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Devoir surveillé : Vecteurs, géométrie dans le plan repéré et équations de droites

Maths 2ⁿᵈᵉ · un devoir qui mélange 3 chapitres, en 3 niveaux : ★ les bases, ★★ niveau DS classique, ★★★ pour aller plus loin. Sujets et corrigés détaillés, à faire en temps limité puis à corriger.

Niveau ★les basesNiveau ★★niveau DS classiqueNiveau ★★★pour aller plus loin

Niveau ★ — les bases · 60 min · noté sur 20.

⬇ Sujet niveau ★ (PDF) ⬇ Corrigé niveau ★ (PDF)

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Devoir surveillé – Vecteurs, géométrie dans le plan repéré et équations de droites — niveau ★

Durée : 60 min – Calculatrice interdite – Sur 20 points · Mathématiques 2ⁿᵈᵉ

Nom : Date : Note : / 20

Tous les calculs doivent figurer sur la copie. Les résultats seront donnés sous la forme la plus simple possible.

Exercice 1 – Automatismes

(5 pts)

a)On donne $\vec{u} (\binom{3}{- 1})$ et $\vec{v} (\binom{- 2}{4})$ . Calculer les coordonnées du vecteur $\vec{w} = 2 \vec{u} - \vec{v}$ .
b)Calculer la norme $‖ \vec{w} ‖$ .
c)Les vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont-ils colinéaires ? Justifier à l'aide du déterminant.
d)Donner le coefficient directeur et l'ordonnée à l'origine de la droite $d : 3 x - y + 2 = 0$ .
e)Donner un vecteur directeur de la droite $d$ .

Exercice 2 – Un quadrilatère dans le repère

(5 pts)

a)On donne $A (- 1; 2)$ , $B (3; 4)$ et $C (5; 0)$ . Calculer les coordonnées du milieu $I$ du segment $[A C]$ .
b)Calculer les longueurs $A B$ , $B C$ et $A C$ en valeur exacte simplifiée.
c)Démontrer que le triangle $A B C$ est rectangle et isocèle en $B$ .
d)Déterminer les coordonnées du point $D$ , symétrique de $B$ par rapport à $I$ .
e)En déduire la nature précise du quadrilatère $A B C D$ . Justifier.

Exercice 3 – Une droite, deux méthodes

(5 pts)

a)On donne $A (- 2; 1)$ et $B (4; 4)$ . Calculer le coefficient directeur de la droite $(A B)$ .
b)Déterminer l'équation réduite de la droite $(A B)$ .
c)Soit $M (x; y)$ un point du plan. En écrivant que $\vec{A M}$ et $\vec{A B}$ sont colinéaires, retrouver une équation cartésienne de $(A B)$ .
d)Les points $E (- 8; - 2)$ et $F (6; 6)$ appartiennent-ils à $(A B)$ ?
e)Déterminer l'équation réduite de la droite $d^{'}$ parallèle à $(A B)$ passant par $K (0; - 3)$ .

Exercice 4 – Problème — Deux tarifs de concert

(5 pts)

a)Une famille paie $64$ € pour $3$ places adulte et $2$ places enfant ; une autre paie $72$ € pour $2$ places adulte et $5$ places enfant. On note $x$ le prix d'une place adulte et $y$ celui d'une place enfant (en euros). Traduire la situation par un système.
b)Donner un vecteur directeur de chacune des droites associées aux deux équations et en déduire que le système a une unique solution.
c)Résoudre le système.
d)Combien paie un groupe de $4$ adultes et $3$ enfants ?
e)Interpréter géométriquement la solution trouvée.

Bon courage !

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Voir le corrigé et le barème

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Corrigé et barème – Vecteurs, géométrie dans le plan repéré et équations de droites — niveau ★

Durée : 60 min – Calculatrice interdite – Sur 20 points · Mathématiques 2ⁿᵈᵉ

Exercice 1 – Automatismes

(5 pts)

a) $2 \vec{u} (\binom{6}{- 2})$ , donc $\vec{w} (\binom{6 - (- 2)}{- 2 - 4})$ , soit $\vec{w} (\binom{8}{- 6})$ . (1 pt) (1)
b) $‖ \vec{w} ‖ = \sqrt{8^{2} + (- 6)^{2}} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10$ . (1 pt) (1)
c) $det (\vec{u}, \vec{v}) = 3 \times 4 - (- 1) \times (- 2) = 12 - 2 = 10 \neq 0$ : les vecteurs ne sont pas colinéaires. (1 pt) (1)
d) $3 x - y + 2 = 0 ⟺ y = 3 x + 2$ : coefficient directeur $3$ , ordonnée à l'origine $2$ . (1 pt) (1)
e)Pour $a x + b y + c = 0$ , le vecteur $(\binom{- b}{a})$ dirige la droite : ici $a = 3$ , $b = - 1$ , d'où $(\binom{1}{3})$ (cohérent avec le coefficient directeur $3$ : on avance de $1$ , on monte de $3$ ). (1 pt) (1)

Méthode — Un vecteur directeur $(\binom{1}{m})$ se lit directement sur l'équation réduite $y = m x + p$ : c'est le lien le plus rapide entre vecteurs et droites.

