Lycée · 2ⁿᵈᵉ · Mathématiques
Équations de droites
Représentations algébriques des droites dans le plan repéré — programme de 2nde générale
À propos de cette page
Calculatrice interdite · Tous les calculs doivent figurer sur la copie. Les résultats seront donnés sous la forme la plus simple possible.
Devoir surveillé de fin de chapitre, tout en niveau difficile. Travaille seul et sans aide, puis vérifie tes réponses avec le corrigé détaillé dépliable en bas de page.
Exercice 1 — Lecture et identification
/ 4 pts- Donne le coefficient directeur et l'ordonnée à l'origine de chacune des droites suivantes :
(a) y = −4x + 7 (b) y = (2/3)x − 1 (c) y = 5 - La droite d₁ a pour équation 3y = 6x − 9. Réécris cette équation sous la forme y = ax + b. Donne la valeur de a et b.
Exercice 2 — Déterminer l'équation d'une droite
/ 5 pts- Détermine l'équation de la droite passant par A(−2 ; 3) et B(4 ; −9). On détaillera le calcul du coefficient directeur, puis de l'ordonnée à l'origine.
- Détermine l'équation de la droite de pente 3 passant par le point C(2 ; 7).
- Quelle est l'équation de la droite verticale passant par D(−5 ; 1) ?
Exercice 3 — Droites parallèles et perpendiculaires
/ 5 pts- Les droites d₁ : y = 3x + 2 et d₂ : y = 3x − 7 sont-elles parallèles, perpendiculaires ou sécantes ? Justifie.
- Donne l'équation de la droite perpendiculaire à y = 4x − 1 et passant par le point E(0 ; 3).
- Soit la droite d₃ : y = ax + 5. Pour quelle valeur de a la droite d₃ est-elle perpendiculaire à y = −(1/2)x + 3 ?
Exercice 4 — Intersection et alignement
/ 4 pts- Détermine les coordonnées du point d'intersection des droites d₄ : y = 2x − 1 et d₅ : y = −x + 5.
- Les points P(1 ; 2), Q(3 ; 6) et R(5 ; 10) sont-ils alignés ? Justifie en calculant les pentes.
Exercice 5 — Problème de synthèse
/ 2 pts- Un taxi facture 2 € de prise en charge plus 1,50 € par kilomètre. Un VTC facture 5 € de prise en charge plus 1 € par kilomètre.
On note d₁ le coût du taxi et d₂ le coût du VTC en fonction du nombre de kilomètres x.
Écris les équations de d₁ et d₂, puis détermine à partir de quelle distance le VTC est moins cher.
Corrigé détaillé — à n'ouvrir qu'après avoir rendu la copie
Exercice 1 — Lecture et identification
Corrigé :
Question 1 :
(a) a = −4, b = 7 (1 pt)
(b) a = 2/3, b = −1 (1 pt)
(c) a = 0, b = 5 (droite horizontale) (0,5 pt)
Question 2 : 3y = 6x − 9 ⟹ y = 2x − 3. Donc a = 2, b = −3. (1,5 pt)
Exercice 2 — Déterminer l'équation d'une droite
Corrigé :
Question 1 : a = (−9 − 3) / (4 − (−2)) = −12/6 = −2. b = 3 − (−2)(−2) = 3 − 4 = −1. Équation : y = −2x − 1. (2 pts)
Question 2 : b = 7 − 3×2 = 7 − 6 = 1. Équation : y = 3x + 1. (1,5 pt)
Question 3 : Droite verticale passant par x = −5 : équation x = −5. (1,5 pt)
Exercice 3 — Droites parallèles et perpendiculaires
Corrigé :
Question 1 : d₁ et d₂ ont le même coefficient directeur 3, et des ordonnées à l'origine différentes (2 ≠ −7). Elles sont donc parallèles (et distinctes). (1,5 pt)
Question 2 : Pente de la perpendiculaire : a' tel que 4 × a' = −1, donc a' = −1/4. E(0;3) est l'ordonnée à l'origine, donc b = 3. Équation : y = −(1/4)x + 3. (2 pts)
Question 3 : a × (−1/2) = −1 ⟹ a = 2. (1,5 pt)
Exercice 4 — Intersection et alignement
Corrigé :
Question 1 : On résout 2x − 1 = −x + 5 ⟹ 3x = 6 ⟹ x = 2. Puis y = 2×2 − 1 = 3. Point d'intersection : I(2 ; 3). (2 pts)
Question 2 : Pente PQ = (6−2)/(3−1) = 4/2 = 2 ; pente QR = (10−6)/(5−3) = 4/2 = 2. Même pente et point commun Q : P, Q, R sont alignés. (2 pts)
Exercice 5 — Problème de synthèse
Corrigé :
d₁ : y = 1,5x + 2 (taxi) (0,5 pt)
d₂ : y = x + 5 (VTC) (0,5 pt)
Égalité : 1,5x + 2 = x + 5 ⟹ 0,5x = 3 ⟹ x = 6 km. (0,5 pt)
Pour x > 6 km : 1,5x + 2 > x + 5, donc le VTC est moins cher au-delà de 6 km. (0,5 pt)
Ce contrôle de mathématiques 2ⁿᵈᵉ en bref
Un devoir surveillé type contrôle en classe sur « Équations de droites » : 5 exercices, 60 minutes, noté sur 20. Le corrigé détaillé est dépliable sous le sujet.
- Exercice 1 — Lecture et identification/ 4 pts
- Exercice 2 — Déterminer l'équation d'une droite/ 5 pts
- Exercice 3 — Droites parallèles et perpendiculaires/ 5 pts
- Exercice 4 — Intersection et alignement/ 4 pts
- Exercice 5 — Problème de synthèse/ 2 pts
Notions évaluées
Repère du plan et coordonnées, Équation d'une droite : forme y = ax + b, Coefficient directeur (pente), Ordonnée à l'origine, Droites verticales et équation x = c, Déterminer l'équation d'une droite.
Pour préparer ce contrôle
- Relire le cours.
- Refaire les exercices corrigés et les problèmes.
- Se tester avec le QCM (36 questions).
- Faire ce sujet en conditions réelles — 60 min, sans le cours — puis se corriger et noter les points à revoir.
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Questions fréquentes sur ce sujet
- Combien de temps dure ce contrôle sur « Équations de droites » ?
- 60 minutes pour 5 exercices notés sur 20. Prévois le double si tu enchaînes avec la correction.
- Le corrigé est-il fourni ?
- Oui : le corrigé détaillé se déplie sous le sujet, à n'ouvrir qu'après avoir rendu la copie.
- Ce sujet peut-il servir de DS, de contrôle ou d'interrogation ?
- Oui : c'est un devoir surveillé complet de 60 minutes. Pour une interrogation courte, garde un ou deux exercices ; pour un DS ou un contrôle de fin de chapitre, fais le sujet entier en temps limité.
- Ce sujet suit-il le programme de mathématiques de seconde ?
- Oui : il évalue uniquement les notions du chapitre « Équations de droites » du programme officiel de mathématiques en seconde, soit Repère du plan et coordonnées, Équation d'une droite : forme y = ax + b, Coefficient directeur (pente), Ordonnée à l'origine.
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