Vecteurs

Q: Comment savoir si deux vecteurs sont égaux ?

Deux vecteurs sont égaux s’ils ont la même direction, le même sens et la même norme. Sur une figure, AB⃗ = CD⃗ équivaut à « ABDC est un parallélogramme » (éventuellement aplati) ; dans un repère, deux vecteurs sont égaux quand ils ont les mêmes coordonnées.

Q: Comment simplifier une somme de vecteurs avec la relation de Chasles ?

On remplace chaque vecteur soustrait par son opposé (− XY⃗ devient + YX⃗), on réordonne les termes pour que l’extrémité de chaque vecteur soit l’origine du suivant, puis on applique AB⃗ + BC⃗ = AC⃗ autant de fois que nécessaire.

Q: Comment calculer les coordonnées du vecteur AB ?

On fait « extrémité moins origine » : AB⃗ a pour coordonnées (x_B − x_A ; y_B − y_A). Sur un quadrillage, ce sont le déplacement horizontal puis le déplacement vertical pour aller de A à B.

Q: Comment calculer la norme d’un vecteur ?

Dans une base orthonormée, la norme de u⃗(x ; y) vaut √(x² + y²) : c’est le théorème de Pythagore. On garde la valeur exacte et on simplifie la racine. Pour k u⃗, la norme est |k| fois celle de u⃗.

Q: Comment montrer avec des vecteurs qu’un point est le milieu d’un segment ?

I est le milieu de [AB] si et seulement si AI⃗ = IB⃗, ou AI⃗ = ½AB⃗, ou IA⃗ + IB⃗ = 0⃗. Il suffit d’établir l’une de ces égalités avec la relation de Chasles ou avec les coordonnées. Ensuite, pour tout point M, MA⃗ + MB⃗ = 2MI⃗.

Égalité de vecteurs et représentants, translation, somme et relation de Chasles, produit par un réel, coordonnées dans une base orthonormée, norme et caractérisation vectorielle du milieu.

À propos de cette page

Ce cours de seconde sur les vecteurs suit six parties : égalité de vecteurs et représentants avec le rappel sur la translation, somme et relation de Chasles avec la règle du parallélogramme, produit d’un vecteur par un réel, coordonnées dans une base orthonormée, norme d’un vecteur et caractérisation vectorielle du milieu. La formule de la norme et la propriété MA⃗ + MB⃗ = 2MI⃗ y sont démontrées.

Égalité de vecteurs, représentants et translation

Ce qu’il faut savoir

Vecteur et translation (rappel de 3e). La translation qui transforme A en B associe à tout point M le point M′ tel que ABM′M soit un parallélogramme (éventuellement aplati). On lui associe le vecteur $\vec{A B}$ , appelé aussi vecteur déplacement de A à B. Un vecteur non nul est défini par :

sa direction : celle de la droite (AB) ;
son sens : de A vers B ;
sa norme : la longueur AB, notée $‖ \vec{A B} ‖$ .

Égalité. Deux vecteurs sont égaux s’ils ont même direction, même sens et même norme. Pour quatre points : $\vec{A B} = \vec{C D}$ $⟺$ ABDC est un parallélogramme (éventuellement aplati) $⟺$ [AD] et [BC] ont le même milieu.

Représentants. Un vecteur, noté $\vec{u}$ , n’est pas attaché à un point : toutes les flèches de même direction, de même sens et de même longueur le représentent. Pour tout point O, il existe un unique point M tel que $\vec{O M} = \vec{u}$ : c’est le représentant de $\vec{u}$ d’origine O. Quand O est l’origine du plan, $\vec{O M}$ s’appelle le vecteur position de M.

Vecteur nul, opposé. $\vec{A A}$ $= \vec{B B}$ $= \vec{0}$ : norme 0, ni direction ni sens. $\vec{B A}$ est l’opposé de $\vec{A B}$ (même direction, même norme, sens contraire) : on écrit $\vec{B A} = - \vec{A B}$ .

