « Naturellement En Se Organisant ». Le plus simple reste : Nord = haut, et on tourne.
Exemple. Un pion regarde vers l'est. S'il tourne d'un quart de tour à droite, il regarde maintenant vers le sud. Encore un quart de tour à droite : vers l'ouest.
4Se déplacer sur un quadrillage
Un quadrillage est fait de cases (des petits carreaux). On peut y déplacer un personnage avec deux types d'instructions : avancer (d'un certain nombre de cases) et tourner (changer de direction).
Repérons une case : on donne d'abord sa colonne (lettre), puis sa ligne (chiffre), comme à la bataille navale. Le départ ci-dessous est la case B2.
Le triangle rouge montre que le personnage regarde vers l'est (la droite). On dit qu'il a une orientation.
À retenir. Pour décrire un déplacement sur un quadrillage, il faut connaître trois choses :
la case de départ (par ex. B2) ;
l'orientation de départ (vers où il regarde) ;
la suite d'instructions (avancer / tourner).
Exemple. Départ en B2, orienté vers l'est. Programme : « avancer de 1 case » → on est en C2. « tourner à gauche » (le personnage regarde maintenant le nord). « avancer de 1 case » → on est en C1.
⚠️ « Tourner à gauche » ou « tourner à droite » ne fait pas avancer : ça change seulement la direction. Pour bouger, il faut une instruction « avancer ».
5Découvrir Scratch : les blocs
Scratch est un logiciel gratuit pour apprendre à programmer. On y assemble des blocs colorés (comme des pièces de puzzle) au lieu d'écrire du texte. Un personnage, appelé lutin (souvent un chat), exécute les blocs.
Voici les blocs les plus utiles en 6e. Comme on ne montre pas les images, on les écrit en texte :
Bloc Scratch
Ce qu'il fait
avancer de 10 pas
Le lutin avance tout droit de 10 pas dans la direction où il regarde.
tourner ↻ de 90 degrés
Le lutin tourne sur place vers la droite (sens des aiguilles d'une montre).
tourner ↺ de 90 degrés
Le lutin tourne sur place vers la gauche.
stylo en position d'écriture
Le lutin laisse une trace quand il se déplace (il « dessine »).
relever le stylo
Le lutin se déplace sans laisser de trace.
répéter 4 fois …
Refait plusieurs fois les blocs placés à l'intérieur.
Le « pas » et le « degré ».
• Un pas est une petite unité de longueur sur l'écran (c'est l'unité d'avancée).
• Un degré (noté °) mesure un angle, c'est-à-dire « de combien » on tourne. Un tour complet = 360°.
💡 « tourner de 90 degrés » = faire un quart de tour (car 360 ÷ 4 = 90). C'est exactement l'angle d'un coin de carré, l'angle droit.
On tourne de…
C'est…
Fraction de tour
90°
un quart de tour
14 de tour
180°
un demi-tour
12 tour
270°
trois quarts de tour
34 de tour
360°
un tour complet
1 tour entier
6La boucle « répéter »
Imagine que tu doives écrire un programme pour avancer de 1 pas, cent fois. Écrire 100 blocs « avancer » serait très long ! La boucle sert exactement à ça : faire répéter des instructions sans les réécrire.
Définition. Une boucle « répéter N fois » exécute N fois de suite les instructions placées à l'intérieur.
Du programme long au programme court
Ces deux programmes font exactement la même chose :
Sans boucle (long)
Avec boucle (court)
avancer de 50 pas tourner de 90° avancer de 50 pas tourner de 90° avancer de 50 pas tourner de 90° avancer de 50 pas tourner de 90°
répéter 4 fois : avancer de 50 pas tourner de 90°
💡 La boucle rend le programme plus court et plus facile à lire. Pour savoir combien de fois une action est faite, on multiplie : 4 répétitions de « 2 blocs » = 8 actions au total.
Compter les actions d'une boucle
Dans « répéter 5 fois : avancer ; tourner », il y a :
nombre d'« avancer » = 5 ;
nombre de « tourner » = 5 ;
nombre total de blocs exécutés = 5 × 2 = 10.
