Équations de droites

Pour chaque droite, donne les coordonnées du vecteur directeur $(-b;a)$ lu sur son équation cartésienne $ax+by+c=0$.

1. $d_1:3x+5y-4=0$ : ( ; )
   $a=3$ et $b=5$, donc $(-b;a)=(-5;3)$.
2. $d_2:x-6y+2=0$ : ( ; )
   $a=1$ et $b=-6$, donc $(-b;a)=(6;1)$. Attention au signe : $-b=-(-6)=6$.
3. $d_3:-2x+13=0$ : ( ; )
   Il n’y a pas de terme en $y$ : $b=0$ et $a=-2$, donc $(0;-2)$. La droite est verticale ($x=6,5$), ce que confirme ce vecteur « tout en hauteur ».
4. $d_4:7y+1=0$ : ( ; )
   $a=0$ et $b=7$, donc $(-7;0)$ : la droite est horizontale ($y=-{\displaystyle \frac{1}{7}}$).

On considère la droite $d:6x-y-4=0$. Pour chaque point, calcule $6x-y-4$ avec ses coordonnées : le point est sur $d$ si et seulement si on trouve $0$.

1. $A(1;2)$ : $6x-y-4=$
   $6\times 1-2-4=0$ : $A$ appartient à $d$.
2. $B(-1;-9)$ : $6x-y-4=$
   $6\times (-1)-(-9)-4$ $=-6+9-4$ $=-1\ne 0$ : $B$ n’appartient pas à $d$.
3. $C(0,5;-1)$ : $6x-y-4=$
   $6\times 0,5-(-1)-4$ $=3+1-4$ $=0$ : $C$ appartient à $d$.
4. Le point de $d$ d’abscisse $3$ a pour ordonnée
   On remplace $x$ par $3$ : $18-y-4=0$, donc $y=14$. Le point $(3;14)$ est sur $d$.

Dans un repère orthonormé, on donne $A(2;-3)$ et $\overrightarrow{u}(4;1)$. On note $d$ la droite passant par $A$ et dirigée par $\overrightarrow{u}$.

1. Démontrer que $d$ a une équation de la forme $x-4y+c=0$, et donner $c$ : $c=$
   Rédaction attendue. Soit $M(x;y)$ un point du plan. On a $\overrightarrow{AM}(x-2;y+3)$. Le point $M$ appartient à $d$ si et seulement si $\overrightarrow{AM}$ et $\overrightarrow{u}$ sont colinéaires, c’est-à-dire si et seulement si $det(\overrightarrow{AM},\overrightarrow{u})=0$. Or $det(\overrightarrow{AM},\overrightarrow{u})$ $=(x-2)\times 1-(y+3)\times 4$ $=x-2-4y-12$ $=x-4y-14$. Donc $d$ a pour équation $x-4y-14=0$, et $c=-14$. Contrôle avec $A$ : $2+12-14=0$.
2. Le point de $d$ d’ordonnée $0$ a pour abscisse
   Avec $y=0$ : $x-14=0$, donc $x=14$. C’est le point $(14;0)$, où $d$ coupe l’axe des abscisses.
3. Le point $P(k;2k)$ appartient à $d$ pour $k=$
   On remplace : $k-4\times 2k-14=0$, soit $-7k=14$ et $k=-2$. Contrôle avec $P(-2;-4)$ : $(-2)-4\times (-4)-14=0$.

Démonstration et paramètre. Le plan est muni d’un repère orthonormé.