Exemples

Lire la figure. $\vec{A B}$ $= \vec{C D}$ $= \vec{u}$ : la translation de vecteur $\vec{u}$ transforme C en D. La flèche rouge représente l’opposé : $\vec{E F}$ $= - \vec{u}$ $= \vec{B A}$ .

Dans un parallélogramme. PQRS est un parallélogramme (sommets dans cet ordre) : $\vec{P Q} = \vec{S R}$ et $\vec{P S} = \vec{Q R}$ . En revanche $\vec{P Q} \neq \vec{R S}$ : même direction et même norme, mais sens contraires, donc $\vec{R S} = - \vec{P Q}$ .

Construire un représentant. Pour placer le point M tel que $\vec{K M} = \vec{A B}$ , on construit le parallélogramme ABMK : M en est le quatrième sommet. Autrement dit, M est l’image de K par la translation de vecteur $\vec{A B}$ .

Avec un milieu. Si les segments [AD] et [BC] ont le même milieu, alors ABDC est un parallélogramme : $\vec{A B} = \vec{C D}$ , et aussi $\vec{A C} = \vec{B D}$ .

Réflexe — Pour écrire une égalité de vecteurs dans un parallélogramme, je fais un croquis à main levée et je suis le contour dans l’ordre des lettres : deux côtés opposés se parcourent dans le même sens (ABCD : $\vec{A B} = \vec{D C}$ ).

Attention — Même longueur ne veut pas dire vecteurs égaux : il faut aussi même direction et même sens. Pour le parallélogramme ABCD, $\vec{A B} = \vec{C D}$ est faux.

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Somme de vecteurs et relation de Chasles

Ce qu’il faut savoir

Somme (rappel de 3e). Enchaîner la translation de vecteur $\vec{u}$ puis celle de vecteur $\vec{v}$ revient à faire une seule translation : son vecteur est la somme $\vec{u} + \vec{v}$ .

Relation de Chasles. Pour tous points A, B, C : $\vec{A B} + \vec{B C} = \vec{A C}$ Les flèches sont placées « bout à bout » : l’extrémité de la première est l’origine de la seconde.

Représentants de même origine (règle du parallélogramme). Si $\vec{u} = \vec{O M}$ et $\vec{v} = \vec{O N}$ , alors $\vec{u} + \vec{v} = \vec{O P}$ , où P est le point tel que OMPN est un parallélogramme. En particulier, pour un parallélogramme ABCD : $\vec{A B} + \vec{A D}$ $= \vec{A C}$ .

Règles. $\vec{u} + \vec{v} = \vec{v} + \vec{u}$ ; on peut regrouper les termes dans l’ordre qu’on veut ; $\vec{u} + \vec{0} = \vec{u}$ ; $\vec{u} + (- \vec{u}) = \vec{0}$ , en particulier $\vec{A B} + \vec{B A}$ $= \vec{A A}$ $= \vec{0}$ .

Différence. $\vec{u} - \vec{v} = \vec{u} + (- \vec{v})$ : soustraire $\vec{X Y}$ , c’est ajouter $\vec{Y X}$ .

Exemples

Simplifier. $\vec{K L} - \vec{M L} + \vec{M N}$ : on remplace $- \vec{M L}$ par $\vec{L M}$ , d’où $\vec{K L} + \vec{L M} + \vec{M N}$ $= \vec{K M} + \vec{M N}$ $= \vec{K N}$ (Chasles deux fois).

Réordonner. $\vec{U V} + \vec{W U} + \vec{V W}$ $= \vec{W U} + \vec{U V} + \vec{V W}$ $= \vec{W V} + \vec{V W}$ $= \vec{W W}$ $= \vec{0}$ .

Différence de même origine. Pour tous points A, B, C : $\vec{A B} - \vec{A C}$ $= \vec{C A} + \vec{A B}$ $= \vec{C B}$ .

