Les probabilités

Le vocabulaire du hasard (expérience aléatoire, issue, événement certain, possible, impossible), l’échelle des probabilités de 0 à 1, le calcul d’une probabilité en fraction quand les issues ont la même chance, et le lien entre fréquence et probabilité

À propos de cette page

Ce cours de mathématiques en sixième sur « Les probabilités » suit le programme officiel de mathématiques de sixième. Il présente les définitions, les propriétés et les méthodes essentielles, accompagnées d'exemples résolus pour bien comprendre. Au programme : expérience aléatoire, issue, événement ; événement certain, possible, impossible ; placer et comparer des événements sur une échelle de probabilités de 0 à 1 ; calculer une probabilité en fraction dans une situation d’équiprobabilité ; reconnaître une situation qui n’est pas équiprobable ; comparer la fréquence d’une expérience répétée à une probabilité calculée. Chaque notion est expliquée pas à pas, puis mise en pratique grâce à des exercices interactifs, un QCM et un devoir surveillé corrigé. Idéal pour réviser à son rythme, combler ses lacunes et progresser, en autonomie ou avec un professeur.

Calculer une probabilité

Le hasard a son propre vocabulaire, et l’on peut mesurer les chances d’un événement par un nombre : sa probabilité. Ce chapitre se fait en quatre étapes : les mots, l’échelle de 0 à 1, le calcul en fraction, puis le lien avec les expériences répétées.

1. Le vocabulaire du hasard

Ce qu’il faut savoir Une expérience aléatoire est une expérience dont on ne peut pas prévoir le résultat à l’avance. Chaque résultat possible s’appelle une issue.
Un événement est une situation décrite à partir des issues (« obtenir un nombre pair »…). Les issues qui le réalisent sont les issues favorables.
• Un événement est certain s’il se réalise à coup sûr (toutes les issues sont favorables).
• Il est impossible s’il ne peut jamais se réaliser (aucune issue favorable).
• Sinon, il est possible (ni certain ni impossible) : il peut se produire, sans garantie.

Exemples

Lancer un dé à 6 faces est une expérience aléatoire : ses issues sont 1, 2, 3, 4, 5 et 6.

On tire au hasard une carte parmi 5 cartes marquées A, B, C, D, E. Il y a 5 issues.

« Tirer une voyelle » : 2 issues favorables (A et E), l’événement est possible.

« Tirer une lettre de l’alphabet » est certain ; « tirer la lettre Z » est impossible.

Réflexe — avant tout calcul, je liste toutes les issues, puis j’entoure les issues favorables.

Attention — « possible » ne veut pas dire « probable » : gagner au loto est possible, mais très peu probable.

2. L’échelle des probabilités

Ce qu’il faut savoir La probabilité d’un événement est un nombre qui mesure ses chances de se réaliser. Elle est toujours comprise entre 0 et 1.
• Un événement impossible a une probabilité de 0 ; un événement certain, une probabilité de 1.
• « Une chance sur deux », c’est une probabilité de

\frac{1}{2}

.
• Plus un événement a d’issues favorables (pour un même nombre total d’issues), plus il est probable : il se place plus à droite sur l’échelle.

Exemples

Un sac contient 4 billes indiscernables au toucher : 3 noires et 1 blanche. On en tire une au hasard.

« Tirer une bille rouge » est impossible : probabilité 0. « Tirer une bille noire ou blanche » est certain : probabilité 1.

« Tirer une bille noire » (3 issues favorables) est plus probable que « tirer la bille blanche » (1 issue) : sa probabilité, $\frac{3}{4}$ , est plus grande que $\frac{1}{2}$ ; celle de la blanche, $\frac{1}{4}$ , est plus petite que $\frac{1}{2}$ .

Réflexe — pour comparer deux événements d’une même expérience, je compte leurs issues favorables : le plus grand nombre l’emporte.

Attention — une probabilité ne dépasse jamais 1 et n’est jamais négative : $\frac{5}{4}$ ou 1,2 ne peuvent pas être des probabilités. Elle peut s’écrire en fraction, en décimal ou en pourcentage : $\frac{1}{2}$ = 0,5 = 50 %.

3. Calculer une probabilité

Ce qu’il faut savoir Il y a équiprobabilité quand toutes les issues ont la même chance de se produire : dé ou pièce équilibrés, tirage au hasard parmi des objets indiscernables au toucher, roue partagée en parts égales…
Dans ce cas : probabilité = $\frac{nombre d’issues favorables}{nombre total d’issues}$ . On simplifie la fraction quand c’est possible.
La somme des probabilités de toutes les issues vaut 1. Donc la probabilité qu’un événement ne se produise pas est 1 moins sa probabilité.

Exemples

Une urne contient 20 jetons indiscernables : 9 bleus, 6 rouges et 5 verts. On tire un jeton au hasard : il y a 20 issues, toutes de même chance.

Probabilité de tirer un jeton rouge : $\frac{6}{20}$ = $\frac{3}{10}$ . Probabilité de tirer un jeton vert : $\frac{5}{20}$ = $\frac{1}{4}$ .

« Ne pas tirer un jeton bleu » : 6 + 5 = 11 issues favorables, donc $\frac{11}{20}$ . Autre façon : 1 − $\frac{9}{20}$ = $\frac{11}{20}$ .

