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Lycée · 2ⁿᵈᵉ · Mathématiques

Équations de droites

Représentations algébriques des droites dans le plan repéré — programme de 2nde générale

À propos de cette page
Ce cours de mathématiques en seconde sur « Équations de droites » suit le programme officiel de mathématiques de seconde. Il présente les définitions, les propriétés et les méthodes essentielles, accompagnées d'exemples résolus pour bien comprendre. Au programme : Repère du plan et coordonnées, Équation d'une droite : forme y = ax + b, Coefficient directeur (pente), Ordonnée à l'origine. Chaque notion est expliquée pas à pas, puis mise en pratique grâce à des exercices interactifs, un QCM et une évaluation corrigée. Idéal pour réviser à son rythme, combler ses lacunes et progresser, en autonomie ou avec un professeur. Cours rédigé par un professeur particulier à Marseille pour aider les élèves de seconde à réussir en mathématiques.
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Repère du plan et coordonnées

Dans le plan, on se place dans un repère orthogonal (O ; i, j). Chaque point M est repéré par ses coordonnées (x ; y), où x est l'abscisse et y l'ordonnée.

Définition. Un repère orthogonal est formé d'un point O (origine) et de deux axes perpendiculaires : l'axe des abscisses (horizontal) et l'axe des ordonnées (vertical), gradués avec la même unité.
Exemple. Le point A(3 ; −2) a pour abscisse 3 et pour ordonnée −2. On le place à 3 unités à droite de O et 2 unités en dessous.

Une droite dans le plan est un ensemble de points vérifiant une relation algébrique entre x et y. Cette relation s'appelle l'équation de la droite.

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Équation d'une droite : forme y = ax + b

Propriété fondamentale. Toute droite non verticale peut s'écrire sous la forme :
$y = ax + b$
où a est le coefficient directeur (ou pente) et b est l'ordonnée à l'origine.

Cette forme s'appelle la forme réduite de l'équation d'une droite.

Exemple. La droite d'équation $y = 2x - 3$ a :
  • un coefficient directeur a = 2
  • une ordonnée à l'origine b = −3

On appelle parfois cette écriture la forme pente-ordonnée à l'origine. Elle permet de tracer immédiatement la droite : on place le point (0 ; b) puis on utilise la pente pour trouver un second point.

Astuce. Pour tracer la droite y = ax + b :
1. Placer B(0 ; b) sur l'axe des ordonnées.
2. À partir de B, avancer de 1 unité vers la droite et de a unités vers le haut (si a > 0) ou le bas (si a < 0).
3. Joindre les deux points et prolonger.
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Coefficient directeur (pente)

Définition. Le coefficient directeur (ou pente) d'une droite est le nombre a tel que : pour tout déplacement de 1 unité vers la droite sur l'axe des x, y varie de a unités.

Formule : si la droite passe par deux points A(x1 ; y1) et B(x2 ; y2) avec x1 ≠ x2 :

Formule du coefficient directeur.
$a = (y_{2} - y_{1}) / (x_{2} - x_{1})$
Exemple. La droite passant par A(1 ; 3) et B(4 ; 9) a pour coefficient directeur :
$a = (9 - 3) / (4 - 1) = 6 / 3 = 2$
Attention ! Le coefficient directeur est un nombre signé :
  • a > 0 : droite croissante (monte de gauche à droite)
  • a < 0 : droite décroissante (descend de gauche à droite)
  • a = 0 : droite horizontale (parallèle à l'axe des x)

Géométriquement, si on considère deux points quelconques A et B de la droite, le coefficient directeur vaut le rapport de la variation de y sur la variation de x (penser à un « taux de variation »).

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Ordonnée à l'origine

Définition. L'ordonnée à l'origine b est la valeur de y lorsque x = 0. C'est l'ordonnée du point d'intersection de la droite avec l'axe des ordonnées.

Pour déterminer b à partir de l'équation : il suffit de substituer x = 0.
Pour déterminer b à partir d'un point et d'un coefficient directeur : on utilise $b = y - ax$.

Exemple. Une droite a un coefficient directeur a = −1 et passe par le point C(2 ; 5).
On calcule : b = 5 − (−1) × 2 = 5 + 2 = 7.
Donc l'équation est $y = -x + 7$.
Astuce. Lire l'ordonnée à l'origine sur un graphique : c'est le point où la droite coupe l'axe vertical (l'axe des y). Pas besoin de calculer si le graphique est précis.
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Droites verticales et équation x = c

Les droites verticales forment un cas particulier : elles ne peuvent pas s'écrire sous la forme y = ax + b car leur coefficient directeur serait infini (division par zéro).

