Vecteurs

Égalité de vecteurs et représentants, translation, somme et relation de Chasles, produit par un réel, coordonnées dans une base orthonormée, norme et caractérisation vectorielle du milieu.

À propos de cette page

Des exercices corrigés sur les vecteurs, classés par cas et par difficulté : lire une figure de parallélogrammes, simplifier avec Chasles, réduire a u⃗ + b v⃗, lire des coordonnées sur un quadrillage, trouver un quatrième sommet, calculer et utiliser une norme, exploiter un milieu. Chaque cas contient une démonstration rédigée.

24 exercices, classés par cas comme le cours. Écris ta réponse, puis « Vérifier ».

Cas 1Égalité de vecteurs, représentants et translation

Réflexe — je suis le contour du parallélogramme dans l’ordre des lettres : deux côtés opposés se parcourent dans le même sens. Revoir la méthode →

Exercice 1★★★Facile

Sur la figure, A, B et E sont alignés et B est le milieu de [AE] ; ABCD et BEFC sont des parallélogrammes. Réponds par une lettre (exemple : C).

Le représentant de $\vec{A B}$ d’origine D a pour extrémité
ABCD est un parallélogramme, donc $\vec{A B} = \vec{D C}$ : le représentant d’origine D se termine en C.
Le représentant de $\vec{A B}$ d’origine C a pour extrémité
B est le milieu de [AE], donc $\vec{A B} = \vec{B E}$ ; BEFC est un parallélogramme, donc $\vec{B E} = \vec{C F}$ . Ainsi $\vec{A B} = \vec{C F}$ .
L’image du point B par la translation de vecteur $\vec{D C}$ est
$\vec{D C}$ $= \vec{A B}$ $= \vec{B E}$ : la translation déplace B en E.
Le point X tel que $\vec{F C} = \vec{B X}$ est
$\vec{F C}$ $= - \vec{C F}$ $= - \vec{A B}$ $= \vec{B A}$ : X = A.

Exercice 2★★★Facile

RSTU est un parallélogramme (sommets dans cet ordre). Complète par une lettre.

$\vec{R S}$ est égal au vecteur d’origine U et d’extrémité
Côtés opposés parcourus dans le même sens : $\vec{R S} = \vec{U T}$ .
$\vec{S T}$ est égal au vecteur d’origine R et d’extrémité
$\vec{S T} = \vec{R U}$ : de S vers T comme de R vers U.
$- \vec{T U}$ est égal au vecteur d’origine R et d’extrémité
$- \vec{T U} = \vec{U T}$ , et $\vec{U T} = \vec{R S}$ .
$\vec{U R}$ est égal au vecteur d’origine T et d’extrémité
$\vec{S T} = \vec{R U}$ , donc les opposés sont égaux : $\vec{U R} = \vec{T S}$ .

Exercice 3★★★Moyen

ABC est un triangle. D est le point tel que $\vec{A D} = \vec{B C}$ et E est le symétrique de B par rapport à C.

Le représentant de $\vec{A D}$ d’origine C a pour extrémité
C est le milieu de [BE], donc $\vec{B C} = \vec{C E}$ . Ainsi $\vec{A D}$ $= \vec{B C}$ $= \vec{C E}$ .
Justifier que ADEC est un parallélogramme. Ses diagonales [AE] et [] ont donc le même milieu.
Rédaction attendue. C est le milieu de [BE] (E est le symétrique de B par rapport à C), donc $\vec{B C} = \vec{C E}$ . Par hypothèse $\vec{A D} = \vec{B C}$ , d’où $\vec{A D} = \vec{C E}$ . Or $\vec{A D} = \vec{C E}$ équivaut à « ADEC est un parallélogramme ». Ses diagonales [AE] et [DC] ont donc le même milieu.
Le milieu de [AC] est aussi le milieu de []
$\vec{A D} = \vec{B C}$ équivaut à « ADCB est un parallélogramme ». Ses diagonales [AC] et [DB] ont donc le même milieu.