⚠️ Attention à ce qui est dans la boucle (entre les bords) et ce qui est dehors. Seuls les blocs à l'intérieur sont répétés.
7Tracer un carré avec une boucle
Pour dessiner une figure, on baisse le stylo puis on fait avancer et tourner le lutin. Un carré a 4 côtés égaux et 4 angles droits (90°). On répète donc 4 fois : « avancer d'un côté, tourner de 90° ».
Programme du carré (côté 100).
baisser le stylo
répéter 4 fois :
avancer de 100 pas
tourner ↻ de 90°
On commence en bas à gauche, orienté vers l'est. À chaque coin, le lutin tourne de 90° puis repart : au bout de 4 répétitions, le carré est fermé et le lutin a fait un tour complet (4 × 90° = 360°).
💡 Vérification utile : la somme des angles tournés pour fermer une figure vaut toujours 360° (un tour complet). 4 angles de 90° → 4 × 90 = 360. ✔
⚠️ Si on oublie de baisser le stylo, le lutin se déplace bien… mais ne dessine rien !
8Tracer d'autres polygones réguliers
La même idée marche pour tous les polygones réguliers (tous les côtés égaux et tous les angles égaux) : un triangle équilatéral, un pentagone, un hexagone… On change seulement le nombre de répétitions et l'angle.
Règle d'or. Pour un polygone régulier à n côtés :
angle à tourner = 360°n
Figure
Nombre de côtés (n)
Angle = 360 ÷ n
Programme
Triangle équilatéral
3
120°
répéter 3 fois : avancer ; tourner 120°
Carré
4
90°
répéter 4 fois : avancer ; tourner 90°
Pentagone
5
72°
répéter 5 fois : avancer ; tourner 72°
Hexagone
6
60°
répéter 6 fois : avancer ; tourner 60°
Exemple — le triangle. 360 ÷ 3 = 120. Programme : baisser le stylo répéter 3 fois : avancer de 100 ; tourner ↻ de 120°.
⚠️ L'angle à tourner dans Scratch (l'angle « extérieur ») n'est pas l'angle du coin du polygone. Pour le triangle, le coin mesure 60°, mais on tourne de 120° (= 360 ÷ 3). On retient la formule 360n.
💡 Plus n est grand, plus l'angle est petit, et plus la figure ressemble à un cercle (par ex. répéter 36 fois : avancer 10 ; tourner 10°).
9Suivre et écrire un petit programme
En classe, on te demande souvent deux choses : (A) suivre un programme donné pour dire ce qu'il dessine ou où arrive le lutin, et (B) écrire un programme pour obtenir un résultat voulu.
A) Suivre un programme (le « dérouler »)
On exécute les blocs un par un, en notant à chaque fois la position et l'orientation. C'est comme jouer le rôle de l'ordinateur.
Exemple. Départ orienté vers l'est, stylo baissé. répéter 2 fois : avancer de 80 ; tourner ↻ de 90°. Déroulé : avance (1er côté) → tourne (regarde le sud) → avance (2e côté) → tourne (regarde l'ouest). On a dessiné un angle droit (un « L ») de deux côtés.
B) Écrire un programme
On se pose 3 questions : quelle figure ? → combien de côtés → quel angle (360 ÷ n) → combien de répétitions. Puis on n'oublie pas de baisser le stylo au début.
Méthode pas à pas pour dessiner une figure :
1) baisser le stylo ;
2) choisir la longueur d'un côté (ex. 100 pas) ;
3) calculer l'angle : 360 ÷ (nombre de côtés) ;
4) écrire « répéter (nombre de côtés) fois : avancer … ; tourner … » ;
5) dérouler dans sa tête pour vérifier.
🎓 Récap express : un algorithme = suite ordonnée d'instructions · une séquence s'exécute de haut en bas · nord=haut, sud=bas, est=droite, ouest=gauche · sur un quadrillage : départ + orientation + instructions · Scratch : avancer (pas), tourner (degrés), stylo · 90° = quart de tour · une boucle « répéter N fois » évite de recopier · pour un polygone régulier à n côtés, on tourne de 360°n · ne jamais oublier de baisser le stylo.