Équations de droites

Q: Comment trouver une équation cartésienne avec un point et un vecteur directeur ?

On prend un point M(x ; y) quelconque et on calcule les coordonnées de AM⃗. M est sur la droite si et seulement si AM⃗ et u⃗ sont colinéaires, c’est-à-dire det(AM⃗, u⃗) = 0. En développant ce déterminant, on obtient une équation ax + by + c = 0. On la contrôle avec les coordonnées de A. Dans l’autre sens, la droite ax + by + c = 0 est dirigée par le vecteur (−b ; a).

Q: Quelle est la différence entre équation cartésienne et équation réduite ?

Une équation cartésienne s’écrit ax + by + c = 0 : toute droite en a une infinité (on peut tout multiplier par un même nombre non nul). L’équation réduite s’écrit y = mx + p : elle est unique, mais seules les droites non verticales en ont une. Les droites verticales s’écrivent x = k et n’ont pas de pente.

Q: Comment calculer la pente d’une droite passant par deux points ?

Si A et B ont des abscisses différentes, la pente de (AB) vaut m = (y_B − y_A) ÷ (x_B − x_A) : différence des ordonnées divisée par différence des abscisses, dans le même ordre. On trouve ensuite p = y_A − m × x_A, puis on vérifie avec B. Si les abscisses sont égales, la droite est verticale, d’équation x = x_A.

Q: Comment savoir si deux droites sont parallèles ?

Deux droites sont parallèles si leurs vecteurs directeurs sont colinéaires. Avec des équations réduites, il suffit de comparer les pentes : même pente, droites parallèles (confondues si l’ordonnée à l’origine est la même aussi). Avec des équations cartésiennes ax + by + c = 0 et a′x + b′y + c′ = 0, on calcule ab′ − a′b : s’il est nul, elles sont parallèles, sinon sécantes.

Q: Comment trouver le point d’intersection de deux droites ?

On vérifie d’abord que les pentes sont différentes : les droites sont alors sécantes. On égalise les deux expressions de y, mx + p = m′x + p′, on résout cette équation du premier degré pour trouver x, puis on calcule y avec l’une des équations et on contrôle avec l’autre. Si une droite est donnée par une équation cartésienne, on écrit d’abord son équation réduite.

Vecteur directeur et équation cartésienne (forme ax + by + c = 0 démontrée avec le déterminant), équation réduite et pente, droite passant par deux points et alignement, droites parallèles ou sécantes, point d’intersection de deux droites données par leur équation réduite.

À propos de cette page

Ce cours de maths de seconde sur les équations de droites suit cinq parties : vecteur directeur et équation cartésienne ax + by + c = 0, avec la démonstration par le déterminant ; équation réduite y = mx + p, pente et droites verticales ; droite passant par deux points et alignement de trois points, démontrés ; droites parallèles ou sécantes ; point d’intersection de deux droites. Quatre figures en repère accompagnent les exemples.

Vecteur directeur et équation cartésienne

Ce qu’il faut savoir

Le plan est muni d’un repère orthonormé.

Vecteur directeur. Si $A$ et $B$ sont deux points distincts d’une droite $d$ , le vecteur $\vec{A B}$ est un vecteur directeur de $d$ . Tout vecteur non nul colinéaire à $\vec{A B}$ dirige aussi $d$ : une droite a une infinité de vecteurs directeurs, tous colinéaires entre eux.

Un point et un vecteur. La droite passant par $A$ et dirigée par $\vec{u}$ est l’ensemble des points $M$ tels que $\vec{A M}$ et $\vec{u}$ sont colinéaires, c’est-à-dire tels que $det (\vec{A M}, \vec{u}) = 0$ .