Exercice 4★★★Difficile

Dans les deux premières questions, A, B, C et D sont quatre points non alignés. Donne le mot ou les lettres demandés.

On sait que $\vec{A B} = \vec{D C}$ et que AB = BC. Démontrer la nature de ABCD : c’est un
Rédaction attendue. $\vec{A B} = \vec{D C}$ équivaut à « ABCD est un parallélogramme ». Un parallélogramme qui a deux côtés consécutifs de même longueur (AB = BC) est un losange.
Si de plus les diagonales [AC] et [BD] ont la même longueur, ABCD est un
Un losange est un parallélogramme ; s’il a des diagonales de même longueur, c’est aussi un rectangle. Losange et rectangle : c’est un carré.
Autre situation : A, B, C, D sont alignés et $\vec{A B} = \vec{C D}$ . Le milieu de [AD] est aussi le milieu de []
$\vec{A B} = \vec{C D}$ équivaut à « ABDC est un parallélogramme aplati », donc [AD] et [BC] ont le même milieu.

Cas 2Somme de vecteurs et relation de Chasles

Réflexe — je change « − XY » en « + YX », je réordonne pour enchaîner les lettres, puis j’applique Chasles. Revoir la méthode →

Exercice 5★★★Facile

Simplifier en un seul vecteur. Écris le vecteur par ses deux lettres (exemple : AC), ou 0 pour le vecteur nul.

$\vec{G H} + \vec{H K} =$
La lettre H s’enchaîne : $\vec{G H} + \vec{H K}$ $= \vec{G K}$ .
$\vec{P R} + \vec{S P} =$
On réordonne : $\vec{S P} + \vec{P R}$ $= \vec{S R}$ .
$\vec{E F} - \vec{E G} =$
$- \vec{E G} = \vec{G E}$ , donc $\vec{G E} + \vec{E F}$ $= \vec{G F}$ .
$\vec{T U} + \vec{U V} + \vec{V T}$ $=$
$\vec{T U} + \vec{U V}$ $= \vec{T V}$ , puis $\vec{T V} + \vec{V T}$ $= \vec{T T}$ $= \vec{0}$ .

Exercice 6★★★Facile

ABCD est un parallélogramme. Simplifier en un seul vecteur. Écris le vecteur par ses deux lettres (exemple : AC), ou 0 pour le vecteur nul.

$\vec{A B} + \vec{A D} =$
Règle du parallélogramme (même origine A) : $\vec{A D} = \vec{B C}$ , donc $\vec{A B} + \vec{B C}$ $= \vec{A C}$ .
$\vec{B A} + \vec{B C} =$
$\vec{B C} = \vec{A D}$ , donc $\vec{B A} + \vec{A D}$ $= \vec{B D}$ .
$\vec{A B} - \vec{A D} =$
$- \vec{A D} = \vec{D A}$ , donc $\vec{D A} + \vec{A B}$ $= \vec{D B}$ .
$\vec{D C} - \vec{A C} =$
$- \vec{A C} = \vec{C A}$ , donc $\vec{D C} + \vec{C A}$ $= \vec{D A}$ .

Exercice 7★★★Moyen

Démontrer ou simplifier, pour des points quelconques. Écris le vecteur par ses deux lettres (exemple : AC), ou 0 pour le vecteur nul.

Démontrer que, pour tous points M, A, B, le vecteur $\vec{M A} - \vec{M B}$ ne dépend pas de M : il est égal à
Rédaction attendue. $- \vec{M B} = \vec{B M}$ , donc $\vec{M A} - \vec{M B}$ $= \vec{B M} + \vec{M A}$ . Par la relation de Chasles, $\vec{B M} + \vec{M A}$ $= \vec{B A}$ . Donc, quel que soit M, $\vec{M A} - \vec{M B}$ $= \vec{B A}$ .
$\vec{E F} + \vec{G H} + \vec{F G}$ $=$
On réordonne : $\vec{E F} + \vec{F G} + \vec{G H}$ $= \vec{E G} + \vec{G H}$ $= \vec{E H}$ .
Le point X tel que $\vec{A X}$ $= \vec{A B} + \vec{B C} - \vec{A C} + \vec{A D}$ est le point
$\vec{A B} + \vec{B C}$ $= \vec{A C}$ , et $\vec{A C} - \vec{A C}$ $= \vec{0}$ . Il reste $\vec{A X} = \vec{A D}$ , donc X = D.