1. On note $E$ l’ensemble des points $M(x;y)$ tels que $5x-2y+6=0$. Justifier que $E$ est une droite. Le point $A$ de $E$ d’abscisse $0$ a pour ordonnée
   Rédaction attendue. Avec $x=0$ : $-2y+6=0$, donc $y=3$ et $A(0;3)\in E$. On pose $\overrightarrow{u}(2;5)$ (c’est $(-b;a)$ avec $a=5$, $b=-2$), non nul. Pour $M(x;y)$ : $\overrightarrow{AM}(x;y-3)$ et $det(\overrightarrow{AM},\overrightarrow{u})$ $=x\times 5-(y-3)\times 2$ $=5x-2y+6$. Donc $M\in E$ $⟺det(\overrightarrow{AM},\overrightarrow{u})=0$ $⟺\overrightarrow{AM}$ et $\overrightarrow{u}$ sont colinéaires. $E$ est la droite passant par $A(0;3)$ et dirigée par $\overrightarrow{u}(2;5)$.
2. Pour un réel $t$, $d_t:(t-1)x+4y-3$ $=0$. Elle est dirigée par $\overrightarrow{w}(8;-6)$ pour $t=$
   $d_t$ est dirigée par $(-4;t-1)$. Il faut que ce vecteur soit colinéaire à $\overrightarrow{w}$ : $(-4)\times (-6)-(t-1)\times 8$ $=0$, soit $24-8t+8=0$, donc $32=8t$ et $t=4$. Contrôle : $d_4:3x+4y-3=0$ est dirigée par $(-4;3)$, et $(8;-6)=-2\times (-4;3)$.
3. $d_t$ passe par le point $(-1;2)$ pour $t=$
   On remplace $x$ par $-1$ et $y$ par $2$ : $(t-1)\times (-1)+4\times 2-3$ vaut $1-t+8-3$, c’est-à-dire $6-t$. Il est nul pour $t=6$.
4. $d_t$ est horizontale (dirigée par $(1;0)$) pour $t=$
   Le vecteur $(-4;t-1)$ est colinéaire à $(1;0)$ si et seulement si $(-4)\times 0-(t-1)\times 1$ $=0$, soit $t=1$. L’équation devient $4y-3=0$, c’est-à-dire $y=0,75$.

Donne la pente $m$ et l’ordonnée à l’origine $p$ de chaque droite. Une fraction s’écrit avec « / » (exemple : 2/5).

1. $y=-{\displaystyle \frac{3}{5}}x+4$ : m = et p =
   La droite est sous la forme $y=mx+p$ : $m=-{\displaystyle \frac{3}{5}}$ (le nombre qui multiplie $x$) et $p=4$.
2. $y=7-2x$ : m = et p =
   On réordonne : $y=-2x+7$. Donc $m=-2$ et $p=7$ : la pente n’est pas le premier nombre écrit.
3. $y={\displaystyle \frac{x}{4}}$ : m = et p =
   ${\displaystyle \frac{x}{4}}={\displaystyle \frac{1}{4}}x+0$ : $m={\displaystyle \frac{1}{4}}$ et $p=0$ ; la droite passe par l’origine.
4. $y=-6$ : m = et p =
   $y=0\times x-6$ : droite horizontale, de pente $m=0$, avec $p=-6$.

Écris l’équation réduite de chaque droite en isolant $y$, puis donne $m$ et $p$. Une fraction s’écrit avec « / ».

1. $6x-3y+12=0$ : m = et p =
   $3y=6x+12$, donc $y=2x+4$ : $m=2$ et $p=4$.
2. $5x+2y-1=0$ : m = et p =
   $2y=-5x+1$, donc $y=-{\displaystyle \frac{5}{2}}x+{\displaystyle \frac{1}{2}}$ : $m=-{\displaystyle \frac{5}{2}}$ et $p={\displaystyle \frac{1}{2}}$.
3. $-3x+4y+10=0$ : m = et p =
   $4y=3x-10$, donc $y={\displaystyle \frac{3}{4}}x-{\displaystyle \frac{10}{4}}$ $={\displaystyle \frac{3}{4}}x-{\displaystyle \frac{5}{2}}$ : $m={\displaystyle \frac{3}{4}}$ et $p=-{\displaystyle \frac{5}{2}}$.
4. $4x-9=0$ est une droite verticale d’équation $x=$
   Il n’y a pas de $y$ : $4x=9$, donc $x={\displaystyle \frac{9}{4}}=2,25$. Cette droite n’a ni pente ni équation réduite.

Lecture graphique et calcul. Les droites $d_1$ et $d_2$ sont tracées ci-dessous ; les points marqués ont des coordonnées entières.

