Géométrie dans le plan repéré

Repère orthonormé et coordonnées, milieu d’un segment, distance entre deux points (formule démontrée par le théorème de Pythagore), nature d’un triangle ou d’un quadrilatère et cercles étudiés par le calcul.

À propos de cette page

Ce cours de seconde sur la géométrie repérée suit six parties : repère orthonormé et lecture des coordonnées, coordonnées du milieu d’un segment, distance entre deux points avec sa démonstration par le théorème de Pythagore, nature d’un triangle par les carrés des côtés, nature d’un quadrilatère par les milieux des diagonales, puis cercles et points équidistants. Chaque partie a ses exemples rédigés et une figure dans un repère.

Repère orthonormé et coordonnées d’un point

Ce qu’il faut savoir

Repère. Trois points $O$ , $I$ , $J$ non alignés forment un repère du plan, noté $(O; I, J)$ . Le point $O$ est l’origine, la droite $(O I)$ est l’axe des abscisses (unité $O I$ ), la droite $(O J)$ est l’axe des ordonnées (unité $O J$ ).

Repère orthogonal : les axes sont perpendiculaires. Repère orthonormé : les axes sont perpendiculaires et $O I = O J$ (même unité de longueur sur les deux axes). Avec les vecteurs $\vec{i} = \vec{O I}$ et $\vec{j} = \vec{O J}$ , on écrit aussi $(O; \vec{i}, \vec{j})$ .

Coordonnées. À chaque point $M$ du plan correspond un unique couple de nombres réels $(x; y)$ : $x$ est l’abscisse de $M$ (lue sur l’axe des abscisses), $y$ son ordonnée (lue sur l’axe des ordonnées). On écrit $M (x; y)$ . L’ordre compte : l’abscisse d’abord.

Points particuliers. $O (0; 0)$ , $I (1; 0)$ , $J (0; 1)$ . Un point est sur l’axe des abscisses si et seulement si son ordonnée est nulle ; sur l’axe des ordonnées si et seulement si son abscisse est nulle.

Symétries. Le symétrique de $M (x; y)$ par rapport à l’origine $O$ est $M' (- x; - y)$ . Dans un repère orthogonal, le symétrique de $M$ par rapport à l’axe des abscisses est $(x; - y)$ , et par rapport à l’axe des ordonnées $(- x; y)$ .

Exemples

Lire des coordonnées. Pour $A$ , on descend verticalement jusqu’à l’axe des abscisses : on lit $3$ ; on va horizontalement jusqu’à l’axe des ordonnées : on lit $2$ . Donc $A (3; 2)$ . De même $B (- 4; 1)$ et $C (- 2; - 3)$ .

Point sur un axe. $D$ est sur l’axe des ordonnées : son abscisse est nulle, $D (0; - 2)$ .

Symétriques. Le symétrique de $E (5; - 1)$ par rapport à $O$ est $(- 5; 1)$ ; par rapport à l’axe des abscisses, c’est $(5; 1)$ .

Réflexe — Je lis toujours l’abscisse en premier (on avance ou on recule), puis l’ordonnée (on monte ou on descend). Avant toute formule de longueur, je vérifie que l’énoncé dit « repère orthonormé ».

Attention — $(2; 5)$ et $(5; 2)$ sont deux points différents. Un point de l’axe des ordonnées a une abscisse nulle (et non une ordonnée nulle) : $D (0; - 2)$ .

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Coordonnées du milieu d’un segment

Ce qu’il faut savoir

Propriété. Dans un repère (quelconque), le milieu $I$ du segment $[A B]$ a pour coordonnées $x_{I} = \frac{x_{A} + x_{B}}{2}$ $y_{I} = \frac{y_{A} + y_{B}}{2}$ On prend la moyenne des abscisses et la moyenne des ordonnées. Aucune longueur n’intervient : la formule est vraie même si le repère n’est pas orthonormé.

Retrouver une extrémité. Si $I$ est le milieu de $[A B]$ , alors $x_{B} = 2 x_{I} - x_{A}$ et $y_{B} = 2 y_{I} - y_{A}$ (on multiplie la formule par $2$ ).

Symétrique d’un point. Le symétrique de $A$ par rapport au point $I$ est le point $A'$ tel que $I$ soit le milieu de $[A A']$ : $x_{A'} = 2 x_{I} - x_{A}$ et $y_{A'} = 2 y_{I} - y_{A}$ .

Exemples

Milieu. Avec $A (- 2; 5)$ et $B (6; - 1)$ : $x_{I} = \frac{- 2 + 6}{2} = 2$ et $y_{I} = \frac{5 + (- 1)}{2} = 2$ . Donc $I (2; 2)$ .