Théorème (démonstration au programme).
• Toute droite admet une équation de la forme $a x + b y + c = 0$ , où $a$ et $b$ ne sont pas tous les deux nuls : c’est une équation cartésienne de la droite.
• Réciproquement, si $a$ et $b$ ne sont pas tous les deux nuls, l’ensemble des points $M (x; y)$ tels que $a x + b y + c = 0$ est une droite, dirigée par le vecteur $\vec{u} (- b; a)$ .

Appartenance. Un point appartient à une droite si et seulement si ses coordonnées vérifient une équation de cette droite.

Pas d’unicité. En multipliant $a$ , $b$ et $c$ par un même réel non nul, on obtient une autre équation cartésienne de la même droite.

Exemples

Démonstration, sens direct. Soit $d$ une droite, $A (x_{A}; y_{A})$ un de ses points et $\vec{u} (α; β)$ un vecteur directeur (non nul). Pour $M (x; y)$ , on a $\vec{A M} (x - x_{A}; y - y_{A})$ et

M \in d ⟺ det (\vec{A M}, \vec{u}) = 0

⟺ (x - x_{A}) β - (y - y_{A}) α = 0

⟺ β x - α y + (α y_{A} - β x_{A}) = 0 .

On pose $a = β$ , $b = - α$ et $c = α y_{A} - β x_{A}$ : $d$ a pour équation $a x + b y + c = 0$ , et $a$ , $b$ ne sont pas tous deux nuls car $\vec{u} \neq \vec{0}$ .

Démonstration, réciproque. Soit $a$ , $b$ , $c$ trois réels avec $a$ et $b$ non tous deux nuls, et $E$ l’ensemble des points $M (x; y)$ tels que $a x + b y + c = 0$ . On cherche un point de $E$ : si $b \neq 0$ , $A (0; - \frac{c}{b})$ convient ; si $b = 0$ , alors $a \neq 0$ et $A (- \frac{c}{a}; 0)$ convient. Dans les deux cas, $a x_{A} + b y_{A} + c = 0$ . On pose $\vec{u} (- b; a)$ , qui n’est pas nul. Pour tout point $M (x; y)$ :

det (\vec{A M}, \vec{u}) = (x - x_{A}) a + (y - y_{A}) b

= a x + b y - (a x_{A} + b y_{A}) = a x + b y + c .

Donc $M \in E$ $⟺ det (\vec{A M}, \vec{u}) = 0$ : $E$ est la droite passant par $A$ et dirigée par $\vec{u} (- b; a)$ .

Un point et un vecteur (la figure). $A (- 1; 1)$ et $\vec{u} (3; 2)$ . Pour $M (x; y)$ : $\vec{A M} (x + 1; y - 1)$ et $det (\vec{A M}, \vec{u})$ $= (x + 1) \times 2 - (y - 1) \times 3$ $= 2 x + 2 - 3 y + 3$ $= 2 x - 3 y + 5$ . La droite $d$ a pour équation $2 x - 3 y + 5 = 0$ . Contrôle avec $A$ : $2 \times (- 1) - 3 \times 1 + 5 = 0$ .

Appartenance. Pour $M (5; 5)$ : $2 \times 5 - 3 \times 5 + 5 = 0$ , donc $M \in d$ , comme sur la figure. Pour $N (4; 4)$ : $2 \times 4 - 3 \times 4 + 5 = 1 \neq 0$ , donc $N \notin d$ , même s’il en est très proche.

Lire un vecteur directeur. $Δ : 4 x + 7 y - 2 = 0$ : $a = 4$ et $b = 7$ , donc $\vec{v} (- 7; 4)$ dirige $Δ$ ; le vecteur $(7; - 4)$ aussi, car il est colinéaire à $\vec{v}$ .

Deux points pour tracer. Dans $4 x + 7 y - 2 = 0$ , avec $x = 4$ : $16 + 7 y - 2 = 0$ , donc $y = - 2$ ; avec $x = - 3$ : $- 12 + 7 y - 2 = 0$ , donc $y = 2$ . On place $(4; - 2)$ et $(- 3; 2)$ , puis on trace $Δ$ .

