Les probabilités

On lance un dé équilibré à $6$ faces. Classe chaque événement : certain, possible ou impossible.

1. « Obtenir un nombre entre $1$ et $6$ » est
   Les issues sont $1$, $2$, $3$, $4$, $5$, $6$ : toutes sont entre $1$ et $6$. L’événement est certain.
2. « Obtenir $9$ » est
   Le dé n’a pas de face $9$ : aucune issue favorable, l’événement est impossible.
3. « Obtenir un nombre pair » est
   Il peut arriver ($2$, $4$ ou $6$), sans certitude : l’événement est possible.
4. « Obtenir un nombre inférieur à $10$ » est
   Toutes les faces ($1$ à $6$) sont inférieures à $10$ : l’événement est certain.

Une urne contient $5$ billes rouges, $3$ billes bleues et $2$ billes vertes. On tire une bille au hasard.

1. Combien de billes contient l’urne au total ?
   $5+3+2=10$ billes : il y a $10$ issues.
2. Combien d’issues sont favorables à « tirer une bille rouge » ?
   Chacune des $5$ billes rouges est une issue favorable.
3. Quelle couleur a le plus de chances d’être tirée ?
   Il y a $5$ billes rouges, plus que de bleues ($3$) ou de vertes ($2$) : le rouge a le plus de chances.

On lance un dé équilibré à $6$ faces. Donne la probabilité sous la forme a/b, simplifiée si possible (ou un entier).

1. Probabilité d’obtenir un $3$ :
   $1$ issue favorable sur $6$ : ${\displaystyle \frac{1}{6}}$.
2. Probabilité d’obtenir un nombre impair :
   $3$ issues favorables ($1$, $3$, $5$) sur $6$ : ${\displaystyle \frac{3}{6}}={\displaystyle \frac{1}{2}}$.
3. Probabilité d’obtenir un nombre supérieur ou égal à $4$ :
   $3$ issues favorables ($4$, $5$, $6$) sur $6$ : ${\displaystyle \frac{3}{6}}={\displaystyle \frac{1}{2}}$.
4. Probabilité d’obtenir $0$ :
   Aucune face ne porte $0$ : l’événement est impossible, sa probabilité est $0$.

Un sac contient $8$ jetons indiscernables numérotés de $1$ à $8$. On en tire un au hasard. Donne la probabilité (forme a/b simplifiée, ou un entier).

1. Probabilité de tirer un multiple de $4$ :
   Les multiples de $4$ entre $1$ et $8$ sont $4$ et $8$ : $2$ issues sur $8$, ${\displaystyle \frac{2}{8}}={\displaystyle \frac{1}{4}}$.
2. Probabilité de tirer un nombre supérieur à $6$ :
   $7$ et $8$ conviennent : ${\displaystyle \frac{2}{8}}={\displaystyle \frac{1}{4}}$.
3. Probabilité de tirer un nombre inférieur ou égal à $8$ :
   Tous les jetons conviennent : l’événement est certain, sa probabilité est $1$.

On tourne deux roues équilibrées, A puis B, chacune partagée en $3$ secteurs égaux numérotés $1$, $2$ et $3$, et on additionne les deux nombres obtenus. Le tableau à double entrée donne la somme pour chaque issue ; complète-le, puis donne les probabilités sous la forme a/b simplifiée.

1. Nombre total d’issues (de cases du tableau) :
   $3$ lignes et $3$ colonnes : $3\times 3=9$ issues, qui ont toutes la même chance.
2. Probabilité que la somme vaille $4$ :
   La somme $4$ apparaît dans $3$ cases ($1+3$, $2+2$, $3+1$) : ${\displaystyle \frac{3}{9}}={\displaystyle \frac{1}{3}}$.
3. Probabilité que la somme soit paire :
   Sommes paires : $2$ ($1$ case), $4$ ($3$ cases) et $6$ ($1$ case), soit $1+3+1=5$ cases : ${\displaystyle \frac{5}{9}}$.
4. Probabilité que la somme vaille $7$ :
   La plus grande somme est $3+3=6$ : aucune case ne contient $7$, l’événement est impossible, sa probabilité est $0$.

