À propos de cette page
Ce cours de mathématiques en sixième sur « La proportionnalité » suit le programme officiel de mathématiques de sixième. Il présente les définitions, les propriétés et les méthodes essentielles, accompagnées d'exemples résolus pour bien comprendre. Au programme : Reconnaître une situation de proportionnalité, Le tableau de proportionnalité, Le coefficient de proportionnalité, La propriété de linéarité (multiplier une colonne). Chaque notion est expliquée pas à pas, puis mise en pratique grâce à des exercices interactifs, un QCM et une évaluation corrigée. Idéal pour réviser à son rythme, combler ses lacunes et progresser, en autonomie ou avec un professeur. Cours rédigé par un professeur particulier à Marseille pour aider les élèves de sixième à réussir en mathématiques.
Au programme
1 · Reconnaître une situation de proportionnalité
2 · Le tableau de proportionnalité
3 · Le coefficient de proportionnalité
4 · La propriété de linéarité (multiplier)
5 · La propriété d'additivité (ajouter)
6 · Le passage à l'unité (règle de trois)
7 · Les pourcentages
8 · Les échelles (plans et cartes)
9 · La vitesse, un exemple de proportionnalité
1Reconnaître une situation de proportionnalité
Deux grandeurs sont proportionnelles quand on passe toujours de l'une à l'autre en multipliant (ou en divisant) par le même nombre. Autrement dit, si on double l'une, l'autre double aussi ; si on triple l'une, l'autre triple.
Définition. Une situation est proportionnelle si, pour passer de la première grandeur à la seconde, on multiplie toujours par le même nombre.
L'exemple le plus simple, c'est un prix qui dépend d'une quantité :
- 1 croissant coûte 1,20 € ;
- 2 croissants coûtent 2,40 € (2 fois plus) ;
- 3 croissants coûtent 3,60 € (3 fois plus).
Le prix est proportionnel à la quantité : à chaque fois, le prix est égal à la quantité multipliée par 1,20.
Une situation qui n'est PAS proportionnelle
L'âge d'une personne n'est pas proportionnel à sa taille : un enfant de 10 ans ne mesure pas 2 fois plus qu'un enfant de 5 ans. De même, le périmètre d'un carré est proportionnel à son côté, mais son aire ne l'est pas (si on double le côté, l'aire est multipliée par 4).
⚠️ Pour reconnaître la proportionnalité, on ne se fie pas à l'impression : on vérifie avec un calcul (le tableau et le coefficient, voir plus loin).
2Le tableau de proportionnalité
On range souvent les deux grandeurs dans un tableau : une ligne pour chaque grandeur. C'est un tableau de proportionnalité si on passe de la ligne du haut à la ligne du bas en multipliant toujours par le même nombre.
| Nombre de croissants | 1 | 2 | 3 | 5 |
| Prix (en €) | 1,20 | 2,40 | 3,60 | 6,00 |
Vérifions : 1 × 1,20 = 1,20 ; 2 × 1,20 = 2,40 ; 3 × 1,20 = 3,60 ; 5 × 1,20 = 6,00. On multiplie toujours par 1,20 : c'est bien un tableau de proportionnalité.
💡 Pour tester un tableau, on peut comparer les rapports prixquantité. S'ils sont tous égaux, le tableau est proportionnel.
Un tableau qui n'est pas proportionnel
| Grandeur A | 2 | 4 | 6 |
| Grandeur B | 5 | 7 | 9 |
Ici on passe de 2 à 5 (× 2,5), mais de 4 à 7 (× 1,75) : pas le même nombre. Ce n'est pas proportionnel (on ajoute 3 à chaque fois, ce qui n'est pas la même chose que multiplier).
3Le coefficient de proportionnalité
Définition. Le nombre par lequel on multiplie toujours pour passer de la première ligne à la seconde s'appelle le coefficient de proportionnalité.
Pour le trouver, on divise un nombre de la 2e ligne par le nombre correspondant de la 1re ligne :
coefficient = une valeur de la 2e lignela valeur correspondante de la 1re ligne
Dans l'exemple des croissants : coefficient = 2,402 = 1,20. Le prix, c'est le nombre de croissants × 1,20.
| 1 | 2 | 3 | 5 |
|---|
| Prix (€) | 1,20 | 2,40 | 3,60 | 6,00 |
| … on multiplie par | × 1,20 sur chaque colonne |
💡 Le coefficient permet de compléter un tableau : pour 7 croissants, prix = 7 × 1,20 = 8,40 €. Et dans l'autre sens, pour retrouver une quantité à partir d'un prix, on divise par le coefficient.
⚠️ Le coefficient a un sens concret : ici 1,20, c'est le prix d'UN croissant (le prix par unité).
4La propriété de linéarité (multiplier une colonne)
Dans un tableau de proportionnalité, on peut souvent calculer une nouvelle colonne sans connaître le coefficient, en se servant des colonnes déjà remplies. C'est très pratique avec des nombres « ronds ».
Propriété (multiplication). Si je multiplie une quantité par un nombre, la grandeur proportionnelle est multipliée par le même nombre.
Exemple. 4 cahiers coûtent 6 €. Combien coûtent 12 cahiers ?
- De 4 à 12, on multiplie par 3 (car 12 = 4 × 3) ;
- donc le prix est aussi multiplié par 3 : 6 × 3 = 18 €.
× 3 sur les deux lignes.
💡 Cela marche aussi en divisant : si 4 cahiers coûtent 6 €, alors 2 cahiers (4 ÷ 2) coûtent 6 ÷ 2 = 3 €.
5La propriété d'additivité (ajouter des colonnes)
Propriété (addition). Dans une situation proportionnelle, on peut additionner deux colonnes : en ajoutant les quantités, on ajoute aussi les valeurs correspondantes.