Exercice 2 – Un quadrilatère dans le repère

(5 pts)

a) $I (\frac{- 1 + 5}{2}; \frac{2 + 0}{2})$ , soit $I (2; 1)$ . (1 pt) (1)
b) $\vec{A B} (\binom{4}{2})$ : $A B = \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20} = 2 \sqrt{5}$ ; $\vec{B C} (\binom{2}{- 4})$ : $B C = \sqrt{4 + 16} = 2 \sqrt{5}$ ; $\vec{A C} (\binom{6}{- 2})$ : $A C = \sqrt{36 + 4} = \sqrt{40} = 2 \sqrt{10}$ . (1 pt) (1)
c) $A B^{2} + B C^{2} = 20 + 20 = 40 = A C^{2}$ : d'après la réciproque du théorème de Pythagore, $A B C$ est rectangle en $B$ ; comme $A B = B C$ , il est aussi isocèle en $B$ . (1 pt) (1)
d) $I$ est le milieu de $[B D]$ : $x_{D} = 2 x_{I} - x_{B} = 4 - 3 = 1$ et $y_{D} = 2 y_{I} - y_{B} = 2 - 4 = - 2$ , donc $D (1; - 2)$ . (1 pt) (1)
e)Les diagonales $[A C]$ et $[B D]$ ont le même milieu $I$ : $A B C D$ est un parallélogramme. Il a un angle droit en $B$ : c'est un rectangle. Deux côtés consécutifs sont égaux ( $A B = B C$ ) : c'est un carré. (1 pt) (1)

Piège — Pour conclure « carré », il faut trois étapes : parallélogramme, puis angle droit, puis deux côtés consécutifs égaux ; oublier l'une d'elles rend la justification incomplète.

Exercice 3 – Une droite, deux méthodes

(5 pts)

a) $m = \frac{y_{B} - y_{A}}{x_{B} - x_{A}} = \frac{4 - 1}{4 - (- 2)} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$ . (1 pt) (1)
b) $y = \frac{1}{2} x + p$ et $A \in (A B)$ : $1 = \frac{1}{2} \times (- 2) + p$ , donc $p = 2$ . Équation : $y = \frac{1}{2} x + 2$ (vérification avec $B$ : $2 + 2 = 4$ ). (1 pt) (1)
c) $\vec{A M} (\binom{x + 2}{y - 1})$ et $\vec{A B} (\binom{6}{3})$ ; $det (\vec{A M}, \vec{A B}) = 3 (x + 2) - 6 (y - 1) = 3 x - 6 y + 12$ . Donc $M \in (A B) ⟺ 3 x - 6 y + 12 = 0 ⟺ x - 2 y + 4 = 0$ , équivalente à $y = \frac{1}{2} x + 2$ . (1 pt) (1)
d)Pour $E$ : $\frac{1}{2} \times (- 8) + 2 = - 2 = y_{E}$ , donc $E \in (A B)$ . Pour $F$ : $\frac{1}{2} \times 6 + 2 = 5 \neq 6$ , donc $F \notin (A B)$ . (1 pt) (1)
e)Des droites parallèles ont le même coefficient directeur : $d^{'} : y = \frac{1}{2} x + p^{'}$ et $K$ donne $p^{'} = - 3$ , soit $y = \frac{1}{2} x - 3$ . (1 pt) (1)

Astuce — La condition $det (\vec{A M}, \vec{A B}) = 0$ fournit directement une équation cartésienne, sans calculer d'abord le coefficient directeur : pratique quand la droite est verticale.

Exercice 4 – Problème — Deux tarifs de concert

(5 pts)

a) ${\begin{matrix} 3 x + 2 y = 64 \\ 2 x + 5 y = 72 \end{matrix}$ (1 pt) (1)
b) $3 x + 2 y - 64 = 0$ est dirigée par $\vec{u} (\binom{- 2}{3})$ et $2 x + 5 y - 72 = 0$ par $\vec{v} (\binom{- 5}{2})$ . $det (\vec{u}, \vec{v}) = (- 2) \times 2 - 3 \times (- 5) = - 4 + 15 = 11 \neq 0$ : les droites sont sécantes, le système a une unique solution. (1 pt) (1)
c)On multiplie la 1re équation par $5$ et la 2e par $2$ : $15 x + 10 y = 320$ et $4 x + 10 y = 144$ . Par soustraction, $11 x = 176$ , donc $x = 16$ . Puis $2 y = 64 - 48 = 16$ , donc $y = 8$ . Vérification : $2 \times 16 + 5 \times 8 = 72$ . Place adulte $16$ €, place enfant $8$ €. (1 pt) (1)
d) $4 \times 16 + 3 \times 8 = 64 + 24 = 88$ : le groupe paie $88$ €. (1 pt) (1)
e)Le couple $(16; 8)$ est le point d'intersection des droites d'équations $3 x + 2 y = 64$ et $2 x + 5 y = 72$ . (1 pt) (1)

Erreur fréquente — Après avoir trouvé $x$ , on oublie souvent de vérifier la solution dans l'équation qui n'a pas servi : c'est pourtant le contrôle le plus sûr.

Niveau ★★ — niveau DS classique · 120 min · noté sur 20.

⬇ Sujet niveau ★★ (PDF) ⬇ Corrigé niveau ★★ (PDF)

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Devoir surveillé – Vecteurs, géométrie dans le plan repéré et équations de droites — niveau ★★

Durée : 120 min – Calculatrice interdite – Sur 20 points · Mathématiques 2ⁿᵈᵉ

Nom : Date : Note : / 20

Tous les calculs doivent figurer sur la copie. Les résultats seront donnés sous la forme la plus simple possible.

