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Mathématiques 2ⁿᵈᵉ

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Équations de droites

Vecteur directeur et équation cartésienne (forme ax + by + c = 0 démontrée avec le déterminant), équation réduite et pente, droite passant par deux points et alignement, droites parallèles ou sécantes, point d’intersection de deux droites données par leur équation réduite.

À propos de cette page
Un QCM sur les équations de droites en trois niveaux de douze questions : vecteur directeur, pente et ordonnée à l’origine, droites verticales, passage de la forme cartésienne à la forme réduite, parallélisme, intersections et paramètres. Chaque réponse est expliquée.

Les 36 questions du QCM en version texte

Pour réviser sans écran ou imprimer : chaque question avec ses propositions ; la bonne réponse et son explication se déplient.

Niveau facile ★ — 12 questions

  1. Un vecteur directeur de la droite d’équation 2x + 11y − 4 = 0 est :

    • A. (2 ; 11)
    • B. (−11 ; 2)
    • C. (11 ; 2)
    • D. (−2 ; 11)
    Réponse

    B. (−11 ; 2) — Pour ax + by + c = 0, un vecteur directeur est (−b ; a) = (−11 ; 2). Les vecteurs (2 ; 11), (11 ; 2) et (−2 ; 11) ne sont pas colinéaires à (−11 ; 2).

  2. La pente de la droite d’équation y = −6x + 5 est :

    • A. −6
    • B. 5
    • C. 6
    • D. −5
    Réponse

    A. −6 — Dans y = mx + p, la pente est le nombre qui multiplie x : ici −6.

  3. L’ordonnée à l’origine de la droite y = (3/8)x − 7 est :

    • A. 3/8
    • B. −3/8
    • C. −7
    • D. 7
    Réponse

    C. −7 — L’ordonnée à l’origine est le terme constant p = −7 : la droite coupe l’axe des ordonnées en (0 ; −7).

  4. La droite d’équation x = −4 est :

    • A. parallèle à l’axe des abscisses
    • B. de pente égale à −4
    • C. de pente égale à 0
    • D. parallèle à l’axe des ordonnées
    Réponse

    D. parallèle à l’axe des ordonnées — Tous ses points ont pour abscisse −4 : c’est une droite verticale, parallèle à l’axe des ordonnées, sans pente.

  5. Une équation cartésienne de droite s’écrit :

    • A. y = mx + p, et uniquement sous cette forme
    • B. ax² + by + c = 0, avec a et b non nuls
    • C. ax + by + c = 0, a et b non tous deux nuls
    • D. ax + by + c = 0, avec c forcément non nul
    Réponse

    C. ax + by + c = 0, a et b non tous deux nuls — La forme cartésienne est ax + by + c = 0 avec a et b non tous deux nuls ; c peut être nul (droite passant par l’origine). Elle convient à toutes les droites, verticales comprises.

  6. La droite d’équation y = 9 a pour pente :

    • A. 9
    • B. −9
    • C. 0
    • D. elle n’a pas de pente
    Réponse

    C. 0 — C’est une droite horizontale : y = 0 × x + 9. Sa pente vaut 0. Ce sont les droites verticales qui n’ont pas de pente.

  7. Le point M(2 ; −3) appartient à la droite d’équation :

    • A. y = −x − 1
    • B. y = x + 5
    • C. y = −3x + 2
    • D. y = 2x − 3
    Réponse

    A. y = −x − 1 — Pour x = 2 : −2 − 1 = −3, l’ordonnée de M. Les trois autres équations donnent 7, −4 et 1.

  8. Les droites y = 4x − 1 et y = 4x + 6 sont :

    • A. confondues
    • B. sécantes en un point
    • C. sécantes en (0 ; 4)
    • D. strictement parallèles
    Réponse

    D. strictement parallèles — Même pente 4, ordonnées à l’origine différentes (−1 et 6) : parallèles et distinctes.

  9. Dans y = mx + p, quand x augmente de 1, y :

    • A. augmente de p
    • B. varie de m
    • C. est multiplié par m
    • D. prend la valeur m + p
    Réponse

    B. varie de m — La droite est dirigée par (1 ; m) : un pas de 1 en abscisse fait varier l’ordonnée de m.

  10. Avec A(3 ; −1) et B(3 ; 8), la droite (AB) :

    • A. a pour équation y = 3
    • B. a pour équation x = 3
    • C. a pour pente 9
    • D. a pour équation y = 3x
    Réponse

    B. a pour équation x = 3 — A et B ont la même abscisse 3 : la droite est verticale, d’équation x = 3, et n’a pas de pente.

  11. La droite y = 2x + 1 est dirigée par le vecteur :

    • A. (2 ; 1)
    • B. (1 ; 1)
    • C. (−2 ; 1)
    • D. (1 ; 2)
    Réponse

    D. (1 ; 2) — La droite y = mx + p est dirigée par (1 ; m), ici (1 ; 2).

  12. Deux droites de pentes différentes sont :

    • A. sécantes
    • B. strictement parallèles
    • C. confondues
    • D. parallèles ou confondues
    Réponse

    A. sécantes — Des pentes différentes donnent des vecteurs directeurs (1 ; m) et (1 ; m′) non colinéaires : les droites se coupent en un point.