Extrémité. $I (1; - 3)$ est le milieu de $[A B]$ avec $A (4; 2)$ . Alors $x_{B} = 2 \times 1 - 4 = - 2$ et $y_{B} = 2 \times (- 3) - 2 = - 8$ : $B (- 2; - 8)$ . Contrôle : $\frac{4 + (- 2)}{2} = 1$ et $\frac{2 + (- 8)}{2} = - 3$ .

Symétrique. Le symétrique de $P (- 3; 4)$ par rapport à $Ω (2; 1)$ est $P' (2 \times 2 - (- 3); 2 \times 1 - 4)$ , soit $P' (7; - 2)$ .

Pourquoi la formule est vraie (approfondissement proposé par le programme). Le point $I$ est le milieu de $[A B]$ si et seulement si $\vec{A I}$ $= \frac{1}{2} \vec{A B}$ (coordonnées de vecteurs : voir le chapitre Vecteurs). En abscisses : $x_{I} - x_{A} = \frac{1}{2} (x_{B} - x_{A})$ , donc $x_{I}$ $= x_{A} + \frac{x_{B} - x_{A}}{2}$ $= \frac{2 x_{A} + x_{B} - x_{A}}{2}$ $= \frac{x_{A} + x_{B}}{2}$ . Même calcul pour les ordonnées.

Réflexe — Milieu = demi-somme : j’additionne les deux abscisses (puis les deux ordonnées) et je divise par $2$ . Pour une extrémité ou un symétrique : « deux fois le milieu, moins le point connu ».

Attention — On additionne, on ne soustrait pas : prendre la moitié de $x_{B} - x_{A}$ donne un déplacement, pas le milieu. Et on garde les parenthèses autour des nombres négatifs : $5 + (- 1)$ .

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Distance entre deux points

Ce qu’il faut savoir

Propriété (repère orthonormé). Dans un repère orthonormé, la distance entre $A (x_{A}; y_{A})$ et $B (x_{B}; y_{B})$ est $A B = \sqrt{(x_{B} - x_{A})^{2} + (y_{B} - y_{A})^{2}} .$

Démonstration. On place le point $H (x_{B}; y_{A})$ . Le segment $[A H]$ est parallèle à l’axe des abscisses et $[H B]$ à l’axe des ordonnées ; les axes sont perpendiculaires, donc le triangle $A B H$ est rectangle en $H$ . Comme les unités sont les mêmes sur les deux axes, $A H = | x_{B} - x_{A} |$ et $H B = | y_{B} - y_{A} |$ . Le théorème de Pythagore donne $A B^{2}$ $= A H^{2} + H B^{2}$ $= (x_{B} - x_{A})^{2} + (y_{B} - y_{A})^{2}$ (un carré efface la valeur absolue). Une longueur étant positive, $A B$ est la racine carrée de ce nombre. (Si $A$ et $B$ ont même abscisse ou même ordonnée, le triangle est aplati et la formule reste vraie.)

L’ordre ne compte pas : $(x_{A} - x_{B})^{2} = (x_{B} - x_{A})^{2}$ , donc $A B = B A$ .

Point d’un segment. Pour trois points $A$ , $B$ , $C$ : $A C ⩽ A B + B C$ , et $A B + B C = A C$ si et seulement si $B$ appartient au segment $[A C]$ (vu au collège).

Valeur exacte. On donne $A B$ sous la forme $\sqrt{n}$ simplifiée ( $a \sqrt{b}$ ) et on n’arrondit qu’à la fin, si l’énoncé le demande.

Exemples

Distance entière. Avec $C (- 3; 2)$ et $D (5; 8)$ : $C D^{2}$ $= (5 - (- 3))^{2} + (8 - 2)^{2}$ $= 8^{2} + 6^{2}$ $= 64 + 36$ $= 100$ , donc $C D = \sqrt{100} = 10$ . On retrouve le triangle rectangle $C H D$ de la démonstration, avec $C H = 8$ et $H D = 6$ .

Racine à simplifier. Avec $E (4; - 2)$ et $F (- 2; 1)$ : $E F^{2}$ $= (- 2 - 4)^{2} + (1 - (- 2))^{2}$ $= (- 6)^{2} + 3^{2}$ $= 36 + 9$ $= 45$ . Donc $E F$ $= \sqrt{45}$ $= \sqrt{9 \times 5}$ $= 3 \sqrt{5} \approx 6, 71$ .

