Vecteurs

1. a)$\overrightarrow{AB}\left(\begin{array}{c}7-(-2)\\ -7-5\end{array}\right)$ $=\left(\begin{array}{c}9\\ -12\end{array}\right)$ (extrémité moins origine). (1)
2. b)Le repère est orthonormé : $\Vert \overrightarrow{AB}\Vert$ $=\sqrt{9^2+(-12{)}^2}$ $=\sqrt{81+144}$ $=\sqrt{225}$ $=15$. (1)
3. c)$2\overrightarrow{u}\left(\begin{array}{c}6\\ -2\end{array}\right)$, donc $2\overrightarrow{u}-\overrightarrow{AB}\left(\begin{array}{c}6-9\\ -2-(-12)\end{array}\right)$ $=\left(\begin{array}{c}-3\\ 10\end{array}\right)$. (1)
4. d)$x_C=-2+3=1$ et $y_C=5+(-1)=4$ : C(1 ; 4). (1)

Repère — Extrémité moins origine pour un vecteur ; origine plus vecteur pour un point.

1. a)$-\overrightarrow{ST}=\overrightarrow{TS}$, donc l’expression vaut $\overrightarrow{RT}+\overrightarrow{TS}+\overrightarrow{SR}$ $=\overrightarrow{RS}+\overrightarrow{SR}$ $=\overrightarrow{RR}$ $=\overrightarrow{0}$ (Chasles deux fois). (1)
2. b)$-\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{DA}$ ; on réordonne : $\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}$ $=\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{BC}$ $=\overrightarrow{DC}$. (1)
3. c)À gauche : $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{CB}$ $=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}$ $=\overrightarrow{AC}$. À droite : $\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{CD}$ $=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DC}$ $=\overrightarrow{AC}$. Les deux membres sont égaux à $\overrightarrow{AC}$, d’où l’égalité. (1)
4. d)ABCD est un parallélogramme, donc $\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{DC}$ $=\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{AB}$ $=\overrightarrow{DB}$ (règle du parallélogramme), puis $\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{BC}$ $=\overrightarrow{DC}$ (relation de Chasles). (1)

Repère — Soustraire XY⃗, c’est ajouter YX⃗ : on enchaîne ensuite les lettres.

1. a)ABCD est un parallélogramme $⟺$ $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}$. $\overrightarrow{BC}\left(\begin{array}{c}5-3\\ 4-0\end{array}\right)$ $=\left(\begin{array}{c}2\\ 4\end{array}\right)$, donc $x_D=-1+2=1$ et $y_D=-2+4=2$ : D(1 ; 2). Contrôle : $\overrightarrow{DC}\left(\begin{array}{c}4\\ 2\end{array}\right)$ et $\overrightarrow{AB}\left(\begin{array}{c}4\\ 2\end{array}\right)$. (1)
2. b)$\overrightarrow{AB}\left(\begin{array}{c}4\\ 2\end{array}\right)$ et $\overrightarrow{AC}\left(\begin{array}{c}6\\ 6\end{array}\right)$, donc $\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{AC}\left(\begin{array}{c}4+12\\ 2+12\end{array}\right)$ $=\left(\begin{array}{c}16\\ 14\end{array}\right)$. Ainsi $x_E=-1+16=15$ et $y_E=-2+14=12$ : E(15 ; 12). (1)
3. c)Repère orthonormé : AC $=\sqrt{6^2+6^2}=\sqrt{72}=6\sqrt{2}$. $\overrightarrow{BD}\left(\begin{array}{c}1-3\\ 2-0\end{array}\right)$ $=\left(\begin{array}{c}-2\\ 2\end{array}\right)$, donc BD $=\sqrt{4+4}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$. (1)
4. d)Un parallélogramme est un rectangle si et seulement si ses diagonales ont la même longueur. Ici AC = 6√2 et BD = 2√2 : AC ≠ BD, donc ABCD n’est pas un rectangle. (1)

Repère — Parallélogramme : égalité de vecteurs ; rectangle : en plus, diagonales de même longueur.