Insérer un point (démonstration). Montrons que, pour tous points A, B, C, D : $\vec{A B} + \vec{C D}$ $= \vec{A D} + \vec{C B}$ . Par la relation de Chasles, $\vec{A B}$ $= \vec{A D} + \vec{D B}$ et $\vec{C D}$ $= \vec{C B} + \vec{B D}$ . En additionnant : $\vec{A B} + \vec{C D}$ $= \vec{A D} + \vec{C B} + (\vec{D B} + \vec{B D})$ . Or $\vec{D B} + \vec{B D}$ $= \vec{D D}$ $= \vec{0}$ , d’où l’égalité.

Réflexe — Je transforme chaque « $- \vec{X Y}$ » en « $+ \vec{Y X}$ », je réordonne pour que les lettres s’enchaînent (…B + B…), puis j’applique Chasles. Si rien ne s’enchaîne, j’insère un point bien choisi.

Attention — $\vec{A B} + \vec{C D}$ ne se simplifie pas tel quel : Chasles exige que l’extrémité du premier vecteur soit l’origine du second. Et la relation porte sur les vecteurs, pas sur les longueurs : en longueurs, AB + BC ≥ AC.

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Produit d’un vecteur par un réel

Ce qu’il faut savoir

Définition. Soit $\vec{u} \neq \vec{0}$ et $k$ un réel non nul. Le vecteur $k \vec{u}$ a :

la même direction que $\vec{u}$ ;
le même sens que $\vec{u}$ si $k > 0$ , le sens contraire si $k < 0$ ;
pour norme $| k | \times ‖ \vec{u} ‖$ .

Par convention, $0 \vec{u} = \vec{0}$ et $k \vec{0} = \vec{0}$ . On a $(- 1) \vec{u} = - \vec{u}$ et $1 \vec{u} = \vec{u}$ .

Règles de calcul. Pour tous réels $k$ , $l$ et tous vecteurs : $k (\vec{u} + \vec{v}) = k \vec{u} + k \vec{v}$ ; $(k + l) \vec{u} = k \vec{u} + l \vec{u}$ ; $k (l \vec{u}) = (k l) \vec{u}$ . On calcule comme en calcul littéral, mais on ne multiplie jamais deux vecteurs entre eux.

Placer un point. Si $\vec{A M} = k \vec{A B}$ , le point M est sur la droite (AB), du côté de B si $k > 0$ , de l’autre côté de A si $k < 0$ , et AM = $| k |$ × AB.

Exemples

Réduire. $4 (\vec{u} - \vec{v}) - 3 (\vec{u} - 2 \vec{v})$ $= 4 \vec{u} - 4 \vec{v} - 3 \vec{u} + 6 \vec{v}$ $= \vec{u} + 2 \vec{v}$ .

Placer des points. AB = 4 cm. Le point M tel que $\vec{A M}$ $= \frac{3}{2} \vec{A B}$ est sur [AB), au-delà de B, avec AM = 1,5 × 4 = 6 cm. Le point N tel que $\vec{A N}$ $= - \frac{1}{4} \vec{A B}$ est sur (AB), de l’autre côté de A, avec AN = 0,25 × 4 = 1 cm.

Exprimer un vecteur. ABC est un triangle et $\vec{A M}$ $= 2 \vec{A B} - \vec{A C}$ . Alors $\vec{B M}$ $= \vec{B A} + \vec{A M}$ $= - \vec{A B} + 2 \vec{A B} - \vec{A C}$ $= \vec{A B} - \vec{A C}$ $= \vec{C B}$ : M est l’image de B par la translation de vecteur $\vec{C B}$ .

Norme. Si $‖ \vec{u} ‖ = 3$ cm, le vecteur $- 2 \vec{u}$ a la même direction que $\vec{u}$ , le sens contraire, et pour norme $| - 2 | \times 3 = 6$ cm.