Réflexe — Un point $A$ et un vecteur $\vec{u}$ : j’écris $\vec{A M}$ , je pose $det (\vec{A M}, \vec{u}) = 0$ , je développe et je contrôle avec $A$ . Une équation $a x + b y + c = 0$ : je lis tout de suite un vecteur directeur $(- b; a)$ . Un point est sur la droite : je remplace $x$ et $y$ , et je regarde si j’obtiens $0$ .

Attention — Le vecteur directeur est $(- b; a)$ , pas $(a; b)$ : pour $4 x + 7 y - 2 = 0$ , le vecteur $(4; 7)$ ne dirige pas la droite. Et $2 x - 3 y + 5 = 0$ et $- 4 x + 6 y - 10 = 0$ sont deux équations de la même droite.

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Équation réduite et pente

Ce qu’il faut savoir

On part d’une équation cartésienne $a x + b y + c = 0$ .

Droite verticale ( $b = 0$ ). L’équation s’écrit $x = k$ , avec $k = - \frac{c}{a}$ : la droite est parallèle à l’axe des ordonnées et tous ses points ont la même abscisse $k$ . Elle est dirigée par $(0; 1)$ .

Équation réduite ( $b \neq 0$ ). On isole $y$ : $y = - \frac{a}{b} x - \frac{c}{b}$ . Toute droite non parallèle à l’axe des ordonnées a ainsi une unique équation de la forme

y = m x + p .

$m$ est la pente (ou coefficient directeur) ; $p$ est l’ordonnée à l’origine : la droite coupe l’axe des ordonnées au point $(0; p)$ .

Pente et vecteur directeur. La droite $y = m x + p$ est dirigée par $\vec{u} (1; m)$ : quand $x$ augmente de $1$ , $y$ varie de $m$ . Réciproquement, si une droite est dirigée par $\vec{w} (α; β)$ avec $α \neq 0$ , sa pente est $m = \frac{β}{α}$ .

Allure. $m > 0$ : la droite monte de gauche à droite ; $m < 0$ : elle descend ; $m = 0$ : droite horizontale d’équation $y = p$ . Une droite verticale n’a pas de pente.

Un point et la pente. La droite de pente $m$ passant par $A (x_{A}; y_{A})$ a pour équation $y = m x + p$ , avec $p = y_{A} - m x_{A}$ .

Exemples

Pourquoi $(1; m)$ ? $y = m x + p$ s’écrit $m x - y + p = 0$ : c’est une équation cartésienne avec $a = m$ et $b = - 1$ , donc la droite est dirigée par $(- b; a) = (1; m)$ . Si $\vec{w} (α; β)$ dirige la droite avec $α \neq 0$ , le vecteur $\frac{1}{α} \vec{w} (1; \frac{β}{α})$ la dirige aussi : sa pente est $\frac{β}{α}$ .

Pourquoi unique ? Si $y = m x + p$ et $y = m' x + p'$ décrivent la même droite, le point d’abscisse $0$ donne $p = p'$ , puis le point d’abscisse $1$ donne $m + p = m' + p'$ , donc $m = m'$ .

Lecture graphique (la figure). $d_{1}$ coupe l’axe des ordonnées en $(0; 3)$ : $p = 3$ . À partir de ce point, « $3$ carreaux vers la droite, $2$ vers le bas » ramène sur $d_{1}$ : le vecteur $(3; - 2)$ la dirige, donc $m = - \frac{2}{3}$ et $d_{1} : y = - \frac{2}{3} x + 3$ . La droite $d_{2}$ est verticale : $d_{2} : x = - 2$ .

De la forme cartésienne à la forme réduite. $3 x + 4 y - 8 = 0$ donne $4 y = - 3 x + 8$ , soit $y = - \frac{3}{4} x + 2$ : pente $- \frac{3}{4}$ , ordonnée à l’origine $2$ . En revanche, $2 x - 9 = 0$ donne $x = 4, 5$ : droite verticale, sans pente.