Exercice 1 – Automatismes

(3 pts)

a) $A$ , $B$ , $C$ , $D$ sont quatre points quelconques. Simplifier $\vec{A B} - \vec{C B} + \vec{C D} - \vec{A D}$ .
b)Déterminer le réel $k$ tel que $\vec{v} (\binom{6}{k})$ soit colinéaire à $\vec{u} (\binom{- 4}{6})$ , puis écrire $\vec{v}$ comme multiple de $\vec{u}$ .
c)Donner le coefficient directeur et un vecteur directeur de la droite $d : 2 x + 3 y - 6 = 0$ .
d)Déterminer l'équation réduite de la droite de coefficient directeur $- 3$ passant par $P (1; - 2)$ .

Exercice 2 – Médianes d'un triangle

(4 pts)

a)On donne $A (- 3; - 1)$ , $B (5; 3)$ et $C (1; 7)$ . Calculer les coordonnées des milieux $I$ de $[B C]$ et $J$ de $[A C]$ .
b)Déterminer l'équation réduite de la médiane $(A I)$ .
c)Déterminer une équation de la médiane $(B J)$ .
d)Déterminer les coordonnées du point $G$ , intersection de $(A I)$ et $(B J)$ , puis vérifier que $\vec{A G} = \frac{2}{3} \vec{A I}$ .
e)Montrer que le triangle $A B C$ est isocèle en $A$ . Que représente alors la droite $(A I)$ pour le segment $[B C]$ ? Justifier.

Exercice 3 – Alignement dans une base

(4 pts)

a) $A B C$ est un triangle. $D$ est le point tel que $\vec{A D} = \frac{1}{3} \vec{A B}$ et $E$ le milieu de $[A C]$ . Exprimer $\vec{D E}$ en fonction de $\vec{A B}$ et $\vec{A C}$ .
b)Soit $t$ un réel et $F$ le point tel que $\vec{B F} = t \vec{B C}$ . Montrer que $\vec{D F} = (\frac{2}{3} - t) \vec{A B} + t \vec{A C}$ .
c)Déterminer $t$ pour que les points $D$ , $E$ et $F$ soient alignés.
d)Pour cette valeur de $t$ , exprimer $\vec{D F}$ en fonction de $\vec{D E}$ et préciser la position de $E$ sur $[D F]$ .
e)Contrôle dans un repère : on prend $A (0; 0)$ , $B (6; 0)$ et $C (2; 4)$ . Calculer les coordonnées de $D$ , $E$ et $F$ , puis vérifier l'alignement à l'aide d'une équation de la droite $(D E)$ .

Exercice 4 – Qui a raison ?

(4 pts)

a)Vrai ou faux, avec justification : « Les droites $d : 4 x - 6 y + 1 = 0$ et $d^{'} : y = \frac{2}{3} x - 5$ sont sécantes. »
b)Vrai ou faux : « Le point $M (2; 1)$ appartient à la médiatrice du segment $[P Q]$ , avec $P (- 1; 5)$ et $Q (6; 4)$ . »
c)Vrai ou faux : « Les vecteurs $\vec{u} (\binom{\sqrt{2}}{1})$ et $\vec{v} (\binom{2}{\sqrt{2}})$ sont colinéaires. »
d)Vrai ou faux : « Le système ${\begin{matrix} 2 x - y = 3 \\ - 6 x + 3 y = 1 \end{matrix}$ admet une unique solution. »
e)Vrai ou faux : « La droite passant par $R (- 2; 5)$ et $S (- 2; - 1)$ a pour équation $y = - 2$ . »

Exercice 5 – Problème — Course d'orientation

(5 pts)

Dans un repère orthonormé d'unité $100$ m, le départ est en $S (- 2; 1)$ et la première balise en $B (4; 3)$ . a) Montrer qu'une équation cartésienne de la droite $(S B)$ est $x - 3 y + 5 = 0$ .

a)Après la balise, un coureur continue en ligne droite jusqu'à la route $ρ : x + y - 11 = 0$ . Déterminer les coordonnées du point $P$ où il atteint la route, puis montrer que $\vec{S P} = \frac{3}{2} \vec{S B}$ .
b)Calculer la longueur $S P$ en valeur exacte, puis en mètres à l'unité près.
c)Un poste de secours $T$ doit être installé sur la route $ρ$ , à égale distance de $S$ et de $B$ . Déterminer les coordonnées de $T$ , puis la distance $T S$ en mètres à l'unité près.

Bon courage !

Voir le corrigé et le barème

benprofparticulier.frMathématiques · 2ⁿᵈᵉ

Corrigé et barème – Vecteurs, géométrie dans le plan repéré et équations de droites — niveau ★★

Durée : 120 min – Calculatrice interdite – Sur 20 points · Mathématiques 2ⁿᵈᵉ

Exercice 1 – Automatismes

(3 pts)

a) $\vec{A B} - \vec{C B} + \vec{C D} - \vec{A D} = \vec{A B} + \vec{B C} + \vec{C D} + \vec{D A} = \vec{A A} = \vec{0}$ (relation de Chasles). (0,5 pt) (0,75)
b) $det (\vec{u}, \vec{v}) = (- 4) \times k - 6 \times 6 = - 4 k - 36 = 0 ⟺ k = - 9$ . Alors $\vec{v} (\binom{6}{- 9}) = - \frac{3}{2} (\binom{- 4}{6})$ , soit $\vec{v} = - \frac{3}{2} \vec{u}$ . (1 pt) (0,75)
c) $3 y = - 2 x + 6 ⟺ y = - \frac{2}{3} x + 2$ : coefficient directeur $- \frac{2}{3}$ ; vecteur directeur $(\binom{- b}{a}) = (\binom{- 3}{2})$ . (1 pt) (0,75)
d) $y = - 3 x + p$ avec $- 2 = - 3 \times 1 + p$ , donc $p = 1$ : $y = - 3 x + 1$ . (0,5 pt) (0,75)

Piège — Dans une somme de vecteurs, on transforme d'abord chaque soustraction : $- \vec{C B} = \vec{B C}$ ; la relation de Chasles ne s'applique qu'aux vecteurs mis bout à bout.