Exercice 8★★★Difficile

ABC est un triangle. D est le point tel que $\vec{A D}$ $= \vec{A B} + \vec{A C}$ et E le point tel que $\vec{B E} = \vec{A C}$ .

Démontrer que les points D et E sont confondus. On écrit $\vec{A E} = \vec{A B} + \vec{B E}$ et on remplace $\vec{B E}$ par le vecteur d’origine A et d’extrémité
Rédaction attendue. Par la relation de Chasles, $\vec{A E}$ $= \vec{A B} + \vec{B E}$ . Comme $\vec{B E} = \vec{A C}$ , on obtient $\vec{A E}$ $= \vec{A B} + \vec{A C}$ $= \vec{A D}$ . Ainsi $\vec{A E} = \vec{A D}$ : il n’existe qu’un seul point M tel que $\vec{A M} = \vec{A D}$ , donc E = D.
Le quadrilatère ABDC est alors un
$\vec{B D}$ $= \vec{B E}$ $= \vec{A C}$ : ABDC est un parallélogramme, c’est la règle du parallélogramme (représentants de même origine A).
Pour quatre points A, B, C, D, l’égalité $\vec{A B} + \vec{C D}$ $= \vec{A D}$ n’est vraie que si C est confondu avec le point
$\vec{A B} + \vec{C D}$ $= \vec{A D}$ équivaut à $\vec{C D}$ $= \vec{A D} - \vec{A B}$ $= \vec{B A} + \vec{A D}$ $= \vec{B D}$ , c’est-à-dire C = B.

Cas 3Produit d’un vecteur par un réel

Réflexe — je développe, je regroupe les u⃗ et les v⃗ ; le signe de k donne le sens, |k| la longueur. Revoir la méthode →

Exercice 9★★★Facile

Réduire chaque expression sous la forme $a \vec{u} + b \vec{v}$ . Donne $a$ et $b$ .

$5 \vec{u} - 2 (\vec{u} - \vec{v})$ : a = et b =
$5 \vec{u} - 2 \vec{u} + 2 \vec{v}$ $= 3 \vec{u} + 2 \vec{v}$ .
$- (\vec{u} - 4 \vec{v}) + 3 \vec{v}$ : a = et b =
$- \vec{u} + 4 \vec{v} + 3 \vec{v}$ $= - \vec{u} + 7 \vec{v}$ .
$\frac{1}{2} (4 \vec{u} + 6 \vec{v}) - 3 \vec{v}$ : a = et b =
$2 \vec{u} + 3 \vec{v} - 3 \vec{v} = 2 \vec{u}$ : le coefficient de $\vec{v}$ est nul.
$3 (2 \vec{u} - \vec{v}) - 2 (3 \vec{u} + \vec{v})$ : a = et b =
$6 \vec{u} - 3 \vec{v} - 6 \vec{u} - 2 \vec{v}$ $= - 5 \vec{v}$ .

Exercice 10★★★Facile

On sait que $‖ \vec{u} ‖ = 4$ cm.

$‖ - 2, 5 \vec{u} ‖ =$ cm
La valeur absolue de $- 2, 5$ est $2, 5$ , et $2, 5 \times 4 = 10$ cm : une norme est positive.
$‖ \frac{1}{4} \vec{u} ‖ =$ cm
$\frac{1}{4} \times 4 = 1$ cm.
$\vec{v} = - 3 \vec{u}$ : $\vec{v}$ a la même direction que $\vec{u}$ et le sens
$- 3 < 0$ : $- 3 \vec{u}$ a le sens contraire de $\vec{u}$ (et une norme de 12 cm).
$\vec{w} = k \vec{u}$ a le même sens que $\vec{u}$ et $‖ \vec{w} ‖ = 12$ cm : k =
Même sens, donc $k > 0$ , et $k \times 4 = 12$ , d’où $k = 3$ .