Propriété. Une droite verticale a pour équation $x = c$, où c est un réel. Tous les points de cette droite ont la même abscisse c.
Une droite horizontale a pour équation $y = b$ (cas a = 0 de y = ax + b).
Exemples.
  • L'axe des ordonnées a pour équation $x = 0$.
  • L'axe des abscisses a pour équation $y = 0$.
  • La droite passant par tous les points d'abscisse −3 a pour équation $x = -3$.
Attention ! Une droite verticale x = c n'a PAS de coefficient directeur. On ne peut donc pas lui appliquer la formule a = (y₂ − y₁) / (x₂ − x₁).
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Déterminer l'équation d'une droite

On dispose de différentes situations pour déterminer l'équation d'une droite :

SituationMéthode
Deux points A(x₁;y₁) et B(x₂;y₂)1. Calculer a = (y₂−y₁)/(x₂−x₁)
2. Calculer b = y₁ − ax₁
3. Écrire y = ax + b
Pente a et un point A(x₀;y₀)1. Calculer b = y₀ − ax₀
2. Écrire y = ax + b
Lecture graphique1. Lire b sur l'axe des y
2. Calculer a avec deux points lisibles
Exemple résolu. Trouver l'équation de la droite passant par A(−1 ; 4) et B(3 ; −4).
Étape 1 : a = (−4 − 4) / (3 − (−1)) = −8 / 4 = −2
Étape 2 : b = 4 − (−2)(−1) = 4 − 2 = 2
Équation : $y = -2x + 2$
Vérification : Pour B : y = −2×3 + 2 = −6 + 2 = −4 ✓
Astuce — toujours vérifier. Après avoir trouvé l'équation, on substitue les deux points pour s'assurer qu'ils vérifient bien l'équation.
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Droites parallèles et perpendiculaires

Propriété — Parallélisme. Deux droites non verticales de coefficients directeurs a et a' sont parallèles (ou confondues) si et seulement si $a = a'$.
Propriété — Perpendicularité. Dans un repère orthonormal, deux droites non verticales de coefficients directeurs a et a' (avec a ≠ 0 et a' ≠ 0) sont perpendiculaires si et seulement si $a \times a' = -1$, c'est-à-dire $a' = -1/a$.
Exemple 1 — Parallèles. Les droites y = 3x + 1 et y = 3x − 5 sont parallèles car elles ont le même coefficient directeur 3.
Exemple 2 — Perpendiculaires. Les droites y = 2x + 1 et y = −(1/2)x + 3 sont perpendiculaires car 2 × (−1/2) = −1.
Attention ! La propriété de perpendicularité avec a × a' = −1 n'est valable que dans un repère orthonormal (même unité sur les deux axes). Dans un repère orthogonal non normé, la formule est différente.
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Point appartenant à une droite — intersection

Propriété. Un point M(x₀ ; y₀) appartient à la droite d'équation y = ax + b si et seulement si $y_{0} = ax_{0} + b$.
Exemple. Le point M(2 ; 1) appartient-il à la droite y = 3x − 5 ?
On teste : 3 × 2 − 5 = 6 − 5 = 1 = y₀. Oui, M appartient à la droite.

Intersection de deux droites : pour trouver le point d'intersection des droites y = a₁x + b₁ et y = a₂x + b₂, on résout le système :

Méthode. On pose a₁x + b₁ = a₂x + b₂, ce qui donne x = (b₂ − b₁) / (a₁ − a₂) (si a₁ ≠ a₂), puis on calcule y.
Exemple résolu. Intersection de y = x + 2 et y = −2x + 5.
x + 2 = −2x + 5 ⟺ 3x = 3 ⟺ x = 1
y = 1 + 2 = 3
Le point d'intersection est I(1 ; 3).
Rappel. Si a₁ = a₂ et b₁ ≠ b₂, les droites sont parallèles et n'ont aucun point commun. Si a₁ = a₂ et b₁ = b₂, les droites sont confondues.
À retenir
  • Toute droite non verticale a une équation de la forme y = ax + b (a = pente, b = ordonnée à l'origine).
  • Le coefficient directeur se calcule par a = (y₂ − y₁) / (x₂ − x₁) entre deux points.
  • Droites parallèles ⟺ même coefficient directeur (a = a').
  • Droites perpendiculaires (repère orthonormal) ⟺ a × a' = −1.
  • Une droite verticale a une équation de la forme x = c (pas de pente).
  • Pour trouver leur intersection, on résout l'équation a₁x + b₁ = a₂x + b₂.
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