Devoir surveillé : Fonctions : généralités, fonctions affines, carré et inverse

1. a)$f(-6)=(-6{)}^2=36$ et $g(-0,25)={\displaystyle \frac{1}{-0,25}}=-4$. (1 pt : 0,5 pt par calcul) (1)
2. b)$h(x)=-4x+7$ : coefficient directeur $a=-4$, ordonnée à l'origine $b=7$. (1 pt) (1)
3. c)On résout $7-4x=-3$ : $-4x=-10$, donc $x={\displaystyle \frac{10}{4}}=2,5$. L'antécédent de $-3$ par $h$ est $2,5$ ; vérification : $h(2,5)=7-10=-3$. (1 pt) (1)
4. d)On résout $x^2=49$ : comme $49>0$, il y a deux solutions, $x=-7$ et $x=7$. Les antécédents de $49$ sont $-7$ et $7$. (1 pt : 0,5 pt si une seule valeur) (1)

Piège — Un nombre strictement positif a toujours deux antécédents par la fonction carré, opposés l'un de l'autre : oublier la valeur négative coûte des points.

1. a)Ligne des $x$ : $-4$, $1$, $6$. Ligne de $f$ : $-3$, flèche montante jusqu'à $5$, puis flèche descendante jusqu'à $2$. (1 pt) (1)
2. b)Le maximum est $5$, atteint en $x=1$. Le minimum est le plus petit des nombres $-3$ et $2$, c'est-à-dire $-3$, atteint en $x=-4$. (1 pt : 0,5 pt par extremum) (1)
3. c)$2$ et $4$ appartiennent à $[1;6]$ où $f$ est décroissante, et $2<4$, donc $f(2)⩾f(4)$ (l'ordre est inversé). (1 pt) (1)
4. d)Sur $[-4;1]$, $f$ croît de $-3$ à $5$ sans lever le crayon : elle prend une fois la valeur $0$. Sur $[1;6]$, $f(x)$ reste entre $2$ et $5$, donc $f(x)>0$ : aucune solution. L'équation a donc exactement une solution. (1 pt) (1)

Méthode — Pour compter les solutions de $f(x)=k$, on examine le tableau de variations intervalle par intervalle et on regarde si $k$ est compris entre les valeurs extrêmes de chacun.

1. a)$f(x)=ax+b$ avec $b=f(0)=5$ et $a={\displaystyle \frac{f(2)-f(0)}{2-0}}={\displaystyle \frac{1-5}{2}}=-2$. Donc $f(x)=-2x+5$. (1 pt) (1)
2. b)Le coefficient directeur $a=-2$ est strictement négatif, donc $f$ est strictement décroissante sur $ℝ$. (1 pt) (1)
3. c)$-2x+5=0⟺x={\displaystyle \frac{5}{2}}$. Comme $a<0$ : $f(x)>0$ sur $]-\infty ;{\displaystyle \frac{5}{2}}[$, $f\left({\displaystyle \frac{5}{2}}\right)=0$ et $f(x)<0$ sur $]{\displaystyle \frac{5}{2}};+\infty [$. (1 pt) (1)
4. d)$x+1$ s'annule en $-1$, négatif avant, positif après. Tableau : sur $]-\infty ;-1[$, produit $(+)(-)$ négatif ; sur $]-1;{\displaystyle \frac{5}{2}}[$, $(+)(+)$ positif ; sur $]{\displaystyle \frac{5}{2}};+\infty [$, $(-)(+)$ négatif. Donc $\mathcal{S}=]-\infty ;-1[\cup ]{\displaystyle \frac{5}{2}};+\infty [$ (bornes exclues car l'inégalité est stricte). (1 pt) (1)

Erreur fréquente — Le signe de $ax+b$ « après la racine » est celui de $a$ : avec $a=-2$, l'expression est négative à droite de ${\displaystyle \frac{5}{2}}$, et non à gauche.

1. a)$-3,7<-3,2⩽0$ et la fonction carré est décroissante sur $]-\infty ;0]$ : elle inverse l'ordre, donc $(-3,7{)}^2>(-3,2{)}^2$. (1 pt) (1)
2. b)$0<2,04<2,4$ et la fonction inverse est décroissante sur $]0;+\infty [$, donc ${\displaystyle \frac{1}{2,04}}>{\displaystyle \frac{1}{2,4}}$. (1 pt) (1)
3. c)Sur $[1;4]\subset [0;+\infty [$, la fonction carré est croissante : elle conserve l'ordre, donc $1⩽x^2⩽16$. (1 pt) (1)
4. d)Sur $[-5;-2]\subset ]-\infty ;0[$, la fonction inverse est décroissante : ${\displaystyle \frac{1}{-2}}⩽{\displaystyle \frac{1}{x}}⩽{\displaystyle \frac{1}{-5}}$, soit $-0,5⩽{\displaystyle \frac{1}{x}}⩽-0,2$. (1 pt) (1)

Méthode — Avant d'appliquer une fonction à une inégalité, on vérifie sur quel intervalle on se trouve : une fonction croissante conserve l'ordre, une fonction décroissante l'inverse.