1. $d_1$ : m = et p =
   $d_1$ coupe l’axe des ordonnées en $(0;-2)$ : $p=-2$. De $(0;-2)$ à $(2;3)$, on avance de $2$ et on monte de $5$ : $m={\displaystyle \frac{5}{2}}$.
2. $d_2$ : m = et p =
   $d_2$ coupe l’axe des ordonnées en $(0;1)$ : $p=1$. De $(0;1)$ à $(3;3)$, on avance de $3$ et on monte de $2$ : $m={\displaystyle \frac{2}{3}}$.
3. La droite de pente $-3$ passant par $G(2;-1)$ a pour ordonnée à l’origine
   $p=y_G-m{x}_G$ $=-1-(-3)\times 2$ $=-1+6$ $=5$, donc $y=-3x+5$. Contrôle : $-3\times 2+5=-1$.
4. Justifier que la droite passant par $H(-4;6)$ et dirigée par $\overrightarrow{v}(6;-3)$ a pour pente $-0,5$, puis donner son ordonnée à l’origine : p =
   Rédaction attendue. Le vecteur $\overrightarrow{v}(6;-3)$ a une abscisse non nulle, donc la droite n’est pas verticale et sa pente vaut $m={\displaystyle \frac{-3}{6}}=-0,5$ (le vecteur ${\displaystyle \frac{1}{6}}\overrightarrow{v}(1;-0,5)$ la dirige aussi). Son équation réduite s’écrit $y=-0,5x+p$, et $H$ est sur la droite : $6=-0,5\times (-4)+p$ $=2+p$, donc $p=4$. La droite a pour équation $y=-0,5x+4$.

Pente, vecteur directeur et paramètres. Une fraction s’écrit avec « / ».

1. La droite $2x+ky-5=0$ a pour pente $-{\displaystyle \frac{1}{3}}$ pour $k=$
   Pour $k\ne 0$ : $ky=-2x+5$, donc la pente vaut $-{\displaystyle \frac{2}{k}}$. On veut $-{\displaystyle \frac{2}{k}}=-{\displaystyle \frac{1}{3}}$, soit $k=6$. Contrôle : $6y=-2x+5$ donne $y=-{\displaystyle \frac{1}{3}}x+{\displaystyle \frac{5}{6}}$.
2. Une droite dirigée par $\overrightarrow{u}(3;t)$ a pour pente $4$ pour $t=$
   La pente d’une droite dirigée par $(\alpha ;\beta )$, avec $\alpha \ne 0$, vaut ${\displaystyle \frac{\beta }{\alpha }}$ : ici ${\displaystyle \frac{t}{3}}=4$, donc $t=12$.
3. Démontrer que $d:y=-4x+9$ est dirigée par $(1;-4)$. Le vecteur directeur de $d$ d’abscisse $-2$ a pour ordonnée
   Rédaction attendue. $y=-4x+9$ s’écrit $-4x-y+9=0$ : c’est une équation cartésienne avec $a=-4$ et $b=-1$, donc $d$ est dirigée par $(-b;a)=(1;-4)$. Les autres vecteurs directeurs sont les $k(1;-4)$ avec $k\ne 0$ ; pour une abscisse $-2$, il faut $k=-2$, ce qui donne $(-2;8)$ : l’ordonnée vaut $8$.

Calcule la pente de la droite $(AB)$. Une fraction s’écrit avec « / ».

1. $A(-1;-7)$ et $B(3;5)$ : m =
   $m={\displaystyle \frac{5-(-7)}{3-(-1)}}$ $={\displaystyle \frac{12}{4}}$ $=3$.
2. $A(0;5)$ et $B(4;-1)$ : m =
   $m={\displaystyle \frac{-1-5}{4-0}}$ $={\displaystyle \frac{-6}{4}}$ $=-1,5$.
3. $A(-2;1)$ et $B(3;9)$ : m =
   $m={\displaystyle \frac{9-1}{3-(-2)}}$ $={\displaystyle \frac{8}{5}}$ $=1,6$.
4. $A(-5;-6)$ et $B(9;-6)$ : m =
   $m={\displaystyle \frac{-6-(-6)}{9-(-5)}}$ $={\displaystyle \frac{0}{14}}$ $=0$ : la droite est horizontale, d’équation $y=-6$.

Détermine l’équation réduite de la droite $(AB)$, puis vérifie-la avec $B$. Une fraction s’écrit avec « / ».

1. $A(-4;7)$ et $B(2;-11)$ : m = et p =
   $m={\displaystyle \frac{-11-7}{2-(-4)}}$ $={\displaystyle \frac{-18}{6}}$ $=-3$, puis $p=7-(-3)\times (-4)$ $=7-12$ $=-5$ : $y=-3x-5$. Contrôle avec $B$ : $-3\times 2-5=-11$.
2. $A(-3;-8)$ et $B(5;10)$ : m = et p =
   $m={\displaystyle \frac{10-(-8)}{5-(-3)}}$ $={\displaystyle \frac{18}{8}}$ $={\displaystyle \frac{9}{4}}$, puis $p=-8-{\displaystyle \frac{9}{4}}\times (-3)$ $=-8+{\displaystyle \frac{27}{4}}$ $=-{\displaystyle \frac{5}{4}}$ : $y={\displaystyle \frac{9}{4}}x-{\displaystyle \frac{5}{4}}$. Contrôle avec $B$ : ${\displaystyle \frac{45}{4}}-{\displaystyle \frac{5}{4}}$ $={\displaystyle \frac{40}{4}}$ $=10$.
3. $A(6;-2)$ et $B(6;13)$ : la droite est verticale, d’équation $x=$
   $A$ et $B$ ont la même abscisse $6$ : la formule de la pente ne s’applique pas (on diviserait par $0$). La droite $(AB)$ est verticale, d’équation $x=6$.