Exercice 2 – Médianes d'un triangle

(4 pts)

a) $I (\frac{5 + 1}{2}; \frac{3 + 7}{2}) = (3; 5)$ et $J (\frac{- 3 + 1}{2}; \frac{- 1 + 7}{2}) = (- 1; 3)$ . (0,5 pt) (0,8)
b) $m = \frac{5 - (- 1)}{3 - (- 3)} = 1$ ; $y = x + p$ avec $- 1 = - 3 + p$ , donc $p = 2$ : $(A I) : y = x + 2$ (vérification : $3 + 2 = 5$ ). (1 pt) (0,8)
c) $B$ et $J$ ont la même ordonnée $3$ : $(B J)$ est horizontale, d'équation $y = 3$ . (0,5 pt) (0,8)
d) $y = 3$ et $y = x + 2$ donnent $x = 1$ : $G (1; 3)$ . $\vec{A G} (\binom{4}{4})$ et $\vec{A I} (\binom{6}{6})$ ; $\frac{2}{3} (\binom{6}{6}) = (\binom{4}{4})$ , donc $\vec{A G} = \frac{2}{3} \vec{A I}$ . (1 pt) (0,8)
e) $\vec{A B} (\binom{8}{4})$ : $A B = \sqrt{80}$ ; $\vec{A C} (\binom{4}{8})$ : $A C = \sqrt{80}$ . Donc $A B = A C$ : $A B C$ est isocèle en $A$ . $A$ est équidistant de $B$ et $C$ , et $I$ aussi (milieu) : $A$ et $I$ sont sur la médiatrice de $[B C]$ , donc $(A I)$ est la médiatrice de $[B C]$ . (1 pt) (0,8)

Méthode — Pour trouver l'intersection de deux droites, on commence par celle dont l'équation est la plus simple (horizontale ou verticale) : la substitution devient immédiate.

Exercice 3 – Alignement dans une base

(4 pts)

a) $\vec{D E} = \vec{D A} + \vec{A E} = - \frac{1}{3} \vec{A B} + \frac{1}{2} \vec{A C}$ . (0,5 pt) (0,8)
b) $\vec{D F} = \vec{D A} + \vec{A B} + \vec{B F} = - \frac{1}{3} \vec{A B} + \vec{A B} + t (\vec{B A} + \vec{A C}) = \frac{2}{3} \vec{A B} - t \vec{A B} + t \vec{A C} = (\frac{2}{3} - t) \vec{A B} + t \vec{A C}$ . (1 pt) (0,8)
c) $D$ , $E$ , $F$ alignés $⟺$ il existe $λ$ tel que $\vec{D F} = λ \vec{D E}$ . $(\vec{A B}, \vec{A C})$ étant une base, la décomposition est unique : $\frac{2}{3} - t = - \frac{λ}{3}$ et $t = \frac{λ}{2}$ . Donc $λ = 2 t$ et $\frac{2}{3} - t = - \frac{2 t}{3}$ , d'où $\frac{2}{3} = \frac{t}{3}$ , soit $t = 2$ . (1 pt) (0,8)
d) $t = 2$ , $λ = 4$ : $\vec{D F} = - \frac{4}{3} \vec{A B} + 2 \vec{A C} = 4 \vec{D E}$ . $\vec{D E}$ et $\vec{D F}$ sont de même sens et $D E = \frac{1}{4} D F$ : $E$ est sur $[D F]$ , au quart de $D$ vers $F$ . (0,5 pt) (0,8)
e) $D (2; 0)$ , $E (1; 2)$ ; $\vec{B C} (\binom{- 4}{4})$ donc $F = B + 2 \vec{B C}$ , soit $F (- 2; 8)$ . $(D E)$ : $m = \frac{2 - 0}{1 - 2} = - 2$ , $y = - 2 x + 4$ . Pour $F$ : $- 2 \times (- 2) + 4 = 8 = y_{F}$ : $F \in (D E)$ . (1 pt) (0,8)

Astuce — L'unicité de la décomposition dans une base permet d'identifier les coefficients : une égalité vectorielle devient un système de deux équations.

Exercice 4 – Qui a raison ?

(4 pts)

a)Faux. $6 y = 4 x + 1 ⟺ y = \frac{2}{3} x + \frac{1}{6}$ : même coefficient directeur $\frac{2}{3}$ que $d^{'}$ , ordonnées à l'origine différentes ; les droites sont strictement parallèles. (1 pt) (0,8)
b)Vrai. $\vec{M P} (\binom{- 3}{4})$ : $M P = \sqrt{9 + 16} = 5$ ; $\vec{M Q} (\binom{4}{3})$ : $M Q = \sqrt{16 + 9} = 5$ . $M$ est équidistant de $P$ et $Q$ , donc il est sur la médiatrice de $[P Q]$ . (1 pt) (0,8)
c)Vrai. $det (\vec{u}, \vec{v}) = \sqrt{2} \times \sqrt{2} - 1 \times 2 = 2 - 2 = 0$ . (0,5 pt) (0,8)
d)Faux. En multipliant la 1re équation par $- 3$ : $- 6 x + 3 y = - 9$ , incompatible avec $- 6 x + 3 y = 1$ . Aucune solution : les droites sont strictement parallèles. (1 pt) (0,8)
e)Faux. $R$ et $S$ ont la même abscisse $- 2$ : la droite est verticale, d'équation $x = - 2$ . (0,5 pt) (0,8)

Erreur fréquente — Confondre $x = - 2$ et $y = - 2$ : une droite verticale n'a pas d'équation réduite de la forme $y = m x + p$ , on la repère à l'abscisse commune de ses points.