Réflexe — Pour réduire, je développe puis je regroupe les $\vec{u}$ entre eux et les $\vec{v}$ entre eux. Pour placer $\vec{A M} = k \vec{A B}$ : le signe de $k$ donne le sens, $| k |$ donne la longueur.

Attention — $‖ - 2 \vec{u} ‖ = 2 ‖ \vec{u} ‖$ , et non $- 2 ‖ \vec{u} ‖$ : une norme n’est jamais négative. Et une écriture comme « $\vec{u} \times \vec{v}$ » n’a pas de sens en seconde.

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Coordonnées d’un vecteur dans une base orthonormée

Ce qu’il faut savoir

Base et repère orthonormés. Deux vecteurs $\vec{i}$ et $\vec{j}$ forment une base orthonormée s’ils ont des directions perpendiculaires et une norme égale à 1. Avec une origine O, on obtient le repère orthonormé $(O; \vec{i}, \vec{j})$ .

Coordonnées d’un vecteur. Les coordonnées de $\vec{u}$ sont celles du point M tel que $\vec{O M} = \vec{u}$ . On note $\vec{u} (\begin{matrix} x \\ y \end{matrix})$ ou $\vec{u} (x; y)$ . Sur un quadrillage, $x$ est le déplacement horizontal (vers la droite si $x > 0$ ) et $y$ le déplacement vertical (vers le haut si $y > 0$ ), lus sur n’importe quel représentant.

Vecteur $\vec{A B}$ . Si $A (x_{A}; y_{A})$ et $B (x_{B}; y_{B})$ , alors $\vec{A B} (\begin{matrix} x_{B} - x_{A} \\ y_{B} - y_{A} \end{matrix})$ « extrémité moins origine ».

Calculs. Avec $\vec{u} (x; y)$ , $\vec{v} (x'; y')$ et un réel $k$ : $\vec{u} = \vec{v} ⟺ x = x'$ et $y = y'$ ; $\vec{u} + \vec{v}$ a pour coordonnées $(x + x'; y + y')$ ; $k \vec{u}$ a pour coordonnées $(k x; k y)$ .

Point défini par un vecteur. $\vec{A M} = \vec{u}$ $⟺$ $x_{M} = x_{A} + x$ et $y_{M} = y_{A} + y$ .

Exemples

Coordonnées de vecteurs. Dans un repère orthonormé, A(−1 ; 2), B(3 ; −1) et C(4 ; 3). $\vec{A B} (\begin{matrix} 3 - (- 1) \\ - 1 - 2 \end{matrix})$ $= (\begin{matrix} 4 \\ - 3 \end{matrix})$ : 4 carreaux vers la droite, 3 vers le bas (figure). De même $\vec{A C} (\begin{matrix} 5 \\ 1 \end{matrix})$ .

Somme et produit. $\vec{A B} + \vec{A C} (\begin{matrix} 4 + 5 \\ - 3 + 1 \end{matrix})$ $= (\begin{matrix} 9 \\ - 2 \end{matrix})$ . Puis $3 \vec{A B} (\begin{matrix} 12 \\ - 9 \end{matrix})$ et $2 \vec{A C} (\begin{matrix} 10 \\ 2 \end{matrix})$ , donc $3 \vec{A B} - 2 \vec{A C} (\begin{matrix} 12 - 10 \\ - 9 - 2 \end{matrix})$ $= (\begin{matrix} 2 \\ - 11 \end{matrix})$ .

Quatrième sommet. ABCD est un parallélogramme $⟺$ $\vec{A D} = \vec{B C}$ . Or $\vec{B C} (\begin{matrix} 1 \\ 4 \end{matrix})$ , donc $x_{D} = - 1 + 1 = 0$ et $y_{D} = 2 + 4 = 6$ : D(0 ; 6). Contrôle : $\vec{D C} (\begin{matrix} 4 - 0 \\ 3 - 6 \end{matrix})$ $= (\begin{matrix} 4 \\ - 3 \end{matrix})$ , ce sont bien les coordonnées de $\vec{A B}$ .

