Ce cours de mathématiques en sixième sur « Les probabilités » suit le programme officiel de mathématiques de sixième. Il présente les définitions, les propriétés et les méthodes essentielles, accompagnées d'exemples résolus pour bien comprendre. Au programme : Le hasard et l'expérience aléatoire, Les issues : tous les résultats possibles, Un événement : ce qu'on observe, Le vocabulaire du hasard : certain, possible, impossible. Chaque notion est expliquée pas à pas, puis mise en pratique grâce à des exercices interactifs, un QCM et une évaluation corrigée. Idéal pour réviser à son rythme, combler ses lacunes et progresser, en autonomie ou avec un professeur. Cours rédigé par un professeur particulier à Marseille pour aider les élèves de sixième à réussir en mathématiques.
Au programme
1 · Le hasard et l'expérience aléatoire
2 · Les issues : tous les résultats possibles
3 · Un événement : ce qu'on observe
4 · Vocabulaire : certain, possible, impossible
5 · Probable, peu probable, équiprobable
6 · L'échelle des probabilités, de 0 à 1
7 · Calculer une probabilité (cas équiprobables)
8 · Exemple complet avec une urne
1Le hasard et l'expérience aléatoire
Dans la vie, certaines choses sont sûres : si je lâche un objet, il tombe. Mais beaucoup de situations dépendent du hasard : on ne peut pas savoir à l'avance ce qui va se passer. On parle alors d'expérience aléatoire.
Définition. Une expérience aléatoire est une expérience dont on connaît tous les résultats possibles, mais dont on ne peut pas prévoir le résultat à l'avance.
Quelques exemples très simples d'expériences aléatoires :
Lancer une pièce de monnaie : elle peut tomber sur Pile ou sur Face.
Lancer un dé à 6 faces : on peut obtenir 1, 2, 3, 4, 5 ou 6.
Tirer une boule dans un sac (une urne) sans regarder.
Faire tourner une roue de loterie partagée en plusieurs couleurs.
⚠️ Attention : « 2 + 3 = 5 » n'est pas une expérience aléatoire. Le résultat est toujours le même, il n'y a aucun hasard. De même, « le Soleil va se lever demain » est sûr, ce n'est pas du hasard.
💡 Le mot aléatoire vient du latin alea, qui veut dire « le dé ». C'est le hasard du lancer de dé !
2Les issues : tous les résultats possibles
Définition. Une issue est un résultat possible d'une expérience aléatoire. La liste de toutes les issues s'appelle l'ensemble des issues possibles.
Avant de jouer au hasard, on commence toujours par écrire la liste de toutes les issues. C'est l'étape la plus importante !
Expérience
Liste des issues possibles
Nombre d'issues
Lancer une pièce
Pile ; Face
2
Lancer un dé à 6 faces
1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6
6
Tirer une boule (3 rouges, 1 verte)
Rouge ; Verte
2 couleurs
Roue à 4 couleurs égales
Rouge ; Bleu ; Jaune ; Vert
4
Exemple. Dans un sac, il y a 5 jetons numérotés de 1 à 5. J'en tire un au hasard. Les issues possibles sont : 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5. Il y a donc 5 issues.
💡 Pour bien lister les issues, range-les dans l'ordre (par numéro ou par couleur) : tu es sûr de n'en oublier aucune et de ne pas en compter deux fois.
3Un événement : ce qu'on observe
Définition. Un événement, c'est ce qui peut se produire pendant l'expérience. On le décrit par une phrase, et il peut regrouper une ou plusieurs issues.
Prenons le lancer d'un dé à 6 faces (issues : 1, 2, 3, 4, 5, 6). Voici des événements :
« Obtenir un 6 » → une seule issue : { 6 }.
« Obtenir un nombre pair » → trois issues : { 2 ; 4 ; 6 }.
« Obtenir un nombre plus grand que 4 » → deux issues : { 5 ; 6 }.
« Obtenir un nombre entre 1 et 6 » → toutes les issues : { 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 }.
Issues favorables. Pour un événement donné, les issues favorables sont les issues qui font que l'événement se réalise (celles qui « marchent » pour l'événement).
Exemple. Pour l'événement « obtenir un nombre pair » avec un dé, les issues favorables sont 2, 4 et 6 : il y a 3 issues favorables sur 6 issues possibles.
💡 Pour compter les issues favorables, repère dans la liste de toutes les issues celles qui réalisent l'événement, et compte-les.
4Le vocabulaire du hasard : certain, possible, impossible
Selon ce qui peut arriver, un événement reçoit un nom particulier :
Un événement est certain s'il se produit à coup sûr, à tous les coups.
Un événement est impossible s'il ne peut jamais se produire.
Un événement est possible s'il peut se produire… ou non.