Vérification : $\frac{9}{20}$ + $\frac{6}{20}$ + $\frac{5}{20}$ = $\frac{20}{20}$ = 1.

Quand il n’y a pas équiprobabilité. Sur cette roue, les trois couleurs n’ont pas la même chance : la probabilité du bleu n’est pas $\frac{1}{3}$ . Les 8 parts, elles, sont égales : on compte les parts.

Exemple

Bleu : $\frac{4}{8}$ = $\frac{1}{2}$ · jaune : $\frac{3}{8}$ · rouge : $\frac{1}{8}$ . Vérification : $\frac{4}{8}$ + $\frac{3}{8}$ + $\frac{1}{8}$ = $\frac{8}{8}$ = 1.

De même, un dé lesté (truqué) n’est pas équiprobable : la formule ne s’applique pas.

Réflexe — je vérifie d’abord que les issues ont toutes la même chance ; puis je divise les issues favorables par le nombre total d’issues, et je simplifie.

Attention — le dénominateur est le nombre total d’issues : avec 6 jetons rouges sur 20, c’est $\frac{6}{20}$ , pas $\frac{6}{14}$ . Et deux couleurs ne veulent pas dire « une chance sur deux » : tout dépend du nombre d’objets ou de la taille des parts.

4. Fréquence et probabilité

Ce qu’il faut savoir On répète une expérience aléatoire un certain nombre de fois. La fréquence d’une issue est $\frac{nombre de fois où elle est sortie}{nombre total d’essais}$ .
Avec peu d’essais, la fréquence peut être loin de la probabilité : c’est le hasard. Quand on fait beaucoup d’essais, la fréquence se rapproche, en général, de la probabilité.

Exemples

Avec une pièce équilibrée, la probabilité d’obtenir pile est $\frac{1}{2}$ , soit 0,5.

Sur 20 lancers, pile sort 12 fois : fréquence $\frac{12}{20}$ = $\frac{3}{5}$ = 0,6.

Sur 1 000 lancers, pile sort 491 fois : fréquence $\frac{491}{1 000}$ = 0,491, très proche de 0,5. On attendait environ 500 piles, la moitié de 1 000.

Réflexe — si, sur un grand nombre d’essais, la fréquence reste très loin de la probabilité calculée, je soupçonne un objet truqué.

Attention — la fréquence change d’une série d’essais à l’autre ; la probabilité, elle, ne change pas. Quelques lancers ne suffisent pas pour conclure qu’un dé est truqué.

À savoir — une expérience en deux étapes (lancer une pièce puis un dé, tourner deux roues…) se représente dans un tableau à double entrée : chaque case est une issue, et on compte les issues favorables comme d’habitude. Par exemple, on lance une pièce puis un dé à 6 faces : le tableau a 2 lignes (pile, face) et 6 colonnes, soit 2 × 6 = 12 issues ; « pile et un nombre pair » est réalisé par 3 cases (pile-2, pile-4, pile-6), donc sa probabilité est $\frac{3}{12}$ = $\frac{1}{4}$ . Les expériences à plusieurs épreuves plus complexes (et les arbres de probabilités) se verront au cycle 4.

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À retenir

Expérience aléatoire : on ne peut pas prévoir le résultat ; chaque résultat possible est une issue ; un événement est réalisé par des issues favorables.
Événement certain : probabilité 1 ; impossible : probabilité 0 ; possible : entre les deux (possible ne veut pas dire probable).
Une probabilité est toujours comprise entre 0 et 1 : plus il y a d’issues favorables, plus l’événement est probable.
En équiprobabilité : probabilité = issues favorables ÷ nombre total d’issues, en fraction simplifiée ; la somme des probabilités de toutes les issues vaut 1.
Fréquence = nombre de fois où l’issue est sortie ÷ nombre d’essais ; sur beaucoup d’essais, elle se rapproche de la probabilité.

Questions fréquentes

Qu’est-ce qu’une expérience aléatoire et une issue ?

Une expérience aléatoire est une expérience dont on ne peut pas prévoir le résultat (lancer un dé, tirer une carte au hasard). Chaque résultat possible s’appelle une issue : le dé à 6 faces a 6 issues, de 1 à 6.

Quelle différence entre un événement certain, possible et impossible ?

Un événement certain se réalise à coup sûr (probabilité 1), un événement impossible ne se réalise jamais (probabilité 0). Entre les deux, il est possible : il peut arriver, sans garantie. Possible ne veut pas dire probable.

Comment calculer une probabilité en 6e ?

Quand toutes les issues ont la même chance (équiprobabilité), probabilité = nombre d’issues favorables ÷ nombre total d’issues, écrite en fraction et simplifiée. Avec 4 jetons verts sur 12, la probabilité de tirer un vert est 4/12 = 1/3.

Que faire quand les issues n’ont pas la même chance ?

On ne compte pas les couleurs : on se ramène à des parts égales. Sur une roue dont le rouge occupe la moitié, la probabilité du rouge est 1/2, même s’il y a trois couleurs. Et la somme des probabilités de toutes les issues vaut toujours 1.

Quel lien entre fréquence et probabilité ?

La fréquence est le nombre de fois où une issue est sortie divisé par le nombre d’essais. Quand on répète l’expérience un grand nombre de fois, la fréquence se rapproche en général de la probabilité ; si elle en reste très loin, l’objet est peut-être truqué.

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