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Lycée · 2ⁿᵈᵉ · Mathématiques

Vecteurs

Définition, opérations et applications des vecteurs du plan — programme de 2nde générale

À propos de cette page
Ce devoir surveillé sur « Vecteurs » en seconde permet de faire le point sur ses connaissances en mathématiques, comme lors d'un véritable contrôle. Elle suit le programme officiel de seconde et propose plusieurs exercices notés sur 20, avec un corrigé détaillé. Au programme : Notion de vecteur, Vecteurs égaux et vecteur nul, Relation de Chasles, Addition de vecteurs. Travaille seul, chronomètre-toi, puis compare tes réponses au corrigé pour identifier les points à revoir. Parfait pour mesurer ses progrès et réviser efficacement. Évaluation gratuite conçue par un professeur particulier à Marseille pour aider les élèves de seconde en mathématiques.
Devoir surveillé · Niveau difficile · Durée 55 min · Noté sur 20
55:00

Calculatrice interdite · Tous les calculs doivent figurer sur la copie. Les résultats seront donnés sous la forme la plus simple possible.

Devoir surveillé · Mathématiques
Vecteurs
Classe de 2ⁿᵈᵉ
Durée : 55 min
Barème : / 20 points
Nom : ……………………………………………
Prénom : ……………………………………………

Devoir surveillé de fin de chapitre, tout en niveau difficile. Travaille seul et sans aide, puis vérifie tes réponses avec le corrigé détaillé dépliable en bas de page.

Exercice 1 — Coordonnées et opérations de base

/ 4 pts
  1. Soient A(−1 ; 3), B(5 ; 7) et C(2 ; −1). Calcule les coordonnées de $\vec{AB}$, $\vec{AC}$ et $\vec{BC}$. (1,5 pt)
  2. Vérifie la relation de Chasles : $\vec{AB} = \vec{AC} + \vec{CB}$. (0,5 pt)
  3. Calcule les coordonnées de $2\vec{AB} - \vec{AC}$. (1 pt)
  4. Calcule la norme de $\vec{AB}$ (valeur exacte). (1 pt)

Exercice 2 — Parallélogramme et milieu

/ 4 pts
  1. Soient A(0 ; 2), B(4 ; 6), C(7 ; 4). Calcule les coordonnées de D tel que ABCD soit un parallélogramme. (2 pt)
  2. Vérifie ton résultat en montrant que les diagonales [AC] et [BD] ont le même milieu. (2 pt)

Exercice 3 — Colinéarité et alignement

/ 5 pts
  1. Soient les vecteurs $\vec{u}(6 ; -9)$ et $\vec{v}(-4 ; 6)$. Montrer que $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires. (1,5 pt)
  2. Soient A(1 ; 4), B(3 ; 8), C(6 ; 14). Démontrer que A, B, C sont alignés. (2 pt)
  3. Soient D(2 ; 1), E(5 ; 4), F(k ; 10). Trouver la valeur de $k$ pour que D, E, F soient alignés. (1,5 pt)

Exercice 4 — Problème — Application des vecteurs

/ 5 pts
  1. Un point M a pour coordonnées M(2 ; 5). On applique la translation de vecteur $\vec{t}(3 ; -7)$. Donne les coordonnées de l'image M'. (1 pt)
  2. Le point N(10 ; 1) est l'image de P par la même translation $\vec{t}$. Donne les coordonnées de P. (1 pt)
  3. Soient A(1 ; 0) et B(4 ; 3). Calcule les coordonnées du point C tel que $\vec{BC} = 2\vec{AB}$. (2 pt)
  4. A, B, C calculé en 3) sont-ils alignés ? Justifie. (1 pt)

Exercice 5 — Centre de gravité (bonus)

/ 2 pts
  1. Le centre de gravité G du triangle ABC vérifie $\vec{GA}+\vec{GB}+\vec{GC}=\vec{0}$. Avec A(−3 ; 5), B(7 ; 1), C(2 ; -3), calcule les coordonnées de G. (1 pt)
  2. Montre que $\vec{GA}+\vec{GB}+\vec{GC}=\vec{0}$ est bien vérifiée. (1 pt)
Corrigé détaillé — à n'ouvrir qu'après avoir rendu la copie

Exercice 1 — Coordonnées et opérations de base
Corrigé :
1a. $\vec{AB}=(5-(-1);7-3)=(6;4)$. $\vec{AC}=(2-(-1);-1-3)=(3;-4)$. $\vec{BC}=(2-5;-1-7)=(-3;-8)$.
1b. $\vec{AC}+\vec{CB}=(3;-4)+(3;8)=(6;4)=\vec{AB}$. ✓
1c. $2\vec{AB}-\vec{AC}=(12;8)-(3;-4)=(9;12)$.
1d. $||\vec{AB}||=\sqrt{36+16}=\sqrt{52}=2\sqrt{13}$.

