À propos de cette page
Ce cours de mathématiques en sixième sur « La proportionnalité » suit le programme officiel de mathématiques de sixième. Il présente les définitions, les propriétés et les méthodes essentielles, accompagnées d'exemples résolus pour bien comprendre. Au programme : Qu'est-ce que la proportionnalité ?, Le tableau de proportionnalité et son coefficient, Reconnaître (ou non) une situation proportionnelle, Le retour à l'unité. Chaque notion est expliquée pas à pas, puis mise en pratique grâce à des exercices interactifs, un QCM et une évaluation corrigée. Idéal pour réviser à son rythme, combler ses lacunes et progresser, en autonomie ou avec un professeur. Cours rédigé par un professeur particulier à Marseille pour aider les élèves de sixième à réussir en mathématiques.
Au programme
1 · Qu'est-ce que la proportionnalité ?
2 · Le tableau de proportionnalité et son coefficient
3 · Reconnaître (ou non) une situation proportionnelle
4 · Le retour à l'unité
5 · Les propriétés de linéarité
6 · La règle de trois (produit en croix)
7 · Vitesses, échelles et pourcentages
1Qu'est-ce que la proportionnalité ?
Dans la vie courante, beaucoup de grandeurs « vont ensemble » : plus on achète de pommes, plus on paie cher ; plus on roule longtemps, plus on parcourt de distance. Quand le lien entre deux grandeurs est régulier, on parle de proportionnalité.
Définition. Deux grandeurs sont proportionnelles si l'on passe de l'une à l'autre en multipliant toujours par le même nombre. Ce nombre s'appelle le coefficient de proportionnalité.
Exemple. Une baguette coûte $1$ €. Le prix est proportionnel au nombre de baguettes : pour $1$ baguette on paie $1$ €, pour $2$ baguettes $2$ €, pour $5$ baguettes $5$ €… On multiplie toujours par $1$.
Autre exemple. Si $1$ litre d'essence coûte $2$ €, alors $3$ litres coûtent $3 \times 2 = 6$ € et $10$ litres coûtent $10 \times 2 = 20$ €. Le prix est proportionnel à la quantité, avec un coefficient de $2$.
Astuce. Quand on double une grandeur, l'autre double aussi ; quand on prend la moitié, l'autre est aussi divisée par deux. C'est la « marque de fabrique » de la proportionnalité.
2Le tableau de proportionnalité et son coefficient
Pour étudier deux grandeurs proportionnelles, on les range dans un tableau de proportionnalité : une grandeur sur la 1ʳᵉ ligne, l'autre sur la 2ᵉ ligne.
Règle. Dans un tableau de proportionnalité, on obtient chaque nombre de la 2ᵉ ligne en multipliant le nombre situé au-dessus par le même coefficient $k$. On le trouve en divisant une valeur de la 2ᵉ ligne par celle juste au-dessus : $k = \dfrac{\text{2}^{\text{e}}\text{ ligne}}{\text{1}^{\text{re}}\text{ ligne}}$.
Exemple. Des cahiers coûtent $3$ € l'unité. Le prix est proportionnel au nombre de cahiers, avec un coefficient $k = 3$ :
| Nombre de cahiers | $1$ | $2$ | $4$ | $10$ |
|---|
| Prix (€) | $3$ | $6$ | $12$ | $30$ |
|---|
On vérifie : $\dfrac{3}{1} = 3$, $\dfrac{6}{2} = 3$, $\dfrac{12}{4} = 3$, $\dfrac{30}{10} = 3$. Le coefficient est partout le même : le tableau est bien proportionnel.
Astuce. Sur un graphique, une situation de proportionnalité donne des points alignés avec une droite qui passe par l'origine (le point $0$). C'est un moyen rapide de la reconnaître.
3Reconnaître (ou non) une situation proportionnelle
Toutes les situations ne sont pas proportionnelles ! Il faut savoir le vérifier.
Méthode. Pour vérifier si un tableau est proportionnel, on calcule le quotient $\dfrac{\text{2}^{\text{e}}\text{ ligne}}{\text{1}^{\text{re}}\text{ ligne}}$ dans chaque colonne. Si l'on trouve toujours le même nombre, c'est proportionnel. Si un seul quotient est différent, ce n'est pas proportionnel.
Exemple proportionnel. $\dfrac{4}{2} = 2$, $\dfrac{10}{5} = 2$, $\dfrac{14}{7} = 2$ : coefficient $2$ partout, c'est proportionnel.
Attention ! L'âge n'est pas proportionnel à la taille : un enfant de $10$ ans ne mesure pas deux fois plus qu'un enfant de $5$ ans. De même, l'aire d'un carré n'est pas proportionnelle à la longueur de son côté.
Exemple NON proportionnel. Côté d'un carré : $1$, $2$, $3$ ; aire : $1$, $4$, $9$. On calcule $\dfrac{1}{1}=1$ mais $\dfrac{4}{2}=2$ : les quotients sont différents, ce n'est pas proportionnel.
| Situation | Proportionnel ? |
|---|
| Prix payé / quantité achetée (même produit) | Oui |
| Distance parcourue / temps (à vitesse constante) | Oui |
| Âge d'une personne / sa taille | Non |
| Aire d'un carré / longueur du côté | Non |
4Le retour à l'unité
Le retour à l'unité est une méthode très pratique pour résoudre les problèmes de proportionnalité : on calcule d'abord la valeur pour une seule unité, puis on multiplie.
