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La proportionnalité
Reconnaître une situation de proportionnalité et son coefficient ; compléter un tableau avec le coefficient, les propriétés multiplicative et additive ou le passage à l’unité ; utiliser l’échelle d’un plan ou d’une carte
À propos de cette page
Reconnaître une situation de proportionnalité
Le prix payé dépend de la quantité achetée, la distance parcourue dépend de la durée de marche… Parfois, ce lien est très régulier : c’est la proportionnalité.
Dans un tableau, on calcule pour chaque colonne le quotient « 2e ligne ÷ 1re ligne » :
• si tous les quotients sont égaux, c’est un tableau de proportionnalité, et ce quotient est le coefficient ;
• s’il y a un seul quotient différent, ce n’est pas un tableau de proportionnalité.
| Masse de cerises (kg) | 2 | 5 | 8 |
|---|---|---|---|
| Prix (€) | 6 | 15 | 24 |
On multiplie toujours par 3 : tableau de proportionnalité, de coefficient 3.
Cerises : 6 ÷ 2 = 3 · 15 ÷ 5 = 3 · 24 ÷ 8 = 3. Les trois quotients sont égaux : le prix est proportionnel à la masse, le coefficient est 3 (1 kg coûte 3 €).
Places de cinéma : 1 place → 8 € ; 2 places → 15 € ; 4 places → 28 €. 8 ÷ 1 = 8 mais 15 ÷ 2 = 7,5 : les quotients ne sont pas égaux, ce n’est pas un tableau de proportionnalité (le tarif baisse quand on prend plusieurs places).
Location de vélo : 3 € de prise en charge, puis 2 € par heure. 1 h coûte 3 + 2 = 5 € ; 2 h coûtent 3 + 4 = 7 €, pas le double de 5 € : le prix n’est pas proportionnel à la durée.
Côté d’un carré et périmètre : le périmètre vaut toujours 4 fois le côté. Ces deux grandeurs sont proportionnelles, de coefficient 4.
Situations à reconnaître
Proportionnelles : le prix et la quantité achetée à prix unitaire fixe ; la quantité d’ingrédients et le nombre de parts d’une recette ; le côté d’un carré et son périmètre ; une longueur sur un plan et la longueur réelle.
Pas proportionnelles : l’âge et la taille d’un enfant ; un prix avec un montant fixe (abonnement, prise en charge) ; un tarif dégressif ; le nombre d’ouvriers et la durée d’un chantier (plus d’ouvriers, moins de jours).
Réflexe — je calcule le quotient dans toutes les colonnes avant de conclure : un tableau qui « commence bien » peut se tromper à la dernière colonne.
Attention — « les deux grandeurs augmentent ensemble » ne suffit pas. À 2 ans, un enfant mesure environ 85 cm ; à 4 ans, il ne mesure pas 170 cm ! Il faut que doubler l’une double l’autre, tripler l’une triple l’autre…
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Compléter un tableau de proportionnalité
1. Le coefficient : de la 1re ligne à la 2e, on multiplie par le coefficient ; de la 2e ligne à la 1re, on divise par le coefficient.
2. La propriété multiplicative : si on multiplie (ou divise) une colonne par un même nombre, on obtient une autre colonne du tableau.
3. La propriété additive : si on additionne (ou soustrait) deux colonnes, on obtient une autre colonne du tableau.
4. Le passage à l’unité : on calcule d’abord la valeur qui correspond à 1, puis on multiplie.
| Nombre de cahiers | 4 | 8 | 12 | 1 | 7 |
|---|---|---|---|---|---|
| Prix (€) | 6 | … | … | … | … |
4 cahiers coûtent 6 €. On complète les autres colonnes.
On peut représenter ces calculs par des flèches : la flèche entre les deux lignes porte le coefficient (ici × 1,5, car 6 ÷ 4 = 1,5) ; une flèche entre deux colonnes porte le nombre par lequel on multiplie la colonne (ici × 2), le même sur les deux lignes : 4 × 2 = 8 et 6 × 2 = 12.
8 cahiers (propriété multiplicative) : 8 = 4 × 2, donc le prix est 6 × 2 = 12 €.
12 cahiers (propriété additive) : 12 = 4 + 8, donc le prix est 6 + 12 = 18 €.
1 cahier (passage à l’unité) : 6 ÷ 4 = 1,5. Un cahier coûte 1,50 €.
7 cahiers : 7 × 1,5 = 10,5. Sept cahiers coûtent 10,50 €.
Le coefficient est 1,5 (le prix d’un cahier). Dans l’autre sens : avec 30 €, on peut acheter 30 ÷ 1,5 = 20 cahiers.
Réflexe — je regarde d’abord les liens entre les nombres de la 1re ligne (double, moitié, somme…) ; si je n’en vois pas, je passe par l’unité, qui marche toujours.
