Géométrie dans le plan repéré

Lire les coordonnées des points dans le repère orthonormé ci-dessous.

1. $G$ : abscisse et ordonnée
   On descend de $G$ jusqu’à l’axe des abscisses : $2$ ; on va jusqu’à l’axe des ordonnées : $3$. Donc $G(2;3)$.
2. $H$ : abscisse et ordonnée
   $H$ est à gauche de l’axe des ordonnées (abscisse négative) et au-dessus de l’axe des abscisses : $H(-3;2)$.
3. $K$ : abscisse et ordonnée
   $K$ est en bas à gauche : ses deux coordonnées sont négatives, $K(-1;-4)$.
4. $L$ : abscisse et ordonnée
   $L$ est sur l’axe des abscisses : son ordonnée est nulle, $L(4;0)$.

Le plan est muni d’un repère orthonormé. On donne $M(-6;2)$.

1. Symétrique de $M$ par rapport à l’origine $O$ : abscisse et ordonnée
   Par rapport à $O$, les deux coordonnées changent de signe : $(6;-2)$.
2. Symétrique de $M$ par rapport à l’axe des abscisses : abscisse et ordonnée
   Par rapport à l’axe des abscisses, l’abscisse reste $-6$ et l’ordonnée change de signe : $(-6;-2)$.
3. Symétrique de $M$ par rapport à l’axe des ordonnées : abscisse et ordonnée
   Par rapport à l’axe des ordonnées, l’abscisse change de signe et l’ordonnée reste $2$ : $(6;2)$.
4. Le point $N(3;2k-8)$ est sur l’axe des abscisses pour $k=$
   Sur l’axe des abscisses, l’ordonnée est nulle : $2k-8=0$, donc $k=4$.

Vocabulaire du repère et points particuliers.

1. Les axes sont perpendiculaires, mais l’unité vaut $1$ cm sur l’axe des abscisses et $2$ cm sur l’axe des ordonnées. Ce repère est (un mot)
   Axes perpendiculaires : le repère est orthogonal. Les unités sont différentes, donc il n’est pas orthonormé, et la formule de la distance ne s’y applique pas.
2. Le point $P(5-t;7)$ est sur l’axe des ordonnées pour $t=$
   Sur l’axe des ordonnées, l’abscisse est nulle : $5-t=0$, donc $t=5$.
3. Justifier que $U(-7;3)$ et $V(7;-3)$ sont symétriques par rapport à l’origine. Somme des abscisses de $U$ et $V$ :
   Rédaction attendue. Les abscisses $-7$ et $7$ sont opposées (leur somme vaut $0$), et les ordonnées $3$ et $-3$ aussi. Le symétrique de $U(-7;3)$ par rapport à $O$ est $(7;-3)$, c’est-à-dire $V$ : $U$ et $V$ sont symétriques par rapport à l’origine.
4. Le point $Q(a;a+4)$ est sur l’axe des abscisses. Son abscisse vaut
   L’ordonnée est nulle : $a+4=0$, donc $a=-4$, et l’abscisse de $Q$ est $-4$ : $Q(-4;0)$.

Le plan est muni d’un repère orthonormé. $ABCD$ est un rectangle dont les côtés sont parallèles aux axes, avec $A(-2;-1)$ et $C(4;2)$ ; $B$ a la même ordonnée que $A$.

1. $B$ : abscisse et ordonnée
   $[AB]$ est parallèle à l’axe des abscisses : $B$ a l’ordonnée de $A$ ($-1$) ; $[BC]$ est parallèle à l’axe des ordonnées : $B$ a l’abscisse de $C$ ($4$). Donc $B(4;-1)$.
2. $D$ : abscisse et ordonnée
   $D$ a l’abscisse de $A$ et l’ordonnée de $C$ : $D(-2;2)$.
3. Justifier la longueur du côté $[AB]$ : $AB=$
   Rédaction attendue. $A$ et $B$ ont la même ordonnée : le segment $[AB]$ est parallèle à l’axe des abscisses, et sa longueur est l’écart entre les abscisses, $4-(-2)=6$ (même unité sur les deux axes, puisque le repère est orthonormé). Donc $AB=6$.
4. Aire du rectangle $ABCD$ : unités d’aire
   $BC=2-(-1)=3$ (écart entre les ordonnées). L’aire vaut $AB\times BC=6\times 3=18$ unités d’aire.

