Vecteurs

Égalité de vecteurs et représentants, translation, somme et relation de Chasles, produit par un réel, coordonnées dans une base orthonormée, norme et caractérisation vectorielle du milieu.

À propos de cette page

Cinq problèmes corrigés : la traversée d’un ferry en deux étapes, les milieux des côtés d’un quadrilatère (théorème de Varignon), un anneau en équilibre sous trois forces, un test de parallélogramme écrit en Python et une démonstration sans coordonnées dans un parallélogramme.

5 problèmes, du plus simple au plus difficile. Écris tes réponses, puis « Vérifier ».

Résoudre un problème : la méthode

Je fais une figure (à main levée ou dans le repère) et je traduis chaque phrase de l’énoncé en égalité de vecteurs : milieu, parallélogramme, déplacement, force.
Je choisis l’outil : relation de Chasles et produit par un réel sans repère ; coordonnées dès que les points sont donnés par leurs coordonnées.
Je calcule dans l’ordre de l’énoncé, en réutilisant les résultats déjà obtenus, et je garde les valeurs exactes (racines simplifiées).
Je conclus avec une propriété nommée : « donc ABCD est un parallélogramme », « donc I est le milieu de [AB] », « par la relation de Chasles ».
Je contrôle sur la figure ou par un second calcul (autre vecteur, autre côté du parallélogramme), et je donne l’unité de la situation (km, N).

Problème 1 · La traversée d’un ferry★★★Facile

La mer est munie d’un repère orthonormé d’origine le port P ; une unité vaut 10 km. Un ferry part de P, suit le vecteur

\vec{u} (9; 12)

jusqu’au point M, puis le vecteur

\vec{v} (5; - 12)

jusqu’au point N. Il avance à 20 km/h.

1. Coordonnées de M : ( ; )
$\vec{P M} = \vec{u}$ et P est l’origine : M a les coordonnées de $\vec{u}$ , M(9 ; 12).
2. Justifier que $\vec{P N} = \vec{u} + \vec{v}$ , puis donner les coordonnées de N : ( ; )
Rédaction attendue. Par la relation de Chasles, $\vec{P N}$ $= \vec{P M} + \vec{M N}$ $= \vec{u} + \vec{v}$ , de coordonnées $(9 + 5; 12 - 12) = (14; 0)$ . P étant l’origine, N(14 ; 0).
3. Distance réellement parcourue : km
$‖ \vec{u} ‖ = \sqrt{81 + 144} = 15$ unités, soit 150 km ; $‖ \vec{v} ‖ = \sqrt{25 + 144} = 13$ unités, soit 130 km. Total : 150 + 130 = 280 km.
4. Distance à vol d’oiseau entre P et N : km
$‖ \vec{P N} ‖$ $= \sqrt{14^{2} + 0^{2}}$ $= 14$ unités, soit 140 km : le trajet en deux étapes est deux fois plus long. On voit bien que $‖ \vec{u} + \vec{v} ‖ \neq ‖ \vec{u} ‖ + ‖ \vec{v} ‖$ .
5. Durée de la traversée : h
Durée = distance ÷ vitesse = 280 ÷ 20 = 14 h.

Problème 2 · Les milieux des côtés d’un quadrilatère★★★Moyen

Dans un repère orthonormé, A(−4 ; 0), B(0 ; 4), C(6 ; 2) et D(2 ; −4). On note I, J, K et L les milieux de [AB], [BC], [CD] et [DA].

