À propos de cette page
Ce cours de mathématiques en sixième sur « Les probabilités » suit le programme officiel de mathématiques de sixième. Il présente les définitions, les propriétés et les méthodes essentielles, accompagnées d'exemples résolus pour bien comprendre. Au programme : Le hasard et l'expérience aléatoire, Les issues d'une expérience, Événement certain, possible ou impossible, Comparer des chances : plus ou moins probable. Chaque notion est expliquée pas à pas, puis mise en pratique grâce à des exercices interactifs, un QCM et une évaluation corrigée. Idéal pour réviser à son rythme, combler ses lacunes et progresser, en autonomie ou avec un professeur. Cours rédigé par un professeur particulier à Marseille pour aider les élèves de sixième à réussir en mathématiques.
Au programme
1 · Le hasard et l'expérience aléatoire
2 · Les issues d'une expérience
3 · Événement certain, possible ou impossible
4 · Comparer des chances : plus ou moins probable
5 · Mesurer une probabilité avec une fraction
6 · L'échelle des probabilités de 0 à 1
7 · Méthode pas à pas et pièges à éviter
1Le hasard et l'expérience aléatoire
Dans la vie de tous les jours, certaines choses sont prévisibles (le soleil se lève le matin) et d'autres dépendent du hasard (le côté sur lequel tombe une pièce). En mathématiques, on étudie ces situations de hasard avec les probabilités.
Définition. Une expérience aléatoire est une expérience dont on ne peut pas prévoir le résultat à l'avance, même si on connaît à l'avance tous les résultats possibles. C'est le hasard qui décide.
Exemples d'expériences aléatoires.
• Lancer un dé à $6$ faces.
• Tirer une carte dans un jeu mélangé.
• Faire tourner une roue de loterie.
• Tirer une bille dans un sac sans regarder.
Attention ! Calculer $5 + 3$ n'est pas une expérience aléatoire : le résultat est toujours $8$. Il n'y a aucun hasard, le résultat est certain.
2Les issues d'une expérience
Avant de parler de chances, il faut savoir quels résultats sont possibles. On les appelle les issues.
Définition. Une issue (on dit aussi un résultat possible) est l'un des résultats que peut donner une expérience aléatoire. La liste de toutes les issues décrit complètement l'expérience.
Exemple. Quand on lance un dé à $6$ faces, il y a $6$ issues : $1$, $2$, $3$, $4$, $5$ et $6$.
| Expérience | Issues possibles | Nombre d'issues |
|---|
| Lancer une pièce | Pile ; Face | $2$ |
| Lancer un dé à 6 faces | $1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6$ | $6$ |
| Tirer une carte (couleur) | Cœur ; Carreau ; Pique ; Trèfle | $4$ |
Astuce. Pour ne rien oublier, écris les issues dans l'ordre, par exemple de la plus petite à la plus grande, ou en suivant un schéma.
3Événement certain, possible ou impossible
Un événement, c'est ce que l'on cherche à observer (« obtenir un nombre pair », « tirer une bille rouge »…). On classe les événements en trois familles.
Vocabulaire du hasard.
• Un événement est certain s'il se produit à coup sûr, quoi qu'il arrive.
• Un événement est impossible s'il ne peut jamais se produire.
• Un événement est possible (mais non certain) s'il peut arriver sans être garanti.
Exemple avec un dé à 6 faces.
• « Obtenir un nombre entre $1$ et $6$ » est certain.
• « Obtenir $7$ » est impossible.
• « Obtenir $4$ » est possible.
| Événement (dé à 6 faces) | Nature |
|---|
| Obtenir un nombre $\geq 1$ | Certain |
| Obtenir un nombre impair | Possible |
| Obtenir $0$ | Impossible |
Attention ! « Possible » ne veut pas dire « sûr ». Un événement possible peut très bien ne pas se réaliser.
4Comparer des chances : plus ou moins probable
Entre deux événements possibles, l'un peut avoir plus de chances de se produire que l'autre. On dit qu'il est plus probable.
Règle. Pour comparer les chances, on compte le nombre d'issues favorables à chaque événement. Plus un événement a d'issues favorables, plus il est probable. À nombre égal d'issues favorables, les deux événements ont autant de chances : on dit qu'ils sont équiprobables.
