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Géométrie dans le plan repéré
Distances, milieu, alignement et figures géométriques dans un repère orthonormé — programme de 2nde générale
À propos de cette page
Ce cours de mathématiques en seconde sur « Géométrie dans le plan repéré » suit le programme officiel de mathématiques de seconde. Il présente les définitions, les propriétés et les méthodes essentielles, accompagnées d'exemples résolus pour bien comprendre. Au programme : Le repère orthonormé du plan, Distance entre deux points, Milieu d'un segment, Vecteurs dans un repère. Chaque notion est expliquée pas à pas, puis mise en pratique grâce à des exercices interactifs, un QCM et une évaluation corrigée. Idéal pour réviser à son rythme, combler ses lacunes et progresser, en autonomie ou avec un professeur. Cours rédigé par un professeur particulier à Marseille pour aider les élèves de seconde à réussir en mathématiques.
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Le repère orthonormé du plan
Un repère orthonormé (O ; I ; J) du plan est défini par :
- un point origine O,
- un axe des abscisses (Ox) horizontal,
- un axe des ordonnées (Oy) vertical,
- les deux axes sont perpendiculaires et munis de la même unité de longueur.
Définition. Tout point M du plan est repéré par un unique couple (x ; y) appelé coordonnées de M, où x est l'abscisse et y l'ordonnée. On note M(x ; y).
Les axes divisent le plan en quatre quadrants numérotés de I à IV en tournant dans le sens inverse des aiguilles d'une montre.
Exemple. A(3 ; 2) est dans le quadrant I. B(−1 ; 4) est dans le quadrant II. C(−2 ; −3) est dans le quadrant III. D(5 ; −1) est dans le quadrant IV.
Astuce. Pour placer un point M(a ; b), on part de O, on se déplace de $a$ unités sur l'axe Ox, puis de $b$ unités verticalement.
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Distance entre deux points
Pour calculer la distance entre deux points dans un repère orthonormé, on utilise le théorème de Pythagore appliqué au triangle rectangle formé par les projections des points sur les axes.
Formule de la distance. Soient A(xA ; yA) et B(xB ; yB) deux points du plan. La distance AB est :
AB = √((xB − xA)² + (yB − yA)²)
AB = √((xB − xA)² + (yB − yA)²)
Exemple. A(1 ; 2) et B(4 ; 6).
AB = √((4−1)² + (6−2)²) = √(9 + 16) = √25 = 5.
AB = √((4−1)² + (6−2)²) = √(9 + 16) = √25 = 5.
Attention ! La formule donne toujours une valeur positive (racine carrée). L'ordre des points n'a pas d'importance : AB = BA. On peut mettre xA − xB ou xB − xA car on élève au carré.
Cette formule permet de :
- vérifier qu'un triangle est rectangle (Pythagore),
- identifier des triangles isocèles ou équilatéraux,
- montrer qu'un point est sur un cercle.
Astuce. Si les carrés sont des entiers remarquables (3, 4, 5 ; 5, 12, 13 ; 6, 8, 10…), pensez aux triplets pythagoriciens pour éviter de sortir la racine.
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Milieu d'un segment
Le milieu d'un segment est le point qui le partage en deux parties égales.
Formule du milieu. Le milieu M du segment [AB] avec A(xA ; yA) et B(xB ; yB) a pour coordonnées :
M = ((xA + xB) / 2 ; (yA + yB) / 2)
M = ((xA + xB) / 2 ; (yA + yB) / 2)
Exemple. A(−2 ; 4) et B(6 ; 0).
xM = (−2 + 6) / 2 = 4/2 = 2
yM = (4 + 0) / 2 = 4/2 = 2
Donc M(2 ; 2).
xM = (−2 + 6) / 2 = 4/2 = 2
yM = (4 + 0) / 2 = 4/2 = 2
Donc M(2 ; 2).
Applications du milieu :
- Trouver le centre d'un segment (construction de médiatrice).
- Montrer que les diagonales d'un parallélogramme se coupent en leur milieu.
- Retrouver les coordonnées d'un sommet manquant.
Exemple (sommet manquant). ABCD est un parallélogramme avec A(1 ; 3), B(5 ; 1), C(7 ; 4). Trouver D.
Les diagonales AC et BD ont le même milieu.
Milieu de AC : ((1+7)/2 ; (3+4)/2) = (4 ; 3,5).
Donc (5 + xD)/2 = 4 ⟹ xD = 3 et (1 + yD)/2 = 3,5 ⟹ yD = 6.
D(3 ; 6).
