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Vecteurs
Égalité de vecteurs et représentants, translation, somme et relation de Chasles, produit par un réel, coordonnées dans une base orthonormée, norme et caractérisation vectorielle du milieu.
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Les 36 questions du QCM en version texte
Pour réviser sans écran ou imprimer : chaque question avec ses propositions ; la bonne réponse et son explication se déplient.
Niveau facile ★ — 12 questions
Un vecteur non nul est caractérisé par :
- A. une origine seulement
- B. une direction, un sens et une norme
- C. sa longueur, et rien d’autre
- D. une droite et un point de cette droite
Réponse
B. une direction, un sens et une norme — Direction, sens et norme suffisent : un vecteur a une infinité de représentants, il n’est pas attaché à une origine.
A(4 ; −1) et B(1 ; 3). Le vecteur AB⃗ a pour coordonnées :
- A. (3 ; −4)
- B. (5 ; 2)
- C. (−3 ; 2)
- D. (−3 ; 4)
Réponse
D. (−3 ; 4) — Extrémité moins origine : 1 − 4 = −3 et 3 − (−1) = 4.
D’après la relation de Chasles, KL⃗ + LM⃗ est égal à :
- A. KM⃗
- B. MK⃗
- C. LK⃗
- D. 0⃗
Réponse
A. KM⃗ — La lettre L, extrémité du premier vecteur et origine du second, s’enchaîne : KL⃗ + LM⃗ = KM⃗.
Dans un repère orthonormé, la norme de u⃗(10 ; −24) vaut :
- A. 34
- B. 14
- C. 26
- D. 676
Réponse
C. 26 — √(100 + 576) = √676 = 26. Le nombre 676 est le carré de la norme, pas la norme.
L’opposé du vecteur RS⃗ est :
- A. RS⃗
- B. −SR⃗
- C. SR⃗
- D. 0⃗
Réponse
C. SR⃗ — Même direction, même norme, sens contraire : −RS⃗ = SR⃗. Attention, −SR⃗ est égal à RS⃗ lui-même.
Si u⃗(−2 ; 5), alors 3u⃗ a pour coordonnées :
- A. (−6 ; 15)
- B. (1 ; 8)
- C. (−6 ; 5)
- D. (−2 ; 15)
Réponse
A. (−6 ; 15) — On multiplie chaque coordonnée par 3 : 3 × (−2) = −6 et 3 × 5 = 15.
ABCD est un parallélogramme (sommets dans cet ordre). Alors :
- A. AB⃗ = CD⃗
- B. AC⃗ = BD⃗
- C. AD⃗ = CB⃗
- D. AB⃗ = DC⃗
Réponse
D. AB⃗ = DC⃗ — Deux côtés opposés se parcourent dans le même sens : de A vers B comme de D vers C.
Pour tout point P, le vecteur PP⃗ est :
- A. un vecteur de norme 1
- B. le vecteur nul
- C. un vecteur non défini
- D. l’opposé de OP⃗
Réponse
B. le vecteur nul — Origine et extrémité confondues : PP⃗ = 0⃗, de norme 0.
u⃗(3 ; −4) et v⃗(−1 ; 6). Le vecteur u⃗ + v⃗ a pour coordonnées :
- A. (2 ; 2)
- B. (4 ; −10)
- C. (−3 ; −24)
- D. (2 ; −10)
Réponse
A. (2 ; 2) — Coordonnée par coordonnée : 3 + (−1) = 2 et −4 + 6 = 2.
I est le milieu de [AB]. Quelle égalité est vraie ?
- A. AI⃗ = BI⃗
- B. IA⃗ = IB⃗
- C. AI⃗ = IB⃗
- D. AB⃗ = 2BI⃗
Réponse
C. AI⃗ = IB⃗ — De A à I puis de I à B : même direction, même sens, même longueur, donc AI⃗ = IB⃗. IA⃗ et IB⃗ sont opposés, et AB⃗ = 2IB⃗.
