Combien de temps dure ce contrôle sur « Géométrie dans le plan repéré » ?

60 minutes pour 5 exercices notés sur 20.

Le corrigé est-il fourni ?

Oui : le corrigé complet est fourni en PDF (bouton « Télécharger le corrigé »), avec le barème exercice par exercice.

Ce sujet peut-il servir de DS, de contrôle ou d'interrogation ?

Oui : c'est un devoir surveillé complet de 60 minutes. Pour une interrogation courte, garde un ou deux exercices ; pour un DS ou un contrôle de fin de chapitre, fais le sujet entier en temps limité.

Ce sujet suit-il le programme de mathématiques de seconde ?

Oui, il évalue les notions du chapitre « Géométrie dans le plan repéré » du programme officiel de mathématiques en seconde.

Mathématiques 2ⁿᵈᵉ

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Géométrie dans le plan repéré

Repère orthonormé et coordonnées, milieu d’un segment, distance entre deux points (formule démontrée par le théorème de Pythagore), nature d’un triangle ou d’un quadrilatère et cercles étudiés par le calcul.

À propos de cette page

Un devoir surveillé de seconde d’une heure sur 20 points, sans calculatrice, avec corrigé détaillé : automatismes (symétrique, milieu, distance), démonstration de la formule de la distance, triangle rectangle et son cercle circonscrit, carré démontré par le calcul et point équidistant.

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Devoir surveillé · ★★ et ★★★ · Durée 60 min · Noté sur 20

60:00

benprofparticulier.frMathématiques · 2ⁿᵈᵉ

Devoir surveillé – Géométrie dans le plan repéré

Durée : 60 min – Calculatrice interdite – Sur 20 points · Mathématiques 2ⁿᵈᵉ

Nom : Date : Note : / 20

Tous les calculs doivent figurer sur la copie. Les résultats seront donnés sous la forme la plus simple possible.

Exercice 1 – Automatismes ★★

(4 pts)

Le plan est muni d’un repère orthonormé. Répondre en justifiant brièvement.

a)Donner les coordonnées du symétrique de $M (4; - 7)$ par rapport à l’origine $O$ .
c)Calculer la distance $C D$ , avec $C (1; - 3)$ et $D (- 2; 1)$ .
b)Calculer les coordonnées du milieu de $[A B]$ , avec $A (- 5; 8)$ et $B (3; - 2)$ .
d)Le point $E (2 a - 6; 5)$ est sur l’axe des ordonnées. Déterminer $a$ .

Exercice 2 – Formule de la distance ★★

(4 pts)

Le plan est muni d’un repère orthonormé $(O; I, J)$ . On considère deux points $A (x_{A}; y_{A})$ et $B (x_{B}; y_{B})$ , et le point $H (x_{B}; y_{A})$ .

a)Justifier que le triangle $A B H$ est rectangle en $H$ et exprimer $A H$ et $H B$ à l’aide des coordonnées.
b)En déduire que $A B$ $= \sqrt{(x_{B} - x_{A})^{2} + (y_{B} - y_{A})^{2}}$ .
c)Application : calculer $P Q$ avec $P (- 4; - 1)$ et $Q (- 2; - 7)$ ; donner la valeur exacte sous la forme $a \sqrt{b}$ .
d)Déterminer les points de l’axe des ordonnées situés à la distance $5$ du point $P$ .

Exercice 3 – Nature d’un triangle ★★

(4 pts)

Le plan est muni d’un repère orthonormé. On donne $E (- 4; 0)$ , $F (4; 4)$ et $G (2; 6)$ .

a)Calculer $E F^{2}$ , $E G^{2}$ et $F G^{2}$ .
b)Démontrer que le triangle $E F G$ est rectangle ; préciser en quel sommet. Est-il isocèle ?
c)Calculer l’aire du triangle $E F G$ .
d)Déterminer le centre et le rayon (valeur exacte simplifiée) du cercle circonscrit au triangle $E F G$ .

