À propos de cette page
Ce cours de mathématiques en seconde sur « Vecteurs » suit le programme officiel de mathématiques de seconde. Il présente les définitions, les propriétés et les méthodes essentielles, accompagnées d'exemples résolus pour bien comprendre. Au programme : Notion de vecteur, Vecteurs égaux et vecteur nul, Relation de Chasles, Addition de vecteurs. Chaque notion est expliquée pas à pas, puis mise en pratique grâce à des exercices interactifs, un QCM et une évaluation corrigée. Idéal pour réviser à son rythme, combler ses lacunes et progresser, en autonomie ou avec un professeur. Cours rédigé par un professeur particulier à Marseille pour aider les élèves de seconde à réussir en mathématiques.
Au programme
1 · Notion de vecteur
2 · Vecteurs égaux et vecteur nul
3 · Relation de Chasles
4 · Addition de vecteurs
5 · Multiplication d'un vecteur par un scalaire
6 · Coordonnées d'un vecteur
7 · Vecteurs colinéaires
8 · Applications géométriques
1Notion de vecteur
Un vecteur est un objet mathématique caractérisé par :
- Une direction : la droite support du vecteur ;
- Un sens : l'orientation le long de cette droite ;
- Une norme (ou longueur) : la distance entre les deux extrémités.
Définition. Le vecteur associé à un segment orienté [AB] est noté $\vec{AB}$. Le point A est l'origine et le point B est l'extrémité.
On peut aussi noter un vecteur avec une seule lettre minuscule surlignée : $\vec{u}$.
Exemple. Si A = (1 ; 2) et B = (4 ; 6), le vecteur $\vec{AB}$ a pour direction la droite (AB), pour sens de A vers B, et pour norme AB = $\sqrt{(4-1)^2 + (6-2)^2} = \sqrt{9+16} = 5$.
Astuce. Un vecteur n'a PAS de position fixe dans le plan. On peut le translater librement : seuls la direction, le sens et la norme comptent.
2Vecteurs égaux et vecteur nul
Définition. Deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont égaux (on écrit $\vec{u} = \vec{v}$) s'ils ont la même direction, le même sens et la même norme.
Autrement dit, $\vec{AB} = \vec{CD}$ si et seulement si ABDC est un parallélogramme (ou si les quatre points sont alignés dans le même ordre à la même distance).
Vecteur nul. Le vecteur nul, noté $\vec{0}$, est le vecteur $\vec{AA}$ pour n'importe quel point A. Il n'a pas de direction ni de sens définis, et sa norme est 0.
Attention ! $\vec{AB} = \vec{CD}$ n'implique PAS que A = C et B = D. Deux représentants différents peuvent définir le même vecteur.
Exemple. Si ABCD est un parallélogramme (dans cet ordre), alors $\vec{AB} = \vec{DC}$ (même direction, même sens, même longueur). Remarque : $\vec{AB} \neq \vec{CD}$ car $\vec{CD}$ va dans le sens opposé.
3Relation de Chasles
Relation de Chasles. Pour tous points A, B, C du plan :
$$\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}$$
Cette relation est fondamentale : elle permet de « chaîner » des vecteurs. On peut aussi l'écrire :
$$\vec{AC} - \vec{AB} = \vec{BC} \quad \text{ou} \quad \vec{AB} = -\vec{BA}$$
Astuce mnémotechnique. Les « lettres du milieu » s'annulent : $\vec{AB} + \vec{BC}$ → le B intérieur disparaît et il reste $\vec{AC}$.
Exemple. Simplifier $\vec{MA} + \vec{AB} + \vec{BN}$.
Par Chasles : $\vec{MA} + \vec{AB} = \vec{MB}$, puis $\vec{MB} + \vec{BN} = \vec{MN}$.
Donc $\vec{MA} + \vec{AB} + \vec{BN} = \vec{MN}$.
Attention ! $\vec{AB} + \vec{CD}$ ne se simplifie pas directement par Chasles (les lettres du milieu B et C sont différentes). Il faut d'abord introduire un point intermédiaire.
