Lycée · 2ⁿᵈᵉ · Mathématiques
Vecteurs
Définition, opérations et applications des vecteurs du plan — programme de 2nde générale
À propos de cette page
Choisis ton niveau. Questions et réponses mélangées à chaque partie. Bonne chance !
Les 37 questions du QCM en version texte
Pour réviser sans écran ou imprimer : chaque question avec ses propositions ; la bonne réponse et son explication se déplient.
Niveau facile — 12 questions
Un vecteur est défini par :
- A. Sa couleur et sa longueur
- B. Sa direction, son sens et sa norme
- C. Son origine seulement
- D. Son extrémité seulement
Réponse
B. Sa direction, son sens et sa norme — Un vecteur est caractérisé par trois éléments : direction, sens et norme.
Les coordonnées de $\vec{AB}$ avec A(1 ; 3) et B(4 ; 7) sont :
- A. (4 ; 7)
- B. (1 ; 3)
- C. (3 ; 4)
- D. (-3 ; -4)
Réponse
C. (3 ; 4) — $\vec{AB} = (x_B - x_A ; y_B - y_A) = (4-1 ; 7-3) = (3 ; 4)$.
La norme de $\vec{u}(3 ; 4)$ est :
- A. 7
- B. 1
- C. 5
- D. 25
Réponse
C. 5 — $||\vec{u}|| = \sqrt{9+16} = \sqrt{25} = 5$.
$\vec{AB} + \vec{BC}$ est égal à :
- A. $\vec{BA}$
- B. $\vec{AC}$
- C. $\vec{CA}$
- D. $\vec{BC}$
Réponse
B. $\vec{AC}$ — Par la relation de Chasles, $\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}$.
Le vecteur nul $\vec{0}$ est le vecteur :
- A. $\vec{AB}$ pour A ≠ B
- B. $\vec{AA}$ pour tout point A
- C. Le vecteur de norme 1
- D. Un vecteur horizontal
Réponse
B. $\vec{AA}$ pour tout point A — $\vec{AA}$ a une origine et une extrémité identiques, donc norme nulle : c'est le vecteur nul.
Si $\vec{u}\binom{2}{-3}$, les coordonnées de $-\vec{u}$ sont :
- A. $\binom{-2}{3}$
- B. $\binom{2}{3}$
- C. $\binom{-2}{-3}$
- D. $\binom{3}{-2}$
Réponse
A. $\binom{-2}{3}$ — $-\vec{u}$ a les coordonnées opposées : $\binom{-2}{3}$.
Lesquelles sont les coordonnées de $2\vec{u}$ avec $\vec{u}(1 ; 5)$ ?
- A. (1 ; 10)
- B. (2 ; 5)
- C. (2 ; 10)
- D. (3 ; 6)
Réponse
C. (2 ; 10) — $2\vec{u} = 2(1 ; 5) = (2 ; 10)$.
Si A(0 ; 0) et B(6 ; 8), la norme de $\vec{AB}$ vaut :
- A. 14
- B. 100
- C. 10
- D. 7
Réponse
C. 10 — $||\vec{AB}|| = \sqrt{36+64} = \sqrt{100} = 10$.
Lequel de ces objets est un vecteur ?
- A. Un point du plan
- B. Une longueur
- C. Un déplacement orienté
- D. Une aire
Réponse
C. Un déplacement orienté — Un vecteur représente un déplacement orienté (direction + sens + norme).
Les coordonnées de $\vec{BA}$ avec A(2 ; 5) et B(6 ; 1) sont :
- A. (4 ; -4)
- B. (-4 ; 4)
- C. (8 ; 6)
- D. (-4 ; -4)
Réponse
B. (-4 ; 4) — $\vec{BA} = (x_A - x_B ; y_A - y_B) = (2-6 ; 5-1) = (-4 ; 4)$.
$\vec{u}$ et $-\vec{u}$ ont :
- A. La même direction et le même sens
- B. La même norme et le même sens
- C. La même direction, sens opposé, même norme
- D. Des directions opposées
Réponse
C. La même direction, sens opposé, même norme — $-\vec{u}$ a la même direction, la même norme, mais le sens opposé à $\vec{u}$.
