Géométrie dans le plan repéré

Repère orthonormé et coordonnées, milieu d’un segment, distance entre deux points (formule démontrée par le théorème de Pythagore), nature d’un triangle ou d’un quadrilatère et cercles étudiés par le calcul.

À propos de cette page

Cinq problèmes corrigés de géométrie repérée en situation : le plan d’un parc et son kiosque, une parcelle à clôturer, une fonction Python qui calcule des distances de trajets, un bateau qui passe près d’un phare et un point d’eau à placer sur un sentier à égale distance de deux refuges.

5 problèmes, du plus simple au plus difficile. Écris tes réponses, puis « Vérifier ».

Résoudre un problème : la méthode

Je fais un schéma à main levée dans le repère, avec les points de l’énoncé : il sert à conjecturer, jamais à prouver.
Je traduis la question : « à égale distance » → égalité des carrés MA² = MB² ; « au milieu » → demi-sommes ; « angle droit » → réciproque du théorème de Pythagore ; « diagonales qui se coupent en leur milieu » → même milieu.
Je calcule avec des valeurs exactes : carrés des distances, racines simplifiées, fractions.
Je conclus par une phrase qui nomme la propriété utilisée et répond à la question posée (avec l’unité de l’énoncé).
Je donne la valeur approchée demandée à la fin seulement (en mètres, en kilomètres…), et je vérifie qu’elle est vraisemblable.

Problème 1 · Le plan d’un parc municipal★★★Facile

Le plan d’un parc est muni d’un repère orthonormé dont l’unité vaut

100

m. On y repère l’entrée

A (- 7; - 4)

, le kiosque

B (2; 2)

, l’aire de jeux

C (14; 10)

et la fontaine

F (7; - 2)

. Pour une racine carrée, écris par exemple 3√13 ou 3racine(13).

1. $A B^{2} =$
$A B^{2}$ $= (2 - (- 7))^{2} + (2 - (- 4))^{2}$ $= 9^{2} + 6^{2}$ $= 81 + 36$ $= 117$ .
2. Distance entre l’entrée et le kiosque, arrondie au mètre : m
$A B$ $= \sqrt{117}$ $= \sqrt{9 \times 13}$ $= 3 \sqrt{13} \approx 10, 817$ unités. Une unité vaut $100$ m : environ $1 082$ m.
3. $B C^{2} =$
$B C^{2} = 12^{2} + 8^{2} = 144 + 64 = 208$ , donc $B C = \sqrt{16 \times 13} = 4 \sqrt{13}$ .
4. Démontrer que le kiosque est sur le chemin direct $[A C]$ : $A C = k \sqrt{13}$ avec $k =$
Rédaction attendue. $A C^{2}$ $= 21^{2} + 14^{2}$ $= 441 + 196$ $= 637$ $= 49 \times 13$ , donc $A C = 7 \sqrt{13}$ . Or $A B + B C$ $= 3 \sqrt{13} + 4 \sqrt{13}$ $= 7 \sqrt{13}$ $= A C$ . Puisque $A B + B C = A C$ , le point $B$ appartient au segment $[A C]$ : le kiosque est sur le chemin rectiligne de l’entrée à l’aire de jeux.
5. Un banc est placé au milieu de $[B C]$ : abscisse et ordonnée
$(\frac{2 + 14}{2}; \frac{2 + 10}{2})$ $= (8; 6)$ .
6. Distance entre la fontaine et le kiosque, arrondie au mètre : m
$F B^{2}$ $= (2 - 7)^{2} + (2 - (- 2))^{2}$ $= 25 + 16$ $= 41$ , donc $F B = \sqrt{41} \approx 6, 403$ unités, soit environ $640$ m.
7. Le gardien affirme que la fontaine est à égale distance de l’entrée et du kiosque. Justifier qu’il se trompe : $F A^{2} =$
Rédaction attendue. $F A^{2}$ $= (- 7 - 7)^{2} + (- 4 - (- 2))^{2}$ $= 196 + 4$ $= 200$ et $F B^{2} = 41$ . Comme $200 \neq 41$ , $F A \neq F B$ : la fontaine n’est pas à égale distance de l’entrée et du kiosque ( $F A = 10 \sqrt{2} \approx 1 414$ m contre environ $640$ m).