Les diagonales AC et BD ont le même milieu.
Milieu de AC : ((1+7)/2 ; (3+4)/2) = (4 ; 3,5).
Donc (5 + xD)/2 = 4 ⟹ xD = 3 et (1 + yD)/2 = 3,5 ⟹ yD = 6.
D(3 ; 6).
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Vecteurs dans un repère
Un vecteur représente une translation : il possède une direction, un sens et une norme (longueur).
Coordonnées d'un vecteur. Le vecteur AB de A(xA ; yA) vers B(xB ; yB) a pour coordonnées :
AB = (xB − xA ; yB − yA)
AB = (xB − xA ; yB − yA)
On note souvent les coordonnées entre parenthèses : u(a ; b).
Exemple. A(2 ; 5) et B(6 ; 3).
AB = (6−2 ; 3−5) = (4 ; −2).
AB = (6−2 ; 3−5) = (4 ; −2).
Opérations sur les vecteurs :
| Opération | Formule |
|---|---|
| Somme u + v | (a+c ; b+d) si u(a;b) et v(c;d) |
| Multiplication par un réel k·u | (ka ; kb) |
| Norme ‖u‖ | √(a² + b²) |
Vecteurs égaux. Deux vecteurs sont égaux si et seulement si ils ont les mêmes coordonnées. AB = CD ⟺ ABDC est un parallélogramme.
Astuce. La norme du vecteur AB est exactement la distance AB : ‖AB‖ = AB.
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Colinéarité de vecteurs
Deux vecteurs sont colinéaires s'ils ont la même direction (l'un est un multiple scalaire de l'autre).
Critère de colinéarité (déterminant). Les vecteurs u(a ; b) et v(c ; d) sont colinéaires si et seulement si :
ad − bc = 0
Ce nombre ad − bc est appelé le déterminant de (u, v).
ad − bc = 0
Ce nombre ad − bc est appelé le déterminant de (u, v).
Exemple 1. u(3 ; 6) et v(1 ; 2).
Déterminant : 3×2 − 6×1 = 6 − 6 = 0. Donc u et v sont colinéaires.
Déterminant : 3×2 − 6×1 = 6 − 6 = 0. Donc u et v sont colinéaires.
Exemple 2. u(2 ; 3) et v(4 ; 5).
Déterminant : 2×5 − 3×4 = 10 − 12 = −2 ≠ 0. Donc u et v ne sont pas colinéaires.
Déterminant : 2×5 − 3×4 = 10 − 12 = −2 ≠ 0. Donc u et v ne sont pas colinéaires.
Application : alignement de trois points.
Propriété. Trois points A, B, C sont alignés si et seulement si AB et AC sont colinéaires, c'est-à-dire si det(AB, AC) = 0.
Exemple. A(1 ; 2), B(3 ; 6), C(0 ; 0).
AB = (2 ; 4), AC = (−1 ; −2).
det = 2×(−2) − 4×(−1) = −4 + 4 = 0. Donc A, B, C sont alignés.
AB = (2 ; 4), AC = (−1 ; −2).
det = 2×(−2) − 4×(−1) = −4 + 4 = 0. Donc A, B, C sont alignés.
Attention ! Pour tester l'alignement, choisissez toujours le même point comme origine des deux vecteurs (ex. : AB et AC, pas AB et BC).
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Droites et pentes
Dans un repère, toute droite non verticale peut être décrite par son coefficient directeur (pente).
Coefficient directeur. Si A(xA ; yA) et B(xB ; yB) sont deux points d'une droite (xA ≠ xB), le coefficient directeur de (AB) est :
m = (yB − yA) / (xB − xA)
m = (yB − yA) / (xB − xA)
Le coefficient directeur correspond aussi aux coordonnées du vecteur directeur de la droite.
| Cas | Interprétation |
|---|---|
| m > 0 | La droite monte de gauche à droite |
| m < 0 | La droite descend de gauche à droite |
| m = 0 | La droite est horizontale |
| Droite verticale | Le coefficient directeur n'existe pas |
Droites parallèles et perpendiculaires.
• Deux droites sont parallèles ⟺ elles ont le même coefficient directeur (ou sont toutes deux verticales).
• Deux droites de pentes m₁ et m₂ sont perpendiculaires ⟺ m₁ × m₂ = −1.
• Deux droites sont parallèles ⟺ elles ont le même coefficient directeur (ou sont toutes deux verticales).
• Deux droites de pentes m₁ et m₂ sont perpendiculaires ⟺ m₁ × m₂ = −1.
