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Géométrie dans le plan repéré
Repère orthonormé et coordonnées, milieu d’un segment, distance entre deux points (formule démontrée par le théorème de Pythagore), nature d’un triangle ou d’un quadrilatère et cercles étudiés par le calcul.
À propos de cette page
Les 36 questions du QCM en version texte
Pour réviser sans écran ou imprimer : chaque question avec ses propositions ; la bonne réponse et son explication se déplient.
Niveau facile ★ — 12 questions
Le milieu du segment [AB], avec A(1 ; 9) et B(7 ; −3), a pour coordonnées :
- A. (4 ; 3)
- B. (3 ; −6)
- C. (3 ; 4)
- D. (8 ; 6)
Réponse
A. (4 ; 3) — On fait les demi-sommes : (1 + 7) ÷ 2 = 4 et (9 + (−3)) ÷ 2 = 3. Le choix (3 ; −6) est la moitié des différences, pas le milieu.
Dans un repère orthonormé, la distance entre O(0 ; 0) et M(6 ; −8) vaut :
- A. 14
- B. 2
- C. 10
- D. √28
Réponse
C. 10 — OM² = 6² + (−8)² = 36 + 64 = 100, donc OM = 10. Ajouter ou soustraire les coordonnées n’a pas de sens.
Lequel de ces points est situé sur l’axe des ordonnées ?
- A. (−3 ; 0)
- B. (3 ; 3)
- C. (−3 ; −3)
- D. (0 ; −3)
Réponse
D. (0 ; −3) — Sur l’axe des ordonnées, l’abscisse est nulle : c’est (0 ; −3). Le point (−3 ; 0) est sur l’axe des abscisses.
Le symétrique du point (−2 ; 5) par rapport à l’origine O est :
- A. (−2 ; −5)
- B. (2 ; −5)
- C. (2 ; 5)
- D. (5 ; −2)
Réponse
B. (2 ; −5) — Par rapport à O, les deux coordonnées changent de signe : (2 ; −5).
La formule AB = √((xB − xA)² + (yB − yA)²) est valable :
- A. dans tout repère du plan
- B. si les coordonnées sont positives
- C. dans un repère orthonormé
- D. si A et B sont sur un même axe
Réponse
C. dans un repère orthonormé — Elle vient du théorème de Pythagore : il faut des axes perpendiculaires et la même unité sur les deux axes, donc un repère orthonormé.
Un repère (O ; I, J) est orthonormé lorsque :
- A. les axes sont perpendiculaires et OI = OJ
- B. les axes sont perpendiculaires, quelles que soient les unités
- C. OI = OJ, quel que soit l’angle des axes
- D. O, I et J sont trois points alignés
Réponse
A. les axes sont perpendiculaires et OI = OJ — Orthonormé = orthogonal (axes perpendiculaires) + normé (même unité OI = OJ). Avec des axes perpendiculaires seulement, le repère est orthogonal.
Le quadrilatère ABCD est un parallélogramme si et seulement si :
- A. [AB] et [CD] ont le même milieu
- B. AC = BD
- C. [AC] et [BD] ont le même milieu
- D. AB = BC
Réponse
C. [AC] et [BD] ont le même milieu — Les diagonales de ABCD sont [AC] et [BD] : elles ont le même milieu exactement quand ABCD est un parallélogramme.
M est sur le cercle de centre Ω et de rayon 3 si et seulement si :
- A. ΩM² = 3
- B. ΩM = 9
- C. ΩM² = 6
- D. ΩM² = 9
Réponse
D. ΩM² = 9 — ΩM = 3 équivaut à ΩM² = 3² = 9, car ΩM est positif.
I(2 ; −1) est le milieu de [AB] avec A(0 ; 3). Les coordonnées de B sont :
- A. (1 ; 1)
- B. (4 ; −5)
- C. (2 ; −4)
- D. (−2 ; 5)
