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Lycée · 2ⁿᵈᵉ · Mathématiques

Vecteurs

Définition, opérations et applications des vecteurs du plan — programme de 2nde générale

Les vecteurs traduisent les déplacements du plan en calculs : savoir calculer des coordonnées, une norme, tester une colinéarité et démontrer avec la relation de Chasles.

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Définitions

  • Vecteur AB : caractérise la translation qui transforme A en B ; direction (droite (AB)), sens (de A vers B), norme (longueur AB, notée ‖AB‖).
  • Égalité : AB = CD ⟺ ABDC est un parallélogramme (éventuellement aplati).
  • Vecteur nul AA = 0 ; opposé : BA = −AB.
  • Milieu : I milieu de [AB] ⟺ AI = IB ⟺ AI = ½ AB.
  • Colinéaires : v = k u pour un réel k (même direction) ; le vecteur nul est colinéaire à tout vecteur.
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Opérations

  • Relation de Chasles : AB + BC = AC. Règle du parallélogramme : AB + AD = AC si ABCD est un parallélogramme.
  • Différence : AB − AC = CB.
  • Produit k u : même direction, même sens si k > 0, sens contraire si k < 0, norme |k| × ‖u‖.
  • On calcule comme avec des lettres : k(u + v) = k u + k v ; jamais de produit de deux vecteurs.
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Formules en coordonnées

  • AB (xB − xA ; yB − yA) : « extrémité moins origine ».
  • u (x ; y) et v (x′ ; y′) : u + v (x + x′ ; y + y′) ; k u (kx ; ky).
  • Milieu de [AB] : ( (xA + xB)/2 ; (yA + yB)/2 ).
  • Base orthonormée : ‖u‖ = √(x² + y²) et AB = √((xB − xA)² + (yB − yA)²).
  • Déterminant : det(u, v) = xy′ − yx′ ; u et v colinéaires ⟺ det = 0.
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Méthodes

  1. Parallélogramme ABCD : vérifier AB = DC (mêmes coordonnées) ou que les diagonales ont le même milieu.
  2. Points alignés / droites parallèles : calculer det(AB, AC) (ou det(AB, CD)) ; nul ⟹ alignés (parallèles).
  3. Point défini par une égalité : poser M(x ; y), traduire l'égalité par deux équations, résoudre.
  4. Décomposer w dans (u, v) : vérifier det(u, v) ≠ 0, puis résoudre le système a u + b v = w ; le couple (a ; b) est unique.
  5. Démonstration sans coordonnées : insérer un point avec Chasles, exprimer tout dans une base (AB, AD) de la figure.
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Pièges

  • Ne pas confondre point et vecteur : AB (3 ; 4) ne donne pas B(3 ; 4).
  • ‖u + v‖ ≠ ‖u‖ + ‖v‖ en général.
  • Déterminant nul = colinéaires, pas égaux ; il ne donne pas k.
  • La formule de la norme exige une base orthonormée.
  • ABCD parallélogramme : AB = DC et non AB = CD.
L'essentiel
  • Relation de Chasles : AB + BC = AC, pour tous points A, B, C.
  • AB a pour coordonnées (xB − xA ; yB − yA) ; en base orthonormée ‖u‖ = √(x² + y²).
  • u (x ; y) et v (x′ ; y′) sont colinéaires si et seulement si xy′ − yx′ = 0.
  • Trois points sont alignés si et seulement si deux vecteurs qu'ils définissent sont colinéaires.
  • Si u et v ne sont pas colinéaires, tout vecteur s'écrit de manière unique a u + b v.
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