4Addition de vecteurs
Définition. La somme $\vec{u} + \vec{v}$ de deux vecteurs est obtenue en plaçant l'origine de $\vec{v}$ à l'extrémité de $\vec{u}$ : le vecteur somme va de l'origine de $\vec{u}$ à l'extrémité de $\vec{v}$.
Géométriquement, la somme de deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ se construit par la règle du parallélogramme : si $\vec{u} = \vec{OA}$ et $\vec{v} = \vec{OB}$, alors $\vec{u} + \vec{v} = \vec{OC}$ où C est le 4e sommet du parallélogramme OACB.
Propriétés.
• Commutativité : $\vec{u} + \vec{v} = \vec{v} + \vec{u}$
• Associativité : $\vec{u} + (\vec{v} + \vec{w}) = (\vec{u} + \vec{v}) + \vec{w}$
• Élément neutre : $\vec{u} + \vec{0} = \vec{u}$
• Opposé : $\vec{u} + (-\vec{u}) = \vec{0}$, avec $-\vec{AB} = \vec{BA}$
Exemple. $\vec{u} - \vec{v}$ se définit comme $\vec{u} + (-\vec{v})$. Si $\vec{u} = \vec{OA}$ et $\vec{v} = \vec{OB}$, alors $\vec{u} - \vec{v} = \vec{BA}$.
5Multiplication d'un vecteur par un scalaire
Définition. Soit $\vec{u}$ un vecteur non nul et $k$ un réel. Le vecteur $k\vec{u}$ est :
• de même direction que $\vec{u}$ ;
• de même sens que $\vec{u}$ si $k > 0$, de sens opposé si $k < 0$ ;
• de norme $|k| \times ||\vec{u}||$.
Si $k = 0$, $k\vec{u} = \vec{0}$.
Propriétés.
• $k(\vec{u} + \vec{v}) = k\vec{u} + k\vec{v}$
• $(k + l)\vec{u} = k\vec{u} + l\vec{u}$
• $(kl)\vec{u} = k(l\vec{u})$
• $1 \cdot \vec{u} = \vec{u}$ et $(-1)\vec{u} = -\vec{u}$
Exemple. Si $||\vec{u}|| = 3$, alors $||2\vec{u}|| = 6$, $||{-3}\vec{u}|| = 9$ et $||\frac{1}{3}\vec{u}|| = 1$.
Vecteur colinéaire par scalaire. Deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires si et seulement si il existe un réel $k$ tel que $\vec{v} = k\vec{u}$ (ou $\vec{u} = k\vec{v}$).
6Coordonnées d'un vecteur
Dans un repère $(O ; \vec{i}, \vec{j})$ du plan, tout vecteur $\vec{u}$ s'exprime de manière unique comme $\vec{u} = x\vec{i} + y\vec{j}$. On note $\vec{u}\binom{x}{y}$ ou $\vec{u}(x ; y)$.
Coordonnées de $\vec{AB}$. Si $A(x_A ; y_A)$ et $B(x_B ; y_B)$, alors :
$$\vec{AB}\binom{x_B - x_A}{y_B - y_A}$$
Les coordonnées de $\vec{AB}$ = coordonnées de B moins coordonnées de A.
| Opération | Formule |
|---|
| Somme $\vec{u} + \vec{v}$ | $\binom{x_u + x_v}{y_u + y_v}$ |
| Différence $\vec{u} - \vec{v}$ | $\binom{x_u - x_v}{y_u - y_v}$ |
| Produit $k\vec{u}$ | $\binom{k x_u}{k y_u}$ |
| Norme $||\vec{u}||$ | $\sqrt{x_u^2 + y_u^2}$ |
Exemple. A(1 ; 3), B(4 ; -1), C(-2 ; 5).
$\vec{AB} = \binom{4-1}{-1-3} = \binom{3}{-4}$, norme $= \sqrt{9+16} = 5$.
$\vec{AB} + \vec{AC} = \binom{3+(-3)}{-4+2} = \binom{0}{-2}$.