Réponse
B. (4 ; −5) — xB = 2 × 2 − 0 = 4 et yB = 2 × (−1) − 3 = −5. Le point (1 ; 1) est le milieu de [AI], pas l’extrémité B.
Dans un repère orthonormé, la distance entre A(2 ; 1) et B(6 ; 10) vaut :
- A. 13
- B. √97
- C. 97
- D. √65
Réponse
B. √97 — AB² = 4² + 9² = 16 + 81 = 97, donc AB = √97. Le nombre 97 est AB², pas AB ; 13 = 4 + 9 additionne les écarts.
Un point M a une ordonnée nulle. Alors M est :
- A. sur l’axe des abscisses
- B. sur l’axe des ordonnées
- C. forcément l’origine O
- D. sur la droite d’équation y = x
Réponse
A. sur l’axe des abscisses — Ordonnée nulle : M(x ; 0) est sur l’axe des abscisses (c’est O seulement si x = 0 aussi).
Un triangle ABC vérifie AB² = 34, AC² = 34 et BC² = 20. Il est :
- A. isocèle en B
- B. équilatéral
- C. rectangle en A
- D. isocèle en A
Réponse
D. isocèle en A — AB = AC : les deux côtés égaux partent de A, le triangle est isocèle en A. Il n’est pas rectangle en A : 34 + 34 = 68 ≠ 20.
Niveau moyen ★★ — 12 questions
A(−5 ; 2) et le milieu de [AB] est I(1 ; −1). Les coordonnées de B sont :
- A. (−2 ; 0,5)
- B. (7 ; −4)
- C. (−11 ; 8)
- D. (6 ; −3)
Réponse
B. (7 ; −4) — xB = 2xI − xA = 2 × 1 − (−5) = 7 et yB = 2 × (−1) − 2 = −4.
Le symétrique de P(5 ; −2) par rapport au point Q(−1 ; 3) a pour coordonnées :
- A. (−4 ; 1)
- B. (2 ; 0,5)
- C. (11 ; −7)
- D. (−7 ; 8)
Réponse
D. (−7 ; 8) — Q est le milieu de [PP'] : x = 2 × (−1) − 5 = −7 et y = 2 × 3 − (−2) = 8.
Dans un repère orthonormé, le triangle A(1 ; 1), B(7 ; 3), C(4 ; 12) est :
- A. rectangle en A
- B. rectangle en B
- C. isocèle en B
- D. quelconque
Réponse
B. rectangle en B — AB² = 40, BC² = 90 et AC² = 130. Comme 40 + 90 = 130, la réciproque du théorème de Pythagore donne un angle droit en B, sommet opposé au plus grand côté [AC].
ABCD est un parallélogramme avec A(2 ; −1), B(6 ; 1) et C(3 ; 5). Alors D a pour coordonnées :
- A. (−1 ; 3)
- B. (7 ; 7)
- C. (1 ; 3)
- D. (−1 ; −3)
Réponse
A. (−1 ; 3) — Le milieu de [AC] est (2,5 ; 2). D est le symétrique de B par rapport à ce point : (2 × 2,5 − 6 ; 2 × 2 − 1) = (−1 ; 3).
Dans un repère orthonormé, la distance entre A(−2 ; 4) et B(4 ; 9) vaut :
- A. √11
- B. √41
- C. √61
- D. 11
Réponse
C. √61 — AB² = 6² + 5² = 36 + 25 = 61, donc AB = √61 ≈ 7,81.
Un triangle ABC vérifie AB² = 45, AC² = 20 et BC² = 65. Il est :