Exercice 2 — Parallélogramme et milieu
Corrigé :
2a. $\vec{AB}=(4;4)$. Dans ABCD parallélogramme : $\vec{DC}=\vec{AB}$. Donc $D=C-\vec{AB}=(7-4;4-4)=(3;0)$. D(3 ; 0).
2b. Milieu de [AC] : $\left(\frac{0+7}{2};\frac{2+4}{2}\right)=\left(\frac{7}{2};3\right)$.
Milieu de [BD] : $\left(\frac{4+3}{2};\frac{6+0}{2}\right)=\left(\frac{7}{2};3\right)$. Les milieux coïncident ✓, donc ABCD est bien un parallélogramme.

Exercice 3 — Colinéarité et alignement
Corrigé :
3a. Déterminant de $\vec{u}$ et $\vec{v}$ : $6\times6-(-9)\times(-4)=36-36=0$. Déterminant nul → $\vec{u}$ et $\vec{v}$ colinéaires. (On pouvait aussi noter $\vec{v}=-\frac{2}{3}\vec{u}$.)
3b. $\vec{AB}=(2;4)$, $\vec{AC}=(5;10)$. Déterminant : $2\times10-4\times5=20-20=0$. Déterminant nul → A, B, C alignés.
3c. $\vec{DE}=(3;3)$, $\vec{DF}=(k-2;9)$. Déterminant : $3\times9-3(k-2)=27-3k+6=33-3k=0 \Rightarrow \boxed{k=11}$.

Exercice 4 — Problème — Application des vecteurs
Corrigé :
4a. $M'=(2+3;5-7)=(5;-2)$.
4b. $\vec{PN}=\vec{t}=(3;-7)$. Donc $P=N-\vec{t}=(10-3;1+7)=(7;8)$.
4c. $\vec{AB}=(3;3)$, donc $2\vec{AB}=(6;6)$. $C=B+2\vec{AB}=(4+6;3+6)=(10;9)$.
4d. $\vec{AB}=(3;3)$, $\vec{AC}=(9;9)=3\vec{AB}$. Déterminant : $3\times9-3\times9=0$ → A, B, C alignés. (On pouvait aussi noter $\vec{AC}=3\vec{AB}$ directement.)

Exercice 5 — Centre de gravité (bonus)
Corrigé :
5a. $G=\left(\frac{-3+7+2}{3};\frac{5+1+(-3)}{3}\right)=\left(\frac{6}{3};\frac{3}{3}\right)=(2;1)$.
5b. $\vec{GA}=(-3-2;5-1)=(-5;4)$. $\vec{GB}=(7-2;1-1)=(5;0)$. $\vec{GC}=(2-2;-3-1)=(0;-4)$.
$\vec{GA}+\vec{GB}+\vec{GC}=(-5+5+0;4+0-4)=(0;0)=\vec{0}$. ✓

Ce contrôle de mathématiques 2ⁿᵈᵉ en bref

Un devoir surveillé type contrôle en classe sur « Vecteurs » : 5 exercices, 55 minutes, noté sur 20. Le corrigé détaillé est dépliable sous le sujet.

  • Exercice 1 — Coordonnées et opérations de base/ 4 pts
  • Exercice 2 — Parallélogramme et milieu/ 4 pts
  • Exercice 3 — Colinéarité et alignement/ 5 pts
  • Exercice 4 — Problème — Application des vecteurs/ 5 pts
  • Exercice 5 — Centre de gravité (bonus)/ 2 pts

Notions évaluées

Notion de vecteur, Vecteurs égaux et vecteur nul, Relation de Chasles, Addition de vecteurs, Multiplication d'un vecteur par un scalaire, Coordonnées d'un vecteur.

Pour préparer ce contrôle

  1. Relire le cours.
  2. Refaire les exercices corrigés et les problèmes.
  3. Se tester avec le QCM (37 questions).
  4. Faire ce sujet en conditions réelles — 55 min, sans le cours — puis se corriger et noter les points à revoir.

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Questions fréquentes sur ce sujet
Combien de temps dure ce contrôle sur « Vecteurs » ?
55 minutes pour 5 exercices notés sur 20. Prévois le double si tu enchaînes avec la correction.
Le corrigé est-il fourni ?
Oui : le corrigé détaillé se déplie sous le sujet, à n'ouvrir qu'après avoir rendu la copie.
Ce sujet peut-il servir de DS, de contrôle ou d'interrogation ?
Oui : c'est un devoir surveillé complet de 55 minutes. Pour une interrogation courte, garde un ou deux exercices ; pour un DS ou un contrôle de fin de chapitre, fais le sujet entier en temps limité.
Ce sujet suit-il le programme de mathématiques de seconde ?
Oui : il évalue uniquement les notions du chapitre « Vecteurs » du programme officiel de mathématiques en seconde, soit Notion de vecteur, Vecteurs égaux et vecteur nul, Relation de Chasles, Addition de vecteurs.
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