Attention — on ne passe pas d’une colonne à l’autre en ajoutant le même nombre aux deux lignes : 4 cahiers → 6 €, donc 6 cahiers → 8 € est faux (6 cahiers coûtent 6 × 1,5 = 9 €). Et ces propriétés ne s’utilisent que si la situation est vraiment proportionnelle.
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Échelles : plans et cartes
Un plan ou une carte est une reproduction réduite de la réalité. Toutes les longueurs y sont divisées par le même nombre : les longueurs sur le plan sont proportionnelles aux longueurs réelles.
• distance réelle = distance sur le plan × n ;
• distance sur le plan = distance réelle ÷ n, après avoir écrit la distance réelle dans la même unité (en cm).
Conversions utiles : 1 m = 100 cm ; 1 km = 1 000 m = 100 000 cm.
| Distance sur la carte (cm) | 1 | 3 | 4,5 |
|---|---|---|---|
| Distance réelle (cm) | 50 000 | 150 000 | 225 000 |
Carte à l’échelle 1/50 000 : on multiplie par 50 000.
Du plan à la réalité. Carte à 1/50 000 : 3 cm représentent 3 × 50 000 = 150 000 cm, c’est-à-dire 1 500 m ou 1,5 km. De même, 4,5 × 50 000 = 225 000 cm, soit 2,25 km.
Plan d’une maison à 1/100 : une chambre longue de 3,6 cm sur le plan mesure 3,6 × 100 = 360 cm, soit 3,6 m.
De la réalité au plan. Carte à 1/200 000, une route de 13 km : 13 km = 1 300 000 cm, puis 1 300 000 ÷ 200 000 = 6,5. La route mesure 6,5 cm sur la carte.
Trouver l’échelle. Sur un plan, 4 cm représentent 400 m. 400 m = 40 000 cm, et 40 000 ÷ 4 = 10 000 : 1 cm représente 10 000 cm. L’échelle est 1/10 000.
Réflexe — je mets les deux distances en cm avant de multiplier ou de diviser par n, puis je convertis le résultat dans l’unité demandée (m ou km).
Attention — l’échelle compare deux longueurs dans la même unité : à 1/50 000, 1 cm représente 50 000 cm (soit 500 m), et non 50 000 m. Plus n est grand, plus la réalité est réduite : une carte routière à 1/1 000 000 montre moins de détails qu’un plan de ville à 1/10 000.
Pour la suite — le produit en croix, la représentation graphique d’une situation de proportionnalité et les vitesses moyennes se verront au cycle 4. Les pourcentages ont leur propre chapitre.
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- Deux grandeurs sont proportionnelles quand on passe de l’une à l’autre en multipliant toujours par le même nombre : le coefficient de proportionnalité.
- Pour reconnaître un tableau de proportionnalité, on calcule le quotient « 2e ligne ÷ 1re ligne » dans toutes les colonnes : ils doivent tous être égaux.
- Pour compléter un tableau : coefficient (× pour descendre, ÷ pour monter), propriété multiplicative, propriété additive, ou passage à l’unité.
- Échelle 1/n : 1 cm sur le plan représente n cm en réalité ; réel = plan × n, plan = réel ÷ n.
- Avant de calculer avec une échelle, on écrit les deux longueurs dans la même unité (cm), puis on convertit le résultat.
Questions fréquentes
Comment savoir si un tableau est un tableau de proportionnalité ?
On calcule dans chaque colonne le quotient « 2e ligne ÷ 1re ligne ». Si tous les quotients sont égaux, le tableau est de proportionnalité et ce quotient est le coefficient. Un seul quotient différent suffit pour dire non : il faut donc vérifier toutes les colonnes.
Qu’est-ce que le coefficient de proportionnalité ?
C’est le nombre par lequel on multiplie toujours les valeurs de la 1re ligne pour obtenir celles de la 2e ligne. Si 2 kg coûtent 6 € et 5 kg coûtent 15 €, le coefficient est 3 : c’est le prix d’un kilogramme.
Comment compléter un tableau de proportionnalité sans calculer le coefficient ?
Avec les propriétés : si on multiplie une colonne par un nombre (propriété multiplicative) ou si on additionne deux colonnes (propriété additive), on obtient une autre colonne du tableau. Si 4 cahiers coûtent 6 €, 8 cahiers coûtent 12 € et 12 cahiers coûtent 6 + 12 = 18 €.
Qu’est-ce que le passage à l’unité ?
On calcule d’abord la valeur qui correspond à 1 (un objet, un kilogramme, une personne), puis on multiplie par la quantité voulue. 4 cahiers coûtent 6 € : un cahier coûte 6 ÷ 4 = 1,50 €, donc 7 cahiers coûtent 7 × 1,5 = 10,50 €. Cette méthode marche toujours.
Que veut dire une échelle 1/50 000 sur une carte ?
1 cm sur la carte représente 50 000 cm dans la réalité, soit 500 m. Pour trouver une distance réelle, on multiplie la distance sur la carte par 50 000 ; pour aller de la réalité à la carte, on convertit la distance réelle en cm puis on divise par 50 000.
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