Le plan est muni d’un repère. Calculer les coordonnées du milieu de chaque segment (nombres décimaux avec une virgule).

1. Milieu de $[AB]$ avec $A(7;-3)$ et $B(-1;5)$ : abscisse et ordonnée
   ${\displaystyle \frac{7+(-1)}{2}}={\displaystyle \frac{6}{2}}=3$ et ${\displaystyle \frac{-3+5}{2}}={\displaystyle \frac{2}{2}}=1$ : le milieu est $(3;1)$.
2. Milieu de $[CD]$ avec $C(2;-6)$ et $D(-4;-2)$ : abscisse et ordonnée
   ${\displaystyle \frac{2+(-4)}{2}}$ $={\displaystyle \frac{-2}{2}}$ $=-1$ et ${\displaystyle \frac{-6+(-2)}{2}}$ $={\displaystyle \frac{-8}{2}}$ $=-4$ : le milieu est $(-1;-4)$.
3. Milieu de $[EF]$ avec $E(-2,5;4)$ et $F(1,5;-1)$ : abscisse et ordonnée
   ${\displaystyle \frac{-2,5+1,5}{2}}$ $={\displaystyle \frac{-1}{2}}$ $=-0,5$ et ${\displaystyle \frac{4+(-1)}{2}}$ $={\displaystyle \frac{3}{2}}$ $=1,5$ : le milieu est $(-0,5;1,5)$.

Le plan est muni d’un repère. Retrouver le point demandé.

1. $M(5;2)$ est le milieu de $[EF]$ avec $E(1;-4)$. $F$ : abscisse et ordonnée
   $x_F=2\times 5-1=9$ et $y_F=2\times 2-(-4)=8$ : $F(9;8)$. Contrôle : ${\displaystyle \frac{1+9}{2}}=5$ et ${\displaystyle \frac{-4+8}{2}}=2$.
2. Symétrique de $G(-1;6)$ par rapport à $K(3;-2)$ : abscisse et ordonnée
   $K$ est le milieu de $[GG\prime ]$ : $x_{G\prime }=2\times 3-(-1)=7$ et $y_{G\prime }=2\times (-2)-6=-10$. Donc $G\prime (7;-10)$.
3. $I(-2;0,5)$ est le milieu de $[AB]$ avec $A(-5;3)$. $B$ : abscisse et ordonnée
   $x_B=2\times (-2)-(-5)=1$ et $y_B=2\times 0,5-3=-2$ : $B(1;-2)$.

Le plan est muni d’un repère. On donne $R(-5;7)$, $S(9;-3)$, $T(4;6)$ et $U(0;-2)$.

1. Milieu de $[RS]$ : abscisse et ordonnée
   ${\displaystyle \frac{-5+9}{2}}=2$ et ${\displaystyle \frac{7+(-3)}{2}}=2$ : le milieu de $[RS]$ est $(2;2)$.
2. Démontrer que $[RS]$ et $[TU]$ ont le même milieu. Milieu de $[TU]$ : abscisse et ordonnée
   Rédaction attendue. Le milieu de $[TU]$ a pour coordonnées $\left({\displaystyle \frac{4+0}{2}};{\displaystyle \frac{6+(-2)}{2}}\right)$ $=(2;2)$. C’est aussi le milieu de $[RS]$ (question précédente) : les segments $[RS]$ et $[TU]$ ont le même milieu.
3. Le milieu de $[RT]$ a pour ordonnée
   ${\displaystyle \frac{7+6}{2}}$ $={\displaystyle \frac{13}{2}}$ $=6,5$.

Le plan est muni d’un repère. Pour un réel $m$, on pose $A(m;3)$, $B(2;m)$ et $C(-1;1)$. On se demande si $C$ peut être le milieu de $[AB]$.