Exemple. Dans un sac, il y a $5$ billes rouges et $2$ billes bleues. On tire une bille au hasard.
• « Tirer une rouge » a $5$ chances sur $7$ : c'est plus probable.
• « Tirer une bleue » a $2$ chances sur $7$ : c'est moins probable.
Astuce. Quand toutes les issues ont le même nombre de chances (un dé bien équilibré, une pièce non truquée), on dit que les issues sont équiprobables.
5Mesurer une probabilité avec une fraction
On peut donner une note aux chances d'un événement : sa probabilité. Quand toutes les issues sont équiprobables, le calcul est simple.
Formule. Lorsque les issues sont équiprobables :
$\text{probabilité} = \dfrac{\text{nombre d'issues favorables}}{\text{nombre total d'issues}}$.
Une issue favorable est une issue qui réalise l'événement cherché.
Exemple. Avec un dé à $6$ faces, quelle est la probabilité d'obtenir un nombre pair ?
Les issues favorables sont $2$, $4$ et $6$ : il y en a $3$. Il y a $6$ issues en tout.
$\text{probabilité} = \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2}$.
| Événement (dé à 6 faces) | Issues favorables | Probabilité |
|---|
| Obtenir un $5$ | $5$ | $\dfrac{1}{6}$ |
| Obtenir un nombre impair | $1 ; 3 ; 5$ | $\dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2}$ |
| Obtenir un nombre $\leq 4$ | $1 ; 2 ; 3 ; 4$ | $\dfrac{4}{6} = \dfrac{2}{3}$ |
Astuce. On peut simplifier la fraction obtenue pour la rendre plus lisible : $\dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2}$.
6L'échelle des probabilités de 0 à 1
Une probabilité est toujours un nombre compris entre $0$ et $1$. On peut la placer sur une échelle (ou un axe gradué) qui va de l'impossible au certain.
Règle. Une probabilité vaut :
• $0$ pour un événement impossible ;
• $1$ pour un événement certain ;
• une valeur entre $0$ et $1$ pour un événement possible. Plus elle est proche de $1$, plus l'événement est probable.
Exemple. Avec une pièce équilibrée, « obtenir Pile » a une probabilité de $\dfrac{1}{2}$ : c'est au milieu de l'échelle. « Obtenir Pile ou Face » a une probabilité de $1$ (certain), car il n'y a pas d'autre issue.
Attention ! Une probabilité ne peut jamais être plus grande que $1$ ni négative. Si tu trouves $\dfrac{8}{6}$, c'est qu'il y a une erreur.
7Méthode pas à pas et pièges à éviter
Pour résoudre un exercice de probabilité en 6e, suis toujours les mêmes étapes.
Méthode.
1. Identifie l'expérience et vérifie qu'elle est aléatoire.
2. Liste toutes les issues et compte-les (nombre total).
3. Repère les issues favorables à l'événement et compte-les.
4. Si les issues sont équiprobables, écris la fraction $\dfrac{\text{favorables}}{\text{total}}$, puis simplifie-la.
Exemple guidé. Un sac contient $4$ jetons numérotés $1, 2, 3, 4$. On en tire un au hasard. Probabilité de tirer un numéro plus grand que $2$ ?
• Total d'issues : $4$.
• Favorables ($3$ et $4$) : $2$.
• Probabilité $= \dfrac{2}{4} = \dfrac{1}{2}$.
Pièges fréquents.
• Ne pas confondre issues (résultats possibles) et issues favorables (celles qui conviennent).
• Ne calculer la fraction $\dfrac{\text{favorables}}{\text{total}}$ que si les issues sont équiprobables.
• Toujours penser à simplifier la fraction finale.
★À retenir
À retenir :
• Une expérience aléatoire a un résultat imprévisible ; chaque résultat possible est une issue.
• Un événement est certain (probabilité $1$), impossible (probabilité $0$) ou possible (entre $0$ et $1$).
• Plus un événement a d'issues favorables, plus il est probable.
• Si les issues sont équiprobables : $\text{probabilité} = \dfrac{\text{nombre d'issues favorables}}{\text{nombre total d'issues}}$, fraction que l'on simplifie.
• Une probabilité est toujours comprise entre $0$ et $1$.