Exercice 4 – Nature d’un quadrilatère ★★★

(4 pts)

Le plan est muni d’un repère orthonormé. On donne $A (- 3; - 4)$ , $B (5; - 2)$ , $C (3; 6)$ et $D (- 5; 4)$ .

a)Démontrer, à l’aide des diagonales, que $A B C D$ est un parallélogramme.
b)Calculer $A B^{2}$ et $A D^{2}$ . Que peut-on en déduire ?
c)Calculer $A C^{2}$ et $B D^{2}$ , puis donner la nature exacte de $A B C D$ .
d)Calculer l’aire de $A B C D$ .

Exercice 5 – Point équidistant et cercle ★★★

(4 pts)

Le plan est muni d’un repère orthonormé. On donne $A (1; 5)$ , $B (7; - 1)$ et $C (- 3; 1)$ .

a)Déterminer le point $M$ de l’axe des abscisses tel que $M A = M B$ .
b)Calculer $M A^{2}$ , puis démontrer que $M$ est le centre du cercle circonscrit au triangle $A B C$ .
c)Donner le rayon de ce cercle en valeur exacte.
d)Démontrer que $A B C$ est rectangle en $A$ et expliquer pourquoi $M$ est le milieu de $[B C]$ .

Bon courage !

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Voir le corrigé et le barème

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Corrigé et barème – Géométrie dans le plan repéré

Durée : 60 min – Calculatrice interdite – Sur 20 points · Mathématiques 2ⁿᵈᵉ

Exercice 1 – Automatismes ★★

(4 pts)

a)Par rapport à l’origine, les deux coordonnées changent de signe : le symétrique est $(- 4; 7)$ . (1)
b) $(\frac{- 5 + 3}{2}; \frac{8 + (- 2)}{2})$ $= (- 1; 3)$ . (1)
c) $C D^{2}$ $= (- 2 - 1)^{2} + (1 - (- 3))^{2}$ $= 9 + 16$ $= 25$ , donc $C D = 5$ (repère orthonormé). (1)
d)Sur l’axe des ordonnées, l’abscisse est nulle : $2 a - 6 = 0$ , donc $a = 3$ . (1)

Repère — Milieu : des sommes ; distance : des différences au carré.

Exercice 2 – Formule de la distance ★★

(4 pts)

a) $A$ et $H$ ont la même ordonnée $y_{A}$ : $[A H]$ est parallèle à l’axe des abscisses. $H$ et $B$ ont la même abscisse $x_{B}$ : $[H B]$ est parallèle à l’axe des ordonnées. Les axes sont perpendiculaires, donc $A B H$ est rectangle en $H$ . Comme l’unité est la même sur les deux axes : $A H = | x_{B} - x_{A} |$ et $H B = | y_{B} - y_{A} |$ . (1)
b)D’après le théorème de Pythagore dans $A B H$ rectangle en $H$ : $A B^{2}$ $= A H^{2} + H B^{2}$ $= (x_{B} - x_{A})^{2} + (y_{B} - y_{A})^{2}$ (le carré efface la valeur absolue). $A B$ est une longueur, donc positive : $A B$ $= \sqrt{(x_{B} - x_{A})^{2} + (y_{B} - y_{A})^{2}}$ . (1)
c) $P Q^{2}$ $= (- 2 - (- 4))^{2} + (- 7 - (- 1))^{2}$ $= 4 + 36$ $= 40$ , donc $P Q$ $= \sqrt{40}$ $= \sqrt{4 \times 10}$ $= 2 \sqrt{10}$ . (1)
d)Un point de l’axe des ordonnées s’écrit $M (0; y)$ . $P M = 5$ équivaut à $P M^{2} = 25$ : $4^{2} + (y + 1)^{2} = 25$ , donc $(y + 1)^{2} = 9$ , soit $y + 1 = 3$ ou $y + 1 = - 3$ . Deux points conviennent : $(0; 2)$ et $(0; - 4)$ . (1)

Méthode — Une distance s’obtient par le théorème de Pythagore : différences au carré, somme, racine.