1. La condition sur les abscisses, ${\displaystyle \frac{m+2}{2}}=-1$, impose $m=$
   ${\displaystyle \frac{m+2}{2}}=-1$ donne $m+2=-2$, soit $m=-4$.
2. La condition sur les ordonnées, ${\displaystyle \frac{3+m}{2}}=1$, impose $m=$
   ${\displaystyle \frac{3+m}{2}}=1$ donne $3+m=2$, soit $m=-1$.
3. Justifier : nombre de valeurs de $m$ pour lesquelles $C$ est le milieu de $[AB]$ :
   Rédaction attendue. $C$ est le milieu de $[AB]$ si et seulement si les deux conditions sont vraies en même temps. L’abscisse impose $m=-4$ et l’ordonnée $m=-1$ : aucun réel ne vérifie les deux. Il y a $0$ valeur de $m$ : $C$ n’est jamais le milieu de $[AB]$.

Le plan est muni d’un repère orthonormé. Pour une racine carrée, écris par exemple √13, 2√13 ou 2racine(13).

1. $G(-4;1)$ et $H(3;-3)$ : $G{H}^2=$
   $G{H}^2$ $=(3-(-4){)}^2+(-3-1{)}^2$ $=7^2+(-4{)}^2$ $=49+16$ $=65$.
2. Valeur approchée de $GH$ au centième :
   $GH=\sqrt{65}\approx 8,06$ (calculatrice : $8,062\dots$).
3. $I(5;6)$ et $J(-1;-1)$ : valeur exacte $IJ=$
   $I{J}^2$ $=(-1-5{)}^2+(-1-6{)}^2$ $=36+49$ $=85$, donc $IJ=\sqrt{85}$ ($85=5\times 17$ n’a pas de facteur carré).
4. $K(-2;7)$ et $L(4;3)$ : $KL$ sous la forme $a\sqrt{b}$ :
   $K{L}^2$ $=(4-(-2){)}^2+(3-7{)}^2$ $=36+16$ $=52$. Or $52=4\times 13$, donc $KL=\sqrt{52}=2\sqrt{13}$.

Le plan est muni d’un repère orthonormé. Chaque distance est un nombre décimal.

1. $P(-1;-2)$ et $Q(6;22)$ : $PQ=$
   $P{Q}^2=7^2+{24}^2=49+576=625$, donc $PQ=\sqrt{625}=25$.
2. $R(2;-3)$ et $S(22;18)$ : $RS=$
   $R{S}^2={20}^2+{21}^2=400+441=841$, donc $RS=29$.
3. $T(0,5;1)$ et $U(2,5;-0,5)$ : $TU=$
   $T{U}^2$ $=2^2+(-1,5{)}^2$ $=4+2,25$ $=6,25$, donc $TU=\sqrt{6,25}=2,5$.

Le plan est muni d’un repère orthonormé. On donne $A(1;2)$, $B(16;22)$ et $H(16;2)$.

1. Justifier que le triangle $ABH$ est rectangle en $H$, puis donner $AH=$
   Rédaction attendue. $A$ et $H$ ont la même ordonnée $2$ : $[AH]$ est parallèle à l’axe des abscisses. $H$ et $B$ ont la même abscisse $16$ : $[HB]$ est parallèle à l’axe des ordonnées. Les axes sont perpendiculaires, donc $(AH)⟂(HB)$ et $ABH$ est rectangle en $H$. Avec la même unité sur les deux axes : $AH=16-1=15$.
2. $HB=$
   $HB=22-2=20$ (écart des ordonnées).
3. Démontrer, avec le théorème de Pythagore, que $AB=$
   Rédaction attendue. Dans le triangle $ABH$ rectangle en $H$, le théorème de Pythagore donne $A{B}^2$ $=A{H}^2+H{B}^2$ $={15}^2+{20}^2$ $=225+400$ $=625$. Une longueur est positive, donc $AB=\sqrt{625}=25$. On retrouve la formule : $A{B}^2=(16-1{)}^2+(22-2{)}^2$.

Le plan est muni d’un repère orthonormé.