Réflexe — « Extrémité moins origine », dans cet ordre. Pour trouver un point inconnu, je pose ses coordonnées $(x; y)$ , je traduis l’égalité de vecteurs par deux équations (abscisses, ordonnées) et je contrôle sur un autre vecteur.

Attention — $\vec{A B} (4; - 3)$ ne veut pas dire B(4 ; −3) : ce sont les coordonnées d’un déplacement, pas d’un point. Les coordonnées de B s’obtiennent en ajoutant celles de $\vec{A B}$ à celles de A.

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Norme d’un vecteur

Ce qu’il faut savoir

Formule. Dans une base orthonormée, si $\vec{u} (x; y)$ , alors $‖ \vec{u} ‖ = \sqrt{x^{2} + y^{2}}$ Pour deux points : $A B$ $= ‖ \vec{A B} ‖$ $= \sqrt{(x_{B} - x_{A})^{2} + (y_{B} - y_{A})^{2}}$ .

Propriétés. $‖ \vec{u} ‖ ⩾ 0$ , et $‖ \vec{u} ‖ = 0$ seulement pour $\vec{u} = \vec{0}$ ; $‖ k \vec{u} ‖ = | k | \times ‖ \vec{u} ‖$ ; $‖ - \vec{u} ‖ = ‖ \vec{u} ‖$ .

Norme d’une somme. En général $‖ \vec{u} + \vec{v} ‖ \neq ‖ \vec{u} ‖ + ‖ \vec{v} ‖$ . On a seulement $‖ \vec{u} + \vec{v} ‖ ⩽ ‖ \vec{u} ‖ + ‖ \vec{v} ‖$ (inégalité triangulaire : AC ≤ AB + BC), avec égalité quand $\vec{u}$ et $\vec{v}$ ont même direction et même sens, ou quand l’un des deux est nul.

Exemples

Démonstration de la formule. Dans le repère orthonormé $(O; \vec{i}, \vec{j})$ , soit M le point tel que $\vec{O M} = \vec{u}$ : M a pour coordonnées $(x; y)$ . On note H le point de coordonnées $(x; 0)$ . Si $x \neq 0$ et $y \neq 0$ , le triangle OHM est rectangle en H (les axes sont perpendiculaires et ont la même unité), avec OH = $| x |$ et HM = $| y |$ . D’après le théorème de Pythagore, OM² = OH² + HM² = $x^{2} + y^{2}$ . Comme OM ≥ 0, $‖ \vec{u} ‖ = O M = \sqrt{x^{2} + y^{2}}$ . Si $x = 0$ ou $y = 0$ , M est sur un axe et la formule donne encore OM.

Calculer. $\vec{u} (- 8; 15)$ : $‖ \vec{u} ‖$ $= \sqrt{(- 8)^{2} + 15^{2}}$ $= \sqrt{64 + 225}$ $= \sqrt{289}$ $= 17$ .

Simplifier, puis multiplier. $\vec{v} (2; - 4)$ : $‖ \vec{v} ‖$ $= \sqrt{4 + 16}$ $= \sqrt{20}$ $= 2 \sqrt{5}$ . Alors $‖ - 3 \vec{v} ‖$ $= 3 \times 2 \sqrt{5}$ $= 6 \sqrt{5}$ ; on le retrouve avec $- 3 \vec{v} (- 6; 12)$ : $\sqrt{36 + 144} = \sqrt{180} = 6 \sqrt{5}$ .

Norme d’une somme. $\vec{a} (3; 0)$ et $\vec{b} (0; 4)$ : $\vec{a} + \vec{b}$ a pour coordonnées $(3; 4)$ et pour norme $\sqrt{9 + 16} = 5$ , alors que $‖ \vec{a} ‖ + ‖ \vec{b} ‖ = 7$ .

Réflexe — Je vérifie que le repère est orthonormé, je calcule les carrés des coordonnées (avec les parenthèses pour les négatives), j’additionne, je prends la racine carrée et je la simplifie ( $\sqrt{20} = 2 \sqrt{5}$ ). Je garde la valeur exacte.