Si ‖u⃗‖ = 5, alors ‖−3u⃗‖ vaut :
- A. −15
- B. 15
- C. 2
- D. 8
Réponse
B. 15 — ‖k u⃗‖ = |k| × ‖u⃗‖ = 3 × 5 = 15 : une norme n’est jamais négative.
La translation qui transforme A en B transforme C en D. Alors :
- A. AB⃗ = DC⃗
- B. AC⃗ = DB⃗
- C. AD⃗ = BC⃗
- D. AB⃗ = CD⃗
Réponse
D. AB⃗ = CD⃗ — C est déplacé comme A : CD⃗ = AB⃗, et ABDC est un parallélogramme (éventuellement aplati).
Niveau moyen ★★ — 12 questions
EF⃗ − GF⃗ se simplifie en :
- A. GE⃗
- B. FG⃗
- C. EG⃗
- D. 0⃗
Réponse
C. EG⃗ — −GF⃗ = FG⃗, donc EF⃗ + FG⃗ = EG⃗.
u⃗(1 ; −3) et v⃗(4 ; 2). Le vecteur 2u⃗ − v⃗ a pour coordonnées :
- A. (−2 ; −8)
- B. (6 ; −4)
- C. (−2 ; −4)
- D. (2 ; −8)
Réponse
A. (−2 ; −8) — 2u⃗(2 ; −6), puis 2 − 4 = −2 et −6 − 2 = −8.
A(2 ; 1), B(5 ; 3) et C(0 ; 4). Le point D tel que ABCD est un parallélogramme est :
- A. D(3 ; 6)
- B. D(7 ; 0)
- C. D(−3 ; −2)
- D. D(−3 ; 2)
Réponse
D. D(−3 ; 2) — AD⃗ = BC⃗(−5 ; 1), donc D(2 − 5 ; 1 + 1), soit : égalité de deux vecteurs, notation u⃗, vecteur nul, représentants d’un vecteur ; somme de deux vecteurs à partir de représentants de même origine, relation de Chasles et translation (rappels de 3e) ; produit d’un vecteur par un nombre réel ; base orthonormée, coordonnées d’un vecteur, coordonnées de AB⃗, d’une somme et d’un produit par un réel ; expression de la norme d’un vecteur ; caractérisation vectorielle du milieu d’un segment. Le point (3 ; 6) correspond au parallélogramme ABDC.
Dans un repère orthonormé, E(−1 ; 4) et F(8 ; −8). La distance EF vaut :
- A. 21
- B. 15
- C. √63
- D. 225
Réponse
B. 15 — EF⃗(9 ; −12), donc EF = √(81 + 144) = √225 = 15.
Si ‖u⃗‖ = 6, alors ‖−0,5u⃗‖ vaut :
- A. 3
- B. −3
- C. 12
- D. 5,5
Réponse
A. 3 — La valeur absolue de −0,5 est 0,5, et 0,5 × 6 = 3.
I est le milieu de [AB]. Pour tout point M, MA⃗ + MB⃗ est égal à :
- A. (1/2)MI⃗
- B. AB⃗
- C. 0⃗
- D. 2MI⃗
Réponse
D. 2MI⃗ — Avec Chasles, MA⃗ + MB⃗ = 2MI⃗ + (IA⃗ + IB⃗), et IA⃗ + IB⃗ = 0⃗.
A(3 ; −2) et u⃗(−1 ; 5). Le point M tel que AM⃗ = 2u⃗ est :
- A. M(5 ; −12)
- B. M(1 ; 8)
- C. M(−2 ; 10)
- D. M(1 ; 3)
Réponse
B. M(1 ; 8) — 2u⃗(−2 ; 10), donc M(3 − 2 ; −2 + 10), soit : égalité de deux vecteurs, notation u⃗, vecteur nul, représentants d’un vecteur ; somme de deux vecteurs à partir de représentants de même origine, relation de Chasles et translation (rappels de 3e) ; produit d’un vecteur par un nombre réel ; base orthonormée, coordonnées d’un vecteur, coordonnées de AB⃗, d’une somme et d’un produit par un réel ; expression de la norme d’un vecteur ; caractérisation vectorielle du milieu d’un segment. (−2 ; 10) sont les coordonnées du vecteur, pas du point.