Dans un repère, on donne $A(-6;9)$ et $B(3;-12)$. Une fraction s’écrit avec « / ».

1. Pente de $(AB)$ : m =
   $m={\displaystyle \frac{-12-9}{3-(-6)}}$ $={\displaystyle \frac{-21}{9}}$ $=-{\displaystyle \frac{7}{3}}$.
2. Ordonnée à l’origine de $(AB)$ : p =
   $p=9-(-{\displaystyle \frac{7}{3}})\times (-6)$ $=9-14$ $=-5$ : $(AB):y=-{\displaystyle \frac{7}{3}}x-5$. Contrôle avec $B$ : $-7-5=-12$.
3. Démontrer qu’il existe un unique réel $c$ tel que $A$, $B$ et $C(c;-26)$ soient alignés : $c=$
   Rédaction attendue. Les abscisses de $A$ et $B$ sont différentes ; la droite $(AB)$ a pour équation $y=-{\displaystyle \frac{7}{3}}x-5$. Les points $A$, $B$, $C$ sont alignés si et seulement si $C\in (AB)$, c’est-à-dire si et seulement si $-26=-{\displaystyle \frac{7}{3}}c-5$. Cette équation s’écrit ${\displaystyle \frac{7}{3}}c=21$, et a pour unique solution $c=9$. Contrôle : $-{\displaystyle \frac{7}{3}}\times 9-5$ $=-21-5$ $=-26$. Les points sont alignés pour $c=9$ seulement.
4. Le point de $(AB)$ d’abscisse $-3$ a pour ordonnée
   $y=-{\displaystyle \frac{7}{3}}\times (-3)-5$ $=7-5$ $=2$. Le point $D(-3;3)$, par exemple, n’est donc pas sur $(AB)$ ($3\ne 2$).

Un élève cherche l’équation réduite de la droite passant par $P(-2;6)$ et $Q(4;-3)$. Il écrit : « $m={\displaystyle \frac{4-(-2)}{-3-6}}$ $={\displaystyle \frac{6}{-9}}$ $=-{\displaystyle \frac{2}{3}}$, puis $6=-{\displaystyle \frac{2}{3}}\times (-2)+p$, donc $p={\displaystyle \frac{14}{3}}$. » Une fraction s’écrit avec « / ».

1. Justifier que son équation est fausse : pour $x=4$, elle donne $y=$
   Rédaction attendue. L’équation de l’élève est $y=-{\displaystyle \frac{2}{3}}x+{\displaystyle \frac{14}{3}}$. Pour $x=4$ : $y=-{\displaystyle \frac{8}{3}}+{\displaystyle \frac{14}{3}}$ $={\displaystyle \frac{6}{3}}$ $=2$. Or $Q(4;-3)$ est sur $(PQ)$ et $2\ne -3$ : l’équation ne convient pas. L’erreur : l’élève a divisé la différence des abscisses par la différence des ordonnées, c’est-à-dire calculé l’inverse de la pente.
2. La bonne pente de $(PQ)$ est m =
   $m={\displaystyle \frac{-3-6}{4-(-2)}}$ $={\displaystyle \frac{-9}{6}}$ $=-{\displaystyle \frac{3}{2}}$.
3. L’ordonnée à l’origine de $(PQ)$ est p =
   $p=6-(-{\displaystyle \frac{3}{2}})\times (-2)$ $=6-3$ $=3$ : $(PQ):y=-{\displaystyle \frac{3}{2}}x+3$. Contrôle avec $Q$ : $-6+3=-3$.
4. Le point $R(k;-9)$ est aligné avec $P$ et $Q$ pour $k=$
   $R\in (PQ)$ $⟺-9=-{\displaystyle \frac{3}{2}}k+3$ $⟺{\displaystyle \frac{3}{2}}k=12$ $⟺k=8$.