Exemple. Droite de pente m₁ = 2/3. Une droite perpendiculaire a pour pente m₂ = −3/2 (car 2/3 × (−3/2) = −1).
Astuce. Pour obtenir la pente d'une droite perpendiculaire : on prend l'inverse et on change le signe.
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Figures géométriques remarquables
On peut caractériser les figures usuelles à l'aide des coordonnées et des formules vues précédemment.
| Figure | Propriété à vérifier |
|---|---|
| Triangle rectangle | AB² + BC² = AC² (ou permutation) |
| Triangle isocèle | Deux côtés de même longueur |
| Parallélogramme | Milieu(AC) = Milieu(BD) (diagonales) |
| Rectangle | Parallélogramme + deux côtés perpendiculaires |
| Losange | Parallélogramme + deux côtés consécutifs égaux |
| Carré | Rectangle + deux côtés consécutifs égaux |
Appartenance à un cercle : M appartient au cercle de centre Ω(a ; b) et de rayon r si et seulement si ΩM = r, i.e., (x−a)² + (y−b)² = r².
Exemple. Vérifier que A(5 ; 0), B(0 ; 5) et C(−5 ; 0) sont sur le cercle de centre O(0 ; 0) et de rayon 5.
OA = √(25+0) = 5 ✓, OB = √(0+25) = 5 ✓, OC = √(25+0) = 5 ✓.
OA = √(25+0) = 5 ✓, OB = √(0+25) = 5 ✓, OC = √(25+0) = 5 ✓.
Astuce. Pour montrer qu'un quadrilatère est un rectangle, il suffit de montrer que c'est un parallélogramme avec un angle droit (côtés perpendiculaires).
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Méthodes et exemples résolus
Voici des méthodes types pour traiter les exercices de géométrie repérée en 2nde.
Méthode 1 — Montrer qu'un triangle est rectangle.
On calcule les trois longueurs AB, BC, AC, puis on vérifie si le carré de la plus grande est égal à la somme des carrés des deux autres (Pythagore). Si oui, le triangle est rectangle en le sommet opposé au plus grand côté.
On calcule les trois longueurs AB, BC, AC, puis on vérifie si le carré de la plus grande est égal à la somme des carrés des deux autres (Pythagore). Si oui, le triangle est rectangle en le sommet opposé au plus grand côté.
Méthode 2 — Montrer que ABCD est un parallélogramme.
On calcule les milieux des diagonales [AC] et [BD]. Si ces milieux sont confondus, ABCD est un parallélogramme.
On calcule les milieux des diagonales [AC] et [BD]. Si ces milieux sont confondus, ABCD est un parallélogramme.
Méthode 3 — Montrer que trois points sont alignés.
Calculer les coordonnées de AB et AC, puis le déterminant ad−bc. Si le déterminant est nul, les points sont alignés.
Calculer les coordonnées de AB et AC, puis le déterminant ad−bc. Si le déterminant est nul, les points sont alignés.
Exemple complet. Soit A(0 ; 3), B(4 ; 0), C(4 ; 6).
1) Calculer AB, BC, AC.
AB = √((4−0)²+(0−3)²) = √(16+9) = √25 = 5
BC = √((4−4)²+(6−0)²) = √(0+36) = 6
AC = √((4−0)²+(6−3)²) = √(16+9) = √25 = 5
2) AB = AC = 5, donc le triangle ABC est isocèle en A.
3) AB² + BC² = 25 + 36 = 61 ; AC² = 25. Pas de Pythagore → non rectangle.
1) Calculer AB, BC, AC.
AB = √((4−0)²+(0−3)²) = √(16+9) = √25 = 5
BC = √((4−4)²+(6−0)²) = √(0+36) = 6
AC = √((4−0)²+(6−3)²) = √(16+9) = √25 = 5
2) AB = AC = 5, donc le triangle ABC est isocèle en A.
3) AB² + BC² = 25 + 36 = 61 ; AC² = 25. Pas de Pythagore → non rectangle.
Attention ! Ne confondez pas « isocèle en A » (AB = AC) et « isocèle en B » (BA = BC). Précisez toujours le sommet.
En bref
- Distance AB = √((xB−xA)² + (yB−yA)²)
- Milieu M de [AB] : ((xA+xB)/2 ; (yA+yB)/2)
- Vecteur AB = (xB−xA ; yB−yA)
- Colinéarité : det(u,v) = ad−bc = 0
- Pente : m = (yB−yA)/(xB−xA)
- Perpendiculaire : m₁ × m₂ = −1
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