Exercice 3 – Nature d’un triangle ★★

(4 pts)

a) $E F^{2} = 8^{2} + 4^{2} = 80$ ; $E G^{2} = 6^{2} + 6^{2} = 72$ ; $F G^{2} = (- 2)^{2} + 2^{2} = 8$ . (1)
b)Le plus grand carré est $E F^{2} = 80$ et $E G^{2} + F G^{2} = 72 + 8 = 80 = E F^{2}$ : d’après la réciproque du théorème de Pythagore, $E F G$ est rectangle en $G$ (sommet opposé à $[E F]$ ). Les trois carrés sont différents : il n’est pas isocèle. (1)
c)Les côtés de l’angle droit sont $[G E]$ et $[G F]$ : l’aire vaut $\frac{E G \times F G}{2}$ $= \frac{\sqrt{72} \times \sqrt{8}}{2}$ $= \frac{\sqrt{576}}{2}$ $= \frac{24}{2}$ $= 12$ unités d’aire. (1)
d)Le triangle est rectangle en $G$ : le centre est le milieu de l’hypoténuse $[E F]$ , $(\frac{- 4 + 4}{2}; \frac{0 + 4}{2})$ $= (0; 2)$ . Le rayon vaut $\frac{E F}{2}$ $= \frac{\sqrt{80}}{2}$ $= \frac{4 \sqrt{5}}{2}$ $= 2 \sqrt{5}$ . (1)

Repère — L’angle droit est toujours au sommet opposé au plus grand côté.

Exercice 4 – Nature d’un quadrilatère ★★★

(4 pts)

a)Milieu de $[A C]$ : $(\frac{- 3 + 3}{2}; \frac{- 4 + 6}{2})$ $= (0; 1)$ . Milieu de $[B D]$ : $(\frac{5 + (- 5)}{2}; \frac{- 2 + 4}{2})$ $= (0; 1)$ . Les diagonales ont le même milieu : $A B C D$ est un parallélogramme. (1)
b) $A B^{2} = 8^{2} + 2^{2} = 68$ et $A D^{2} = (- 2)^{2} + 8^{2} = 68$ . Le parallélogramme $A B C D$ a deux côtés consécutifs de même longueur : c’est un losange. (1)
c) $A C^{2} = 6^{2} + 10^{2} = 136$ et $B D^{2} = (- 10)^{2} + 6^{2} = 136$ : les diagonales ont la même longueur, donc le parallélogramme est aussi un rectangle. À la fois losange et rectangle : $A B C D$ est un carré. (1)
d)Aire d’un carré : côté au carré, soit $A B^{2} = 68$ unités d’aire. Contrôle par les diagonales : $\frac{A C \times B D}{2}$ $= \frac{A C^{2}}{2}$ $= \frac{136}{2}$ $= 68$ . (1)

Méthode — Parallélogramme d’abord (milieux), puis côtés consécutifs, puis diagonales.

Exercice 5 – Point équidistant et cercle ★★★

(4 pts)