Exercice 5 – Problème — Course d'orientation

(5 pts)

a) $S$ : $- 2 - 3 \times 1 + 5 = 0$ ✓ ; $B$ : $4 - 3 \times 3 + 5 = 0$ ✓. Deux points distincts vérifient cette équation de droite, c'est donc une équation de $(S B)$ . (1 pt) (1,25)
b)On résout ${\begin{matrix} x - 3 y + 5 = 0 \\ x + y - 11 = 0 \end{matrix}$ : par soustraction, $- 4 y + 16 = 0$ , donc $y = 4$ puis $x = 7$ : $P (7; 4)$ . $\vec{S P} (\binom{9}{3})$ et $\vec{S B} (\binom{6}{2})$ : $\frac{3}{2} (\binom{6}{2}) = (\binom{9}{3})$ , donc $\vec{S P} = \frac{3}{2} \vec{S B}$ ( $P$ est bien au-delà de $B$ ). (1,5 pt) (1,25)
c) $S P = \sqrt{9^{2} + 3^{2}} = \sqrt{90} = 3 \sqrt{10} \approx 9, 487$ unités, soit environ $949$ m. (1 pt) (1,25)
d) $T \in ρ$ : $T (x; 11 - x)$ . $T S^{2} = (x + 2)^{2} + (10 - x)^{2} = 2 x^{2} - 16 x + 104$ et $T B^{2} = (x - 4)^{2} + (8 - x)^{2} = 2 x^{2} - 24 x + 80$ . $T S = T B ⟺ - 16 x + 104 = - 24 x + 80 ⟺ 8 x = - 24 ⟺ x = - 3$ : $T (- 3; 14)$ . $T S = \sqrt{1^{2} + (- 13)^{2}} = \sqrt{170} \approx 13, 04$ unités, soit environ $1 304$ m (et $T B = \sqrt{49 + 121} = \sqrt{170}$ ✓). (1,5 pt) (1,25)

Méthode — Pour trouver un point d'une droite, on le paramètre avec une seule inconnue grâce à l'équation de la droite, puis on traduit la condition imposée ; comparer des carrés de distances évite les racines.

Niveau ★★★ — pour aller plus loin · 120 min · noté sur 20.

⬇ Sujet niveau ★★★ (PDF) ⬇ Corrigé niveau ★★★ (PDF)

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Devoir surveillé – Vecteurs, géométrie dans le plan repéré et équations de droites — niveau ★★★

Durée : 120 min – Calculatrice interdite – Sur 20 points · Mathématiques 2ⁿᵈᵉ

Nom : Date : Note : / 20

Tous les calculs doivent figurer sur la copie. Les résultats seront donnés sous la forme la plus simple possible.

Exercice 1 – Démontrer — Une diagonale et une médiane

(4 pts)

$A B C D$ est un parallélogramme, $I$ est le milieu de $[C D]$ et $E$ le point tel que $\vec{A E} = \frac{2}{3} \vec{A I}$ . a) Exprimer $\vec{A I}$ puis $\vec{A E}$ dans la base $(\vec{A B}, \vec{A D})$ .

a)Démontrer que les points $B$ , $E$ et $D$ sont alignés et préciser la position de $E$ sur $[B D]$ .
b)Généralisation : $M$ est le point tel que $\vec{A M} = k \vec{A I}$ , avec $k$ réel. Démontrer que $M$ appartient à $(B D)$ si et seulement si $k = \frac{2}{3}$ .
c)Contrôle : dans un repère orthonormé, $A (0; 0)$ , $B (6; 0)$ et $D (2; 3)$ . Calculer les coordonnées de $C$ , $I$ et $E$ , puis vérifier que $E$ appartient à la droite $(B D)$ à l'aide de son équation réduite.

Exercice 2 – Une famille de systèmes

(4 pts)

Pour tout réel $m$ , on considère le système $(S_{m}) : {\begin{matrix} m x + 2 y = 4 \\ 2 x + m y = m + 2 \end{matrix}$ et les droites $d_{m}$ et $d_{m}^{'}$ associées à ses deux équations. a) Donner un vecteur directeur de $d_{m}$ et de $d_{m}^{'}$ , puis démontrer que ces droites sont sécantes si et seulement si $m \neq 2$ et $m \neq - 2$ .

a)Étudier les cas $m = 2$ et $m = - 2$ : préciser la position des droites et l'ensemble des solutions de $(S_{m})$ .
b)On suppose $m \neq 2$ et $m \neq - 2$ . Résoudre $(S_{m})$ et montrer que sa solution est $(\frac{2}{m + 2}; \frac{m + 4}{m + 2})$ .
c)Démontrer que tous les points d'intersection $M_{m}$ obtenus en c) sont sur une même droite $Δ$ , dont on donnera l'équation réduite.
d)Recherche : quels points de $Δ$ sont effectivement obtenus comme point $M_{m}$ ? Justifier.