Niveau moyen ★★ — 12 questions

  1. La droite passant par A(1 ; −4) et B(5 ; 8) a pour pente :

    • A. −3
    • B. 3
    • C. 1/3
    • D. 4
    Réponse

    B. 3 — m = (8 − (−4)) ÷ (5 − 1) = 12 ÷ 4 = 3.

  2. L’équation réduite de la droite 10x − 4y + 6 = 0 est :

    • A. y = −2,5x + 1,5
    • B. y = 2,5x − 1,5
    • C. y = 0,4x + 1,5
    • D. y = 2,5x + 1,5
    Réponse

    D. y = 2,5x + 1,5 — On isole y : 4y = 10x + 6, donc y = 2,5x + 1,5.

  3. Les droites 3x − 6y + 1 = 0 et −x + 2y + 4 = 0 sont :

    • A. strictement parallèles
    • B. sécantes en un point
    • C. confondues
    • D. sécantes en (0 ; 2)
    Réponse

    A. strictement parallèles — 3 × 2 − (−1) × (−6) = 6 − 6 = 0 : parallèles. En multipliant la seconde par −3, on obtient 3x − 6y − 12 = 0, différente de la première : elles sont distinctes.

  4. La droite de pente −0,5 passant par C(−2 ; 5) a pour ordonnée à l’origine :

    • A. 6
    • B. −4
    • C. 5
    • D. 4
    Réponse

    D. 4 — p = 5 − (−0,5) × (−2) = 5 − 1 = 4.

  5. Les droites y = 2x + 3 et y = −x + 9 se coupent au point :

    • A. (7 ; 2)
    • B. (2 ; 7)
    • C. (2 ; 5)
    • D. (3 ; 6)
    Réponse

    B. (2 ; 7) — 2x + 3 = −x + 9 donne 3x = 6, soit x = 2, puis y = 7 ; contrôle : −2 + 9 = 7.

  6. Une équation cartésienne de la droite y = (4/3)x − 2 est :

    • A. 4x + 3y − 6 = 0
    • B. 3x − 4y − 6 = 0
    • C. 4x − 3y − 6 = 0
    • D. 4x − 3y + 6 = 0
    Réponse

    C. 4x − 3y − 6 = 0 — On multiplie par 3 : 3y = 4x − 6, puis on regroupe : 4x − 3y − 6 = 0.

  7. La droite 2x + 7y − 14 = 0 coupe l’axe des ordonnées au point :

    • A. (0 ; 2)
    • B. (2 ; 0)
    • C. (0 ; 7)
    • D. (0 ; −2)
    Réponse

    A. (0 ; 2) — Sur l’axe des ordonnées, x = 0 : il reste 7y = 14, donc y = 2.

  8. Une équation de la droite passant par A(1 ; 2) et dirigée par u⃗(3 ; −1) est :

    • A. 3x − y − 1 = 0
    • B. 2x − y = 0
    • C. x + 3y − 7 = 0
    • D. x + y − 3 = 0
    Réponse

    C. x + 3y − 7 = 0 — det(AM⃗, u⃗) = (x − 1) × (−1) − (y − 2) × 3 = −x − 3y + 7 : on obtient x + 3y − 7 = 0. Les trois autres passent aussi par A, mais sont dirigées par (1 ; 3), (1 ; 2) et (−1 ; 1), non colinéaires à u⃗.

  9. Les points P(−2 ; 1), Q(1 ; 7) et R(4 ; 12) :

    • A. sont alignés
    • B. ne sont pas alignés
    • C. sont alignés sur y = 2x + 5
    • D. sont sur une même droite verticale
    Réponse

    B. ne sont pas alignés — (PQ) : pente 6 ÷ 3 = 2 et p = 1 + 4 = 5, donc y = 2x + 5. Pour x = 4, on obtient 13 ≠ 12 : R n’est pas sur (PQ).

  10. La parallèle à y = −3x + 1 passant par (2 ; 1) a pour équation :

    • A. y = −3x + 1
    • B. y = 3x − 5
    • C. y = x − 1
    • D. y = −3x + 7
    Réponse

    D. y = −3x + 7 — Même pente −3 : 1 = −3 × 2 + p donne p = 7. Les droites y = 3x − 5 et y = x − 1 passent par (2 ; 1) mais n’ont pas la bonne pente.