a)On pose $M (x; 0)$ . Les distances sont positives, donc $M A = M B$ équivaut à $M A^{2} = M B^{2}$ : $(1 - x)^{2} + 25 = (7 - x)^{2} + 1$ , soit $x^{2} - 2 x + 26 = x^{2} - 14 x + 50$ . Donc $12 x = 24$ et $x = 2$ : $M (2; 0)$ . (1)
b) $M A^{2} = (1 - 2)^{2} + 5^{2} = 26$ , $M B^{2} = 5^{2} + (- 1)^{2} = 26$ et $M C^{2} = (- 5)^{2} + 1^{2} = 26$ . Donc $M A = M B = M C$ : le cercle de centre $M$ et de rayon $M A$ passe par $A$ , $B$ et $C$ , c’est le cercle circonscrit à $A B C$ . (1)
c)Le rayon vaut $M A = \sqrt{26}$ . (1)
d) $A B^{2} = 6^{2} + (- 6)^{2} = 72$ , $A C^{2} = (- 4)^{2} + (- 4)^{2} = 32$ et $B C^{2} = (- 10)^{2} + 2^{2} = 104$ . Comme $72 + 32 = 104$ , d’après la réciproque du théorème de Pythagore, $A B C$ est rectangle en $A$ . Le centre du cercle circonscrit d’un triangle rectangle est le milieu de l’hypoténuse $[B C]$ : $(\frac{7 + (- 3)}{2}; \frac{- 1 + 1}{2})$ $= (2; 0)$ , c’est bien $M$ . (1)

Méthode — « À égale distance » : on égale les carrés des distances, les x² s’éliminent.

Pour aller plus loin : le devoir surveillé bilan « Vecteurs, géométrie dans le plan repéré et équations de droites » mélange ce chapitre avec d'autres, en 3 niveaux : niveau ★ · niveau ★★ · niveau ★★★.

Ce contrôle de mathématiques 2ⁿᵈᵉ en bref

Un devoir surveillé type contrôle en classe sur « Géométrie dans le plan repéré » : 5 exercices, 60 minutes, noté sur 20. Le sujet et le corrigé sont téléchargeables en PDF, prêts à imprimer, pour travailler comme en classe.

Exercice 1 — Automatismes ★★/ 4 pts
Exercice 2 — Formule de la distance ★★/ 4 pts
Exercice 3 — Nature d’un triangle ★★/ 4 pts
Exercice 4 — Nature d’un quadrilatère ★★★/ 4 pts
Exercice 5 — Point équidistant et cercle ★★★/ 4 pts

Notions évaluées

Repère orthogonal, repère orthonormé, abscisse, ordonnée, symétriques, milieu d’un segment, extrémité, distance entre deux points, théorème de Pythagore, réciproque et contraposée, triangle isocèle, triangle rectangle, cercle circonscrit, parallélogramme, losange, rectangle, carré, cercle, points équidistants, médiatrice.

Pour préparer ce contrôle

Relire le cours et la fiche de révision.
Refaire les exercices corrigés.
Se tester avec le QCM (24 questions).
Faire ce sujet en conditions réelles — 60 min, sans le cours — puis se corriger et noter les points à revoir.

Voir tous les contrôles de mathématiques 2ⁿᵈᵉ · tous les devoirs surveillés corrigés

Questions fréquentes sur ce sujet

Combien de temps dure ce contrôle sur « Géométrie dans le plan repéré » ?: 60 minutes pour 5 exercices notés sur 20. Prévois le double si tu enchaînes avec la correction.
Le corrigé est-il fourni ?: Oui : le corrigé complet est fourni en PDF (bouton « Télécharger le corrigé »), avec le barème exercice par exercice.
Ce sujet peut-il servir de DS, de contrôle ou d'interrogation ?: Oui : c'est un devoir surveillé complet de 60 minutes. Pour une interrogation courte, garde un ou deux exercices ; pour un DS ou un contrôle de fin de chapitre, fais le sujet entier en temps limité.
Ce sujet suit-il le programme de mathématiques de seconde ?: Oui : il évalue uniquement les notions du chapitre « Géométrie dans le plan repéré » du programme officiel de mathématiques en seconde, soit : repère orthogonal et orthonormé, coordonnées d’un point ; coordonnées du milieu d’un segment ; distance entre deux points dans un repère orthonormé ; problèmes de géométrie résolus par une méthode repérée (nature d’un triangle ou d’un quadrilatère, cercles, points équidistants). Approfondissements possibles du programme : justification de la formule du milieu ; concours des médiatrices au centre du cercle circonscrit.

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