- A. rectangle en B
- B. rectangle en C
- C. rectangle en A
- D. non rectangle
Réponse
C. rectangle en A — Le plus grand carré est BC² et 45 + 20 = 65 : l’angle droit est au sommet opposé à [BC], donc en A.
Dans un repère orthonormé, le cercle de diamètre [AB], avec A(−1 ; −2) et B(11 ; 14), a pour rayon :
- A. 20
- B. √10
- C. 100
- D. 10
Réponse
D. 10 — AB² = 12² + 16² = 144 + 256 = 400, donc AB = 20 et le rayon vaut 10. Le centre est le milieu (5 ; 6).
Le point M(x ; 0) est à égale distance de A(0 ; 4) et de B(6 ; 2) pour x égal à :
- A. 3
- B. 2
- C. −2
- D. 1/3
Réponse
B. 2 — MA² = x² + 16 et MB² = (x − 6)² + 4 = x² − 12x + 40. L’égalité donne 12x = 24, soit x = 2. Le nombre 3 est l’abscisse du milieu de [AB], qui n’est pas sur l’axe.
Dans un repère orthonormé, la distance entre (−1 ; 3) et (5 ; −3) s’écrit :
- A. 12
- B. 2√6
- C. 6√2
- D. √12
Réponse
C. 6√2 — Le carré vaut 6² + (−6)² = 72 = 36 × 2, donc la distance vaut √72 = 6√2.
Un quadrilatère a des diagonales de même milieu et de même longueur. C’est au moins :
- A. un losange
- B. un rectangle
- C. un carré
- D. un trapèze sans plus
Réponse
B. un rectangle — Même milieu : parallélogramme ; diagonales de même longueur : rectangle. Rien ne dit que deux côtés consécutifs sont égaux, donc pas forcément un carré.
Lequel de ces points est sur le cercle de centre O et de rayon 13 ?
- A. (8 ; 5)
- B. (12 ; 1)
- C. (−13 ; 13)
- D. (5 ; −12)
Réponse
D. (5 ; −12) — 5² + (−12)² = 25 + 144 = 169 = 13². Pour (8 ; 5), la somme des coordonnées vaut 13, mais 8² + 5² = 89.
Sur un plan d’unité 100 m (repère orthonormé), E(−1 ; 2) et F(14 ; −6). La distance réelle EF vaut :
- A. 1 700 m
- B. 2 300 m
- C. 170 m
- D. 700 m
Réponse
A. 1 700 m — EF² = 15² + (−8)² = 225 + 64 = 289, donc EF = 17 unités, soit 1 700 m.
Niveau difficile ★★★ — 12 questions
Dans un repère qui n’est pas orthonormé, quel calcul reste valable ?
- A. la distance AB par la formule usuelle
- B. les coordonnées du milieu de [AB]
- C. le test d’angle droit par Pythagore
- D. le rayon d’un cercle par la formule
Réponse
B. les coordonnées du milieu de [AB] — Le milieu est une demi-somme de coordonnées : aucune longueur n’intervient, la formule vaut dans tout repère.
Pour A(−4 ; 3) et B(6 ; −9), un élève annonce que le milieu de [AB] est (5 ; −6). Son erreur :
- A. il a divisé par 2 une seule coordonnée
- B. il a échangé l’abscisse et l’ordonnée
- C. il a oublié des carrés dans le calcul
- D. il a pris la moitié des différences, pas des sommes
Réponse
D. il a pris la moitié des différences, pas des sommes — (6 − (−4)) ÷ 2 = 5 et (−9 − 3) ÷ 2 = −6 : ce sont des demi-différences. Le milieu est ((−4 + 6) ÷ 2 ; (3 − 9) ÷ 2) = (1 ; −3).
Les diagonales de ABCD ont le même milieu et AB = BC. Alors ABCD est :
- A. un rectangle
- B. un losange
- C. un carré
- D. un trapèze non parallélogramme
Réponse
B. un losange — Même milieu : parallélogramme ; deux côtés consécutifs égaux : losange. Rien n’impose un angle droit, donc pas forcément un carré.
On sait que les segments [AC] et [BD] ont le même milieu. Quel quadrilatère est alors un parallélogramme ?
- A. ABCD
- B. ACBD
- C. ABDC
- D. ACDB
Réponse
A. ABCD — Les diagonales de ABCD sont [AC] et [BD] : elles ont le même milieu, donc ABCD est un parallélogramme. Dans ACBD, ABDC ou ACDB, les diagonales seraient [AB] et [CD], ou [AD] et [BC].