De la forme réduite à une forme cartésienne. $y = \frac{1}{2} x - 3$ : on multiplie par $2$ , $2 y = x - 6$ , puis on regroupe : $x - 2 y - 6 = 0$ , à coefficients entiers.

Un point et la pente. Droite de pente $4$ passant par $B (- 2; 3)$ : $p = 3 - 4 \times (- 2) = 11$ , donc $y = 4 x + 11$ . Contrôle : $4 \times (- 2) + 11 = 3$ .

Un point et un vecteur directeur. Droite passant par $C (4; 3)$ et dirigée par $\vec{w} (2; - 5)$ : $m = \frac{- 5}{2} = - 2, 5$ , puis $p = 3 - (- 2, 5) \times 4 = 13$ . Équation : $y = - 2, 5 x + 13$ .

Réflexe — Pour la pente, j’isole $y$ et je lis le nombre devant $x$ . Sur un graphique, je pars d’un point à coordonnées entières, j’avance vers la droite d’un nombre entier de carreaux et je compte de combien je monte ou je descends : pente $= \frac{déplacement vertical}{déplacement horizontal}$ .

Attention — Dans $y = 2 - 5 x$ , la pente est $- 5$ (le nombre qui multiplie $x$ ), pas $2$ . Une droite $x = k$ n’a ni pente ni équation réduite ; une droite $y = k$ a une pente nulle.

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Droite passant par deux points, alignement

Ce qu’il faut savoir

Propriété (démonstration au programme). Soit $A (x_{A}; y_{A})$ et $B (x_{B}; y_{B})$ deux points distincts.
• Si $x_{A} = x_{B}$ , la droite $(A B)$ est verticale, d’équation $x = x_{A}$ .
• Si $x_{A} \neq x_{B}$ , la droite $(A B)$ a pour pente et pour ordonnée à l’origine

m = \frac{y_{B} - y_{A}}{x_{B} - x_{A}}

p = y_{A} - m x_{A} .

Autre méthode. $\vec{A B}$ dirige $(A B)$ : $M \in (A B)$ $⟺ det (\vec{A M}, \vec{A B}) = 0$ , ce qui donne une équation cartésienne.

Alignement (démonstration au programme). Si $A \neq B$ , les points $A$ , $B$ et $C$ sont alignés si et seulement si $C$ appartient à la droite $(A B)$ , c’est-à-dire si et seulement si les coordonnées de $C$ vérifient une équation de $(A B)$ .

Avec les pentes. Si $x_{A} \neq x_{B}$ et $x_{A} \neq x_{C}$ : $A$ , $B$ , $C$ sont alignés si et seulement si les droites $(A B)$ et $(A C)$ ont la même pente.

Exemples

Démonstration de la formule. Si $x_{A} \neq x_{B}$ , la droite $(A B)$ n’est pas verticale : elle a une équation réduite $y = m x + p$ . Comme $A$ et $B$ sont sur la droite, $y_{A} = m x_{A} + p$ et $y_{B} = m x_{B} + p$ . En soustrayant membre à membre : $y_{B} - y_{A} = m (x_{B} - x_{A})$ ; comme $x_{B} - x_{A} \neq 0$ , on divise : $m = \frac{y_{B} - y_{A}}{x_{B} - x_{A}}$ . Puis la première égalité donne $p = y_{A} - m x_{A}$ .

Si $x_{A} = x_{B}$ , alors $y_{A} \neq y_{B}$ et $\vec{A B} (0; y_{B} - y_{A})$ . Pour $M (x; y)$ : $det (\vec{A M}, \vec{A B})$ $= (x - x_{A}) (y_{B} - y_{A}) - (y - y_{A}) \times 0$ $= (x - x_{A}) (y_{B} - y_{A})$ , qui est nul si et seulement si $x = x_{A}$ : $(A B)$ a pour équation $x = x_{A}$ .