Problème 2 · Une parcelle à clôturer★★★Moyen

Une parcelle est délimitée par quatre bornes, dans un repère orthonormé d’unité

100

m :

A (- 2; - 5)

B (6; - 1)

C (4; 5)

D (- 4; 1)

. L’exploitant veut la clôturer et installer un point d’arrosage

K

au croisement des diagonales.

1. Justifier que la parcelle est un parallélogramme. Le point $K$ a pour abscisse et ordonnée
Rédaction attendue. Milieu de $[A C]$ : $(\frac{- 2 + 4}{2}; \frac{- 5 + 5}{2})$ $= (1; 0)$ . Milieu de $[B D]$ : $(\frac{6 + (- 4)}{2}; \frac{- 1 + 1}{2})$ $= (1; 0)$ . Les diagonales ont le même milieu : $A B C D$ est un parallélogramme, et ses diagonales se coupent en $K (1; 0)$ .
2. $A B^{2} =$ et $A D^{2} =$
$A B^{2} = 8^{2} + 4^{2} = 80$ et $A D^{2} = (- 2)^{2} + 6^{2} = 40$ : deux côtés consécutifs de longueurs différentes, la parcelle n’est pas un losange.
3. Justifier que la parcelle n’est pas un rectangle : $B D^{2} =$
Rédaction attendue. $B D^{2}$ $= (- 4 - 6)^{2} + (1 - (- 1))^{2}$ $= 100 + 4$ $= 104$ et $A B^{2} + A D^{2} = 80 + 40 = 120$ . Comme $104 \neq 120$ , d’après la contraposée du théorème de Pythagore, le triangle $A B D$ n’est pas rectangle en $A$ : l’angle en $A$ n’est pas droit, donc le parallélogramme $A B C D$ n’est pas un rectangle.
4. Longueur de clôture (périmètre), arrondie au mètre : m
Les côtés opposés d’un parallélogramme ont la même longueur : le périmètre vaut $2 (A B + A D)$ $= 2 (4 \sqrt{5} + 2 \sqrt{10}) \approx 2 (8, 944 + 6, 325) \approx 30, 538$ unités, soit environ $3 054$ m.
5. Longueur de tuyau de $K$ à la borne $A$ , arrondie au mètre : m
$K A^{2}$ $= (- 2 - 1)^{2} + (- 5 - 0)^{2}$ $= 9 + 25$ $= 34$ , donc $K A = \sqrt{34} \approx 5, 831$ unités, soit environ $583$ m.

Problème 3 · Une application de trajets (avec Python)★★★Moyen

Une application de covoiturage repère les lieux d’une ville dans un repère orthonormé d’unité

1

km : le domicile

D (- 8; 3)

, le travail

T (4; - 2)

, la gare

G (0; 6)

et un relais

R (0; - 5)

. Les distances sont « à vol d’oiseau ». Une fonction Python doit renvoyer la distance entre deux points :

from math import sqrt

def distance(xA, yA, xB, yB):
    dx = xB - xA
    dy = yB - yA
    return sqrt(dx**2 ... dy**2)