Les points M(4 ; y) situés à la distance 5 de l’origine ont pour ordonnée :
- A. y = 3 seulement
- B. y = 3 ou y = −3
- C. y = 1 ou y = −1
- D. aucune valeur ne convient
Réponse
B. y = 3 ou y = −3 — OM² = 16 + y² = 25 donne y² = 9, donc y = 3 ou y = −3 : deux points conviennent.
Un triangle ABC vérifie AB² = 50, BC² = 40 et AC² = 10. Il est :
- A. rectangle en B
- B. rectangle en A
- C. rectangle en C
- D. non rectangle
Réponse
C. rectangle en C — Le plus grand carré est AB² = 50 et 40 + 10 = 50 : l’angle droit est au sommet opposé à [AB], c’est-à-dire en C.
Pour démontrer qu’un triangle n’est pas rectangle, on utilise :
- A. la réciproque du théorème de Pythagore
- B. le théorème de Thalès
- C. la formule du milieu
- D. la contraposée du théorème de Pythagore
Réponse
D. la contraposée du théorème de Pythagore — Si le triangle était rectangle, le théorème de Pythagore donnerait l’égalité ; l’égalité est fausse, donc il n’est pas rectangle : c’est la contraposée.
Pour des points du plan, l’égalité MA² = MB² équivaut à MA = MB parce que :
- A. MA et MB sont des nombres positifs
- B. le repère est orthonormé
- C. M est le milieu de [AB]
- D. on peut toujours diviser par 2
Réponse
A. MA et MB sont des nombres positifs — Deux nombres positifs sont égaux si et seulement si leurs carrés sont égaux. Avec des nombres de signes contraires, ce serait faux : (−2)² = 2².
L’ensemble des points M tels que MA = MB est :
- A. le cercle de diamètre [AB]
- B. la droite (AB)
- C. la médiatrice de [AB]
- D. le seul milieu de [AB]
Réponse
C. la médiatrice de [AB] — Les points équidistants de A et B forment la médiatrice de [AB] ; le milieu de [AB] n’en est qu’un point.
Le triangle ABC est rectangle en A, avec B(−3 ; 2) et C(5 ; −4). Le centre de son cercle circonscrit est :
- A. (4 ; −3)
- B. (2 ; −2)
- C. (−4 ; 3)
- D. (1 ; −1)
Réponse
D. (1 ; −1) — Dans un triangle rectangle, le centre du cercle circonscrit est le milieu de l’hypoténuse [BC] : ((−3 + 5) ÷ 2 ; (2 − 4) ÷ 2) = (1 ; −1).
On admet que t² + (t − 4)² = 2(t − 2)² + 8 pour tout réel t. La plus petite distance entre O et un point M(t ; t − 4) vaut :
- A. 2√2
- B. 4√2
- C. 2√6
- D. √2
Réponse
A. 2√2 — OM² = t² + (t − 4)² = 2t² − 8t + 16 = 2(t − 2)² + 8. Le minimum de OM² est 8, atteint pour t = 2, donc OM ≥ √8 = 2√2.
A(−1 ; 0), B(2 ; 4), C(6 ; 1) et D(3 ; −3) dans un repère orthonormé. ABCD est :
- A. un losange qui n’est pas un carré
- B. un rectangle qui n’est pas un carré
- C. un parallélogramme quelconque
- D. un carré
Réponse
D. un carré — Les diagonales ont le même milieu (2,5 ; 0,5) ; AB² = BC² = 25 (losange) et AC² = BD² = 50 (rectangle) : c’est un carré.
Moi c'est Ben, j'ai créé ce site pour aider le plus d'élèves possible, partout en France. Je peux aussi reprendre avec toi ce qui coince en cours particulier : en visio, ou à domicile si tu es à Marseille.
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