Réflexe — J’écris les deux différences entre parenthèses, je les élève au carré, j’additionne, puis je prends la racine. Pour comparer des longueurs, je compare leurs carrés : pas de racine, pas d’arrondi.

Attention — La formule exige un repère orthonormé. $(- 6)^{2} = 36$ , pas $- 36$ . Et $\sqrt{a^{2} + b^{2}} \neq a + b$ : $\sqrt{8^{2} + 6^{2}} = 10$ , pas $14$ .

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Nature d’un triangle par le calcul

Ce qu’il faut savoir

On calcule les carrés des trois côtés (sans prendre les racines), puis on compare :

• deux carrés égaux : le triangle est isocèle (au sommet commun aux deux côtés égaux) ; trois carrés égaux : il est équilatéral ;

• si le plus grand carré est égal à la somme des deux autres, la réciproque du théorème de Pythagore montre que le triangle est rectangle, au sommet opposé au plus grand côté ;

• si le plus grand carré n’est pas égal à la somme des deux autres, la contraposée du théorème de Pythagore montre que le triangle n’est pas rectangle.

Triangle rectangle. Son cercle circonscrit a pour diamètre l’hypoténuse : centre = milieu de l’hypoténuse, rayon = moitié de l’hypoténuse. Son aire vaut $\frac{produit des côtés de l’angle droit}{2}$ .

Exemples

Triangle $R S T$ avec $R (- 2; - 1)$ , $S (3; 1)$ , $T (1; 6)$ (repère orthonormé). $R S^{2} = 5^{2} + 2^{2} = 29$ ; $S T^{2} = (- 2)^{2} + 5^{2} = 29$ ; $R T^{2} = 3^{2} + 7^{2} = 58$ .

$R S^{2} = S T^{2}$ , donc $R S = S T$ : le triangle est isocèle en $S$ . Le plus grand carré est $R T^{2}$ et $R S^{2} + S T^{2} = 29 + 29 = 58 = R T^{2}$ : d’après la réciproque du théorème de Pythagore, $R S T$ est rectangle et isocèle en $S$ .

Cercle circonscrit et aire. Le centre est le milieu de l’hypoténuse $[R T]$ : $(\frac{- 2 + 1}{2}; \frac{- 1 + 6}{2})$ , soit $(- 0, 5; 2, 5)$ ; le rayon vaut $\frac{\sqrt{58}}{2}$ . L’aire vaut $\frac{R S \times S T}{2}$ $= \frac{\sqrt{29} \times \sqrt{29}}{2}$ $= \frac{29}{2}$ $= 14, 5$ unités d’aire.

Triangle $K L M$ avec $K (1; 1)$ , $L (5; 2)$ , $M (2; 6)$ : $K L^{2} = 17$ , $L M^{2} = 25$ , $K M^{2} = 26$ . Trois carrés différents : pas isocèle. Le plus grand est $K M^{2} = 26$ et $K L^{2} + L M^{2} = 42 \neq 26$ : d’après la contraposée du théorème de Pythagore, $K L M$ n’est pas rectangle.

Réflexe — Trois carrés de longueurs, rangés ; je compare le plus grand à la somme des deux autres ; je conclus en nommant le sommet (« rectangle en $S$ », « isocèle en $S$ ») et le théorème utilisé.

Attention — L’angle droit est au sommet opposé au plus grand côté, jamais ailleurs. « Ça a l’air rectangle sur le dessin » n’est pas une preuve : seul le calcul compte.

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Nature d’un quadrilatère par le calcul

Ce qu’il faut savoir

Parallélogramme. Le quadrilatère $A B C D$ est un parallélogramme si et seulement si ses diagonales $[A C]$ et $[B D]$ ont le même milieu. (Cette caractérisation n’utilise aucune longueur : elle vaut dans tout repère.)

Ensuite, dans un repère orthonormé :

• un parallélogramme qui a deux côtés consécutifs de même longueur est un losange ; son aire vaut $\frac{produit des diagonales}{2}$ ;

• un parallélogramme dont les diagonales ont la même longueur (ou qui a un angle droit) est un rectangle ;

• un parallélogramme à la fois losange et rectangle est un carré.

Quatrième sommet. Pour que $A B C D$ soit un parallélogramme, $D$ doit être le symétrique de $B$ par rapport au milieu $K$ de $[A C]$ : $x_{D} = 2 x_{K} - x_{B}$ et $y_{D} = 2 y_{K} - y_{B}$ .