Lina lance une pièce $50$ fois. Elle obtient pile $27$ fois.

1. Combien de fois a-t-elle obtenu face ?
   $50-27=23$ fois face.
2. Fréquence de pile (forme a/b) :
   Fréquence $=$ nombre de piles ÷ nombre de lancers : ${\displaystyle \frac{27}{50}}$.
3. Fréquence de pile en écriture décimale :
   ${\displaystyle \frac{27}{50}}={\displaystyle \frac{54}{100}}=0,54$ (on multiplie en haut et en bas par $2$).
4. Fréquence de pile en pourcentage : %
   ${\displaystyle \frac{54}{100}}$, c’est $54$ %. C’est proche de $50$ %, la probabilité d’obtenir pile avec une pièce équilibrée.

Une roue de loterie équilibrée a $4$ secteurs identiques : rouge, bleu, vert, jaune. Donne la probabilité (forme a/b simplifiée).

1. Probabilité de tomber sur le rouge :
   $4$ secteurs identiques : chacun a la même chance, ${\displaystyle \frac{1}{4}}$.
2. Probabilité de tomber sur le rouge ou le bleu :
   $2$ secteurs favorables sur $4$ : ${\displaystyle \frac{2}{4}}={\displaystyle \frac{1}{2}}$.
3. Probabilité de ne pas tomber sur le jaune :
   Rouge, bleu ou vert : $3$ secteurs sur $4$, soit ${\displaystyle \frac{3}{4}}$. Autre façon : $1-{\displaystyle \frac{1}{4}}={\displaystyle \frac{3}{4}}$.

Une roue est partagée en $6$ parts égales : $3$ parts bleues, $2$ parts rouges et $1$ part verte. Donne les probabilités sous la forme a/b simplifiée.

1. Si les $3$ couleurs avaient la même chance, quelle serait la probabilité du bleu ?
   Avec $3$ couleurs de même chance, chacune aurait ${\displaystyle \frac{1}{3}}$. Mais ici les couleurs n’occupent pas autant de parts : il n’y a pas équiprobabilité entre les couleurs, on ne peut pas dire « $1$ chance sur $3$ ».
2. Quelle est la probabilité de tomber sur le bleu ?
   Les $6$ parts sont égales : $3$ parts bleues sur $6$, ${\displaystyle \frac{3}{6}}={\displaystyle \frac{1}{2}}$.
3. Quelle est la probabilité de tomber sur le vert ?
   $1$ part verte sur $6$ : ${\displaystyle \frac{1}{6}}$.
4. Quelle est la probabilité de ne pas tomber sur le vert ?
   Bleu ou rouge : $3+2=5$ parts sur $6$, soit ${\displaystyle \frac{5}{6}}$. Autre façon : $1-{\displaystyle \frac{1}{6}}={\displaystyle \frac{5}{6}}$.

Un dé à $6$ faces est lancé $600$ fois. Le $6$ sort $300$ fois.

1. Fréquence de sortie du $6$ (forme a/b simplifiée) :
   ${\displaystyle \frac{300}{600}}={\displaystyle \frac{1}{2}}$ : le $6$ est sorti une fois sur deux.
2. Avec un dé équilibré, quelle est la probabilité d’obtenir $6$ (forme a/b) ?
   $1$ issue favorable sur $6$ : ${\displaystyle \frac{1}{6}}$.
3. Sur $600$ lancers d’un dé équilibré, environ combien de $6$ attend-on ?
   Environ un lancer sur six : $600÷6=100$.
4. Ce dé est-il probablement équilibré ou truqué ?
   Sur $600$ lancers, on attendait environ $100$ fois le $6$ ; il est sorti $300$ fois. La fréquence (${\displaystyle \frac{1}{2}}$) est très loin de la probabilité (${\displaystyle \frac{1}{6}}$) sur un grand nombre d’essais : le dé est probablement truqué.