Fiche de révision : vecteurs

Égalité de vecteurs et représentants, translation, somme et relation de Chasles, produit par un réel, coordonnées dans une base orthonormée, norme et caractérisation vectorielle du milieu.

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benprofparticulier.frMathématiques · Seconde

Vecteurs

Fiche méthode

(Maths 2nde · Géométrie · Vecteurs)

La démarche pour un exercice de vecteurs

1. Je fais un croquis et je traduis l’énoncé : parallélogramme, milieu, déplacement deviennent des égalités de vecteurs.

2. Sans coordonnées, je calcule avec la relation de Chasles et le produit par un réel, en insérant les points utiles.

3. Avec des coordonnées, je calcule « extrémité moins origine », puis sommes, produits et normes (repère orthonormé).

4. Je conclus en nommant la propriété : « donc ABCD est un parallélogramme », « donc I est le milieu de [AB] ».

Le réflexe — une égalité de vecteurs se justifie toujours par une règle nommée (relation de Chasles, règle du parallélogramme, caractérisation du milieu) ou par l’égalité des coordonnées.

Cas 1 · Égalité de vecteurs

Réflexe — je suis le contour dans l’ordre des lettres : deux côtés opposés se parcourent dans le même sens.

Exemple. Question type : « Compléter avec un point de la figure ». Exemple : KLMN est un parallélogramme ; compléter $\vec{K L}$ , $\vec{K N}$ et $\vec{L K}$ .

Côtés opposés dans le même sens : $\vec{K L} = \vec{N M}$ et $\vec{K N} = \vec{L M}$ .

$\vec{L K}$ est l’opposé de $\vec{K L}$ : $\vec{L K} = \vec{M N}$ .

Attention — pour ABCD, AB⃗ = DC⃗ et non AB⃗ = CD⃗ ; même longueur ne suffit pas.

Cas 2 · Relation de Chasles

Réflexe — « − XY⃗ » devient « + YX⃗ », je réordonne, j’enchaîne les lettres.

Exemple. Question type : « Simplifier en un seul vecteur ». Exemple : $\vec{C A} - \vec{C B} + \vec{A D}$ .

$- \vec{C B} = \vec{B C}$ , donc l’expression vaut $\vec{B C} + \vec{C A} + \vec{A D}$ .

Chasles deux fois : $\vec{B A} + \vec{A D}$ $= \vec{B D}$ .

Attention — AB⃗ + CD⃗ ne se simplifie pas tel quel : il faut insérer un point.

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Cas 3 · Produit par un réel

Réflexe — je développe et je regroupe ; signe de k = sens, |k| = longueur.

Exemple. Question type : « Réduire », « Placer le point M tel que… ». Exemple : $2 (\vec{u} - 3 \vec{v}) + 5 \vec{v}$ .

$2 \vec{u} - 6 \vec{v} + 5 \vec{v}$ $= 2 \vec{u} - \vec{v}$ .

Attention — ‖−2u⃗‖ = 2‖u⃗‖ : une norme n’est jamais négative.

Cas 4 · Coordonnées

Réflexe — extrémité moins origine ; point inconnu : je pose (x ; y) et j’écris deux équations.

Exemple. Question type : « Déterminer D tel que ABCD soit un parallélogramme ». Exemple : A(0 ; −3), B(2 ; 1), C(−1 ; 4).

ABCD parallélogramme $⟺$ $\vec{A D} = \vec{B C}$ , et $\vec{B C} (\begin{matrix} - 3 \\ 3 \end{matrix})$ .

$x_{D} = 0 - 3 = - 3$ et $y_{D} = - 3 + 3 = 0$ : D(−3 ; 0).

Contrôle : $\vec{D C} (\begin{matrix} 2 \\ 4 \end{matrix})$ , comme $\vec{A B}$ .

Attention — AB⃗(4 ; −3) ne donne pas B(4 ; −3) : point et vecteur ne se confondent pas.

Cas 5 · Norme

Réflexe — base orthonormée : √(x² + y²), racine simplifiée, valeur exacte.

Exemple. Question type : « Calculer $‖ \vec{u} ‖$ , puis $‖ k \vec{u} ‖$ ». Exemple : $\vec{u} (12; - 5)$ et $3 \vec{u}$ .

$‖ \vec{u} ‖$ $= \sqrt{144 + 25}$ $= \sqrt{169}$ $= 13$ .

$‖ 3 \vec{u} ‖ = 3 \times 13 = 39$ .

Attention — (−5)² = 25 ; et ‖u⃗ + v⃗‖ n’est pas ‖u⃗‖ + ‖v⃗‖.

Cas 6 · Milieu

Réflexe — milieu I de [AB] : IA⃗ + IB⃗ = 0⃗ ou AI⃗ = ½AB⃗ ; MA⃗ + MB⃗ = 2MI⃗.

Exemple. Question type : « Exprimer en fonction de… ». Exemple : ABCD est un parallélogramme de centre O ; exprimer $\vec{A O}$ en fonction de $\vec{A B}$ et $\vec{A D}$ .

O est le milieu de [AC] : $\vec{A O}$ $= \frac{1}{2} \vec{A C}$ .

Règle du parallélogramme : $\vec{A C}$ $= \vec{A B} + \vec{A D}$ , donc $\vec{A O}$ $= \frac{1}{2} \vec{A B} + \frac{1}{2} \vec{A D}$ .

Attention — IA⃗ et IB⃗ sont opposés, pas égaux ; IA = IB en longueurs ne suffit pas.

Les pièges

ABCD parallélogramme : AB⃗ = DC⃗, et AB⃗ = CD⃗ est faux.
Chasles ne s’applique que si l’extrémité du premier vecteur est l’origine du second.
Coordonnées de AB⃗ : B moins A, dans cet ordre ; l’inverse donne BA⃗.
Un vecteur n’est pas un point : AB⃗(3 ; 4) ne donne pas B(3 ; 4).
La formule √(x² + y²) exige une base orthonormée.
En vecteurs AB⃗ + BC⃗ = AC⃗, mais en longueurs AB + BC ≥ AC.

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À propos de cette page

La fiche méthode des vecteurs en 2nde : la démarche (croquis, calcul sans ou avec coordonnées, conclusion nommée), puis un exemple rédigé pour chacun des six cas, de l’égalité dans un parallélogramme à l’expression du centre O, et les pièges classiques. Elle se télécharge en PDF.

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