1. I( ; ) et J( ; )
$\vec{O I}$ $= \frac{1}{2} (\vec{O A} + \vec{O B})$ : I a pour coordonnées les moyennes, $(\frac{- 4 + 0}{2}; \frac{0 + 4}{2})$ , soit : égalité de deux vecteurs, notation u⃗, vecteur nul, représentants d’un vecteur ; somme de deux vecteurs à partir de représentants de même origine, relation de Chasles et translation (rappels de 3e) ; produit d’un vecteur par un nombre réel ; base orthonormée, coordonnées d’un vecteur, coordonnées de AB⃗, d’une somme et d’un produit par un réel ; expression de la norme d’un vecteur ; caractérisation vectorielle du milieu d’un segment. De même J(3 ; 3).
2. Démontrer que, pour tout quadrilatère ABCD, $\vec{I J} = k \vec{A C}$ avec k =
Rédaction attendue. Par la relation de Chasles, $\vec{I J}$ $= \vec{I B} + \vec{B J}$ . I est le milieu de [AB], donc $\vec{I B}$ $= \frac{1}{2} \vec{A B}$ ; J est le milieu de [BC], donc $\vec{B J}$ $= \frac{1}{2} \vec{B C}$ . Ainsi $\vec{I J}$ $= \frac{1}{2} (\vec{A B} + \vec{B C})$ $= \frac{1}{2} \vec{A C}$ .
3. De même $\vec{L K}$ $= \frac{1}{2} \vec{A C}$ . Sans calculer K ni L, $\vec{L K}$ a pour coordonnées ( ; )
$\vec{A C} (\begin{matrix} 10 \\ 2 \end{matrix})$ , donc $\vec{L K} (\begin{matrix} 5 \\ 1 \end{matrix})$ . Contrôle : $\vec{I J} (\begin{matrix} 3 - (- 2) \\ 3 - 2 \end{matrix})$ $= (\begin{matrix} 5 \\ 1 \end{matrix})$ .
4. IJKL est donc un parallélogramme : ses diagonales [IK] et [] ont le même milieu
$\vec{I J}$ $= \vec{L K}$ $= \frac{1}{2} \vec{A C}$ , donc IJKL est un parallélogramme, quel que soit le quadrilatère ABCD de départ (théorème de Varignon). Ses diagonales [IK] et [JL] ont donc le même milieu.
5. ABCD lui-même n’est pas un parallélogramme : $\vec{A B} (4; 4)$ alors que $\vec{D C}$ ( ; )
$\vec{D C} (\begin{matrix} 6 - 2 \\ 2 - (- 4) \end{matrix})$ $= (\begin{matrix} 4 \\ 6 \end{matrix})$ : $\vec{A B} \neq \vec{D C}$ .
6. Le point E tel que ABCE est un parallélogramme : E( ; )
ABCE parallélogramme $⟺$ $\vec{A E} = \vec{B C}$ . $\vec{B C} (\begin{matrix} 6 \\ - 2 \end{matrix})$ , donc E(−4 + 6 ; 0 − 2) = E(2 ; −2).

Problème 3 · Un anneau en équilibre★★★Moyen

Un anneau est tiré par trois cordes. Dans un repère orthonormé, les forces (en newtons) sont

\vec{F_{1}} (30; 40)

\vec{F_{2}} (- 60; 20)

\vec{F_{3}}

. L’anneau est immobile :

\vec{F_{1}} + \vec{F_{2}} + \vec{F_{3}} = \vec{0}

. L’intensité d’une force est la norme du vecteur. On donne

\sqrt{5} \approx 2, 236

1. $\vec{F_{1}} + \vec{F_{2}}$ : ( ; )
$30 + (- 60) = - 30$ et $40 + 20 = 60$ .
2. Justifier que $\vec{F_{3}} = - (\vec{F_{1}} + \vec{F_{2}})$ et donner ses coordonnées : ( ; )
Rédaction attendue. $\vec{F_{1}} + \vec{F_{2}} + \vec{F_{3}} = \vec{0}$ équivaut à $\vec{F_{3}} = - (\vec{F_{1}} + \vec{F_{2}})$ : $\vec{F_{3}}$ est l’opposé de $\vec{F_{1}} + \vec{F_{2}}$ . Ses coordonnées sont les opposées : $(30; - 60)$ .
3. Intensité de $\vec{F_{1}}$ : N
$\sqrt{900 + 1 600} = \sqrt{2 500} = 50$ N.
4. Intensité de $\vec{F_{3}}$ , arrondie au dixième : N
$\sqrt{900 + 3 600}$ $= \sqrt{4 500}$ $= \sqrt{900 \times 5}$ $= 30 \sqrt{5}$ N, et $30 \times 2, 236 = 67, 08$ , soit environ 67,1 N.
5. On double $\vec{F_{2}}$ (même direction, même sens). La nouvelle force qui équilibre l’anneau : ( ; )
$2 \vec{F_{2}} (- 120; 40)$ , puis $\vec{F_{1}} + 2 \vec{F_{2}}$ a pour coordonnées $(- 90; 80)$ . La force cherchée est l’opposée : $(90; - 80)$ .