Attention — $(- 8)^{2} = 64$ , pas $- 64$ . La formule $\sqrt{x^{2} + y^{2}}$ n’est valable que dans une base orthonormée. Et la norme d’une somme n’est pas la somme des normes.

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Caractérisation vectorielle du milieu

Ce qu’il faut savoir

Caractérisation vectorielle du milieu. Pour deux points A, B et un point I, ces affirmations sont équivalentes :

I est le milieu de [AB] ;
$\vec{A I} = \vec{I B}$ ;
$\vec{A I}$ $= \frac{1}{2} \vec{A B}$ ;
$\vec{I A} + \vec{I B}$ $= \vec{0}$ .

Propriété. Si I est le milieu de [AB], alors, pour tout point M : $\vec{M A} + \vec{M B} = 2 \vec{M I}$

Parallélogramme. ABCD (dans cet ordre) est un parallélogramme $⟺$ ses diagonales [AC] et [BD] ont le même milieu $⟺$ $\vec{A B} = \vec{D C}$ .

Exemples

Démonstration de la propriété. Par la relation de Chasles, $\vec{M A}$ $= \vec{M I} + \vec{I A}$ et $\vec{M B}$ $= \vec{M I} + \vec{I B}$ . En additionnant : $\vec{M A} + \vec{M B}$ $= 2 \vec{M I} + (\vec{I A} + \vec{I B})$ . Comme I est le milieu de [AB], $\vec{I A} + \vec{I B}$ $= \vec{0}$ , donc $\vec{M A} + \vec{M B}$ $= 2 \vec{M I}$ .

Pourquoi $\vec{A I}$ $= \frac{1}{2} \vec{A B}$ . Si $\vec{A I} = \vec{I B}$ , alors $\vec{A B}$ $= \vec{A I} + \vec{I B}$ $= 2 \vec{A I}$ .

Centre d’un parallélogramme. ABCD est un parallélogramme de centre O : O est le milieu de [AC] et de [BD], donc $\vec{O A} + \vec{O C}$ $= \vec{0}$ et $\vec{O B} + \vec{O D}$ $= \vec{0}$ . Ainsi $\vec{O A} + \vec{O B} + \vec{O C} + \vec{O D}$ $= \vec{0}$ .

Les coordonnées du milieu (approfondissement proposé par le programme). Avec M = O, origine du repère : $\vec{O I}$ $= \frac{1}{2} (\vec{O A} + \vec{O B})$ . Les coordonnées de I sont donc les moyennes de celles de A et B. Pour A(−4 ; 1) et B(2 ; 7) : $I (\frac{- 4 + 2}{2}; \frac{1 + 7}{2})$ , soit : égalité de deux vecteurs, notation u⃗, vecteur nul, représentants d’un vecteur ; somme de deux vecteurs à partir de représentants de même origine, relation de Chasles et translation (rappels de 3e) ; produit d’un vecteur par un nombre réel ; base orthonormée, coordonnées d’un vecteur, coordonnées de AB⃗, d’une somme et d’un produit par un réel ; expression de la norme d’un vecteur ; caractérisation vectorielle du milieu d’un segment. La formule est travaillée au chapitre Repérage : distances et milieux.

Réflexe — Dès que l’énoncé parle d’un milieu I de [AB], j’écris $\vec{I A} + \vec{I B}$ $= \vec{0}$ ou $\vec{A I}$ $= \frac{1}{2} \vec{A B}$ . Une somme $\vec{M A} + \vec{M B}$ se remplace par $2 \vec{M I}$ .

Attention — $\vec{I A} = \vec{I B}$ est faux : ces vecteurs sont opposés. Et IA = IB en longueurs ne suffit pas : I peut être hors de la droite (AB), sur la médiatrice de [AB].