1. On pose $A(a;1)$ et $B(3;5)$. Les valeurs de $a$ pour lesquelles $AB=5$ sont : la plus petite et la plus grande
   Rédaction attendue. $AB=5$ équivaut à $A{B}^2=25$ (longueurs positives), soit $(3-a{)}^2+4^2=25$, donc $(3-a{)}^2=9$. Un nombre dont le carré vaut $9$ est $3$ ou $-3$ : $3-a=3$ donne $a=0$, et $3-a=-3$ donne $a=6$. Deux points conviennent : $(0;1)$ et $(6;1)$.
2. On donne $U(1;1)$, $V(4;7)$ et $W(-4;3)$. Justifier, sans calculatrice, lequel des points $V$ et $W$ est le plus proche de $U$ (une lettre) :
   Rédaction attendue. $U{V}^2=3^2+6^2=45$ et $U{W}^2=(-5{)}^2+2^2=29$. Les longueurs sont positives et rangées dans le même ordre que leurs carrés : $29<45$ donne $UW<UV$. Le point le plus proche de $U$ est $W$.
3. Le point $E(x;x)$, avec $x>0$, est à la distance $\sqrt{50}$ de l’origine pour $x=$
   $O{E}^2=x^2+x^2=2x^2=50$, donc $x^2=25$ et, comme $x>0$, $x=5$.

Le plan est muni d’un repère orthonormé. On considère $A(-1;-5)$, $B(0;2)$ et $C(-8;-4)$.

1. $A{B}^2=$
   $A{B}^2$ $=(0-(-1){)}^2+(2-(-5){)}^2$ $=1+49$ $=50$.
2. $A{C}^2=$
   $A{C}^2$ $=(-8-(-1){)}^2+(-4-(-5){)}^2$ $=49+1$ $=50$.
3. $B{C}^2=$
   $B{C}^2$ $=(-8-0{)}^2+(-4-2{)}^2$ $=64+36$ $=100$.
4. Démontrer la nature du triangle : il est rectangle et isocèle en
   Rédaction attendue. $A{B}^2=A{C}^2=50$, donc $AB=AC$ : le triangle est isocèle en $A$. Le plus grand carré est $B{C}^2=100$ et $A{B}^2+A{C}^2=50+50=100=B{C}^2$ : d’après la réciproque du théorème de Pythagore, $ABC$ est rectangle en $A$. Conclusion : $ABC$ est rectangle et isocèle en $A$.

Le plan est muni d’un repère orthonormé. On considère $E(-3;-2)$, $F(1;5)$ et $G(5;-2)$.

1. $E{F}^2=$ et $F{G}^2=$
   $E{F}^2=4^2+7^2=16+49=65$ et $F{G}^2=4^2+(-7{)}^2=16+49=65$.
2. $E{G}^2=$ ; le triangle est donc isocèle en
   $E{G}^2=8^2+0^2=64$. Les côtés égaux $[FE]$ et $[FG]$ ont $F$ pour sommet commun : $EFG$ est isocèle en $F$.
3. Justifier que $EFG$ n’est pas rectangle. $E{F}^2+E{G}^2=$
   Rédaction attendue. Les plus grands côtés sont $[EF]$ et $[FG]$ ($65$). Si le triangle était rectangle, l’hypoténuse serait l’un d’eux, par exemple $[FG]$, et on aurait $F{G}^2=E{F}^2+E{G}^2$. Or $E{F}^2+E{G}^2=65+64=129\ne 65$ (même chose en échangeant $E$ et $G$ : $F{G}^2+E{G}^2=129\ne 65$). D’après la contraposée du théorème de Pythagore, $EFG$ n’est pas rectangle.

Le plan est muni d’un repère orthonormé. On donne $P(2;2)$, $Q(-1;-2)$ et $R(-13;7)$. Écris les nombres décimaux avec une virgule.

1. $P{Q}^2=$ , $Q{R}^2=$ et $P{R}^2=$
   $P{Q}^2=(-3{)}^2+(-4{)}^2=25$ ; $Q{R}^2=(-12{)}^2+9^2=144+81=225$ ; $P{R}^2=(-15{)}^2+5^2=225+25=250$.
2. Démontrer que $PQR$ est rectangle, puis calculer son aire : unités d’aire
   Rédaction attendue. Le plus grand carré est $P{R}^2=250$ et $P{Q}^2+Q{R}^2=25+225=250=P{R}^2$ : d’après la réciproque du théorème de Pythagore, $PQR$ est rectangle en $Q$. Les côtés de l’angle droit mesurent $PQ=5$ et $QR=15$, donc l’aire vaut ${\displaystyle \frac{5\times 15}{2}}=37,5$ unités d’aire.
3. Centre du cercle circonscrit à $PQR$ : abscisse et ordonnée
   Le triangle est rectangle en $Q$ : le centre est le milieu de l’hypoténuse $[PR]$, $\left({\displaystyle \frac{2+(-13)}{2}};{\displaystyle \frac{2+7}{2}}\right)$ $=(-5,5;4,5)$.
4. Le carré du rayon de ce cercle vaut
   Le rayon vaut ${\displaystyle \frac{PR}{2}}$, donc son carré vaut ${\displaystyle \frac{P{R}^2}{4}}$ $={\displaystyle \frac{250}{4}}$ $=62,5$ (le rayon est ${\displaystyle \frac{5\sqrt{10}}{2}}\approx 7,91$).