Pour chaque paire de droites, écris : strictement parallèles, confondues ou sécantes.

1. $y=-2,5x+1$ et $y=-2,5x-3$ :
   Même pente $-2,5$, ordonnées à l’origine différentes ($1\ne -3$) : strictement parallèles.
2. $y=-x+2$ et $y=x+2$ :
   Pentes $-1$ et $1$ différentes : sécantes (ici au point $(0;2)$, car elles ont la même ordonnée à l’origine).
3. $y=0,5x+3$ et $2y=x+6$ :
   La seconde s’écrit $y=0,5x+3$ en divisant par $2$ : même pente et même ordonnée à l’origine, les droites sont confondues.
4. $x=2$ et $y=2$ :
   Une droite verticale et une droite horizontale (non verticale) sont sécantes, ici au point $(2;2)$.

Pour les droites $ax+by+c=0$ et $a\prime x+b\prime y+c\prime =0$, calcule $ab\prime -a\prime b$. Les droites sont parallèles si et seulement si on trouve $0$.

1. $3x-7y-1=0$ et $-9x+21y+5=0$ :
   $3\times 21-(-9)\times (-7)$ $=63-63$ $=0$ : parallèles. (En multipliant la première par $-3$ : $-9x+21y+3=0$, terme constant différent de $5$ : strictement parallèles.)
2. $3x-7y-1=0$ et $4x+5y-30=0$ :
   $3\times 5-4\times (-7)$ $=15+28$ $=43\ne 0$ : sécantes.
3. $2x+y-8=0$ et $5x-3y+1=0$ :
   $2\times (-3)-5\times 1$ $=-6-5$ $=-11\ne 0$ : sécantes.

Parallèle à une droite passant par un point.

1. La parallèle à $y=3x-8$ passant par $M(-2;1)$ a pour ordonnée à l’origine
   Même pente $3$ : $y=3x+p$ avec $1=3\times (-2)+p$, donc $p=7$ : $y=3x+7$.
2. La parallèle $\delta$ à $d:2x+9y-3=0$ passant par $R(6;1)$ a pour équation $2x+9y+c=0$ avec $c=$
   Mêmes coefficients $a=2$ et $b=9$, donc $ab\prime -a\prime b=0$. Comme $R\in \delta$ : $2\times 6+9\times 1+c=0$, soit $21+c=0$ et $c=-21$ : $\delta :2x+9y-21=0$.
3. Justifier que $d$ et $\delta$ n’ont aucun point commun : un point commun donnerait l’égalité $3=$
   Rédaction attendue. Un point $M(x;y)$ de $d$ vérifie $2x+9y-3=0$, donc $2x+9y=3$. Un point de $\delta$ vérifie $2x+9y-21=0$, donc $2x+9y=21$. Un point commun aux deux droites donnerait $3=21$, ce qui est faux. Les droites parallèles $d$ et $\delta$ n’ont donc aucun point commun : elles sont strictement parallèles.

Soit $k$ un réel, $d_k:(k+1)x-3y+7$ $=0$ et $\Delta :2x+6y-5=0$.

1. $d_k$ et $\Delta$ sont parallèles pour $k=$
   $ab\prime -a\prime b$ $=(k+1)\times 6-2\times (-3)$ $=6k+6+6$ $=6k+12$, nul pour $k=-2$.
2. Démontrer que, pour cette valeur, $d_k$ et $\Delta$ sont strictement parallèles. Le point de $d_{-2}$ d’abscisse $1$ a pour ordonnée
   Rédaction attendue. Pour $k=-2$, $d_{-2}:-x-3y+7=0$, parallèle à $\Delta$ d’après la question précédente. Avec $x=1$ : $-1-3y+7=0$, donc $y=2$ ; le point $(1;2)$ est sur $d_{-2}$. Dans l’équation de $\Delta$ : $2\times 1+6\times 2-5=9\ne 0$, donc ce point n’est pas sur $\Delta$. Les droites sont parallèles et non confondues : strictement parallèles.
3. $d_k$ a pour pente ${\displaystyle \frac{5}{3}}$ pour $k=$
   Le coefficient de $y$ vaut $-3\ne 0$ : $3y=(k+1)x+7$, donc la pente vaut ${\displaystyle \frac{k+1}{3}}$. On veut ${\displaystyle \frac{k+1}{3}}={\displaystyle \frac{5}{3}}$, soit $k=4$.