ABCD est un parallélogramme. BA⃗ + BC⃗ est égal à :
- A. DB⃗
- B. AC⃗
- C. BD⃗
- D. CA⃗
Réponse
C. BD⃗ — Règle du parallélogramme depuis B : BC⃗ = AD⃗, donc BA⃗ + AD⃗ = BD⃗.
3(u⃗ − v⃗) − (u⃗ − 3v⃗) est égal à :
- A. 2u⃗ − 6v⃗
- B. 4u⃗ − 6v⃗
- C. 2u⃗ + 6v⃗
- D. 2u⃗
Réponse
D. 2u⃗ — 3u⃗ − 3v⃗ − u⃗ + 3v⃗ = 2u⃗ : les v⃗ s’annulent (attention au signe devant la parenthèse).
Dans un repère orthonormé, u⃗(x ; 2) a pour norme √13 et x > 0. Alors x vaut :
- A. 11
- B. 3
- C. √11
- D. 9
Réponse
B. 3 — x² + 4 = 13, donc x² = 9 et, comme x > 0, x = 3.
AB = 2 cm et AM⃗ = −3AB⃗. Le point M est :
- A. sur [AB), au-delà de B, à 6 cm de A
- B. sur le segment [AB], à 1,5 cm de A
- C. sur (AB), de l’autre côté de A, à 6 cm de A
- D. impossible à placer, car le réel −3 est négatif
Réponse
C. sur (AB), de l’autre côté de A, à 6 cm de A — k = −3 < 0 : sens contraire de AB⃗, donc de l’autre côté de A ; AM = |−3| × 2 = 6 cm.
K est le milieu de [EF] et EF = 10. La norme de EK⃗ − FK⃗ vaut :
- A. 10
- B. 0
- C. 5
- D. 20
Réponse
A. 10 — −FK⃗ = KF⃗, donc EK⃗ − FK⃗ = EK⃗ + KF⃗ = EF⃗, de norme 10. C’est EK⃗ + FK⃗ qui est nul.
Niveau difficile ★★★ — 12 questions
Si ‖u⃗‖ = ‖v⃗‖, alors :
- A. u⃗ = v⃗
- B. u⃗ = v⃗ ou u⃗ = −v⃗
- C. u⃗ et v⃗ ont forcément la même direction et le même sens
- D. on ne peut rien dire de leurs directions
Réponse
D. on ne peut rien dire de leurs directions — Contre-exemple : (0 ; 5) et (3 ; 4) ont tous deux pour norme 5, avec des directions différentes.
A, B, C, D sont quatre points non alignés et AB⃗ = CD⃗. Alors :
- A. ABCD est un parallélogramme
- B. ABDC est un parallélogramme
- C. A = C et B = D
- D. (AB) et (CD) sont sécantes
Réponse
B. ABDC est un parallélogramme — AB⃗ = CD⃗ équivaut à « ABDC est un parallélogramme » : attention à l’ordre des sommets.
L’égalité ‖u⃗ + v⃗‖ = ‖u⃗‖ + ‖v⃗‖ est vraie :
- A. pour tous vecteurs u⃗ et v⃗, comme pour des nombres positifs
- B. seulement dans le cas particulier où u⃗ = v⃗
- C. si u⃗ et v⃗ ont même direction et même sens (ou l’un nul)
- D. dès que u⃗ et v⃗ ont la même norme, quelle que soit leur direction
Réponse
C. si u⃗ et v⃗ ont même direction et même sens (ou l’un nul) — C’est le cas d’égalité de l’inégalité triangulaire : les flèches mises bout à bout doivent rester sur une même droite, dans le même sens.
AB⃗ + CD⃗ = CB⃗ si et seulement si :
- A. A = D
- B. B = C
- C. AB⃗ = DC⃗
- D. c’est toujours vrai
Réponse
A. A = D — AB⃗ + CD⃗ = CB⃗ équivaut à AB⃗ = CB⃗ − CD⃗ = CB⃗ + DC⃗ = DB⃗, c’est-à-dire A = D.
Dans une base qui n’est pas orthonormée, u⃗ a pour coordonnées (3 ; 4). Sa norme :
- A. vaut 5, par le théorème de Pythagore
- B. ne se calcule pas par √(x² + y²)
- C. vaut 7, somme des deux coordonnées
- D. vaut 25, somme de leurs carrés
Réponse
B. ne se calcule pas par √(x² + y²) — La formule vient du théorème de Pythagore : elle exige des axes perpendiculaires et la même unité sur les deux axes.