Exercice 3 – Démontrer — Le quadrilatère des milieux

(4 pts)

a) $A$ , $B$ , $C$ sont trois points, $I$ le milieu de $[A B]$ et $J$ celui de $[B C]$ . Démontrer que $\vec{I J} = \frac{1}{2} \vec{A C}$ .
b) $A B C D$ est un quadrilatère quelconque et $I$ , $J$ , $K$ , $L$ sont les milieux de $[A B]$ , $[B C]$ , $[C D]$ , $[D A]$ . Démontrer que $I J K L$ est un parallélogramme.
c)Dans un repère orthonormé, $A (- 4; 1)$ , $B (2; - 3)$ , $C (6; 5)$ et $D (- 2; 7)$ . Calculer les coordonnées de $I$ , $J$ , $K$ , $L$ et vérifier le résultat de b).
d)Déterminer la nature précise de $I J K L$ dans ce cas.
e)Recherche : quelle condition sur les diagonales $[A C]$ et $[B D]$ de $A B C D$ garantit que $I J K L$ est un losange ? Justifier.

Exercice 4 – Problème — Le plus court chemin par la rivière

(4 pts)

Dans un repère orthonormé d'unité $100$ m, une rivière suit l'axe des abscisses. Une randonneuse part de $A (1; 3)$ , doit remplir sa gourde en un point $M$ de la rivière, puis rejoindre son refuge $B (7; 5)$ . On note $A^{'} (1; - 3)$ . a) Démontrer que, pour tout point $M$ de l'axe des abscisses, $A M = A^{'} M$ .

a)En déduire que $A M + M B ⩾ A^{'} B$ , et préciser pour quels points $M$ il y a égalité.
b)Déterminer les coordonnées du point $M_{0}$ qui rend le trajet $A M + M B$ le plus court possible.
c)Calculer $A M_{0}$ et $M_{0} B$ , puis la longueur minimale du trajet en mètres.
d)Un raccourci intuitif consiste à viser le point $N (4; 0)$ . Combien de mètres ce choix fait-il perdre, à l'unité près ?

Exercice 5 – Pour aller plus loin — Aire et déterminant

(4 pts)

Dans un repère orthonormé d'origine $O$ , on considère $U (a; b)$ et $V (c; d)$ . a) Cas numérique : $U (6; 2)$ et $V (2; 5)$ . Calculer l'aire du triangle $O U V$ en retranchant trois triangles rectangles au rectangle de sommets $O$ , $(6; 0)$ , $(6; 5)$ , $(0; 5)$ , et la comparer à $det (\vec{O U}, \vec{O V})$ .

a)Démontrer que, si $0 < c < a$ et $0 < b < d$ , l'aire du triangle $O U V$ vaut $\frac{a d - b c}{2}$ .
b)On admet que, dans tous les cas, l'aire d'un triangle $A B C$ vaut $\frac{| det (\vec{A B}, \vec{A C}) |}{2}$ . Calculer l'aire du triangle $A B C$ avec $A (- 2; - 1)$ , $B (3; 1)$ et $C (0; 4)$ .
c)Déterminer les points $M$ de l'axe des abscisses tels que l'aire du triangle $A B M$ soit égale à $10$ .
d)Pour un réel $k$ , montrer que l'ensemble des points $M (x; y)$ tels que $det (\vec{A B}, \vec{A M}) = k$ est une droite parallèle à $(A B)$ . Interpréter le résultat de d).

Bon courage !

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Corrigé et barème – Vecteurs, géométrie dans le plan repéré et équations de droites — niveau ★★★

Durée : 120 min – Calculatrice interdite – Sur 20 points · Mathématiques 2ⁿᵈᵉ

Exercice 1 – Démontrer — Une diagonale et une médiane

(4 pts)

a) $\vec{A I} = \vec{A D} + \vec{D I} = \vec{A D} + \frac{1}{2} \vec{D C} = \frac{1}{2} \vec{A B} + \vec{A D}$ (car $\vec{D C} = \vec{A B}$ ). Donc $\vec{A E} = \frac{1}{3} \vec{A B} + \frac{2}{3} \vec{A D}$ . (0,5 pt) (1)
b) $\vec{B E} = \vec{B A} + \vec{A E} = - \vec{A B} + \frac{1}{3} \vec{A B} + \frac{2}{3} \vec{A D} = - \frac{2}{3} \vec{A B} + \frac{2}{3} \vec{A D} = \frac{2}{3} (\vec{A D} - \vec{A B}) = \frac{2}{3} \vec{B D}$ . Les vecteurs $\vec{B E}$ et $\vec{B D}$ sont colinéaires : $B$ , $E$ , $D$ sont alignés, et $E$ est sur $[B D]$ aux deux tiers en partant de $B$ . (1,5 pt) (1)
c) $\vec{A M} = \frac{k}{2} \vec{A B} + k \vec{A D}$ , donc $\vec{B M} = (\frac{k}{2} - 1) \vec{A B} + k \vec{A D}$ , et $\vec{B D} = - \vec{A B} + \vec{A D}$ . $M \in (B D) ⟺$ il existe $λ$ avec $\vec{B M} = λ \vec{B D}$ ; par unicité de la décomposition : $\frac{k}{2} - 1 = - λ$ et $k = λ$ , donc $\frac{k}{2} - 1 = - k ⟺ \frac{3 k}{2} = 1 ⟺ k = \frac{2}{3}$ . Réciproquement, $k = \frac{2}{3}$ donne $\vec{B M} = \frac{2}{3} \vec{B D}$ . (1 pt) (1)
d) $\vec{D C} = \vec{A B}$ donne $C (8; 3)$ ; $I (5; 3)$ ; $\vec{A E} = \frac{2}{3} (\binom{5}{3})$ , donc $E (\frac{10}{3}; 2)$ . $(B D)$ : $m = \frac{3 - 0}{2 - 6} = - \frac{3}{4}$ , $y = - \frac{3}{4} x + \frac{9}{2}$ . Pour $x = \frac{10}{3}$ : $- \frac{10}{4} + \frac{9}{2} = \frac{- 5 + 9}{2} = 2 = y_{E}$ ✓. (1 pt) (1)

Méthode — Pour démontrer un alignement sans repère, on exprime tous les vecteurs dans une même base, puis on cherche un coefficient de proportionnalité ; l'unicité de la décomposition fait le reste.