Calcul complet. $A (- 2; 9)$ et $B (3; - 1)$ ont des abscisses différentes. $m = \frac{- 1 - 9}{3 - (- 2)}$ $= \frac{- 10}{5}$ $= - 2$ , puis $p = 9 - (- 2) \times (- 2)$ $= 9 - 4$ $= 5$ . Donc $(A B) : y = - 2 x + 5$ . Contrôle avec $B$ : $- 2 \times 3 + 5 = - 1$ .

Même abscisse. $E (- 3; 2)$ et $F (- 3; 7)$ : la droite $(E F)$ est verticale, d’équation $x = - 3$ .

Démonstration de l’alignement. Si $C \in (A B)$ , les trois points sont sur une même droite : ils sont alignés. Réciproquement, s’ils sont alignés, ils sont sur une même droite ; elle passe par $A$ et $B$ , donc c’est $(A B)$ (une seule droite passe par deux points distincts) et $C \in (A B)$ . Avec les pentes : si $(A B)$ et $(A C)$ ont la même pente $m$ , elles passent toutes deux par $A$ , donc ont la même ordonnée à l’origine $p = y_{A} - m x_{A}$ : elles ont la même équation réduite, elles sont confondues, et $C \in (A B)$ . Réciproquement, si les points sont alignés, $(A C) = (A B)$ et les pentes sont égales.

Alignés ou non ? Avec $(A B) : y = - 2 x + 5$ . Pour $C (6; - 7)$ : $- 2 \times 6 + 5 = - 7$ , donc $C \in (A B)$ et $A$ , $B$ , $C$ sont alignés. Pour $D (- 4; 12)$ : $- 2 \times (- 4) + 5 = 13 \neq 12$ , donc $A$ , $B$ , $D$ ne sont pas alignés.

Avec les pentes. $P (- 1; - 4)$ , $Q (2; 1)$ et $R (8; 11)$ : $m_{P Q}$ $= \frac{1 - (- 4)}{2 - (- 1)}$ $= \frac{5}{3}$ et $m_{P R}$ $= \frac{11 - (- 4)}{8 - (- 1)}$ $= \frac{15}{9}$ $= \frac{5}{3}$ . Même pente à partir de $P$ : les points $P$ , $Q$ , $R$ sont alignés.

Réflexe — Je regarde d’abord si les abscisses sont différentes. Puis je calcule $m$ : ordonnées en haut, abscisses en bas, soustraites dans le même ordre. Je trouve $p$ avec un des points et je contrôle avec l’autre. Pour un alignement, je remplace les coordonnées du troisième point dans l’équation.

Attention — $\frac{x_{B} - x_{A}}{y_{B} - y_{A}}$ n’est pas la pente : c’est l’erreur classique du quotient inversé. Et un dessin ne prouve pas un alignement : le point $D (- 4; 12)$ paraît presque sur $(A B)$ .

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Droites parallèles ou sécantes

Ce qu’il faut savoir

Propriété. Deux droites sont parallèles si et seulement si leurs vecteurs directeurs sont colinéaires. Sinon, elles sont sécantes : elles ont un unique point commun. Deux droites parallèles sont soit strictement parallèles (aucun point commun), soit confondues.

Avec des équations cartésiennes. $d : a x + b y + c = 0$ et $d' : a' x + b' y + c' = 0$ sont dirigées par $\vec{u} (- b; a)$ et $\vec{u'} (- b'; a')$ , et $det (\vec{u}, \vec{u'})$ $= (- b) a' - a (- b')$ $= a b' - a' b$ . Donc

d ∥ d' ⟺ a b' - a' b = 0 .