1. a)Par la relation de Chasles, $\overrightarrow{AB}$ $=\overrightarrow{AI}+\overrightarrow{IB}$ et $\overrightarrow{AC}$ $=\overrightarrow{AI}+\overrightarrow{IC}$. Donc $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$ $=2\overrightarrow{AI}+(\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IC})$. Comme I est le milieu de [BC], $\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IC}$ $=\overrightarrow{0}$, d’où $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$ $=2\overrightarrow{AI}$. (1)
2. b)$\overrightarrow{AM}$ $=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$ $=2\overrightarrow{AI}$, donc $\overrightarrow{AI}$ $={\displaystyle \frac{1}{2}}\overrightarrow{AM}$ : d’après la caractérisation vectorielle du milieu, I est le milieu de [AM]. (1)
3. c)$2\overrightarrow{AB}-2\overrightarrow{AI}+\overrightarrow{BC}$ $=2\overrightarrow{AB}-(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})+\overrightarrow{BC}$ $=\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BC}$. Or $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}$ $=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AB}$ $=\overrightarrow{CB}$, et $\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BC}$ $=\overrightarrow{0}$. L’expression vaut $\overrightarrow{0}$. (1)
4. d)$\overrightarrow{AN}$ $=-{\displaystyle \frac{1}{2}}\overrightarrow{AM}$ $=-{\displaystyle \frac{1}{2}}\times 2\overrightarrow{AI}$ $=-\overrightarrow{AI}$ $=\overrightarrow{IA}$. Ainsi $\overrightarrow{IA}=\overrightarrow{AN}$ : A est le milieu de [IN]. (1)

Repère — Un milieu se traduit par une égalité de vecteurs : AI⃗ = IB⃗ ou AI⃗ = ½AB⃗.

1. a)$\overrightarrow{M_0{M}_1}\left(\begin{array}{c}4-1\\ 6-2\end{array}\right)$ $=\left(\begin{array}{c}3\\ 4\end{array}\right)$ et $\overrightarrow{M_1{M}_2}\left(\begin{array}{c}7-4\\ 10-6\end{array}\right)$ $=\left(\begin{array}{c}3\\ 4\end{array}\right)$. Les deux vecteurs déplacement sont égaux, sur des intervalles de temps égaux (0,1 s) : même direction, même sens, même longueur. Le mouvement est donc rectiligne uniforme. (1)
2. b)$\Vert \overrightarrow{M_0{M}_1}\Vert$ $=\sqrt{9+16}$ $=5$ cm en 0,1 s. Vitesse : 5 ÷ 0,1 = 50 cm/s. (1)
3. c)$\overrightarrow{M_0{M}_1}$ $=\overrightarrow{M_1{M}_2}$ : d’après la caractérisation vectorielle du milieu, M₁ est le milieu de [M₀M₂]. (1)
4. d)Les cinq déplacements sont égaux à $\overrightarrow{M_0{M}_1}$, donc $\overrightarrow{M_0{M}_5}$ $=5\overrightarrow{M_0{M}_1}\left(\begin{array}{c}15\\ 20\end{array}\right)$. Ainsi M₅(1 + 15 ; 2 + 20), soit : égalité de deux vecteurs, notation u⃗, vecteur nul, représentants d’un vecteur ; somme de deux vecteurs à partir de représentants de même origine, relation de Chasles et translation (rappels de 3e) ; produit d’un vecteur par un nombre réel ; base orthonormée, coordonnées d’un vecteur, coordonnées de AB⃗, d’une somme et d’un produit par un réel ; expression de la norme d’un vecteur ; caractérisation vectorielle du milieu d’un segment. (1)

Repère — Vecteurs déplacement égaux à intervalles de temps égaux : mouvement rectiligne uniforme.