Lycée · 2ⁿᵈᵉ · Mathématiques
Géométrie dans le plan repéré
Distances, milieu, alignement et figures géométriques dans un repère orthonormé — programme de 2nde générale
À propos de cette page
Calculatrice interdite · Tous les calculs doivent figurer sur la copie. Les résultats seront donnés sous la forme la plus simple possible.
Devoir surveillé de fin de chapitre, tout en niveau difficile. Travaille seul et sans aide, puis vérifie tes réponses avec le corrigé détaillé dépliable en bas de page.
Exercice 1 — Placer et lire des points dans un repère
/ 3 pts- Donner les coordonnées du point A situé à 4 unités à droite et 3 unités au-dessus de l'origine.
- Dans quel quadrant se trouve B(−5 ; 2) ?
- Le point C(0 ; −6) se trouve-t-il sur l'axe Ox ou sur l'axe Oy ? Justifier.
Exercice 2 — Distance et milieu
/ 5 pts- Calculer la distance AB avec A(−1 ; 2) et B(3 ; 5). Donner la valeur exacte.
- Calculer les coordonnées du milieu M de [AB].
- On donne C(7 ; 2). Vérifier que BC = 5. Conclure sur la nature du triangle ABC (préciser l'angle droit si applicable).
Exercice 3 — Vecteurs et colinéarité
/ 4 pts- Soit A(2 ; 1), B(8 ; 4), C(5 ; 6). Calculer les coordonnées des vecteurs AB et AC.
- Calculer le déterminant de (AB ; AC). Les points A, B, C sont-ils alignés ?
- Calculer la norme du vecteur AB.
Exercice 4 — Nature d'un quadrilatère
/ 5 pts- On donne A(0 ; 0), B(4 ; 0), C(5 ; 3), D(1 ; 3). Calculer les longueurs AB, BC, CD, DA.
- Calculer les milieux des diagonales [AC] et [BD]. Que peut-on en déduire ?
- La pente de (AB) est 0. Quelle est la pente de (BC) ? Les droites (AB) et (BC) sont-elles perpendiculaires ?
Exercice 5 — Problème de synthèse — Un point sur un cercle
/ 3 pts- On considère le cercle C de centre Ω(2 ; 3) et de rayon r = 5. Vérifier que le point P(6 ; 6) appartient au cercle C.
- Le point Q(2 ; 8) appartient-il aussi au cercle C ? Justifier.
- Donner les coordonnées d'un autre point évident du cercle (sur un axe de symétrie ou à une distance simple).
Corrigé détaillé — à n'ouvrir qu'après avoir rendu la copie
Exercice 1 — Placer et lire des points dans un repère
Corrigé :
1. A(4 ; 3) — 4 unités sur Ox et 3 sur Oy depuis l'origine (1 pt).
2. B(−5 ; 2) : x < 0 et y > 0 → quadrant II (1 pt).
3. C(0 ; −6) : son abscisse est 0, donc C est sur l'axe Oy (axe des ordonnées) (1 pt).
Exercice 2 — Distance et milieu
Corrigé :
1. AB = √((3−(−1))²+(5−2)²) = √(16+9) = √25 = 5 (2 pts).
2. M = ((−1+3)/2 ; (2+5)/2) = (1 ; 3,5) (1 pt).
3. BC = √((7−3)²+(2−5)²) = √(16+9) = 5. AC = √((7−(−1))²+(2−2)²) = √64 = 8.
AB² + BC² = 25 + 25 = 50 ≠ 64 = AC². Mais AB=BC=5 → triangle ABC isocèle en B. Ce n'est pas rectangle (2 pts).
Exercice 3 — Vecteurs et colinéarité
Corrigé :
1. AB = (8−2 ; 4−1) = (6 ; 3) ; AC = (5−2 ; 6−1) = (3 ; 5) (1 pt).
2. det = 6×5 − 3×3 = 30 − 9 = 21 ≠ 0. Les points A, B, C ne sont pas alignés (2 pts).
3. ‖AB‖ = √(36+9) = √45 = 3√5 (1 pt).
Exercice 4 — Nature d'un quadrilatère
Corrigé :
1. AB = 4 ; BC = √(1+9) = √10 ; CD = √(16+0) = 4 ; DA = √(1+9) = √10 (2 pts).
2. Milieu de AC = ((0+5)/2 ; (0+3)/2) = (2,5 ; 1,5). Milieu de BD = ((4+1)/2 ; (0+3)/2) = (2,5 ; 1,5). Mêmes milieux → ABCD est un parallélogramme (2 pts).
3. Pente de (BC) = (3−0)/(5−4) = 3. Pente (AB)=0, pente (BC)=3. Produit = 0 × 3 = 0 ≠ −1 → non perpendiculaires (1 pt).
Exercice 5 — Problème de synthèse — Un point sur un cercle
Corrigé :
1. ΩP = √((6−2)²+(6−3)²) = √(16+9) = √25 = 5 = r. P appartient au cercle (1 pt).
2. ΩQ = √((2−2)²+(8−3)²) = √(0+25) = 5 = r. Q appartient aussi au cercle (1 pt).
3. Par exemple le point R(2 ; −2) : ΩR = √(0+(−2−3)²) = √25 = 5 ✓. Ou S(−3 ; 3) : ΩS = √(25+0) = 5 ✓ (1 pt).
Ce contrôle de mathématiques 2ⁿᵈᵉ en bref
Un devoir surveillé type contrôle en classe sur « Géométrie dans le plan repéré » : 5 exercices, 60 minutes, noté sur 20. Le corrigé détaillé est dépliable sous le sujet.
- Exercice 1 — Placer et lire des points dans un repère/ 3 pts
- Exercice 2 — Distance et milieu/ 5 pts
- Exercice 3 — Vecteurs et colinéarité/ 4 pts
- Exercice 4 — Nature d'un quadrilatère/ 5 pts
- Exercice 5 — Problème de synthèse — Un point sur un cercle/ 3 pts
Notions évaluées
Le repère orthonormé du plan, Distance entre deux points, Milieu d'un segment, Vecteurs dans un repère, Colinéarité de vecteurs, Droites et pentes.
Pour préparer ce contrôle
- Relire le cours.
- Refaire les exercices corrigés et les problèmes.
- Se tester avec le QCM (37 questions).
- Faire ce sujet en conditions réelles — 60 min, sans le cours — puis se corriger et noter les points à revoir.
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Questions fréquentes sur ce sujet
- Combien de temps dure ce contrôle sur « Géométrie dans le plan repéré » ?
- 60 minutes pour 5 exercices notés sur 20. Prévois le double si tu enchaînes avec la correction.
- Le corrigé est-il fourni ?
- Oui : le corrigé détaillé se déplie sous le sujet, à n'ouvrir qu'après avoir rendu la copie.
- Ce sujet peut-il servir de DS, de contrôle ou d'interrogation ?
- Oui : c'est un devoir surveillé complet de 60 minutes. Pour une interrogation courte, garde un ou deux exercices ; pour un DS ou un contrôle de fin de chapitre, fais le sujet entier en temps limité.
- Ce sujet suit-il le programme de mathématiques de seconde ?
- Oui : il évalue uniquement les notions du chapitre « Géométrie dans le plan repéré » du programme officiel de mathématiques en seconde, soit Le repère orthonormé du plan, Distance entre deux points, Milieu d'un segment, Vecteurs dans un repère.
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