  11. La droite y = −0,4x + 2 coupe l’axe des abscisses au point :

    • A. (0 ; 2)
    • B. (−5 ; 0)
    • C. (5 ; 0)
    • D. (0,8 ; 0)
    Réponse

    C. (5 ; 0) — Sur l’axe des abscisses, y = 0 : −0,4x + 2 = 0, donc x = 2 ÷ 0,4 = 5.

  12. Pour d : y = 3x − 5 et d′ : y = −x + 7, l’abscisse du point d’intersection est :

    • A. 3
    • B. 4
    • C. 12
    • D. −3
    Réponse

    A. 3 — 3x − 5 = −x + 7 donne 4x = 12, soit x = 3 (et y = 4).

Niveau difficile ★★★ — 12 questions

  1. Les droites kx − 2y + 1 = 0 et 6x + 4y − 5 = 0 sont parallèles lorsque k vaut :

    • A. 3
    • B. −12
    • C. −3
    • D. 12
    Réponse

    C. −3 — La condition ab′ − a′b = 0 s’écrit k × 4 − 6 × (−2) = 0, soit 4k + 12 = 0 et k = −3.

  2. Deux droites qui ont des équations cartésiennes différentes :

    • A. peuvent être confondues
    • B. sont toujours sécantes
    • C. sont toujours distinctes
    • D. n’ont aucun point commun
    Réponse

    A. peuvent être confondues — Une équation cartésienne n’est pas unique : 2x − y + 3 = 0 et −6x + 3y − 9 = 0 décrivent la même droite.

  3. Une droite verticale :

    • A. a une pente nulle
    • B. n’a pas d’équation réduite
    • C. a une équation de la forme y = k
    • D. a pour pente 1
    Réponse

    B. n’a pas d’équation réduite — Ses points ont tous la même abscisse : elle s’écrit x = k et n’admet pas d’écriture y = mx + p. C’est une droite horizontale qui a une pente nulle.

  4. Si deux droites ont la même pente et un point commun, alors elles sont :

    • A. strictement parallèles
    • B. sécantes en ce point
    • C. perpendiculaires
    • D. confondues
    Réponse

    D. confondues — Même pente : parallèles. Un point commun exclut le cas strictement parallèle : elles sont confondues (même m, et même p = y_A − m x_A).

  5. La droite 5x + 3y − 2 = 0 a pour pente :

    • A. 5
    • B. 5/3
    • C. −3/5
    • D. −5/3
    Réponse

    D. −5/3 — On isole y : 3y = −5x + 2, donc y = −(5/3)x + 2/3 ; la pente vaut −5/3.

  6. Un vecteur directeur de la droite y = (3/7)x − 2 est :

    • A. (3 ; 7)
    • B. (7 ; 3)
    • C. (7 ; −3)
    • D. (1 ; 7/3)
    Réponse

    B. (7 ; 3) — La droite est dirigée par (1 ; 3/7), et donc aussi par 7 × (1 ; 3/7) = (7 ; 3).

  7. Les droites x = 3 et y = 2x − 4 :

    • A. sont parallèles
    • B. se coupent en (2 ; 0)
    • C. se coupent en (3 ; 2)
    • D. n’ont aucun point commun
    Réponse

    C. se coupent en (3 ; 2) — Une droite verticale et une droite non verticale sont sécantes. Pour x = 3 : y = 6 − 4 = 2. Le point (2 ; 0) est sur la seconde, pas sur la première.

  8. La droite y = mx + 1 passe par A(4 ; −7) lorsque m vaut :

    • A. −2
    • B. 2
    • C. −1,5
    • D. −8
    Réponse

    A. −2 — −7 = 4m + 1 donne 4m = −8, soit m = −2.

  9. Les droites y = (a − 1)x + 3 et y = 5x − 2 sont parallèles lorsque a vaut :

    • A. 4
    • B. 5
    • C. −4
    • D. 6
    Réponse

    D. 6 — Il faut la même pente : a − 1 = 5, soit a = 6. Les ordonnées à l’origine 3 et −2 diffèrent : les droites sont alors strictement parallèles.

  10. A(0 ; 1), B(2 ; 5) et C(x ; 11) sont alignés lorsque x vaut :

    • A. 6
    • B. 5
    • C. 5,5
    • D. 4
    Réponse

    B. 5 — (AB) : pente 4 ÷ 2 = 2 et p = 1, donc y = 2x + 1. C ∈ (AB) ⟺ 11 = 2x + 1 ⟺ x = 5.

  11. Les équations 4x − 2y + 6 = 0 et y = 2x + 3 décrivent :

    • A. deux droites parallèles distinctes
    • B. deux droites sécantes en (0 ; 3)
    • C. une seule et même droite
    • D. deux droites sans point commun
    Réponse

    C. une seule et même droite — En isolant y dans la première : 2y = 4x + 6, donc y = 2x + 3. Même équation réduite : une seule droite.

  12. Si m = m′ et p ≠ p′, l’équation mx + p = m′x + p′ :

    • A. n’a aucune solution
    • B. a une unique solution
    • C. a une infinité de solutions
    • D. a pour solution x = 0
    Réponse

    A. n’a aucune solution — Elle se réduit à p = p′, ce qui est faux : aucune solution. Les droites y = mx + p et y = m′x + p′ sont strictement parallèles.

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