Avec des équations réduites. $d : y = m x + p$ et $d' : y = m' x + p'$ sont dirigées par $(1; m)$ et $(1; m')$ , de déterminant $m' - m$ . Donc :
• $m = m'$ et $p \neq p'$ : $d$ et $d'$ sont strictement parallèles ;
• $m = m'$ et $p = p'$ : elles sont confondues ;
• $m \neq m'$ : elles sont sécantes.

Droites verticales. Deux droites verticales sont parallèles ; une droite verticale et une droite non verticale sont sécantes.

Parallèle passant par un point. On garde la pente $m$ (ou les coefficients $a$ et $b$ ) et on calcule $p$ (ou $c$ ) avec les coordonnées du point.

Exemples

Équations réduites (la figure). $d_{1} : y = 0, 5 x + 1$ et $d_{2} : y = 0, 5 x - 2$ ont la même pente $0, 5$ et des ordonnées à l’origine différentes ( $1 \neq - 2$ ) : elles sont strictement parallèles. $d_{3} : y = - x + 4$ a pour pente $- 1 \neq 0, 5$ : elle coupe $d_{1}$ et $d_{2}$ .

Équations cartésiennes. $d : 2 x - 5 y + 1 = 0$ et $d' : - 4 x + 10 y + 7 = 0$ . $a b' - a' b$ $= 2 \times 10 - (- 4) \times (- 5)$ $= 20 - 20$ $= 0$ : $d$ et $d'$ sont parallèles. Le point $(7; 3)$ est sur $d$ car $14 - 15 + 1 = 0$ , mais pas sur $d'$ car $- 28 + 30 + 7 = 9 \neq 0$ : elles sont strictement parallèles.

Deux écritures, une seule droite. $4 x - 10 y + 6 = 0$ et $- 2 x + 5 y - 3 = 0$ : $4 \times 5 - (- 2) \times (- 10)$ $= 20 - 20$ $= 0$ , et en multipliant la seconde équation par $- 2$ , on retrouve exactement la première : les droites sont confondues.

Parallèle passant par un point. La parallèle à $y = - 2 x + 7$ passant par $K (3; 4)$ a la pente $- 2$ et $p = 4 - (- 2) \times 3 = 10$ : $y = - 2 x + 10$ . La parallèle à $5 x + 2 y - 1 = 0$ passant par $L (1; - 3)$ s’écrit $5 x + 2 y + c = 0$ avec $5 \times 1 + 2 \times (- 3) + c = 0$ , soit $c = 1$ : $5 x + 2 y + 1 = 0$ .

Réflexe — Équations réduites : je compare les pentes, puis les ordonnées à l’origine. Équations cartésiennes : je calcule $a b' - a' b$ ; s’il est nul, je teste un point de l’une dans l’équation de l’autre pour trancher entre « strictement parallèles » et « confondues ».

Attention — Deux équations différentes ne veulent pas dire deux droites différentes. Et $a b' - a' b$ n’utilise que les coefficients de $x$ et de $y$ : le terme constant $c$ ne sert qu’à savoir si les droites sont confondues.

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Point d’intersection de deux droites sécantes

Ce qu’il faut savoir

Propriété. Soit $d : y = m x + p$ et $d' : y = m' x + p'$ avec $m \neq m'$ . Un point $M (x; y)$ est sur les deux droites si et seulement si $y = m x + p$ et $y = m' x + p'$ , c’est-à-dire si et seulement si

m x + p = m' x + p' et y = m x + p .

La première équation s’écrit $(m - m') x = p' - p$ ; comme $m - m' \neq 0$ , elle a une unique solution $x_{0} = \frac{p' - p}{m - m'}$ . Les droites se coupent au point $I (x_{0}; m x_{0} + p)$ .

Méthode. 1. Vérifier que les pentes sont différentes. 2. Résoudre $m x + p = m' x + p'$ . 3. Calculer $y$ avec une équation, puis contrôler avec l’autre.