1. Symbole à écrire à la place des points de suspension « ... » dans la fonction :
La formule vient du théorème de Pythagore : on additionne les carrés des deux écarts.
```
    return sqrt(dx**2 + dy**2)
```
2. L’appel distance(-8, 3, 4, -2) renvoie la distance $D T$ , égale à km
$D T^{2}$ $= (4 - (- 8))^{2} + (- 2 - 3)^{2}$ $= 144 + 25$ $= 169$ , donc $D T = 13$ km (Python affiche 13.0).
3. Un usager passe par la gare. Allongement du trajet par rapport au trajet direct, arrondi au centième : km
$D G$ $= \sqrt{8^{2} + 3^{2}}$ $= \sqrt{73} \approx 8, 544$ km et $G T$ $= \sqrt{4^{2} + (- 8)^{2}}$ $= \sqrt{80} \approx 8, 944$ km. Le trajet par la gare mesure environ $17, 488$ km, contre $13$ km : l’allongement vaut environ $4, 49$ km (on arrondit à la fin, pas les étapes).
4. Le relais n’est pas à égale distance du domicile et du travail : $R D^{2} =$
$R D^{2} = (- 8)^{2} + 8^{2} = 128$ et $R T^{2} = 4^{2} + 3^{2} = 25$ : $R D = 8 \sqrt{2} \approx 11, 31$ km et $R T = 5$ km, le relais est bien plus proche du travail.
5. On note $E$ le milieu de $[D T]$ . Démontrer que $E$ est à égale distance de la gare et du relais : $E G^{2} =$
Rédaction attendue. $E (\frac{- 8 + 4}{2}; \frac{3 + (- 2)}{2})$ $= (- 2; 0, 5)$ . Alors $E G^{2}$ $= 2^{2} + 5, 5^{2}$ $= 4 + 30, 25$ $= 34, 25$ et $E R^{2} = 2^{2} + (- 5, 5)^{2} = 34, 25$ . Les carrés sont égaux et les distances positives, donc $E G = E R$ : $E$ est à égale distance de la gare et du relais ( $\approx 5, 85$ km).
6. Un élève écrit return sqrt(dx**2 - dy**2). Pour $D$ et $T$ , sa fonction renvoie environ (au centième)
Il soustrait au lieu d’additionner : $\sqrt{12^{2} - 5^{2}}$ $= \sqrt{144 - 25}$ $= \sqrt{119} \approx 10, 91$ au lieu de $13$ . Et dès que l’écart vertical dépasse l’écart horizontal, le nombre sous la racine devient négatif : Python renvoie une erreur.

Problème 4 · Un point d’eau sur le sentier★★★Moyen

Dans un repère orthonormé d’unité

1

km, deux refuges sont en

V (- 2; 7)

W (7; 2)

. Un sentier rectiligne suit l’axe des abscisses. On veut installer sur ce sentier un point d’eau

M (x; 0)

à égale distance des deux refuges. Les randonneurs acceptent de marcher au plus

7, 5

km pour s’y rendre.

1. Démontrer que le point d’eau doit être placé en $x =$
Rédaction attendue. $M V = M W$ équivaut à $M V^{2} = M W^{2}$ (distances positives). $M V^{2} = (x + 2)^{2} + 49 = x^{2} + 4 x + 53$ et $M W^{2} = (x - 7)^{2} + 4 = x^{2} - 14 x + 53$ . L’égalité donne $4 x = - 14 x$ , soit $18 x = 0$ et $x = 0$ : le point d’eau est à l’origine $O$ .
2. Distance entre le point d’eau et chaque refuge, au centième : km
$O V^{2} = 4 + 49 = 53$ , donc $O V = \sqrt{53} \approx 7, 28$ km ( $O W^{2} = 49 + 4 = 53$ aussi). C’est moins que $7, 5$ km : les randonneurs des deux refuges acceptent le trajet.
3. Démontrer que le triangle $V O W$ est rectangle en $O$ : $V W^{2} =$
Rédaction attendue. $V W^{2} = 9^{2} + (- 5)^{2} = 81 + 25 = 106$ et $O V^{2} + O W^{2} = 53 + 53 = 106$ . Le plus grand carré est égal à la somme des deux autres : d’après la réciproque du théorème de Pythagore, $V O W$ est rectangle en $O$ (et isocèle, puisque $O V = O W$ ).
4. Centre du cercle passant par $V$ , $O$ et $W$ : abscisse et ordonnée
Le triangle est rectangle en $O$ : le centre est le milieu de l’hypoténuse $[V W]$ , $(\frac{- 2 + 7}{2}; \frac{7 + 2}{2})$ $= (2, 5; 4, 5)$ , et le rayon vaut $\frac{\sqrt{106}}{2} \approx 5, 15$ km.
5. Deux autres refuges sont en $U (4; - 6)$ et $X (- 7; - 3)$ . Justifier lequel est à plus de $7, 5$ km du point d’eau (une lettre) :
Rédaction attendue. $O U^{2} = 16 + 36 = 52$ et $O X^{2} = 49 + 9 = 58$ , alors que $7, 5^{2} = 56, 25$ . Comme $52 < 56, 25$ , $O U < 7, 5$ : le refuge $U$ est assez proche ( $O U \approx 7, 21$ km). Comme $58 > 56, 25$ , $O X > 7, 5$ : le refuge $X$ est trop loin ( $O X \approx 7, 62$ km).