$3\vec{AB} = \binom{9}{-12}$.
Attention ! Ne pas confondre les coordonnées d'un POINT (position) et les coordonnées d'un VECTEUR (déplacement). Le point A(3 ; 5) et le vecteur $\binom{3}{5}$ sont deux objets différents.
7Vecteurs colinéaires
Définition. Deux vecteurs $\vec{u}\binom{a}{b}$ et $\vec{v}\binom{c}{d}$ sont colinéaires si et seulement si :
$$ad - bc = 0$$
Cette quantité $ad - bc$ s'appelle le déterminant de $\vec{u}$ et $\vec{v}$.
Des vecteurs colinéaires ont la même direction (ou l'un d'eux est le vecteur nul).
Moyen mnémotechnique. Pour calculer $ad - bc$ avec $\vec{u}\binom{a}{b}$ et $\vec{v}\binom{c}{d}$ : « croix en X » → $a \times d - b \times c$.
Application : alignement de trois points. Trois points A, B, C sont alignés si et seulement si les vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$ sont colinéaires.
Exemple. Sont-ils colinéaires ? $\vec{u}\binom{3}{-6}$ et $\vec{v}\binom{-2}{4}$.
Déterminant : $3 \times 4 - (-6) \times (-2) = 12 - 12 = 0$. Oui, ils sont colinéaires (et $\vec{v} = -\frac{2}{3}\vec{u}$).
Exemple. A(1 ; 2), B(3 ; 5), C(5 ; 9). Les points A, B, C sont-ils alignés ?
$\vec{AB}\binom{2}{3}$, $\vec{AC}\binom{4}{7}$.
Déterminant : $2 \times 7 - 3 \times 4 = 14 - 12 = 2 \neq 0$. Non, ils ne sont pas alignés.
8Applications géométriques
Milieu d'un segment. Le milieu M du segment [AB] est tel que $\vec{AM} = \vec{MB}$, ou encore $\vec{AM} = \frac{1}{2}\vec{AB}$.
En coordonnées : $M\left(\frac{x_A + x_B}{2} ; \frac{y_A + y_B}{2}\right)$.
Parallélogramme. ABCD est un parallélogramme si et seulement si $\vec{AB} = \vec{DC}$ (ou $\vec{AD} = \vec{BC}$), c'est-à-dire si les diagonales ont le même milieu.
Exemple. A(0 ; 1), B(3 ; 4), C(5 ; 2). Trouver D tel que ABCD soit un parallélogramme.
$\vec{AB} = \binom{3}{3}$. On doit avoir $\vec{DC} = \vec{AB}$, donc $\vec{DC} = \binom{3}{3}$.
$D = C - \binom{3}{3} = (5-3 ; 2-3) = (2 ; -1)$. Donc D(2 ; -1).
Vecteur et translation. L'image de A par la translation de vecteur $\vec{u}\binom{a}{b}$ est le point A' tel que $\vec{AA'} = \vec{u}$. Si $A(x ; y)$, alors $A'(x + a ; y + b)$.
Attention à l'ordre des sommets ! Dans ABCD, les sommets sont dans l'ordre (sens de parcours). $\vec{AB} = \vec{DC}$ (et non $\vec{CD}$) pour le parallélogramme ABCD.
★À retenir
En bref :
• Un vecteur est défini par une direction, un sens et une norme.
• $\vec{AB} = \vec{CD}$ ⟺ ABDC est un parallélogramme (ou déplacements identiques).
• Relation de Chasles : $\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}$ (les lettres intérieures s'annulent).
• Coordonnées de $\vec{AB}$ : $(x_B - x_A ; y_B - y_A)$ — toujours B moins A.
• Colinéarité : $\vec{u}\binom{a}{b}$ et $\vec{v}\binom{c}{d}$ colinéaires ⟺ $ad - bc = 0$.
• Milieu M de [AB] : $M\left(\frac{x_A+x_B}{2} ; \frac{y_A+y_B}{2}\right)$.