Méthode du retour à l'unité.
1. On cherche la valeur pour $1$ unité (en divisant).
2. On multiplie cette valeur unitaire par la quantité demandée.
Exemple. $5$ croissants coûtent $4$ €. Combien coûtent $8$ croissants ?
• Prix de $1$ croissant : $4 \div 5 = 0{,}8$ €.
• Prix de $8$ croissants : $8 \times 0{,}8 = 6{,}4$ €.
Astuce. Le retour à l'unité marche dans tous les cas, même quand le coefficient n'est pas un nombre entier. C'est la méthode la plus sûre quand on hésite.
5Les propriétés de linéarité
Quand on connaît déjà quelques valeurs d'un tableau de proportionnalité, on peut en trouver d'autres sans calculer le coefficient, en additionnant ou en multipliant les colonnes.
Propriétés (linéarité).
• Si je multiplie une valeur par un nombre, la valeur correspondante est multipliée par le même nombre (×$2$, ×$3$, ÷$2$…).
• Si j'additionne deux colonnes, les résultats s'additionnent aussi.
Exemple (multiplication). $3$ places de cinéma coûtent $24$ €. Alors $6$ places ($= 3 \times 2$) coûtent $24 \times 2 = 48$ €.
Exemple (addition). Si $4$ stylos coûtent $5$ € et $2$ stylos coûtent $2{,}5$ €, alors $4+2 = 6$ stylos coûtent $5 + 2{,}5 = 7{,}5$ €.
| Nombre de places | $3$ | $6$ | $9$ | $3+6=9$ |
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| Prix (€) | $24$ | $48$ | $72$ | $24+48=72$ |
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Astuce. Ces propriétés permettent de calculer de tête : pour $9$ places, je fais $24 + 48 = 72$ €, sans chercher le prix d'une seule place.
6La règle de trois (produit en croix)
La règle de trois permet de trouver une valeur manquante dans un tableau de proportionnalité quand on connaît trois autres valeurs.
Règle. Si $a$ correspond à $b$ et que l'on cherche la valeur $x$ qui correspond à $c$, on calcule :
$x = \dfrac{c \times b}{a}$. (On multiplie « en croix » puis on divise.)
Exemple. $6$ litres de jus coûtent $9$ €. Combien coûtent $10$ litres ?
$x = \dfrac{10 \times 9}{6} = \dfrac{90}{6} = 15$ €.
| Litres | $6$ | $10$ |
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| Prix (€) | $9$ | $x = ?$ |
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Attention ! Pour utiliser la règle de trois, il faut être sûr que la situation est proportionnelle. Sinon, le résultat n'a aucun sens.
Astuce. Retour à l'unité et règle de trois donnent toujours le même résultat : choisis la méthode qui te semble la plus simple selon les nombres.
7Vitesses, échelles et pourcentages
La proportionnalité se cache dans beaucoup de situations concrètes : la vitesse, les cartes et plans, et les pourcentages.
Vitesse. À vitesse constante, la distance est proportionnelle au temps. Le coefficient est la vitesse. Exemple : à $60$ km/h, en $1$ h on parcourt $60$ km, en $2$ h $120$ km, en $3$ h $180$ km.
Échelle. Sur une carte, une échelle de $\dfrac{1}{100000}$ signifie que $1$ cm sur la carte représente $100000$ cm $= 1$ km dans la réalité. Les distances sur la carte sont proportionnelles aux distances réelles.
Exemple d'échelle. À l'échelle $\dfrac{1}{100000}$, deux villes distantes de $3$ cm sur la carte sont, en réalité, à $3 \times 1 = 3$ km l'une de l'autre.
Pourcentage. Prendre $t\%$ d'une quantité, c'est calculer $\dfrac{t}{100}$ de cette quantité — une proportionnalité de coefficient $\dfrac{t}{100}$. Exemple : $20\%$ de $150 = \dfrac{20}{100} \times 150 = 30$.
Astuce. $50\%$ = la moitié, $25\%$ = le quart, $10\%$ = on divise par $10$, $1\%$ = on divise par $100$.
★À retenir
À retenir :
• Deux grandeurs sont proportionnelles si l'on multiplie toujours par le même nombre, le coefficient $k = \dfrac{\text{2}^{\text{e}}\text{ ligne}}{\text{1}^{\text{re}}\text{ ligne}}$.
• On reconnaît la proportionnalité si tous les quotients $\dfrac{\text{2}^{\text{e}}}{\text{1}^{\text{re}}}$ sont égaux (graphiquement : droite passant par l'origine).
• Retour à l'unité : valeur pour $1$, puis on multiplie. Règle de trois : $x = \dfrac{c \times b}{a}$.
• Linéarité : on peut multiplier ou additionner les colonnes.
• Vitesse, échelle et pourcentage ($t\% = \dfrac{t}{100}$) sont des situations de proportionnalité.