À propos de cette page
Ce cours de mathématiques en sixième sur « Les probabilités » suit le programme officiel de mathématiques de sixième. Il présente les définitions, les propriétés et les méthodes essentielles, accompagnées d'exemples résolus pour bien comprendre. Au programme : Expérience aléatoire et issues, Événement certain, possible, impossible, Comparer des chances, Calculer une probabilité (fraction). Chaque notion est expliquée pas à pas, puis mise en pratique grâce à des exercices interactifs, un QCM et une évaluation corrigée. Idéal pour réviser à son rythme, combler ses lacunes et progresser, en autonomie ou avec un professeur. Cours rédigé par un professeur particulier à Marseille pour aider les élèves de sixième à réussir en mathématiques.
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Expérience aléatoire et issues
Le hasard s'étudie avec des mots précis : ce chapitre commence par apprendre ce vocabulaire.
Définitions. Une expérience aléatoire est une expérience dont on ne peut pas prévoir le résultat à l'avance. Chaque résultat possible s'appelle une issue.
Exemple. Lancer un dé à $6$ faces est une expérience aléatoire. Ses issues possibles sont $1$, $2$, $3$, $4$, $5$ et $6$.
Astuce. Avant tout calcul de probabilité, prends l'habitude de lister toutes les issues possibles : c'est la première étape indispensable.
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Événement certain, possible, impossible
Un événement est une situation qu'on décrit à partir des issues (par exemple « obtenir un nombre pair »). On le classe en trois familles.
Vocabulaire. Un événement est certain s'il se réalise à coup sûr. Il est impossible s'il ne peut jamais arriver. Il est possible (ou « ni certain ni impossible ») s'il peut se produire, sans garantie.
Exemple. Avec un dé à $6$ faces : « obtenir un nombre entre $1$ et $6$ » est certain ; « obtenir $8$ » est impossible ; « obtenir un $4$ » est possible.
Attention ! « Possible » ne veut pas dire « probable » : un événement possible peut avoir très peu de chances de se réaliser, tout en restant « possible » au sens mathématique.
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Comparer des chances
Avant même de calculer un nombre, on peut souvent dire quel événement a le plus de chances de se réaliser, en comptant les issues favorables.
Règle. Plus un événement a d'issues favorables (par rapport au nombre total d'issues), plus il est probable.
Exemple. Une urne contient $6$ billes rouges, $3$ bleues et $1$ verte. Tirer une bille rouge est plus probable que tirer une bille bleue, elle-même plus probable qu'une bille verte.
Astuce. Pour comparer deux événements, compte simplement le nombre d'issues qui les réalisent : le plus grand nombre gagne.
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Calculer une probabilité (fraction)
Quand toutes les issues ont la même chance de sortir, on peut calculer une probabilité précise, sous forme de fraction.
Formule. $\text{Probabilité} = \dfrac{\text{nombre d'issues favorables}}{\text{nombre total d'issues}}$.
Exemple. Probabilité d'obtenir un nombre pair avec un dé à $6$ faces : $3$ issues favorables ($2$, $4$, $6$) sur $6$ issues au total. $P = \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2}$.
Attention ! Cette formule ne fonctionne QUE si toutes les issues ont la même chance de se produire (dé équilibré, urne bien mélangée…) : c'est la notion d'équiprobabilité, vue dans la section suivante.
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Équiprobabilité : quand chaque issue a la même chance
La formule des probabilités par fraction ne s'applique que dans un cas particulier, très fréquent en 6e, mais pas systématique.
Définition. Une expérience est en situation d'équiprobabilité quand toutes ses issues ont exactement la même chance de se produire.
Exemple. Un dé non truqué et une pièce équilibrée sont en situation d'équiprobabilité. Une roue de loterie dont les secteurs colorés sont de tailles différentes n'est pas équiprobable : le secteur le plus grand sort plus souvent.
Attention ! Piège fréquent : croire que « le hasard » veut toujours dire « équiprobable ». Si une roue a un secteur rouge deux fois plus grand que le secteur bleu, la probabilité de tomber sur le rouge n'est PAS $\dfrac{1}{2}$ juste parce qu'il y a deux couleurs.
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La somme des probabilités vaut 1
Une propriété utile permet de vérifier un calcul de probabilités, ou de trouver rapidement la probabilité d'un événement « contraire ».
Règle. La somme des probabilités de toutes les issues possibles d'une expérience vaut toujours $1$ (soit $100\%$).
Exemple. Avec un dé équilibré, chaque face a une probabilité $\dfrac{1}{6}$. La somme des $6$ faces donne $6\times\dfrac{1}{6}=1$. Si $P(\text{pair})=\dfrac{1}{2}$, alors $P(\text{impair})=1-\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{2}$.
Astuce. Pour trouver la probabilité qu'un événement ne se produise pas, il suffit de calculer $1 - P(\text{événement})$, sans refaire tout le calcul depuis le début.
À retenir
- Expérience aléatoire : résultat imprévisible. Issue = un résultat possible.
- Événement certain (probabilité $1$), impossible (probabilité $0$), possible (entre les deux).
- Probabilité (si équiprobabilité) $= \dfrac{\text{issues favorables}}{\text{issues totales}}$.
- Équiprobabilité : toutes les issues ont la même chance (dé non truqué, pièce équilibrée).
- La somme des probabilités de toutes les issues vaut toujours $1$.