Le plan est muni d’un repère orthonormé. On donne $A(1;1)$, $B(5;3)$ et, pour un réel $y$, $C(3;y)$.

1. Déterminer $y$ pour que $ABC$ soit rectangle en $B$ : $y=$
   Rédaction attendue. $A{B}^2=4^2+2^2=20$, $B{C}^2$ $=(-2{)}^2+(y-3{)}^2$ $=y^2-6y+13$ et $A{C}^2=2^2+(y-1{)}^2=y^2-2y+5$. Le triangle est rectangle en $B$ si et seulement si $A{C}^2=A{B}^2+B{C}^2$ (théorème de Pythagore et sa réciproque), soit $y^2-2y+5=20+y^2-6y+13$, donc $4y=28$ et $y=7$.
2. Pour cette valeur, le triangle $ABC$ est aussi isocèle en
   Avec $y=7$ : $B{C}^2=4+16=20=A{B}^2$, donc $BA=BC$ : $ABC$ est isocèle (et rectangle) en $B$.
3. Aire de $ABC$ pour cette valeur : unités d’aire
   ${\displaystyle \frac{AB\times BC}{2}}$ $={\displaystyle \frac{\sqrt{20}\times \sqrt{20}}{2}}$ $={\displaystyle \frac{20}{2}}$ $=10$ unités d’aire.
4. Déterminer $y$, avec $y>1$, pour que $ABC$ soit isocèle en $A$ : $y=$
   Rédaction attendue. $ABC$ est isocèle en $A$ si et seulement si $AC=AB$, soit $A{C}^2=A{B}^2$ (longueurs positives) : $4+(y-1{)}^2=20$, donc $(y-1{)}^2=16$, soit $y-1=4$ ou $y-1=-4$. Avec $y>1$ : $y=5$. Contrôle : $C(3;5)$ n’est pas aligné avec $A$ et $B$ (le milieu de $[AB]$ est $(3;2)$), et $A{C}^2=4+16=20=A{B}^2$.

Le plan est muni d’un repère. On donne $A(-4;3)$, $B(3;5)$ et $C(6;-2)$. On cherche $D$ tel que $ABCD$ soit un parallélogramme.

1. Milieu $K$ de $[AC]$ : abscisse et ordonnée
   $\left({\displaystyle \frac{-4+6}{2}};{\displaystyle \frac{3+(-2)}{2}}\right)$ $=(1;0,5)$.
2. $D$ : abscisse et ordonnée
   $D$ est le symétrique de $B$ par rapport à $K$ : $x_D=2\times 1-3=-1$ et $y_D=2\times 0,5-5=-4$. Donc $D(-1;-4)$.
3. Contrôle : le milieu de $[BD]$ a pour ordonnée
   ${\displaystyle \frac{5+(-4)}{2}}=0,5$ : c’est bien l’ordonnée de $K$ (et ${\displaystyle \frac{3+(-1)}{2}}=1$ pour l’abscisse).

Le plan est muni d’un repère orthonormé. On donne $K(-3;-2)$, $L(2;-1)$, $M(4;3)$ et $N(-1;2)$. Écris les nombres décimaux avec une virgule.