Cas particuliers. La droite verticale $x = k$ coupe $y = m x + p$ au point $(k; m k + p)$ . La droite $y = m x + p$ coupe l’axe des ordonnées en $(0; p)$ et, si $m \neq 0$ , l’axe des abscisses au point d’abscisse solution de $m x + p = 0$ .

Une équation cartésienne ? On écrit d’abord l’équation réduite (coefficient de $y$ non nul), puis on applique la méthode.

Exemples

Calcul (la figure). $d : y = 2 x - 1$ et $d' : y = - 3 x + 6$ . Pentes $2 \neq - 3$ : les droites sont sécantes. $2 x - 1 = - 3 x + 6$ $⟺ 5 x = 7$ $⟺ x = 1, 4$ . Puis $y = 2 \times 1, 4 - 1 = 1, 8$ ; contrôle : $- 3 \times 1, 4 + 6 = 1, 8$ . Le point d’intersection est $I (1, 4; 1, 8)$ . Sur le graphique, on aurait lu environ $(1, 5; 2)$ : seul le calcul donne les coordonnées exactes.

Une droite donnée par une équation cartésienne. $d_{1} : y = 4 x - 7$ et $d_{2} : 3 x + 2 y - 8 = 0$ . On isole $y$ : $2 y = - 3 x + 8$ , soit $y = - 1, 5 x + 4$ . Pentes $4 \neq - 1, 5$ : sécantes. $4 x - 7 = - 1, 5 x + 4$ $⟺ 5, 5 x = 11$ $⟺ x = 2$ , puis $y = 4 \times 2 - 7 = 1$ . Point $(2; 1)$ ; contrôle dans $d_{2}$ : $3 \times 2 + 2 \times 1 - 8 = 0$ .

Avec une droite verticale. $x = - 3$ et $y = 0, 5 x + 4$ : $y = 0, 5 \times (- 3) + 4$ $= 2, 5$ . Point $(- 3; 2, 5)$ .

Avec les axes. $d' : y = - 3 x + 6$ coupe l’axe des ordonnées en $(0; 6)$ et l’axe des abscisses là où $- 3 x + 6 = 0$ , soit $x = 2$ : au point $(2; 0)$ .

Réflexe — Je vérifie $m \neq m'$ , j’égalise les deux expressions de $y$ , je résous, puis je calcule $y$ et je contrôle dans l’autre équation. La réponse est un point : je donne ses deux coordonnées.

Attention — Si $m = m'$ , l’équation $m x + p = m' x + p'$ n’a aucune solution (droites strictement parallèles) ou en a une infinité (droites confondues) : il n’y a pas « un » point d’intersection. Et un point lu sur un graphique n’est qu’une valeur approchée.

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Pour aller plus loin

Systèmes de deux équations (approfondissement). Les systèmes de deux équations à deux inconnues ne sont plus au programme de seconde depuis 2026. Pour aller plus loin : chaque équation $a x + b y = c$ décrit une droite, et les solutions du système sont les coordonnées des points communs aux deux droites. Il y a une solution si les droites sont sécantes, aucune si elles sont strictement parallèles, une infinité si elles sont confondues. On les résout par substitution (on isole une inconnue dans une équation et on la remplace dans l’autre) ou par combinaison (on ajoute les deux équations multipliées par des nombres choisis pour éliminer une inconnue).

Fonctions affines. La droite $y = m x + p$ représente la fonction affine $x \mapsto m x + p$ : pente et taux d’accroissement, sens de variation selon le signe de $m$ , signe de $m x + p$ et modélisation sont au chapitre Fonctions affines.

Colinéarité et déterminant. Le calcul de $det (\vec{u}, \vec{v}) = x y' - y x'$ , sa démonstration et l’alignement par $det (\vec{A B}, \vec{A C}) = 0$ sont au chapitre Colinéarité et déterminant. Les coordonnées de $\vec{A B}$ sont au chapitre Vecteurs : opérations et coordonnées, les milieux et les distances au chapitre Repérage : distances et milieux.