Exercice 11★★★Moyen

Le segment [AB] mesure 6 cm. On place des points sur la droite (AB).

M est le point tel que $\vec{A M}$ $= \frac{2}{3} \vec{A B}$ : AM = cm
$\frac{2}{3} \times 6 = 4$ cm, M est sur [AB].
Démontrer que $\vec{B M} = k \vec{A B}$ et donner k =
Rédaction attendue. Par la relation de Chasles, $\vec{B M}$ $= \vec{B A} + \vec{A M}$ $= - \vec{A B} + \frac{2}{3} \vec{A B}$ $= - \frac{1}{3} \vec{A B}$ . Donc $k = - \frac{1}{3}$ : $\vec{B M}$ a le sens de B vers A, et BM = 2 cm.
N est le point tel que $\vec{A N}$ $= - \frac{1}{2} \vec{A B}$ : BN = cm
$\vec{B N}$ $= \vec{B A} + \vec{A N}$ $= - \vec{A B} - \frac{1}{2} \vec{A B}$ $= - \frac{3}{2} \vec{A B}$ , donc BN = 1,5 × 6 = 9 cm.
P est le point tel que $\vec{B P} = 2 \vec{B A}$ : AP = cm
$\vec{A P}$ $= \vec{A B} + \vec{B P}$ $= \vec{A B} - 2 \vec{A B}$ $= - \vec{A B}$ : P est le symétrique de B par rapport à A, et AP = 6 cm.

Exercice 12★★★Difficile

ABC est un triangle et M le point tel que $\vec{A M}$ $= 3 \vec{A B} - 2 \vec{A C}$ .

Démontrer que $\vec{C M} = k \vec{C B}$ , avec k =
Rédaction attendue. Par la relation de Chasles, $\vec{C M}$ $= \vec{C A} + \vec{A M}$ $= - \vec{A C} + 3 \vec{A B} - 2 \vec{A C}$ $= 3 \vec{A B} - 3 \vec{A C}$ . Donc $\vec{C M}$ $= 3 (\vec{A B} + \vec{C A})$ $= 3 (\vec{C A} + \vec{A B})$ $= 3 \vec{C B}$ . Ainsi $k = 3$ : M est sur [CB), avec CM = 3 CB.
$\vec{B M} = k \vec{C B}$ , avec k =
$\vec{B M}$ $= \vec{B C} + \vec{C M}$ $= - \vec{C B} + 3 \vec{C B}$ $= 2 \vec{C B}$ .
Autre question : $\vec{w} = 2 \vec{u} - 3 \vec{v}$ et $\vec{t} = - 4 \vec{u} + 6 \vec{v}$ . Alors $\vec{t} = k \vec{w}$ avec k =
$- 2 \vec{w} = - 4 \vec{u} + 6 \vec{v} = \vec{t}$ , donc $k = - 2$ .

Cas 4Coordonnées d’un vecteur dans une base orthonormée

Réflexe — extrémité moins origine ; pour un point inconnu, je pose (x ; y) et j’écris deux équations. Revoir la méthode →

Exercice 13★★★Facile

Lire les coordonnées de chaque vecteur sur le quadrillage (repère orthonormé).

$\vec{u}$ : ( ; )
3 carreaux vers la droite, 1 vers le haut : $(3; 1)$ .
$\vec{v}$ : ( ; )
2 vers la droite, 4 vers le bas : $(2; - 4)$ .
$\vec{w}$ : ( ; )
4 vers la gauche, 1 vers le bas : $(- 4; - 1)$ .
$\vec{t}$ : ( ; )
Déplacement horizontal seulement : $(3; 0)$ .

Exercice 14★★★Facile

Repère orthonormé : E(2 ; −3), F(−1 ; 4), G(5 ; 0), $\vec{u} (- 2; 5)$ et $\vec{v} (4; - 1)$ .