Toujours avec un dé à 6 faces (1, 2, 3, 4, 5, 6) :
Événement
Nature
Pourquoi
« obtenir un nombre entre 1 et 6 »
certain
toutes les faces conviennent
« obtenir 7 »
impossible
le 7 n'existe pas sur le dé
« obtenir un 4 »
possible
le 4 est une face parmi d'autres
⚠️ Ne confonds pas « impossible » et « rare ». Obtenir un 6 est possible (juste pas garanti), alors qu'obtenir un 7 est impossible : ça n'arrivera jamais.
5Probable, peu probable, équiprobable
Quand un événement est possible, on peut dire s'il a beaucoup ou peu de chances de se produire.
Un événement est probable s'il a de grandes chances de se produire.
Il est peu probable s'il a de petites chances de se produire.
Exemple. Dans un sac, il y a 9 boules rouges et 1 boule bleue. Je tire une boule. « Tirer une rouge » est très probable (9 chances sur 10) ; « tirer une bleue » est peu probable (1 chance sur 10).
Équiprobable. Deux issues (ou plusieurs) sont équiprobables quand elles ont exactement les mêmes chances de se produire.
Avec un dé équilibré (non truqué), les 6 faces ont les mêmes chances : les issues 1, 2, 3, 4, 5, 6 sont équiprobables. Avec une pièce équilibrée, Pile et Face sont équiprobables.
⚠️ Les issues ne sont pas toujours équiprobables ! Dans un sac de 3 rouges et 1 verte, tirer « rouge » et tirer « verte » ne sont pas équiprobables : le rouge a plus de chances.
6L'échelle des probabilités, de 0 à 1
Pour mesurer les chances d'un événement, on lui donne un nombre appelé probabilité. Ce nombre est toujours compris entre 0 et 1.
Une probabilité de 0 = événement impossible (aucune chance).
Une probabilité de 1 = événement certain (chance garantie).
Une probabilité de 12 (un demi) = autant de chances que ça arrive ou non.
Plus le nombre est proche de 1, plus l'événement est probable.
On peut placer ces mots sur une droite graduée de 0 à 1 :
💡 Une probabilité ne peut jamais être plus petite que 0 ni plus grande que 1. Si tu trouves 1,5 ou un nombre négatif, c'est qu'il y a une erreur de calcul !
7Calculer une probabilité (cas équiprobables)
Quand toutes les issues ont les mêmes chances (cas équiprobable), on peut calculer la probabilité d'un événement avec une formule simple :
probabilité = nombre d'issues favorablesnombre d'issues possibles
Méthode pas à pas
Étape 1 — Je liste toutes les issues possibles et je les compte.
Étape 2 — Je repère les issues favorables à l'événement et je les compte.
Étape 3 — J'écris la fraction : favorables sur le dessus, possibles en dessous.
Exemple 1. Avec un dé, quelle est la probabilité d'« obtenir un 5 » ?
Issues possibles : 1, 2, 3, 4, 5, 6 → 6 issues. Issues favorables : seulement le 5 → 1 issue.
Probabilité = 16 (« une chance sur six »).
Exemple 2. Avec un dé, probabilité d'« obtenir un nombre pair » ?
Favorables : 2, 4, 6 → 3 issues. Possibles : 6.
Probabilité = 36 = 12 (une chance sur deux).
Exemple 3. Avec une pièce, probabilité d'« obtenir Pile » ?
Favorables : Pile → 1. Possibles : Pile, Face → 2. Probabilité = 12.
⚠️ La formule favorablespossibles ne marche que si les issues sont équiprobables (dé non truqué, boules identiques au toucher…). Sinon, on ne peut pas l'utiliser directement.
8Exemple complet avec une urne
Une urne (ou un sac) contient des boules de couleurs. On en tire une au hasard. Toutes les boules ont la même taille : on ne peut pas les distinguer au toucher, donc tirer chaque boule est équiprobable.
Situation. Un sac contient 4 boules rouges, 3 boules bleues et 1 boule jaune. On tire une boule au hasard.
Étape 1 — Nombre total de boules (issues possibles) : 4 + 3 + 1 = 8 boules.
Événement
Issues favorables
Probabilité
« tirer une rouge »
4 boules rouges
48 = 12
« tirer une bleue »
3 boules bleues
38
« tirer une jaune »
1 boule jaune
18
« tirer une verte »
0 (aucune verte)
08 = 0 (impossible)
« tirer une boule »
les 8 boules
88 = 1 (certain)
💡 Remarque : 4 chances + 3 chances + 1 chance = 8 chances sur 8. Si on additionne les probabilités de toutes les couleurs, on retombe toujours sur 1 (l'événement certain).
🎓 Récap express : expérience aléatoire = résultat imprévisible · les issues sont les résultats possibles · un événement regroupe une ou plusieurs issues · vocabulaire : certain / impossible / possible / probable · échelle de 0 (impossible) à 1 (certain) · si les issues sont équiprobables, probabilité = favorablespossibles.