Le milieu M de [AB] avec A(2 ; 4) et B(8 ; 0) a pour coordonnées :
- A. (5 ; 2)
- B. (3 ; 2)
- C. (10 ; 4)
- D. (6 ; 4)
Réponse
A. (5 ; 2) — $M = \left(\frac{2+8}{2};\frac{4+0}{2}\right)=(5;2)$.
Niveau moyen — 12 questions
Soient $\vec{u}(2 ; 3)$ et $\vec{v}(4 ; -1)$. Les coordonnées de $\vec{u} + \vec{v}$ sont :
- A. (6 ; 2)
- B. (2 ; 4)
- C. (6 ; -3)
- D. (8 ; -3)
Réponse
A. (6 ; 2) — $(2+4 ; 3+(-1)) = (6 ; 2)$.
Soient $\vec{u}(3 ; -2)$ et $\vec{v}(1 ; 5)$. Les coordonnées de $\vec{u} - \vec{v}$ sont :
- A. (4 ; 3)
- B. (2 ; -7)
- C. (2 ; 3)
- D. (4 ; -7)
Réponse
B. (2 ; -7) — $(3-1 ; -2-5) = (2 ; -7)$.
$\vec{MA} - \vec{MB}$ est égal à :
- A. $\vec{BA}$
- B. $\vec{AB}$
- C. $\vec{MA}$
- D. $\vec{MB}$
Réponse
A. $\vec{BA}$ — $\vec{MA} - \vec{MB} = \vec{MA} + \vec{BM} = \vec{BA}$ (Chasles).
ABCD est un parallélogramme si et seulement si :
- A. $\vec{AB} = \vec{BC}$
- B. $\vec{AB} = \vec{DC}$
- C. $\vec{AB} = \vec{CD}$
- D. AB ⊥ CD
Réponse
B. $\vec{AB} = \vec{DC}$ — Dans le parallélogramme ABCD : $\vec{AB} = \vec{DC}$ (vecteurs parallèles, même sens, même longueur).
Soient $\vec{u}(6 ; -4)$ et $\vec{v}(-3 ; 2)$. Ces vecteurs sont :
- A. Perpendiculaires
- B. Colinéaires
- C. Ni l'un ni l'autre
- D. Orthogonaux et colinéaires
Réponse
B. Colinéaires — Déterminant : $6\times2-(-4)\times(-3)=12-12=0$. Colinéaires.
Si $G$ est le centre de gravité de ABC avec A(0 ; 6), B(6 ; 0), C(3 ; 3), ses coordonnées sont :
- A. (2 ; 2)
- B. (3 ; 3)
- C. (4 ; 3)
- D. (3 ; 4)
Réponse
B. (3 ; 3) — $G=\left(\frac{0+6+3}{3};\frac{6+0+3}{3}\right)=(3;3)$.
Quelle est la valeur de $||\vec{u}||$ si $\vec{u} = \vec{AB}$ avec A(-1 ; 2) et B(2 ; 6) ?
- A. 3
- B. 4
- C. 5
- D. 7
Réponse
C. 5 — $\vec{AB}=(3;4)$, $||\vec{AB}||=\sqrt{9+16}=5$.
On a $\vec{AC} = 2\vec{AB}$. Cela signifie que :
- A. C = 2B
- B. C est le milieu de [AB]
- C. B est le milieu de [AC]
- D. A, B, C ne sont pas alignés
Réponse
C. B est le milieu de [AC] — $\vec{AC}=2\vec{AB}$ signifie que C est à double distance de A par rapport à B, donc B est le milieu de [AC].
$\vec{AB} + \vec{CA}$ est égal à :
- A. $\vec{CB}$
- B. $\vec{BC}$
- C. $\vec{AC}$
- D. $\vec{0}$
Réponse
A. $\vec{CB}$ — $\vec{AB}+\vec{CA}=\vec{CA}+\vec{AB}$. Comme $\vec{CA}+\vec{AB}=\vec{CB}$ (Chasles), la réponse est $\vec{CB}$.
