Équations de droites

1. a)On réordonne : $y=-{\displaystyle \frac{2}{7}}x+5$. La pente vaut $-{\displaystyle \frac{2}{7}}$ et l’ordonnée à l’origine $5$. (1)
2. b)Avec $a=9$ et $b=-4$, le vecteur $(-b;a)=(4;9)$ dirige la droite. (1)
3. c)$(-3)\times (-2)-1$ $=6-1$ $=5$, l’ordonnée de $T$ : oui, $T$ appartient à la droite. (1)
4. d)Tous ses points ont l’abscisse de $S$ : $x=7$. Cette droite n’a pas de pente. (1)

Repère — Pente : le nombre qui multiplie x ; vecteur directeur de ax + by + c = 0 : (−b ; a).

1. a)Soit $M(x;y)$. On a $\overrightarrow{AM}(x-x_A;y-y_A)$. $M$ appartient à la droite si et seulement si $\overrightarrow{AM}$ et $\overrightarrow{u}$ sont colinéaires, c’est-à-dire $det(\overrightarrow{AM},\overrightarrow{u})=0$. Or $det(\overrightarrow{AM},\overrightarrow{u})$ $=(x-x_A)\beta -(y-y_A)\alpha$ $=\beta x-\alpha y+(\alpha y_A-\beta x_A)$. La droite a donc pour équation $ax+by+c=0$ avec $a=\beta$, $b=-\alpha$ et $c=\alpha y_A-\beta x_A$ ; $a$ et $b$ ne sont pas tous deux nuls car $\overrightarrow{u}\ne \overrightarrow{0}$. (1)
2. b)Pour $M(x;y)$ : $\overrightarrow{AM}(x+4;y-2)$ et $det(\overrightarrow{AM},\overrightarrow{u})$ $=(x+4)\times (-1)-(y-2)\times 5$ $=-x-4-5y+10$ $=-x-5y+6$. Donc $d:-x-5y+6=0$, ou encore $x+5y-6=0$. Contrôle avec $A$ : $(-4)+5\times 2-6=0$. (1)
3. c)$5y=-x+6$, donc $y=-{\displaystyle \frac{1}{5}}x+{\displaystyle \frac{6}{5}}$, soit $y=-0,2x+1,2$. (1)
4. d)$11+5\times (-1)-6$ $=11-5-6$ $=0$ : les coordonnées de $E$ vérifient l’équation, donc $E\in d$. (1)

Repère — M sur la droite ⟺ det(AM⃗, u⃗) = 0 : c’est toute la démonstration, et toute la méthode.

1. a)Les abscisses de $A$ et $B$ sont différentes : $m={\displaystyle \frac{-8-12}{3-(-5)}}$ $={\displaystyle \frac{-20}{8}}$ $=-{\displaystyle \frac{5}{2}}$. (1)
2. b)$p=12-(-{\displaystyle \frac{5}{2}})\times (-5)$ $=12-{\displaystyle \frac{25}{2}}$ $=-{\displaystyle \frac{1}{2}}$, donc $(AB):y$ $=-{\displaystyle \frac{5}{2}}x-{\displaystyle \frac{1}{2}}$. Contrôle avec $B$ : $-{\displaystyle \frac{15}{2}}-{\displaystyle \frac{1}{2}}=-8$. (1)
3. c)Pour $x=-1$ : $-{\displaystyle \frac{5}{2}}\times (-1)-{\displaystyle \frac{1}{2}}$ $={\displaystyle \frac{5}{2}}-{\displaystyle \frac{1}{2}}$ $=2$, l’ordonnée de $C$. Les coordonnées de $C$ vérifient l’équation de $(AB)$, donc $C\in (AB)$ : les points $A$, $B$ et $C$ sont alignés. (1)
4. d)$-{\displaystyle \frac{5}{2}}x-{\displaystyle \frac{1}{2}}=-13$ $⟺-{\displaystyle \frac{5}{2}}x=-{\displaystyle \frac{25}{2}}$ $⟺x=5$. C’est le point $(5;-13)$. (1)

Repère — Alignement : on remplace les coordonnées du troisième point dans l’équation de la droite des deux premiers.

1. a)$ab\prime -a\prime b$ $=6\times 2-(-3)\times (-4)$ $=12-12$ $=0$ : $d$ et $d\prime$ sont parallèles. Le point $(0;2,5)$ est sur $d$ ($0-10+10=0$) ; dans $d\prime$ : $0+5+1=6\ne 0$. Les droites sont parallèles sans être confondues : strictement parallèles. (1)
2. b)$4y=6x+10$, donc $d:y=1,5x+2,5$. Les pentes de $d$ et $d″$ valent $1,5$ et $-0,5$ : elles sont différentes, donc $d$ et $d″$ sont sécantes. (1)
3. c)$1,5x+2,5=-0,5x+5,5$ $⟺2x=3$ $⟺x=1,5$, puis $y=1,5\times 1,5+2,5$ $=4,75$ ; contrôle : $5,5-0,5\times 1,5$ $=4,75$. Point $(1,5;4,75)$. (1)
4. d)Une équation cartésienne n’est pas unique : deux écritures différentes peuvent décrire la même droite. Et deux droites strictement parallèles, comme $d$ et $d\prime$, ont des équations différentes sans jamais se couper. Comparer les écritures ne prouve rien : il faut calculer $ab\prime -a\prime b$, puis tester un point. (1)

Repère — « Parallèles » comprend « confondues » : un point testé tranche.

1. a)$(t-3)\times 0+2\times 4-8$ $=8-8$ $=0$, quelle que soit la valeur de $t$ : $F$ appartient à $d_t$ pour tout réel $t$. (1)
2. b)Le coefficient de $y$ vaut $2\ne 0$ : $2y=-(t-3)x+8$, soit $d_t:y$ $={\displaystyle \frac{3-t}{2}}x+4$. Parallélisme : ${\displaystyle \frac{3-t}{2}}=0,25$, soit $3-t=0,5$ et $t=2,5$. L’ordonnée à l’origine vaut alors $4\ne 5$ : les droites sont strictement parallèles, pas confondues. (1)
3. c)$d_t$ est horizontale si sa pente est nulle : ${\displaystyle \frac{3-t}{2}}=0$, soit $t=3$. Son équation est alors $2y-8=0$, c’est-à-dire $y=4$. (1)
4. d)Pour $t=2$ : $d_2:y=0,5x+4$. Pentes $0,5\ne 0,25$ : sécantes. $0,5x+4=0,25x+5$ $⟺0,25x=1$ $⟺x=4$, puis $y=0,25\times 4+5=6$ ; contrôle : $0,5\times 4+4=6$. Point $(4;6)$. (1)

Repère — Avec un paramètre, on écrit l’équation réduite : la pente et l’ordonnée à l’origine se lisent en fonction de t.