1. Milieu de $[KM]$ : abscisse et ordonnée
   $\left({\displaystyle \frac{-3+4}{2}};{\displaystyle \frac{-2+3}{2}}\right)$ $=(0,5;0,5)$.
2. Milieu de $[LN]$ : abscisse et ordonnée
   $\left({\displaystyle \frac{2+(-1)}{2}};{\displaystyle \frac{-1+2}{2}}\right)$ $=(0,5;0,5)$ : même milieu, $KLMN$ est un parallélogramme.
3. $K{L}^2=$ et $L{M}^2=$
   $K{L}^2=5^2+1^2=26$ et $L{M}^2=2^2+4^2=20$ : deux côtés consécutifs de longueurs différentes, donc $KLMN$ n’est pas un losange.

Le plan est muni d’un repère orthonormé. On considère $A(-5;2)$, $B(-1;5)$, $C(3;2)$ et $D(-1;-1)$.

1. Démontrer que les diagonales de $ABCD$ ont le même milieu, puis conclure sur sa nature. Milieu commun : abscisse et ordonnée
   Rédaction attendue. Milieu de $[AC]$ : $\left({\displaystyle \frac{-5+3}{2}};{\displaystyle \frac{2+2}{2}}\right)$ $=(-1;2)$. Milieu de $[BD]$ : $\left({\displaystyle \frac{-1+(-1)}{2}};{\displaystyle \frac{5+(-1)}{2}}\right)$ $=(-1;2)$. Les diagonales ont le même milieu, donc $ABCD$ est un parallélogramme.
2. $AB=$
   $A{B}^2=4^2+3^2=25$, donc $AB=5$.
3. Démontrer que $ABCD$ est un losange : $BC=$
   Rédaction attendue. $B{C}^2=4^2+(-3{)}^2=25$, donc $BC=5=AB$. Le parallélogramme $ABCD$ a deux côtés consécutifs de même longueur : c’est un losange.
4. Avec $AC=8$ et $BD=6$, l’aire du losange vaut unités d’aire
   Aire d’un losange : ${\displaystyle \frac{AC\times BD}{2}}$ $={\displaystyle \frac{8\times 6}{2}}$ $=24$. Comme $AC\ne BD$, ce losange n’est pas un carré.

Le plan est muni d’un repère orthonormé. On donne $A(-2;-3)$, $B(4;-1)$ et $C(3;2)$.

1. Point $D$ tel que $ABCD$ soit un parallélogramme : abscisse et ordonnée
   Milieu de $[AC]$ : $(0,5;-0,5)$. $D$ est le symétrique de $B$ par rapport à ce point : $x_D=2\times 0,5-4=-3$ et $y_D=2\times (-0,5)-(-1)=0$. Donc $D(-3;0)$.
2. $A{C}^2=$
   $A{C}^2=5^2+5^2=50$.
3. Démontrer que $ABCD$ est un rectangle : $B{D}^2=$
   Rédaction attendue. $B{D}^2$ $=(-3-4{)}^2+(0-(-1){)}^2$ $=49+1$ $=50$ $=A{C}^2$. Le parallélogramme $ABCD$ a des diagonales de même longueur : c’est un rectangle. Ce n’est pas un carré : $A{B}^2=6^2+2^2=40$ et $B{C}^2=(-1{)}^2+3^2=10$.
4. Aire du rectangle $ABCD$ : unités d’aire
   $AB\times BC$ $=\sqrt{40}\times \sqrt{10}$ $=\sqrt{400}$ $=20$ unités d’aire.

Le plan est muni d’un repère orthonormé. On considère le cercle $𝒞$ de centre $\Omega (-2;3)$ et de rayon $5$.

1. Pour $P(1;7)$ : $\Omega P^2=$
   $\Omega P^2=3^2+4^2=25=5^2$ : $P$ est sur le cercle.
2. Pour $Q(2;-1)$ : $\Omega Q^2=$
   $\Omega Q^2=4^2+(-4{)}^2=32$.
3. Le point $Q$ est-il à l’intérieur ou à l’extérieur de $𝒞$ ?
   $32>25$, donc $\Omega Q>5$ : $Q$ est à l’extérieur du cercle.
4. Le point de $𝒞$ d’abscisse $-2$ et d’ordonnée négative a pour ordonnée
   $M(-2;y)$ : $\Omega M^2=0^2+(y-3{)}^2=25$, donc $y-3=5$ ou $y-3=-5$, soit $y=8$ ou $y=-2$. L’ordonnée négative est $-2$.