$\vec{E F}$ : ( ; )
$\vec{E F} (\begin{matrix} - 1 - 2 \\ 4 - (- 3) \end{matrix})$ $= (\begin{matrix} - 3 \\ 7 \end{matrix})$ .
$\vec{u} + \vec{v}$ : ( ; )
$- 2 + 4 = 2$ et $5 + (- 1) = 4$ .
$2 \vec{u} - 3 \vec{v}$ : ( ; )
$2 \vec{u} (\begin{matrix} - 4 \\ 10 \end{matrix})$ et $3 \vec{v} (\begin{matrix} 12 \\ - 3 \end{matrix})$ , donc $2 \vec{u} - 3 \vec{v} (\begin{matrix} - 4 - 12 \\ 10 - (- 3) \end{matrix})$ $= (\begin{matrix} - 16 \\ 13 \end{matrix})$ .
Le point H tel que $\vec{G H} = \vec{E F}$ : H( ; )
$x_{H} = 5 + (- 3) = 2$ et $y_{H} = 0 + 7 = 7$ .

Exercice 15★★★Moyen

Repère orthonormé : A(−3 ; −1), B(2 ; 1), C(4 ; 5) et D(−1 ; 3).

Justifier par les coordonnées que le quadrilatère ABCD est un parallélogramme : $\vec{D C}$ a pour coordonnées ( ; )
Rédaction attendue. $\vec{A B} (\begin{matrix} 2 - (- 3) \\ 1 - (- 1) \end{matrix})$ $= (\begin{matrix} 5 \\ 2 \end{matrix})$ et $\vec{D C} (\begin{matrix} 4 - (- 1) \\ 5 - 3 \end{matrix})$ $= (\begin{matrix} 5 \\ 2 \end{matrix})$ . Les deux vecteurs ont les mêmes coordonnées, donc $\vec{A B} = \vec{D C}$ : ABCD est un parallélogramme.
Le point E tel que ABEC est un parallélogramme : E( ; )
ABEC parallélogramme $⟺$ $\vec{A B} = \vec{C E}$ : $x_{E} = 4 + 5 = 9$ et $y_{E} = 5 + 2 = 7$ .
Le point F tel que $\vec{A F}$ $= \vec{A B} + \vec{A D}$ : F( ; )
$\vec{A D} (\begin{matrix} 2 \\ 4 \end{matrix})$ , donc $\vec{A B} + \vec{A D} (\begin{matrix} 7 \\ 6 \end{matrix})$ et F(−3 + 7 ; −1 + 6) = F(4 ; 5). On retrouve C : c’est la règle du parallélogramme.

Exercice 16★★★Difficile

Repère orthonormé : A(2 ; −1), B(−1 ; 3) et C(4 ; 2). Une fraction s’écrit avec « / » (exemple : 2/5).

Démontrer qu’il existe un seul point M tel que $\vec{A M} = 3 \vec{M B}$ : M( ; )
Rédaction attendue. Soit $M (x; y)$ . $\vec{A M} (\begin{matrix} x - 2 \\ y + 1 \end{matrix})$ et $\vec{M B} (\begin{matrix} - 1 - x \\ 3 - y \end{matrix})$ . L’égalité donne deux équations : $x - 2 = 3 (- 1 - x)$ , soit $4 x = - 1$ et $x = - 0, 25$ ; $y + 1 = 3 (3 - y)$ , soit $4 y = 8$ et $y = 2$ . Chaque équation a une seule solution : M(−0,25 ; 2). Contrôle : $\vec{A M} (\begin{matrix} - 2, 25 \\ 3 \end{matrix})$ et $\vec{M B} (\begin{matrix} - 0, 75 \\ 1 \end{matrix})$ .
Le point P tel que $\vec{A P}$ $= \vec{A B} - 2 \vec{A C}$ : P( ; )
$\vec{A B} (\begin{matrix} - 3 \\ 4 \end{matrix})$ et $\vec{A C} (\begin{matrix} 2 \\ 3 \end{matrix})$ , donc $\vec{A B} - 2 \vec{A C} (\begin{matrix} - 3 - 4 \\ 4 - 6 \end{matrix})$ $= (\begin{matrix} - 7 \\ - 2 \end{matrix})$ et P(2 − 7 ; −1 − 2) = P(−5 ; −3).
$\vec{u} (x + 1; 2 y)$ est égal à $\vec{B C}$ : x = et y =
$\vec{B C} (\begin{matrix} 5 \\ - 1 \end{matrix})$ . Égalité des coordonnées : $x + 1 = 5$ , donc $x = 4$ ; $2 y = - 1$ , donc $y = - 0, 5$ .