Exemple. Si 4 cahiers coûtent 6 € et 1 cahier coûte 1,50 €, alors 5 cahiers (4 + 1) coûtent 6 + 1,50 = 7,50 €.
| Cahiers | 4 | 1 | 5 |
| Prix (€) | 6 | 1,50 | 7,50 |
On combine souvent les deux propriétés. Pour 7 cahiers : 7 = 4 + 3, donc prix = (prix de 4) + (prix de 3) = 6 + 4,50 = 10,50 €.
💡 Ces propriétés sont les « règles du tableau » : on peut multiplier une colonne, en additionner deux, ou en soustraire deux pour fabriquer de nouvelles colonnes.
6Le passage à l'unité (la règle de trois)
Une méthode très sûre consiste à toujours calculer d'abord la valeur pour UNE unité (le prix d'un objet, la distance en une heure…). C'est le passage à l'unité.
Méthode (passage à l'unité), en 2 étapes :
- on divise pour trouver la valeur pour 1 unité ;
- on multiplie cette valeur par la quantité demandée.
Exemple. 6 stylos coûtent 4,50 €. Combien coûtent 10 stylos ?
- Étape 1 — prix de 1 stylo : 4,50 ÷ 6 = 0,75 € ;
- Étape 2 — prix de 10 stylos : 0,75 × 10 = 7,50 €.
| Stylos | 6 | 1 | 10 |
| Prix (€) | 4,50 | 0,75 | 7,50 |
Cette méthode en passant par 1 s'appelle aussi la règle de trois : à partir de trois nombres connus, on en trouve un quatrième.
⚠️ Vérifie toujours que ta réponse est « logique » : pour plus d'objets, on doit trouver plus cher ; pour moins d'objets, moins cher.
7Les pourcentages
Un pourcentage est une proportion exprimée « sur 100 ». Le symbole % veut dire « pour cent », c'est-à-dire divisé par 100.
Définition. t % d'un nombre, c'est ce nombre × t100. Par exemple, 25 % = 25100 = 0,25.
Les pourcentages à connaître par cœur
| Pourcentage | Cela revient à… | Exemple sur 80 |
|---|
| 50 % | diviser par 2 (la moitié) | 80 ÷ 2 = 40 |
| 25 % | diviser par 4 (le quart) | 80 ÷ 4 = 20 |
| 10 % | diviser par 10 | 80 ÷ 10 = 8 |
| 1 % | diviser par 100 | 80 ÷ 100 = 0,8 |
Appliquer un pourcentage quelconque
Exemple. Calculer 30 % de 50 :
- méthode directe : 50 × 30100 = 50 × 0,30 = 15 ;
- méthode astucieuse : 10 % de 50 = 5, donc 30 % = 3 × 5 = 15.
💡 Astuce 10 % : pour trouver 10 % d'un nombre, on divise par 10 (la virgule recule d'un rang). Ensuite, 20 % = 2 fois 10 %, 5 % = la moitié de 10 %, etc.
⚠️ « 50 % des élèves » ne donne pas le même nombre selon le total : 50 % de 30 = 15, mais 50 % de 24 = 12. Un pourcentage s'applique toujours à un nombre.
8Les échelles (plans et cartes)
Sur un plan ou une carte, les longueurs réelles sont trop grandes : on les réduit. L'échelle indique le lien (proportionnel !) entre les longueurs sur le dessin et les longueurs en vrai.
Définition. Une échelle s'écrit sous forme de fraction : longueur sur le planlongueur réelle (les deux longueurs dans la même unité). Une échelle 1/100 signifie : 1 cm sur le plan = 100 cm en vrai (soit 1 m).
- Échelle < 1 (ex. 1/100) → réduction : le plan est plus petit que la réalité (cas habituel des cartes) ;
- Échelle > 1 (ex. 50/1) → agrandissement : le dessin est plus grand que l'objet (ex. une fourmi vue à la loupe).
Du plan vers la réalité
Exemple. Échelle 1/200. Sur le plan, un mur mesure 4 cm. Quelle est sa longueur réelle ?
longueur réelle = 4 × 200 = 800 cm = 8 m.
| Sur le plan (cm) | 1 | 4 |
| En réalité (cm) | 200 | 800 |
De la réalité vers le plan
Exemple. Échelle 1/200. Une pièce mesure 6 m = 600 cm en vrai. Combien mesure-t-elle sur le plan ?
longueur sur le plan = 600 ÷ 200 = 3 cm.
⚠️ Même unité obligatoire ! Avant de diviser ou multiplier, convertis tout en cm (ou tout en m). 1 m = 100 cm, 1 km = 1000 m = 100 000 cm.
9La vitesse, un exemple de proportionnalité
Quand on roule à allure régulière, la distance parcourue est proportionnelle au temps. Le coefficient est alors la vitesse : la distance parcourue en une heure.
Définition. Une vitesse de 60 km/h signifie : on parcourt 60 km en 1 heure. C'est le passage à l'unité appliqué au temps.
| Temps (h) | 1 | 2 | 3 | 0,5 |
| Distance (km) | 60 | 120 | 180 | 30 |
- En 2 h : 60 × 2 = 120 km ;
- en une demi-heure (0,5 h) : 60 ÷ 2 = 30 km ;
- pour parcourir 180 km : 180 ÷ 60 = 3 heures.
💡 Récap du chapitre : proportionnel = « on multiplie toujours par le même nombre » (le coefficient) · on peut multiplier ou additionner les colonnes du tableau (linéarité) · le passage à l'unité (règle de trois) marche toujours · un pourcentage c'est « sur 100 » (50 % = ÷2, 25 % = ÷4, 10 % = ÷10) · une échelle = planréalité dans la même unité · la vitesse est la distance en 1 heure.