Si 2AM⃗ = AB⃗ + AC⃗, alors M est :
- A. le milieu de [AB]
- B. le point tel que ABMC est un parallélogramme
- C. le milieu de [BC]
- D. le point A lui-même
Réponse
C. le milieu de [BC] — Avec I milieu de [BC], AB⃗ + AC⃗ = 2AI⃗ ; donc AM⃗ = AI⃗ et M = I.
u⃗(2 ; −3) et v⃗(−4 ; 6). Alors :
- A. v⃗ = −2u⃗
- B. v⃗ = 2u⃗
- C. v⃗ = −u⃗
- D. v⃗ = −0,5u⃗
Réponse
A. v⃗ = −2u⃗ — −2 × 2 = −4 et −2 × (−3) = 6.
Le vecteur u⃗ vérifie 2u⃗ + v⃗ = 3v⃗ − 4u⃗. Alors :
- A. u⃗ = 3v⃗
- B. u⃗ = −(1/3)v⃗
- C. u⃗ = 0,5v⃗
- D. u⃗ = (1/3)v⃗
Réponse
D. u⃗ = (1/3)v⃗ — On regroupe : 2u⃗ + 4u⃗ = 3v⃗ − v⃗, soit 6u⃗ = 2v⃗, donc u⃗ = (1/3)v⃗.
A(1 ; 2) et B(7 ; −1). Le point M tel que AM⃗ = (1/3)AB⃗ est :
- A. M(2 ; 1)
- B. M(3 ; −1)
- C. M(3 ; 1)
- D. M(5 ; 0)
Réponse
C. M(3 ; 1) — AB⃗(6 ; −3), donc (1/3)AB⃗(2 ; −1) et M(1 + 2 ; 2 − 1), soit : égalité de deux vecteurs, notation u⃗, vecteur nul, représentants d’un vecteur ; somme de deux vecteurs à partir de représentants de même origine, relation de Chasles et translation (rappels de 3e) ; produit d’un vecteur par un nombre réel ; base orthonormée, coordonnées d’un vecteur, coordonnées de AB⃗, d’une somme et d’un produit par un réel ; expression de la norme d’un vecteur ; caractérisation vectorielle du milieu d’un segment. Le point (5 ; 0) correspond à (2/3)AB⃗.
‖AB⃗‖ = 0 signifie que :
- A. les points A et B sont confondus
- B. AB⃗ a pour norme 1
- C. A est l’origine du repère
- D. la droite (AB) passe par l’origine
Réponse
A. les points A et B sont confondus — La norme de AB⃗ est la longueur AB : elle est nulle seulement si A et B sont confondus.
I est le milieu de [AB] et J celui de [AC]. Le vecteur IJ⃗ est égal à :
- A. (1/2)CB⃗
- B. 2BC⃗
- C. BC⃗
- D. (1/2)BC⃗
Réponse
D. (1/2)BC⃗ — IJ⃗ = IA⃗ + AJ⃗ = (1/2)BA⃗ + (1/2)AC⃗ = (1/2)BC⃗, par la relation de Chasles.
‖u⃗‖ = 5 et ‖v⃗‖ = 2. La plus grande valeur possible de ‖u⃗ + v⃗‖ est :
- A. 3
- B. 7
- C. 10
- D. √29
Réponse
B. 7 — Inégalité triangulaire : ‖u⃗ + v⃗‖ ≤ 5 + 2 = 7, valeur atteinte quand u⃗ et v⃗ ont même direction et même sens. √29 correspond à deux directions perpendiculaires.
Moi c'est Ben, j'ai créé ce site pour aider le plus d'élèves possible, partout en France. Je peux aussi reprendre avec toi ce qui coince en cours particulier : en visio, ou à domicile si tu es à Marseille.
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