Cas 5Norme d’un vecteur

Réflexe — carrés des coordonnées, somme, racine carrée simplifiée — seulement dans une base orthonormée. Revoir la méthode →

Exercice 17★★★Facile

Le repère est orthonormé. Calculer la norme (valeur exacte). Pour une racine, écris par exemple √3 ou racine(3).

$\vec{u} (6; - 8)$ : $‖ \vec{u} ‖ =$
$\sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$ .
$\vec{v} (- 7; 24)$ : $‖ \vec{v} ‖ =$
$\sqrt{49 + 576} = \sqrt{625} = 25$ .
$\vec{w} (0; - 9)$ : $‖ \vec{w} ‖ =$
$\sqrt{0 + 81} = 9$ : le vecteur est « vertical », sa norme est la valeur absolue de son ordonnée.
$\vec{t} (1; - 1)$ : $‖ \vec{t} ‖ =$
$\sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$ .

Exercice 18★★★Facile

Repère orthonormé. Donner la valeur exacte simplifiée (exemple : 3√5).

$\vec{u} (- 3; 3)$ : $‖ \vec{u} ‖ =$
$\sqrt{9 + 9}$ $= \sqrt{18}$ $= \sqrt{9 \times 2}$ $= 3 \sqrt{2}$ .
$\vec{v} (6; - 2)$ : $‖ \vec{v} ‖ =$
$\sqrt{36 + 4}$ $= \sqrt{40}$ $= \sqrt{4 \times 10}$ $= 2 \sqrt{10}$ .
$\vec{w} (- 1; 2)$ : $‖ - 4 \vec{w} ‖ =$
$‖ \vec{w} ‖ = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5}$ , donc $‖ - 4 \vec{w} ‖$ $= | - 4 | \times \sqrt{5}$ $= 4 \sqrt{5}$ .
E(−2 ; 5) et F(1 ; 1) : EF =
$\vec{E F} (\begin{matrix} 3 \\ - 4 \end{matrix})$ , donc EF $= \sqrt{9 + 16} = 5$ .

Exercice 19★★★Moyen

Repère orthonormé. Trouver la valeur demandée.

$\vec{u} (x; 12)$ a pour norme 13 et $x > 0$ : x =
$x^{2} + 144 = 169$ , donc $x^{2} = 25$ ; comme $x > 0$ , $x = 5$ .
$\vec{v} (- 6; y)$ a pour norme 10 et $y < 0$ : y =
$36 + y^{2} = 100$ , donc $y^{2} = 64$ ; comme $y < 0$ , $y = - 8$ .
$‖ \vec{w} ‖ = 6$ , $k < 0$ et $‖ k \vec{w} ‖ = 15$ : k =
$| k | \times 6 = 15$ , donc $| k | = 2, 5$ ; comme $k < 0$ , $k = - 2, 5$ .
$\vec{u} (3; 1)$ et $\vec{v} (- 1; 2)$ . Démontrer que $‖ \vec{u} + \vec{v} ‖ < ‖ \vec{u} ‖ + ‖ \vec{v} ‖$ . On calcule $‖ \vec{u} + \vec{v} ‖^{2} =$
Rédaction attendue. $\vec{u} + \vec{v}$ a pour coordonnées $(2; 3)$ , donc $‖ \vec{u} + \vec{v} ‖^{2} = 4 + 9 = 13$ . Par ailleurs $‖ \vec{u} ‖ = \sqrt{10}$ et $‖ \vec{v} ‖ = \sqrt{5}$ , d’où $(‖ \vec{u} ‖ + ‖ \vec{v} ‖)^{2}$ $= 10 + 5 + 2 \sqrt{50}$ $= 15 + 2 \sqrt{50} > 13$ . Les deux nombres comparés sont positifs et rangés comme leurs carrés : $‖ \vec{u} + \vec{v} ‖ < ‖ \vec{u} ‖ + ‖ \vec{v} ‖$ .