Problème 4 · Un test de parallélogramme en Python★★★Difficile

Un point est donné par ses deux coordonnées. On utilise les fonctions suivantes :

from math import sqrt

def norme(x, y):
    return sqrt(x**2 + y**2)

def vecteur(xA, yA, xB, yB):
    return xB - xA, yB - yA

def est_parallelogramme(xA, yA, xB, yB, xC, yC, xD, yD):
    return vecteur(xA, yA, xB, yB) == vecteur(xD, yD, xC, yC)

def quatrieme_sommet(xA, yA, xB, yB, xC, yC):
    return xA + xC - xB, yA + yC - yB

1. L’appel vecteur(2, -1, 5, 3) renvoie le couple ( ; )
La fonction calcule « extrémité moins origine » : $5 - 2 = 3$ et $3 - (- 1) = 4$ . Elle renvoie (3, 4), les coordonnées de $\vec{A B}$ .
2. Justifier ce que teste est_parallelogramme, puis donner la valeur renvoyée par est_parallelogramme(0, 0, 4, 1, 6, 5, 2, 4) :
Rédaction attendue. La fonction compare les coordonnées de $\vec{A B}$ et de $\vec{D C}$ ; or ABCD est un parallélogramme si et seulement si $\vec{A B} = \vec{D C}$ . Ici $\vec{A B} (\begin{matrix} 4 \\ 1 \end{matrix})$ et $\vec{D C} (\begin{matrix} 6 - 2 \\ 5 - 4 \end{matrix})$ $= (\begin{matrix} 4 \\ 1 \end{matrix})$ : les couples sont égaux, la fonction renvoie True.
3. L’appel est_parallelogramme(0, 0, 0.3, 0, 0.4, 1, 0.1, 1) renvoie
Mathématiquement, $\vec{A B} (0, 3; 0)$ et $\vec{D C} (0, 4 - 0, 1; 0)$ sont égaux. Mais Python stocke les décimaux de façon approchée : 0.4 - 0.1 vaut 0.30000000000000004, différent de 0.3. La fonction renvoie False : avec des décimaux, il faut comparer à une petite tolérance près.
4. Justifier la formule de quatrieme_sommet. L’appel quatrieme_sommet(1, 2, 4, 3, 6, 7) renvoie ( ; )
Rédaction attendue. ABCD est un parallélogramme si et seulement si $\vec{A D} = \vec{B C}$ , c’est-à-dire $x_{D} - x_{A} = x_{C} - x_{B}$ et $y_{D} - y_{A} = y_{C} - y_{B}$ , soit $x_{D} = x_{A} + x_{C} - x_{B}$ et $y_{D} = y_{A} + y_{C} - y_{B}$ : c’est ce que renvoie la fonction. Ici $1 + 6 - 4 = 3$ et $2 + 7 - 3 = 6$ : D(3 ; 6).
5. On exécute u = vecteur(1, 3, 6, 15) puis norme(u[0], u[1]). Valeur renvoyée :
u = vecteur(1, 3, 6, 15) vaut (5, 12), donc u[0] = 5 et u[1] = 12, puis $\sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13$ : Python affiche 13.0. C’est la distance entre les points (1 ; 3) et (6 ; 15), valable en repère orthonormé.

Problème 5 · Démontrer sans coordonnées★★★Difficile

ABCD est un parallélogramme. E est le point tel que

\vec{A E} = 2 \vec{A B}

et F le point tel que

\vec{A F} = 2 \vec{A D}

. On veut savoir où se trouve C par rapport à E et F.

1. Démontrer que $\vec{C E}$ $= a \vec{A B} + b \vec{A D}$ : a = et b =
Rédaction attendue. ABCD est un parallélogramme, donc $\vec{A C}$ $= \vec{A B} + \vec{A D}$ et $\vec{C A}$ $= - \vec{A B} - \vec{A D}$ . Par la relation de Chasles, $\vec{C E}$ $= \vec{C A} + \vec{A E}$ $= - \vec{A B} - \vec{A D} + 2 \vec{A B}$ $= \vec{A B} - \vec{A D}$ .
2. De même $\vec{C F}$ $= a \vec{A B} + b \vec{A D}$ : a = et b =
$\vec{C F}$ $= \vec{C A} + \vec{A F}$ $= - \vec{A B} - \vec{A D} + 2 \vec{A D}$ $= - \vec{A B} + \vec{A D}$ .
3. En déduire que C est le de [EF]
Rédaction attendue. $\vec{C E} + \vec{C F}$ $= (\vec{A B} - \vec{A D}) + (- \vec{A B} + \vec{A D})$ $= \vec{0}$ . D’après la caractérisation vectorielle du milieu, C est le milieu de [EF].
4. $\vec{E F} = k \vec{B D}$ avec k =
$\vec{E F}$ $= \vec{E A} + \vec{A F}$ $= - 2 \vec{A B} + 2 \vec{A D}$ $= 2 (\vec{B A} + \vec{A D})$ $= 2 \vec{B D}$ : [EF] est parallèle à [BD] et deux fois plus long.

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