Problème 5 · Un bateau passe près d’un phare★★★Difficile

Dans un repère orthonormé d’unité

1

km, un phare est au point

P (2; 1)

. À l’instant

t

(en heures,

0 ⩽ t ⩽ 4

), un bateau est au point

B_{t} (- 6 + 4 t; 9 - 3 t)

. On note

d (t)

la distance entre le bateau et le phare.

1. Position $B_{1}$ du bateau à $t = 1$ : abscisse et ordonnée
$- 6 + 4 \times 1 = - 2$ et $9 - 3 \times 1 = 6$ : $B_{1} (- 2; 6)$ . De même $B_{3} (6; 0)$ .
2. Justifier que $B_{2}$ est le milieu de $[B_{1} B_{3}]$ . $B_{2}$ : abscisse et ordonnée
Rédaction attendue. $B_{2} (- 6 + 8; 9 - 6) = (2; 3)$ . Le milieu de $[B_{1} B_{3}]$ a pour coordonnées $(\frac{- 2 + 6}{2}; \frac{6 + 0}{2})$ $= (2; 3)$ : c’est $B_{2}$ . Le bateau avance de la même façon chaque heure.
3. Distance parcourue en une heure (de $B_{0}$ à $B_{1}$ ), donc vitesse du bateau : km/h
$B_{0} (- 6; 9)$ et $B_{1} (- 2; 6)$ : $B_{0} B_{1}^{2} = 4^{2} + (- 3)^{2} = 25$ , donc $B_{0} B_{1} = 5$ km. Chaque heure, l’abscisse augmente de $4$ et l’ordonnée diminue de $3$ : le bateau fait $5$ km par heure.
4. Démontrer que $d (t)^{2} = 25 t^{2} - 112 t + 128$ . Contrôle : $d (4)^{2} =$
Rédaction attendue. $d (t)^{2}$ $= ((- 6 + 4 t) - 2)^{2} + ((9 - 3 t) - 1)^{2}$ $= (4 t - 8)^{2} + (8 - 3 t)^{2}$ . Or $(4 t - 8)^{2} = 16 t^{2} - 64 t + 64$ et $(8 - 3 t)^{2} = 64 - 48 t + 9 t^{2}$ . En additionnant : $d (t)^{2} = 25 t^{2} - 112 t + 128$ . Pour $t = 4$ : $B_{4} (10; - 3)$ et $d (4)^{2} = 8^{2} + (- 4)^{2} = 64 + 16 = 80$ (la formule donne aussi $25 \times 16 - 112 \times 4 + 128 = 80$ ).
5. On admet que $25 t^{2} - 112 t + 128$ $= 25 (t - 2, 24)^{2} + 2, 56$ . Justifier que la distance minimale entre le bateau et le phare vaut km
Rédaction attendue. Un carré est positif ou nul : $25 (t - 2, 24)^{2} ⩾ 0$ , donc $d (t)^{2} ⩾ 2, 56$ , avec égalité pour $t = 2, 24$ . La distance minimale vaut $\sqrt{2, 56} = 1, 6$ km, atteinte à $t = 2, 24$ h (2 h 14 min 24 s).
6. Une alarme sonne quand le bateau est à $2$ km ou moins du phare. Durée de l’alarme : min
$d (t) ⩽ 2$ équivaut à $d (t)^{2} ⩽ 4$ , soit $25 (t - 2, 24)^{2} ⩽ 1, 44$ , puis $(t - 2, 24)^{2} ⩽ 0, 0576$ $= 0, 24^{2}$ , c’est-à-dire $- 0, 24 ⩽ t - 2, 24 ⩽ 0, 24$ : $2 ⩽ t ⩽ 2, 48$ . L’alarme dure $0, 48$ h, soit $0, 48 \times 60 = 28, 8$ min.

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