Exercice 20★★★Difficile

Repère orthonormé.

$\vec{u} (3 a; 4 a)$ avec $a > 0$ et $‖ \vec{u} ‖ = 1$ : a =
$\sqrt{9 a^{2} + 16 a^{2}} = \sqrt{25 a^{2}} = 5 a$ car $a > 0$ . Donc $5 a = 1$ et $a = 0, 2$ .
Démontrer avec les coordonnées que $‖ k \vec{u} ‖ = | k | \times ‖ \vec{u} ‖$ . Le calcul utilise $\sqrt{k^{2}}$ ; pour k = −7, ce nombre vaut
Rédaction attendue. Soit $\vec{u} (x; y)$ . Alors $k \vec{u} (k x; k y)$ et $‖ k \vec{u} ‖$ $= \sqrt{k^{2} x^{2} + k^{2} y^{2}}$ $= \sqrt{k^{2} (x^{2} + y^{2})}$ $= \sqrt{k^{2}} \times \sqrt{x^{2} + y^{2}}$ . Or $\sqrt{k^{2}} = | k |$ (une racine carrée est positive) : par exemple $\sqrt{(- 7)^{2}} = \sqrt{49} = 7 = | - 7 |$ . Donc $‖ k \vec{u} ‖ = | k | \times ‖ \vec{u} ‖$ .
Le vecteur $\vec{w}$ de norme 10, de même direction et de même sens que $\vec{v} (- 3; 4)$ : $\vec{w}$ ( ; )
Rédaction attendue. $‖ \vec{v} ‖ = \sqrt{9 + 16} = 5$ . Le vecteur $2 \vec{v}$ a la même direction et le même sens que $\vec{v}$ ( $2 > 0$ ) et pour norme $2 \times 5 = 10$ . Un vecteur est déterminé par sa direction, son sens et sa norme, donc $\vec{w} = 2 \vec{v}$ , de coordonnées $(- 6; 8)$ .

Cas 6Caractérisation vectorielle du milieu

Réflexe — milieu I de [AB] : IA⃗ + IB⃗ = 0⃗, AI⃗ = ½AB⃗, et MA⃗ + MB⃗ = 2MI⃗ pour tout point M. Revoir la méthode →

Exercice 21★★★Facile

I est le milieu de [AB]. Trouver le réel k. Une fraction s’écrit avec « / » (exemple : 2/3).

$\vec{A I} = k \vec{A B}$ : k =
$\vec{A B}$ $= \vec{A I} + \vec{I B}$ $= 2 \vec{A I}$ , donc $\vec{A I}$ $= \frac{1}{2} \vec{A B}$ .
$\vec{B I} = k \vec{A B}$ : k =
$\vec{B I}$ va de B vers A, sens contraire de $\vec{A B}$ : $\vec{B I}$ $= - \frac{1}{2} \vec{A B}$ .
$\vec{A B} = k \vec{I B}$ : k =
$\vec{I B}$ $= \vec{A I}$ $= \frac{1}{2} \vec{A B}$ , donc $\vec{A B} = 2 \vec{I B}$ .
$\vec{I A} + \vec{I B}$ $= k \vec{A B}$ : k =
$\vec{I A}$ et $\vec{I B}$ sont opposés : leur somme est $\vec{0} = 0 \vec{A B}$ .

Exercice 22★★★Facile

EFGH est un parallélogramme de centre O. Trouver le réel k ou la lettre demandée.