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Pour aller plus loin

Colinéarité, déterminant, décomposition. On dit que $\vec{u}$ et $k \vec{u}$ sont colinéaires. Le déterminant, le critère de colinéarité, l’alignement de trois points, le parallélisme de deux droites et l’écriture $\vec{u} = x \vec{i} + y \vec{j}$ (combinaison de deux vecteurs non colinéaires) sont au chapitre Colinéarité et déterminant.

Distances et milieux en coordonnées. La distance entre deux points, les coordonnées du milieu et la nature d’un triangle ou d’un quadrilatère démontrée par le calcul sont travaillées au chapitre Repérage : distances et milieux.

Droites. Un vecteur sert aussi à diriger une droite : vecteur directeur, équation cartésienne, équation réduite et pente sont au chapitre Équations de droites.

En 1re spécialité. Les vecteurs servent à calculer des angles et des longueurs grâce au produit scalaire.

À retenir

$\vec{A B} = \vec{C D}$ $⟺$ ABDC est un parallélogramme (éventuellement aplati) : même direction, même sens, même norme.
Relation de Chasles : $\vec{A B} + \vec{B C}$ $= \vec{A C}$ ; même origine : $\vec{A B} + \vec{A D}$ $= \vec{A C}$ dans le parallélogramme ABCD.
$k \vec{u}$ : même direction que $\vec{u}$ , même sens si $k > 0$ , sens contraire si $k < 0$ , norme $| k | \times ‖ \vec{u} ‖$ .
$\vec{A B} (x_{B} - x_{A}; y_{B} - y_{A})$ ; on additionne les coordonnées pour une somme, on les multiplie par $k$ pour $k \vec{u}$ .
Base orthonormée : $‖ \vec{u} ‖ = \sqrt{x^{2} + y^{2}}$ , et $‖ \vec{u} + \vec{v} ‖ ⩽ ‖ \vec{u} ‖ + ‖ \vec{v} ‖$ .
I milieu de [AB] $⟺$ $\vec{I A} + \vec{I B}$ $= \vec{0}$ $⟺$ $\vec{A I}$ $= \frac{1}{2} \vec{A B}$ ; pour tout M, $\vec{M A} + \vec{M B}$ $= 2 \vec{M I}$ .

Questions fréquentes

Comment savoir si deux vecteurs sont égaux ?

Deux vecteurs sont égaux s’ils ont la même direction, le même sens et la même norme. Sur une figure, AB⃗ = CD⃗ équivaut à « ABDC est un parallélogramme » (éventuellement aplati) ; dans un repère, deux vecteurs sont égaux quand ils ont les mêmes coordonnées.

Comment simplifier une somme de vecteurs avec la relation de Chasles ?

On remplace chaque vecteur soustrait par son opposé (− XY⃗ devient + YX⃗), on réordonne les termes pour que l’extrémité de chaque vecteur soit l’origine du suivant, puis on applique AB⃗ + BC⃗ = AC⃗ autant de fois que nécessaire.

Comment calculer les coordonnées du vecteur AB ?

On fait « extrémité moins origine » : AB⃗ a pour coordonnées (x_B − x_A ; y_B − y_A). Sur un quadrillage, ce sont le déplacement horizontal puis le déplacement vertical pour aller de A à B.

Comment calculer la norme d’un vecteur ?

Dans une base orthonormée, la norme de u⃗(x ; y) vaut √(x² + y²) : c’est le théorème de Pythagore. On garde la valeur exacte et on simplifie la racine. Pour k u⃗, la norme est |k| fois celle de u⃗.

Comment montrer avec des vecteurs qu’un point est le milieu d’un segment ?

I est le milieu de [AB] si et seulement si AI⃗ = IB⃗, ou AI⃗ = ½AB⃗, ou IA⃗ + IB⃗ = 0⃗. Il suffit d’établir l’une de ces égalités avec la relation de Chasles ou avec les coordonnées. Ensuite, pour tout point M, MA⃗ + MB⃗ = 2MI⃗.

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