Exemples

Démontrer que $A B C D$ est un rectangle avec $A (- 3; 1)$ , $B (1; 3)$ , $C (0; 5)$ , $D (- 4; 3)$ . Milieu de $[A C]$ : $(\frac{- 3 + 0}{2}; \frac{1 + 5}{2})$ $= (- 1, 5; 3)$ . Milieu de $[B D]$ : $(\frac{1 + (- 4)}{2}; \frac{3 + 3}{2})$ $= (- 1, 5; 3)$ . Les diagonales ont le même milieu $K$ : $A B C D$ est un parallélogramme. De plus $A C^{2} = 3^{2} + 4^{2} = 25$ et $B D^{2} = (- 5)^{2} + 0^{2} = 25$ : les diagonales ont la même longueur, donc $A B C D$ est un rectangle. Ce n’est pas un carré : $A B^{2} = 4^{2} + 2^{2} = 20$ et $A D^{2} = (- 1)^{2} + 2^{2} = 5$ .

Trouver le quatrième sommet. $A (1; - 2)$ , $B (5; 0)$ , $C (6; 4)$ : le milieu de $[A C]$ est $K (3, 5; 1)$ . Alors $x_{D} = 2 \times 3, 5 - 5 = 2$ et $y_{D} = 2 \times 1 - 0 = 2$ : $D (2; 2)$ . Contrôle : le milieu de $[B D]$ est $(\frac{5 + 2}{2}; \frac{0 + 2}{2})$ $= (3, 5; 1)$ .

Réflexe — Toujours dans cet ordre : 1) milieux des diagonales (parallélogramme ?) ; 2) deux côtés consécutifs (losange ?) ; 3) les deux diagonales (rectangle ?) ; 4) les deux à la fois : carré.

Attention — Dans « $A B C D$ », les diagonales sont $[A C]$ et $[B D]$ , les côtés consécutifs $[A B]$ et $[B C]$ . Quatre côtés égaux donnent un losange, pas forcément un carré.

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Cercles et points équidistants

Ce qu’il faut savoir

Cercle. Le point $M$ appartient au cercle de centre $Ω$ et de rayon $r$ si et seulement si $Ω M = r$ , c’est-à-dire $Ω M^{2} = r^{2}$ (les deux nombres sont positifs). Si $Ω M < r$ , le point est à l’intérieur ; si $Ω M > r$ , à l’extérieur.

Cercle de diamètre $[A B]$ . Son centre est le milieu de $[A B]$ , son rayon vaut $\frac{A B}{2}$ .

Points équidistants. $M A = M B$ équivaut à $M A^{2} = M B^{2}$ (distances positives). L’ensemble de ces points est la médiatrice de $[A B]$ . Pour trouver le point d’un axe à égale distance de $A$ et $B$ , on pose $M (x; 0)$ (ou $M (0; y)$ ) et on résout $M A^{2} = M B^{2}$ : les termes $x^{2}$ s’éliminent, il reste une équation du premier degré.

Exemples

Appartenance. Cercle de centre $Ω (1; - 2)$ et de rayon $5$ . Pour $M (4; 2)$ : $Ω M^{2} = 3^{2} + 4^{2} = 25 = 5^{2}$ , donc $M$ est sur le cercle. Pour $N (6; 0)$ : $Ω N^{2} = 5^{2} + 2^{2} = 29 > 25$ , donc $N$ est à l’extérieur.

Point de l’axe des ordonnées équidistant de $E (2; 1)$ et $F (- 4; 5)$ . On pose $M (0; y)$ . $M E^{2} = 2^{2} + (1 - y)^{2} = y^{2} - 2 y + 5$ et $M F^{2}$ $= (- 4)^{2} + (5 - y)^{2}$ $= y^{2} - 10 y + 41$ . L’égalité $M E^{2} = M F^{2}$ donne $- 2 y + 5 = - 10 y + 41$ , soit $8 y = 36$ et $y = 4, 5$ . Le point cherché est $M (0; 4, 5)$ ; contrôle : $M E^{2} = 4 + 12, 25 = 16, 25$ et $M F^{2} = 16 + 0, 25 = 16, 25$ .

Médiatrices et cercle circonscrit (approfondissement proposé par le programme). Dans un triangle $A B C$ , les médiatrices de $[A B]$ et $[B C]$ se coupent en un point $Ω$ . Comme $Ω$ est sur la médiatrice de $[A B]$ , $Ω A = Ω B$ ; comme il est sur celle de $[B C]$ , $Ω B = Ω C$ . Donc $Ω A = Ω C$ : $Ω$ est aussi sur la médiatrice de $[A C]$ . Les trois médiatrices sont concourantes en $Ω$ , et le cercle de centre $Ω$ et de rayon $Ω A$ passe par $A$ , $B$ et $C$ : c’est le cercle circonscrit.