$\vec{E O} = k \vec{E G}$ : k =
O est le milieu de la diagonale [EG].
$\vec{H F} = k \vec{H O}$ : k =
O est le milieu de [HF], donc $\vec{H F} = 2 \vec{H O}$ .
$\vec{F E} + \vec{F G}$ $= k \vec{O F}$ : k =
Règle du parallélogramme : $\vec{F E} + \vec{F G}$ $= \vec{F H}$ $= 2 \vec{F O}$ $= - 2 \vec{O F}$ .
$\vec{E O}$ est égal au vecteur d’origine O et d’extrémité
O est le milieu de [EG] : $\vec{E O} = \vec{O G}$ .

Exercice 23★★★Moyen

Démontrer, puis répondre.

A, B, C, D sont quatre points, I est le milieu de [AB] et J celui de [CD]. Démontrer que $\vec{A C} + \vec{B D}$ $= 2 \vec{I J}$ . En particulier, si $\vec{A C} = - \vec{B D}$ , les points I et J sont
Rédaction attendue. Par la relation de Chasles, $\vec{I J}$ $= \vec{I A} + \vec{A C} + \vec{C J}$ et $\vec{I J}$ $= \vec{I B} + \vec{B D} + \vec{D J}$ . En additionnant : $2 \vec{I J}$ $= (\vec{I A} + \vec{I B}) + \vec{A C} + \vec{B D} + (\vec{C J} + \vec{D J})$ . I est le milieu de [AB], donc $\vec{I A} + \vec{I B}$ $= \vec{0}$ ; J est le milieu de [CD], donc $\vec{C J} + \vec{D J}$ $= - (\vec{J C} + \vec{J D})$ $= \vec{0}$ . Ainsi $\vec{A C} + \vec{B D}$ $= 2 \vec{I J}$ . Si $\vec{A C} = - \vec{B D}$ , la somme est nulle, donc $\vec{I J} = \vec{0}$ : I et J sont confondus.
Dans un repère, I(1 ; 3) est le milieu de [AB] et A(−2 ; 5). Alors B( ; )
Rédaction attendue. I est le milieu de [AB], donc $\vec{I B} = \vec{A I}$ . Or $\vec{A I} (\begin{matrix} 1 - (- 2) \\ 3 - 5 \end{matrix})$ $= (\begin{matrix} 3 \\ - 2 \end{matrix})$ . Donc $x_{B} = 1 + 3 = 4$ et $y_{B} = 3 - 2 = 1$ : B(4 ; 1).

Exercice 24★★★Difficile

ABC est un triangle, M le milieu de [BC] et G le point tel que $\vec{A G}$ $= \frac{2}{3} \vec{A M}$ . Une fraction s’écrit avec « / ».

$\vec{G M} = k \vec{A M}$ : k =
$\vec{G M}$ $= \vec{G A} + \vec{A M}$ $= - \frac{2}{3} \vec{A M} + \vec{A M}$ $= \frac{1}{3} \vec{A M}$ .
Démontrer que $\vec{G A} + \vec{G B} + \vec{G C}$ $= \vec{0}$ . On utilise $\vec{G B} + \vec{G C}$ $= k \vec{G M}$ avec k =
Rédaction attendue. M est le milieu de [BC] : d’après la propriété du cours appliquée au point G, $\vec{G B} + \vec{G C}$ $= 2 \vec{G M}$ $= \frac{2}{3} \vec{A M}$ . Et $\vec{G A}$ $= - \vec{A G}$ $= - \frac{2}{3} \vec{A M}$ . Donc $\vec{G A} + \vec{G B} + \vec{G C}$ $= - \frac{2}{3} \vec{A M} + \frac{2}{3} \vec{A M}$ $= \vec{0}$ .
Autre situation : I est le milieu de [AB] et N le point tel que $\vec{N A} + \vec{N B}$ $= \vec{A B}$ . Alors $\vec{N I} = k \vec{A B}$ avec k =
$\vec{N A} + \vec{N B}$ $= 2 \vec{N I}$ , donc $2 \vec{N I} = \vec{A B}$ et $\vec{N I}$ $= \frac{1}{2} \vec{A B}$ .

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