Collège · 6ᵉ · Mathématiques
La proportionnalité
Reconnaître une situation de proportionnalité, le coefficient, le retour à l'unité, la règle de trois, échelles, vitesses et pourcentages (programme de 6e)
À propos de cette page
Ce cours de mathématiques en sixième sur « La proportionnalité » suit le programme officiel de mathématiques de sixième. Il présente les définitions, les propriétés et les méthodes essentielles, accompagnées d'exemples résolus pour bien comprendre. Au programme : Reconnaître une situation de proportionnalité, Le coefficient de proportionnalité, Le retour à l'unité, La règle de trois (produit en croix). Chaque notion est expliquée pas à pas, puis mise en pratique grâce à des exercices interactifs, un QCM et une évaluation corrigée. Idéal pour réviser à son rythme, combler ses lacunes et progresser, en autonomie ou avec un professeur. Cours rédigé par un professeur particulier à Marseille pour aider les élèves de sixième à réussir en mathématiques.
1
Reconnaître une situation de proportionnalité
Deux grandeurs sont liées par une relation particulière quand elles « grandissent ensemble », toujours de la même façon.
Définition. Deux grandeurs sont proportionnelles si l'on passe des valeurs de la première à celles de la seconde en multipliant toujours par le même nombre.
| Poids (kg) | 2 | 5 | 8 |
|---|---|---|---|
| Prix (€) | 6 | 15 | 24 |
Exemple. Ici, chaque prix s'obtient en multipliant le poids par $3$ ($2\times3=6$, $5\times3=15$, $8\times3=24$) : c'est un tableau de proportionnalité.
Attention ! Il faut vérifier le coefficient sur toutes les colonnes, pas seulement les deux premières : un tableau qui « commence bien » peut ne pas être proportionnel jusqu'au bout.
2
Le coefficient de proportionnalité
Ce nombre unique, qui permet de passer d'une ligne à l'autre, a un nom précis.
Définition. Le coefficient de proportionnalité est le nombre par lequel on multiplie chaque valeur de la 1ʳᵉ ligne pour obtenir celle de la 2ᵉ ligne. On le trouve en calculant $\dfrac{\text{2}^{\text{e}}\text{ ligne}}{\text{1}^{\text{re}}\text{ ligne}}$ pour n'importe quelle colonne.
Exemple. Avec le tableau précédent (poids/prix), le coefficient est $6\div2=3$ (ou $15\div5=3$, ou $24\div8=3$) : $3$ €/kg.
Astuce. Une fois le coefficient trouvé, on peut compléter n'importe quelle case manquante du tableau en multipliant directement par ce coefficient.
3
Le retour à l'unité
Une méthode très utile pour compléter un tableau de proportionnalité, surtout quand le coefficient n'est pas un nombre « rond ».
Méthode. On calcule d'abord la valeur correspondant à une seule unité (1 kg, 1 personne, 1 stylo…), puis on multiplie par la quantité recherchée.
Exemple. $4$ stylos coûtent $6$ €. Prix d'un stylo : $6\div4=1{,}5$ €. Prix de $7$ stylos : $7\times1{,}5=10{,}5$ €.
Astuce. Le retour à l'unité fonctionne toujours, même quand le coefficient de proportionnalité direct est difficile à repérer.
4
La règle de trois (produit en croix)
Une autre méthode, très efficace, pour trouver directement une valeur manquante dans un tableau de proportionnalité.
Règle. Si $a$ correspond à $b$, la valeur $y$ correspondant à $c$ se calcule par $y = \dfrac{c \times b}{a}$ (on multiplie en croix, puis on divise par le nombre restant).
Exemple. $5$ kg coûtent $12$ €. Combien coûtent $8$ kg ? $y = \dfrac{8 \times 12}{5} = \dfrac{96}{5} = 19{,}2$ €.
Attention ! Il faut toujours multiplier les deux valeurs « en diagonale » (celles qui ne sont PAS dans la même colonne), puis diviser par la valeur restante — pas n'importe quelle combinaison des trois nombres.
5
La propriété de linéarité (additivité)
Dans un tableau de proportionnalité, on peut parfois trouver une colonne manquante sans calculer le coefficient, juste en additionnant ou soustrayant des colonnes déjà connues.
Propriété. Dans un tableau de proportionnalité, si on additionne deux colonnes, on obtient une nouvelle colonne elle aussi valide pour ce tableau.
Exemple. Si $3$ kg coûtent $9$ € et $2$ kg coûtent $6$ €, alors $3+2=5$ kg coûtent $9+6=15$ € (on vérifie : coefficient $3$ €/kg, et $5\times3=15$ ✓).
Astuce. Cette propriété est très rapide pour trouver, par exemple, le prix de $12$ unités en additionnant les colonnes « $10$ unités » et « $2$ unités » déjà connues.
6
Applications : échelles et vitesses
La proportionnalité intervient dans de nombreuses situations concrètes, notamment les cartes et les déplacements.
Échelle. Une échelle de carte, comme $1\text{:}100\,000$, veut dire que $1$ cm sur la carte représente $100\,000$ cm ($=1$ km) dans la réalité — c'est un coefficient de proportionnalité.
Exemple (échelle). Sur une carte à l'échelle $1\text{:}50\,000$, une distance de $3$ cm représente $3\times50\,000=150\,000$ cm $=1{,}5$ km dans la réalité.
Vitesse moyenne. $\text{vitesse} = \dfrac{\text{distance parcourue}}{\text{durée du trajet}}$ : une distance et une durée proportionnelles à vitesse constante.
Exemple (vitesse). Une voiture parcourt $180$ km en $3$ h. Sa vitesse moyenne est $180\div3=60$ km/h.
À retenir
- Proportionnalité : on multiplie toujours par le même coefficient pour passer d'une ligne à l'autre.
- Coefficient $= \dfrac{\text{2}^{\text{e}}\text{ ligne}}{\text{1}^{\text{re}}\text{ ligne}}$ (vérifié sur toutes les colonnes).
- Retour à l'unité : diviser par la quantité connue, puis multiplier par la quantité voulue.
- Règle de trois : $y=\dfrac{c\times b}{a}$ (produit en croix puis division).
- Linéarité : on peut additionner deux colonnes d'un tableau proportionnel.
- Vitesse $=\dfrac{\text{distance}}{\text{durée}}$ ; échelle $1{:}n$ signifie « $1$ cm $\to$ $n$ cm dans la réalité ».
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