Approfondissement possible du programme. Une droite partage le plan en deux : les points tels que $y > m x + p$ sont au-dessus de la droite $y = m x + p$ , ceux tels que $y < m x + p$ en dessous. On peut ainsi représenter une partie du plan décrite par des inégalités sur les coordonnées.

En 1re spécialité. Le vecteur normal, les droites perpendiculaires et les équations de cercles prolongent ce chapitre : Géométrie repérée (1re spé).

À retenir

Vecteur directeur : $\vec{A B}$ (avec $A \neq B$ sur la droite) ou tout vecteur non nul colinéaire ; $M \in d$ $⟺ det (\vec{A M}, \vec{u}) = 0$ .
Équation cartésienne $a x + b y + c = 0$ ( $a$ , $b$ non tous deux nuls), dirigée par $(- b; a)$ ; elle n’est pas unique.
Droite non verticale : équation réduite unique $y = m x + p$ , pente $m$ , vecteur directeur $(1; m)$ ; droite verticale : $x = k$ , sans pente.
Par deux points d’abscisses différentes : $m = \frac{y_{B} - y_{A}}{x_{B} - x_{A}}$ et $p = y_{A} - m x_{A}$ ; $A$ , $B$ , $C$ alignés $⟺ C \in (A B)$ .
Parallèles $⟺$ vecteurs directeurs colinéaires $⟺ a b' - a' b = 0 ⟺ m = m'$ ; sinon sécantes.
Intersection de $y = m x + p$ et $y = m' x + p'$ ( $m \neq m'$ ) : on résout $m x + p = m' x + p'$ , puis on calcule $y$ .

Questions fréquentes

Comment trouver une équation cartésienne avec un point et un vecteur directeur ?

On prend un point M(x ; y) quelconque et on calcule les coordonnées de AM⃗. M est sur la droite si et seulement si AM⃗ et u⃗ sont colinéaires, c’est-à-dire det(AM⃗, u⃗) = 0. En développant ce déterminant, on obtient une équation ax + by + c = 0. On la contrôle avec les coordonnées de A. Dans l’autre sens, la droite ax + by + c = 0 est dirigée par le vecteur (−b ; a).

Quelle est la différence entre équation cartésienne et équation réduite ?

Une équation cartésienne s’écrit ax + by + c = 0 : toute droite en a une infinité (on peut tout multiplier par un même nombre non nul). L’équation réduite s’écrit y = mx + p : elle est unique, mais seules les droites non verticales en ont une. Les droites verticales s’écrivent x = k et n’ont pas de pente.

Comment calculer la pente d’une droite passant par deux points ?

Si A et B ont des abscisses différentes, la pente de (AB) vaut m = (y_B − y_A) ÷ (x_B − x_A) : différence des ordonnées divisée par différence des abscisses, dans le même ordre. On trouve ensuite p = y_A − m × x_A, puis on vérifie avec B. Si les abscisses sont égales, la droite est verticale, d’équation x = x_A.

Comment savoir si deux droites sont parallèles ?

Deux droites sont parallèles si leurs vecteurs directeurs sont colinéaires. Avec des équations réduites, il suffit de comparer les pentes : même pente, droites parallèles (confondues si l’ordonnée à l’origine est la même aussi). Avec des équations cartésiennes ax + by + c = 0 et a′x + b′y + c′ = 0, on calcule ab′ − a′b : s’il est nul, elles sont parallèles, sinon sécantes.

Comment trouver le point d’intersection de deux droites ?

On vérifie d’abord que les pentes sont différentes : les droites sont alors sécantes. On égalise les deux expressions de y, mx + p = m′x + p′, on résout cette équation du premier degré pour trouver x, puis on calcule y avec l’une des équations et on contrôle avec l’autre. Si une droite est donnée par une équation cartésienne, on écrit d’abord son équation réduite.

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