Les deux droites sont sécantes. Donne les coordonnées de leur point d’intersection.

1. $y=3x+2$ et $y=-x+10$ : ( ; )
   $3x+2=-x+10$ $⟺4x=8$ $⟺x=2$, puis $y=3\times 2+2=8$ ; contrôle : $-2+10=8$. Point $(2;8)$.
2. $y=x+3$ et $y=-2x+12$ : ( ; )
   $x+3=-2x+12$ $⟺3x=9$ $⟺x=3$, puis $y=6$ ; contrôle : $-6+12=6$. Point $(3;6)$.
3. $y=5x-4$ et $y=2x+5$ : ( ; )
   $5x-4=2x+5$ $⟺3x=9$ $⟺x=3$, puis $y=15-4=11$ ; contrôle : $6+5=11$. Point $(3;11)$.

Droites verticales et axes du repère.

1. $x=4$ et $y=-1,5x+2$ se coupent en ( ; )
   Sur la droite $x=4$, l’abscisse vaut $4$ : $y=-1,5\times 4+2$ $=-6+2$ $=-4$. Point $(4;-4)$.
2. $y=4x-10$ coupe l’axe des abscisses au point d’abscisse
   Sur l’axe des abscisses, $y=0$ : $4x-10=0$, donc $x=2,5$. Point $(2,5;0)$.
3. $y={\displaystyle \frac{2}{5}}x+3$ coupe l’axe des abscisses en ( ; )
   ${\displaystyle \frac{2}{5}}x+3=0$ $⟺{\displaystyle \frac{2}{5}}x=-3$ $⟺x=-3\times {\displaystyle \frac{5}{2}}=-7,5$. Point $(-7,5;0)$.

On considère $d:y=-x+1$ et $d\prime :2x-3y-12=0$. Une fraction s’écrit avec « / ».

1. Équation réduite de $d\prime$ : m = et p =
   $-3y=-2x+12$, donc $y={\displaystyle \frac{2}{3}}x-4$ : $m={\displaystyle \frac{2}{3}}$ et $p=-4$.
2. Justifier que $d$ et $d\prime$ sont sécantes, puis donner leur point d’intersection : ( ; )
   Rédaction attendue. $d$ a pour pente $-1$ et $d\prime$ pour pente ${\displaystyle \frac{2}{3}}$ ; elles sont différentes, donc $d$ et $d\prime$ sont sécantes en un unique point. Son abscisse vérifie $-x+1={\displaystyle \frac{2}{3}}x-4$, soit $5={\displaystyle \frac{5}{3}}x$, donc $x=3$. Puis $y=-3+1=-2$. Contrôle dans $d\prime$ : $2\times 3-3\times (-2)-12$ $=6+6-12$ $=0$. Les droites se coupent au point $(3;-2)$.

Trois droites : $d_1:y=x+1$, $d_2:y=-2x+10$ et $d_3:y=0,25x-2$. Une fraction s’écrit avec « / ».

1. $d_1$ et $d_2$ se coupent en ( ; )
   $x+1=-2x+10$ $⟺3x=9$ $⟺x=3$, puis $y=4$ ; contrôle : $-6+10=4$.
2. $d_1$ et $d_3$ se coupent en ( ; )
   $x+1=0,25x-2$ $⟺0,75x=-3$ $⟺x=-4$, puis $y=-3$ ; contrôle : $0,25\times (-4)-2=-3$.
3. $d_2$ et $d_3$ se coupent en ( ; )
   $-2x+10=0,25x-2$ $⟺12=2,25x$ $⟺x={\displaystyle \frac{12}{2,25}}={\displaystyle \frac{16}{3}}$, puis $y=-2\times {\displaystyle \frac{16}{3}}+10$ $=-{\displaystyle \frac{32}{3}}+{\displaystyle \frac{30}{3}}$ $=-{\displaystyle \frac{2}{3}}$. Les trois points d’intersection sont distincts : les trois droites forment un triangle.
4. La droite $y=0,25x+q$ passe par le point commun à $d_1$ et $d_2$ pour $q=$
   Le point commun à $d_1$ et $d_2$ est $(3;4)$ : $4=0,25\times 3+q$ $=0,75+q$, donc $q=3,25$. Les droites $d_1$, $d_2$ et $y=0,25x+3,25$ sont alors concourantes en $(3;4)$ ; cette dernière est parallèle à $d_3$ (même pente $0,25$).