Exercice 2 – Une famille de systèmes

(4 pts)

a) $d_{m} : m x + 2 y - 4 = 0$ est dirigée par $\vec{u} (\binom{- 2}{m})$ et $d_{m}^{'} : 2 x + m y - (m + 2) = 0$ par $\vec{v} (\binom{- m}{2})$ . $det (\vec{u}, \vec{v}) = (- 2) \times 2 - m \times (- m) = m^{2} - 4 = (m - 2) (m + 2)$ . Les droites sont sécantes $⟺$ $\vec{u}$ , $\vec{v}$ non colinéaires $⟺ m^{2} - 4 \neq 0 ⟺ m \neq 2$ et $m \neq - 2$ . (1 pt) (0,8)
b) $m = 2$ : les deux équations s'écrivent $2 x + 2 y = 4$ ; droites confondues ( $y = - x + 2$ ), infinité de solutions : tous les couples $(x; 2 - x)$ . $m = - 2$ : $- 2 x + 2 y = 4 ⟺ y = x + 2$ et $2 x - 2 y = 0 ⟺ y = x$ ; même coefficient directeur, ordonnées à l'origine différentes : droites strictement parallèles, aucune solution. (1 pt) (0,8)
c)On multiplie la 1re équation par $m$ et la 2e par $2$ : $m^{2} x + 2 m y = 4 m$ et $4 x + 2 m y = 2 m + 4$ . Par soustraction : $(m^{2} - 4) x = 2 m - 4 = 2 (m - 2)$ , d'où $x = \frac{2 (m - 2)}{(m - 2) (m + 2)} = \frac{2}{m + 2}$ . Puis $2 y = 4 - \frac{2 m}{m + 2} = \frac{4 m + 8 - 2 m}{m + 2} = \frac{2 m + 8}{m + 2}$ , donc $y = \frac{m + 4}{m + 2}$ . (1 pt) (0,8)
d) $y = \frac{m + 2 + 2}{m + 2} = 1 + \frac{2}{m + 2} = 1 + x$ : tous les $M_{m}$ sont sur $Δ : y = x + 1$ . (0,5 pt) (0,8)
e)Un point de $Δ$ d'abscisse $x$ est un $M_{m}$ si et seulement si $x = \frac{2}{m + 2}$ avec $m \neq \pm 2$ . On a toujours $x \neq 0$ ; pour $x \neq 0$ , $m = \frac{2}{x} - 2$ , qui vaut $- 2$ jamais et vaut $2$ exactement quand $x = \frac{1}{2}$ . Tous les points de $Δ$ sont obtenus sauf $(0; 1)$ et $(\frac{1}{2}; \frac{3}{2})$ . (0,5 pt) (0,8)

Piège — On ne divise par $m^{2} - 4$ qu'après avoir traité à part les valeurs qui l'annulent : ce sont justement elles qui donnent les cas « aucune solution » et « infinité de solutions ».

Exercice 3 – Démontrer — Le quadrilatère des milieux

(4 pts)

a) $\vec{I J} = \vec{I B} + \vec{B J} = \frac{1}{2} \vec{A B} + \frac{1}{2} \vec{B C} = \frac{1}{2} (\vec{A B} + \vec{B C}) = \frac{1}{2} \vec{A C}$ . (1 pt) (0,8)
b)D'après a) dans le triangle $A B C$ : $\vec{I J} = \frac{1}{2} \vec{A C}$ ; dans le triangle $A D C$ avec les milieux $L$ de $[A D]$ et $K$ de $[D C]$ : $\vec{L K} = \frac{1}{2} \vec{A C}$ . Donc $\vec{I J} = \vec{L K}$ : $I J K L$ est un parallélogramme. (0,5 pt) (0,8)
c) $I (- 1; - 1)$ , $J (4; 1)$ , $K (2; 6)$ , $L (- 3; 4)$ . $\vec{I J} (\binom{5}{2})$ et $\vec{L K} (\binom{2 - (- 3)}{6 - 4}) = (\binom{5}{2})$ : $\vec{I J} = \vec{L K}$ ✓. (1 pt) (0,8)
d) $I J^{2} = 25 + 4 = 29$ ; $\vec{J K} (\binom{- 2}{5})$ : $J K^{2} = 4 + 25 = 29$ ; $\vec{I K} (\binom{3}{7})$ : $I K^{2} = 9 + 49 = 58 = I J^{2} + J K^{2}$ . Réciproque de Pythagore : angle droit en $J$ ; parallélogramme avec un angle droit et deux côtés consécutifs égaux : $I J K L$ est un carré. (1 pt) (0,8)
e) $I J = \frac{1}{2} A C$ et, de même dans le triangle $B C D$ , $J K = \frac{1}{2} B D$ . Le parallélogramme $I J K L$ est un losange $⟺ I J = J K ⟺ A C = B D$ : il faut et il suffit que les diagonales de $A B C D$ aient la même longueur. (0,5 pt) (0,8)

Astuce — Les côtés du quadrilatère des milieux sont des moitiés des diagonales : toute propriété de $I J K L$ se traduit en une propriété des diagonales $[A C]$ et $[B D]$ .