Réflexe — « À égale distance » ou « sur le cercle » : je travaille avec les carrés des distances, je développe, les $x^{2}$ (ou $y^{2}$ ) disparaissent, je résous, puis je vérifie avec les deux carrés.

Attention — Le point d’un axe équidistant de $A$ et $B$ n’est pas le milieu de $[A B]$ (sauf cas particulier) : c’est l’intersection de la médiatrice de $[A B]$ avec cet axe.

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Pour aller plus loin

Vecteurs. Les coordonnées du vecteur $\vec{A B}$ $(x_{B} - x_{A}; y_{B} - y_{A})$ , la norme $‖ \vec{u} ‖ = \sqrt{x^{2} + y^{2}}$ dans une base orthonormée, la caractérisation « $A B C D$ est un parallélogramme si et seulement si $\vec{A B}$ $= \vec{D C}$ » et la caractérisation vectorielle du milieu sont au chapitre Vecteurs : opérations et coordonnées.

Alignement et parallélisme. Trois points sont alignés si et seulement si $det (\vec{A B}; \vec{A C})$ $= 0$ : le déterminant et ses applications sont au chapitre Colinéarité et déterminant.

Droites. Équation cartésienne, équation réduite, pente et point d’intersection de deux droites : chapitre Équations de droites.

Distance sur une droite graduée. Sur un axe, la distance entre les nombres $a$ et $b$ est $| b - a |$ : voir Ensembles de nombres et intervalles.

Autres approfondissements possibles du programme. Les hauteurs d’un triangle sont concourantes ; l’aire d’un triangle $A B C$ vaut $\frac{1}{2} a b \sin A C B$ , où $a = B C$ et $b = A C$ . En 1re spécialité, le produit scalaire et les équations de cercles prolongent ce chapitre : Géométrie repérée (1re spé).

À retenir

Repère orthonormé : axes perpendiculaires et même unité ; $M (x; y)$ , l’abscisse d’abord.
Milieu de $[A B]$ : $(\frac{x_{A} + x_{B}}{2}; \frac{y_{A} + y_{B}}{2})$ , valable dans tout repère ; extrémité ou symétrique : $2 x_{I} - x_{A}$ .
Repère orthonormé : $A B$ $= \sqrt{(x_{B} - x_{A})^{2} + (y_{B} - y_{A})^{2}}$ (théorème de Pythagore).
Triangle : carrés des trois côtés, puis réciproque (rectangle) ou contraposée (pas rectangle) du théorème de Pythagore.
Quadrilatère : milieux des diagonales (parallélogramme), puis côtés consécutifs (losange), diagonales (rectangle).
Cercle et équidistance : $Ω M^{2} = r^{2}$ , $M A^{2} = M B^{2}$ ; on compare toujours des carrés.

Questions fréquentes

Quelle est la différence entre un repère orthogonal et un repère orthonormé ?

Dans les deux cas, les axes sont perpendiculaires. Le repère est orthonormé si, en plus, l’unité de longueur est la même sur les deux axes (OI = OJ). La lecture des coordonnées et la formule du milieu marchent dans tout repère ; la formule de la distance exige un repère orthonormé.

Comment calculer les coordonnées du milieu d’un segment ?

On fait la moyenne des abscisses et la moyenne des ordonnées : le milieu de [AB] est ((xA + xB)/2 ; (yA + yB)/2). Par exemple, avec A(−2 ; 5) et B(6 ; −1), le milieu est (2 ; 2). Pour retrouver une extrémité, on utilise xB = 2xI − xA.

D’où vient la formule de la distance entre deux points ?

Du théorème de Pythagore. Avec H(xB ; yA), le triangle ABH est rectangle en H, de côtés |xB − xA| et |yB − yA|. Donc AB² = (xB − xA)² + (yB − yA)², et AB est la racine carrée de ce nombre.

Comment montrer qu’un triangle est rectangle avec des coordonnées ?

On calcule les carrés des trois côtés. Si le plus grand est égal à la somme des deux autres, le triangle est rectangle (réciproque du théorème de Pythagore), au sommet opposé au plus grand côté. Sinon, il n’est pas rectangle (contraposée du théorème de Pythagore).

Comment prouver qu’un quadrilatère est un parallélogramme, un losange ou un rectangle ?

D’abord, ABCD est un parallélogramme si ses diagonales [AC] et [BD] ont le même milieu. Ensuite, c’est un losange si deux côtés consécutifs ont la même longueur, un rectangle si ses diagonales ont la même longueur, et un carré s’il est les deux à la fois.

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