Les coordonnées de $3\vec{u} - 2\vec{v}$ avec $\vec{u}(1;2)$ et $\vec{v}(3;-1)$ sont :
- A. (-3 ; 8)
- B. (3 ; 8)
- C. (-3 ; -8)
- D. (9 ; 4)
Réponse
A. (-3 ; 8) — $3(1;2)-2(3;-1)=(3;6)-(6;-2)=(-3;8)$.
Si $M$ est le milieu de $[AB]$ et $N$ est le milieu de $[AC]$, quel vecteur est égal à $\frac{1}{2}\vec{BC}$ ?
- A. $\vec{MN}$
- B. $\vec{NM}$
- C. $\vec{MA}$
- D. $\vec{AB}$
Réponse
A. $\vec{MN}$ — Par le théorème des milieux, $\vec{MN}=\frac{1}{2}\vec{BC}$ (MN est le segment des milieux dans le triangle).
Les vecteurs $\vec{u}(2 ; k)$ et $\vec{v}(3 ; 6)$ sont colinéaires. Quelle est la valeur de $k$ ?
- A. 2
- B. 3
- C. 4
- D. 6
Réponse
C. 4 — Déterminant : $2\times6-k\times3=12-3k=0 \Rightarrow k=4$.
Niveau difficile — 13 questions
Soit $\vec{u}\binom{a}{b}$ et $\vec{v}\binom{c}{d}$. Le déterminant de ces vecteurs est :
- A. $ab - cd$
- B. $ac + bd$
- C. $ad - bc$
- D. $ac - bd$
Réponse
C. $ad - bc$ — Le déterminant de $\vec{u}$ et $\vec{v}$ est $ad - bc$ (produit croisé).
A(1 ; 2), B(3 ; 5), C(5 ; 8). Ces trois points sont :
- A. Non alignés, car le déterminant vaut 2
- B. Alignés, car le déterminant de $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$ est nul
- C. Alignés, car AB = BC
- D. Non alignés, car les vecteurs ne sont pas nuls
Réponse
B. Alignés, car le déterminant de $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$ est nul — $\vec{AB}=(2;3)$, $\vec{AC}=(4;6)$. Déterminant : $2\times6-3\times4=0$. Alignés.
Dans le triangle ABC, I est le milieu de [BC]. $\vec{AI}$ est égal à :
- A. $\frac{1}{2}(\vec{AB} - \vec{AC})$
- B. $\frac{1}{2}(\vec{AB} + \vec{AC})$
- C. $\vec{AB} + \vec{AC}$
- D. $2(\vec{AB} + \vec{AC})$
Réponse
B. $\frac{1}{2}(\vec{AB} + \vec{AC})$ — $\vec{AI}=\vec{AB}+\vec{BI}=\vec{AB}+\frac{1}{2}\vec{BC}=\vec{AB}+\frac{1}{2}(\vec{AC}-\vec{AB})=\frac{1}{2}(\vec{AB}+\vec{AC})$.
Si $\vec{OA}+\vec{OB}+\vec{OC} = \vec{0}$, alors O est :
- A. Le milieu de [AB]
- B. Un point quelconque
- C. Le centre de gravité de ABC
- D. Le milieu de [AC]
Réponse
C. Le centre de gravité de ABC — La relation $\vec{GA}+\vec{GB}+\vec{GC}=\vec{0}$ caractérise G centre de gravité de ABC.
Si $\vec{AB} = k\vec{AC}$ avec $k \in \mathbb{R}$, alors :
- A. AB = AC
- B. A, B, C sont alignés
- C. ABCD est un parallélogramme
- D. $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$ sont perpendiculaires
Réponse
B. A, B, C sont alignés — $\vec{AB}=k\vec{AC}$ implique que $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$ sont colinéaires, donc A, B, C sont alignés.
Dans le parallélogramme ABCD, $\vec{AC} + \vec{BD}$ est égal à :
- A. $2\vec{AB}$
- B. $2\vec{AD}$
- C. $\vec{AB}+\vec{AD}$
- D. $2(\vec{AB}+\vec{AD})$
Réponse
B. $2\vec{AD}$ — $\vec{AC}=\vec{AB}+\vec{AD}$ et $\vec{BD}=\vec{BC}+\vec{CD}=\vec{AD}+(-\vec{AB})=\vec{AD}-\vec{AB}$. Somme = $2\vec{AD}$.