Exercice 4 – Problème — Le plus court chemin par la rivière

(4 pts)

a) $M (x; 0)$ : $A M^{2} = (x - 1)^{2} + (0 - 3)^{2} = (x - 1)^{2} + 9$ et $A^{'} M^{2} = (x - 1)^{2} + (0 + 3)^{2} = (x - 1)^{2} + 9$ . Des distances positives de même carré sont égales : $A M = A^{'} M$ . (0,5 pt) (0,8)
b) $A M + M B = A^{'} M + M B ⩾ A^{'} B$ par l'inégalité triangulaire, avec égalité si et seulement si $M \in [A^{'} B]$ . $A^{'}$ est sous l'axe et $B$ au-dessus : $[A^{'} B]$ coupe bien l'axe, en un unique point. (1 pt) (0,8)
c) $(A^{'} B)$ : $m = \frac{5 - (- 3)}{7 - 1} = \frac{4}{3}$ , $y = \frac{4}{3} x + p$ avec $- 3 = \frac{4}{3} + p$ , donc $p = - \frac{13}{3}$ : $y = \frac{4}{3} x - \frac{13}{3}$ . $y = 0 ⟺ 4 x = 13 ⟺ x = \frac{13}{4}$ : $M_{0} (\frac{13}{4}; 0)$ , et $1 < \frac{13}{4} < 7$ donc $M_{0} \in [A^{'} B]$ . (1,5 pt) (0,8)
d) $A M_{0} = \sqrt{{(\frac{9}{4})}^{2} + 3^{2}} = \sqrt{\frac{81 + 144}{16}} = \frac{15}{4}$ ; $M_{0} B = \sqrt{{(\frac{15}{4})}^{2} + 5^{2}} = \sqrt{\frac{225 + 400}{16}} = \frac{25}{4}$ . Total $\frac{40}{4} = 10$ unités $= A^{'} B = \sqrt{36 + 64}$ ✓, soit $1 000$ m. (0,5 pt) (0,8)
e) $A N = \sqrt{3^{2} + 3^{2}} = 3 \sqrt{2} \approx 4, 243$ et $N B = \sqrt{3^{2} + 5^{2}} = \sqrt{34} \approx 5, 831$ ; total $\approx 10, 074$ unités, soit environ $1 007$ m : ce raccourci fait perdre environ $7$ m. (0,5 pt) (0,8)

Astuce — Le symétrique d'un point par rapport à la rivière transforme une ligne brisée en une ligne droite : minimiser la somme revient alors à aligner trois points.

Exercice 5 – Pour aller plus loin — Aire et déterminant

(4 pts)

a)Rectangle : $6 \times 5 = 30$ . Triangles retirés : $\frac{6 \times 2}{2} = 6$ (sous $O U$ ), $\frac{(6 - 2) (5 - 2)}{2} = 6$ (entre $U$ et $V$ ), $\frac{2 \times 5}{2} = 5$ (à gauche de $O V$ ). Aire $= 30 - 17 = 13$ . $det = 6 \times 5 - 2 \times 2 = 26$ : l'aire vaut la moitié du déterminant. (0,5 pt) (0,8)
b)Rectangle $[0; a] \times [0; d]$ d'aire $a d$ . On retire $\frac{a b}{2}$ , $\frac{(a - c) (d - b)}{2}$ et $\frac{c d}{2}$ . Aire $= a d - \frac{a b + (a d - a b - c d + b c) + c d}{2} = a d - \frac{a d + b c}{2} = \frac{a d - b c}{2}$ . (1,5 pt) (0,8)
c) $\vec{A B} (\binom{5}{2})$ , $\vec{A C} (\binom{2}{5})$ ; $det = 5 \times 5 - 2 \times 2 = 21$ , aire $= \frac{21}{2} = 10, 5$ (unités d'aire). (0,5 pt) (0,8)
d) $M (x; 0)$ : $\vec{A M} (\binom{x + 2}{1})$ , $det (\vec{A B}, \vec{A M}) = 5 \times 1 - 2 (x + 2) = 1 - 2 x$ . $\frac{| 1 - 2 x |}{2} = 10 ⟺ 1 - 2 x = 20$ ou $1 - 2 x = - 20 ⟺ x = - \frac{19}{2}$ ou $x = \frac{21}{2}$ . Deux points : $(- \frac{19}{2}; 0)$ et $(\frac{21}{2}; 0)$ . (1 pt) (0,8)
e) $det (\vec{A B}, \vec{A M}) = 5 (y + 1) - 2 (x + 2) = - 2 x + 5 y + 1$ . L'ensemble cherché a pour équation $- 2 x + 5 y + 1 - k = 0$ : c'est une droite de vecteur directeur $(\binom{- 5}{- 2}) = - \vec{A B}$ , donc parallèle à $(A B)$ . En d), les points $M$ sont les intersections de l'axe des abscisses avec les deux parallèles à $(A B)$ obtenues pour $k = 20$ et $k = - 20$ (même base $A B$ , même hauteur). (0,5 pt) (0,8)

Erreur fréquente — Le déterminant peut être négatif selon l'ordre des vecteurs : une aire s'obtient avec sa valeur absolue, et l'équation « aire $= 10$ » donne alors deux cas.

Les chapitres de ce devoir 3 chapitres

Avant le devoir : relis le cours, refais les exercices et le devoir surveillé de chaque chapitre.

Vecteurs

Géométrie dans le plan repéré

Équations de droites

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