Le plan est muni d’un repère orthonormé. On donne $A(-3;1)$ et $B(7;5)$, et $𝒞$ le cercle de diamètre $[AB]$.

1. Centre de $𝒞$ : abscisse et ordonnée
   Le centre est le milieu de $[AB]$ : $\left({\displaystyle \frac{-3+7}{2}};{\displaystyle \frac{1+5}{2}}\right)$ $=(2;3)$.
2. Rayon de $𝒞$ :
   $A{B}^2={10}^2+4^2=116$, donc $AB=\sqrt{116}=2\sqrt{29}$ et le rayon vaut $\sqrt{29}$.
3. Justifier la position de l’origine $O$ par rapport à $𝒞$. Distance au carré entre le centre et $O$ :
   Rédaction attendue. Le centre est $(2;3)$ et $O(0;0)$ : le carré de leur distance vaut $2^2+3^2=13$. Or $r^2=29$ et $13<29$ : la distance entre le centre et $O$ est inférieure au rayon, donc $O$ est à l’intérieur du cercle.

Le plan est muni d’un repère orthonormé. On donne $A(-2;3)$ et $B(4;-1)$. On cherche le point $M(x;0)$ de l’axe des abscisses tel que $MA=MB$. Une fraction s’écrit avec « / ».

1. Démontrer que $MA=MB$ équivaut à $12x=4$, puis donner $x=$
   Rédaction attendue. Les distances étant positives, $MA=MB$ équivaut à $M{A}^2=M{B}^2$. Or $M{A}^2=(-2-x{)}^2+3^2=x^2+4x+13$ et $M{B}^2$ $=(4-x{)}^2+(-1{)}^2$ $=x^2-8x+17$. L’égalité donne $4x+13=-8x+17$, soit $12x=4$ et $x={\displaystyle \frac{1}{3}}$. Le point cherché est $M\left({\displaystyle \frac{1}{3}};0\right)$.
2. $M{A}^2=$
   $M{A}^2$ $={({\displaystyle \frac{1}{3}}+2)}^2+9$ $={\displaystyle \frac{49}{9}}+{\displaystyle \frac{81}{9}}$ $={\displaystyle \frac{130}{9}}$, donc $MA$ $={\displaystyle \frac{\sqrt{130}}{3}}\approx 3,80$.
3. Le milieu de $[AB]$ a pour abscisse
   ${\displaystyle \frac{-2+4}{2}}=1$ (et son ordonnée vaut $1$) : ce n’est pas $M$. Le point $M$ est sur la médiatrice de $[AB]$, pas au milieu du segment.

Approfondissement (médiatrices et cercle circonscrit). Le plan est muni d’un repère orthonormé. On donne $A(-1;0)$, $B(5;0)$ et $C(1;4)$. On cherche le centre $\Omega (x;y)$ du cercle circonscrit au triangle $ABC$.

1. Démontrer que $\Omega A=\Omega B$ impose $x=$
   Rédaction attendue. $\Omega A=\Omega B$ équivaut à $\Omega A^2=\Omega B^2$, soit $(x+1{)}^2+y^2=(x-5{)}^2+y^2$. On développe : $x^2+2x+1=x^2-10x+25$, donc $12x=24$ et $x=2$. (Le centre est sur la médiatrice de $[AB]$, la droite verticale qui passe par le milieu $(2;0)$.)
2. Avec $x=2$, la condition $\Omega A=\Omega C$ donne $y=$
   $\Omega A^2=3^2+y^2=y^2+9$ et $\Omega C^2$ $=(1-2{)}^2+(4-y{)}^2$ $=y^2-8y+17$. L’égalité donne $9=-8y+17$, soit $y=1$ : $\Omega (2;1)$.
3. Le carré du rayon du cercle circonscrit vaut
   $\Omega A^2=3^2+1^2=10$ ; contrôle : $\Omega B^2=3^2+1^2=10$ et $\Omega C^2=1^2+3^2=10$. Le rayon vaut $\sqrt{10}$.
4. Le point $D(3;4)$ est-il sur ce cercle ? Le carré de $\Omega D$ vaut
   $\Omega D^2=1^2+3^2=10=r^2$ : $D$ est sur le cercle circonscrit à $ABC$.