On a $\vec{MA}+\vec{MB} = \vec{0}$. Cela signifie que M est :
- A. Le centre de gravité de AB
- B. Le milieu de [AB]
- C. Un point à l'infini
- D. L'origine du repère
Réponse
B. Le milieu de [AB] — $\vec{MA}+\vec{MB}=\vec{0}$ ⟺ $\vec{MA}=-\vec{MB}$ ⟺ $\vec{MA}=\vec{BM}$ ⟺ M est le milieu de [AB].
Pour quelle valeur de $t$ les points A(0 ; 0), B(2 ; 3), C(4 ; t) sont-ils alignés ?
- A. t = 4
- B. t = 5
- C. t = 6
- D. t = 7
Réponse
C. t = 6 — $\vec{AB}=(2;3)$, $\vec{AC}=(4;t)$. Déterminant : $2t-12=0 \Rightarrow t=6$.
Soit I le milieu de [AB] et J le milieu de [CD]. $\vec{IJ}$ est égal à :
- A. $\frac{\vec{AC}+\vec{BD}}{2}$
- B. $\frac{\vec{AC}-\vec{BD}}{2}$
- C. $\vec{AC}+\vec{BD}$
- D. $\frac{\vec{AB}+\vec{CD}}{2}$
Réponse
A. $\frac{\vec{AC}+\vec{BD}}{2}$ — $\vec{IJ}=\frac{1}{2}(\vec{AC}+\vec{BD})$. C'est le vecteur joignant les milieux de deux segments.
Les vecteurs $\vec{u}(1 ; 2)$, $\vec{v}(2 ; 4)$, $\vec{w}(3 ; 5)$. Lesquels sont colinéaires entre eux ?
- A. $\vec{u}$ et $\vec{w}$
- B. $\vec{v}$ et $\vec{w}$
- C. $\vec{u}$ et $\vec{v}$
- D. Aucun
Réponse
C. $\vec{u}$ et $\vec{v}$ — $\vec{v}=2\vec{u}$, donc $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires. $\vec{w}(3;5)$ : déterminant avec $\vec{u}$ : $1\times5-2\times3=-1\neq0$.
Dans le repère (O ; I, J), si A(3 ; 1) et $\vec{AB}=\binom{-5}{4}$, les coordonnées de B sont :
- A. (-2 ; 5)
- B. (8 ; -3)
- C. (-5 ; 4)
- D. (-15 ; 4)
Réponse
A. (-2 ; 5) — $B = A + \vec{AB} = (3-5 ; 1+4) = (-2 ; 5)$.
G est le centre de gravité de ABC avec G(2 ; 3) et A(0 ; 0), B(3 ; 6). Les coordonnées de C sont :
- A. (3 ; 3)
- B. (5 ; 3)
- C. (3 ; 0)
- D. (1 ; 3)
Réponse
A. (3 ; 3) — $G=\frac{x_A+x_B+x_C}{3} \Rightarrow x_C=3\times2-0-3=3$. $y_C=3\times3-0-6=3$. C = (3 ; 3).
Si $\vec{u}(a ; b)$ est non nul, tout vecteur colinéaire à $\vec{u}$ peut s'écrire :
- A. $\binom{-b}{a}$
- B. $\binom{b}{a}$
- C. $k\binom{a}{b}$ pour $k\in\mathbb{R}$
- D. $\binom{a+1}{b+1}$
Réponse
C. $k\binom{a}{b}$ pour $k\in\mathbb{R}$ — Tout vecteur colinéaire à $\vec{u}$ est de la forme $k\vec{u}=\binom{ka}{kb}$ pour un réel $k$.
Cours particuliers de mathématiques à Marseille, en présentiel ou à distance — un prof qui s'adapte à ton rythme et reprend ce qui coince.
Prof de maths à Marseille · Cours particuliers au lycée · Aide aux devoirs