1. a)$P(x)=4x$ et $A(x)=x^2$. $P$ est une fonction linéaire (affine avec $b=0$) de coefficient $4$. (1 pt) (1)
2. b)$A(2,5)=2,5^2=6,25$ cm² et $P(2,5)=4\times 2,5=10$ cm. (1 pt) (1)
3. c)$x^2=4x⟺x^2-4x=0⟺x(x-4)=0⟺x=0$ ou $x=4$. Comme $x>0$, seul $x=4$ convient : le carré de côté $4$ cm a une aire de $16$ cm² et un périmètre de $16$ cm. (1 pt) (1)
4. d)$30,25=5,5^2$. Pour $x>0$, la fonction carré est croissante, donc $x^2⩽5,5^2⟺x⩽5,5$. Avec $0<x⩽10$ : $x\in ]0;5,5]$. (1 pt) (1)

Astuce — Dans un problème, la contrainte $x>0$ simplifie l'inéquation $x^2⩽k$ : sur les positifs, la fonction carré est croissante et on compare directement les côtés.

1. a)${\left({\displaystyle \frac{3}{4}}\right)}^2={\displaystyle \frac{9}{16}}$. (0,5 pt) (0,5)
2. b)${\displaystyle \frac{1}{-\frac{5}{3}}}=-{\displaystyle \frac{3}{5}}$. (0,5 pt) (0,5)
3. c)Il faut $x-3\ne 0$, soit $x\ne 3$ : $\mathcal{D}=ℝ⧵\{3\}$. (0,5 pt) (0,5)
4. d)$a={\displaystyle \frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}}={\displaystyle \frac{-2-4}{3-(-1)}}={\displaystyle \frac{-6}{4}}=-{\displaystyle \frac{3}{2}}$. (0,5 pt) (0,5)
5. e)Un carré est toujours positif ou nul, il ne peut valoir $-9$ : $\mathcal{S}=\varnothing$. (0,5 pt) (0,5)
6. f)${\displaystyle \frac{1}{x}}=5⟺x={\displaystyle \frac{1}{5}}=0,2$ : $\mathcal{S}=\{0,2\}$. (0,5 pt) (0,5)

Piège — Une équation $x^2=k$ avec $k<0$ n'a aucune solution réelle : inutile de chercher une racine carrée d'un nombre négatif.

1. a)Faux. Contre-exemple : $-3<1$ mais $(-3{)}^2=9>1=1^2$. L'implication n'est vraie que pour des nombres positifs. (1 pt) (1)
2. b)Faux. $-1<1$ et pourtant ${\displaystyle \frac{1}{-1}}=-1<1={\displaystyle \frac{1}{1}}$ : l'ordre est conservé. La fonction inverse est décroissante sur $]-\infty ;0[$ et sur $]0;+\infty [$ séparément, pas sur leur réunion. (1 pt) (1)
3. c)Faux. Pour $x=0,5$ : $x^2=0,25<0,5=x$. En fait $x^2<x$ pour tout $x$ de $]0;1[$. (1 pt) (1)
4. d)Vrai. $f(x)=x^2+4x+4-x^2=4x+4$ : $f$ est affine de coefficient directeur $4>0$, donc croissante sur $ℝ$. (1 pt : 0,5 pt pour le développement, 0,5 pt pour la conclusion) (1)

Méthode — Un seul contre-exemple suffit pour prouver qu'une affirmation générale est fausse ; pour prouver qu'elle est vraie, il faut un raisonnement valable pour tous les cas.

1. a)$g(x)=1\times x+2$ est de la forme $ax+b$ avec $a=1$ et $b=2$ : $g$ est affine, et comme $a=1>0$, $g$ est croissante sur $ℝ$. (0,5 pt) (1)
2. b)$(x+1)(x-2)=x^2-2x+x-2=x^2-x-2$. (1 pt) (1)
3. c)$f(x)=g(x)⟺x^2-x-2=0⟺(x+1)(x-2)=0⟺x=-1$ ou $x=2$. Avec $f(-1)=1$ et $f(2)=4$ : les points d'intersection sont $(-1;1)$ et $(2;4)$ (on vérifie : $g(-1)=1$, $g(2)=4$). (1 pt) (1)
4. d)$f(x)-g(x)=(x+1)(x-2)$. $x+1$ change de signe en $-1$, $x-2$ en $2$. Le produit est positif sur $]-\infty ;-1[$ et sur $]2;+\infty [$, négatif sur $]-1;2[$, nul en $-1$ et $2$. Donc ${\mathcal{C}}_f$ est au-dessus de $d$ sur $]-\infty ;-1[\cup ]2;+\infty [$ et en dessous sur $]-1;2[$. (1,5 pt : 1 pt pour le tableau, 0,5 pt pour l'interprétation) (1)

Méthode — Pour situer deux courbes l'une par rapport à l'autre, on étudie le signe de la différence $f(x)-g(x)$ : positif signifie que ${\mathcal{C}}_f$ est au-dessus.

1. a)Si $x<0$, ${\displaystyle \frac{1}{x}}<0<4$ : tous les négatifs conviennent. Si $x>0$, la fonction inverse est décroissante sur $]0;+\infty [$ et $4={\displaystyle \frac{1}{0,25}}$, donc ${\displaystyle \frac{1}{x}}<{\displaystyle \frac{1}{0,25}}⟺x>0,25$. $\mathcal{S}=]-\infty ;0[\cup ]0,25;+\infty [$. (1 pt) (1)
2. b)Si $x>0$, ${\displaystyle \frac{1}{x}}>0>-{\displaystyle \frac{1}{3}}$ : tous les positifs conviennent. Si $x<0$, $-{\displaystyle \frac{1}{3}}={\displaystyle \frac{1}{-3}}$ et la fonction inverse est décroissante sur $]-\infty ;0[$, donc ${\displaystyle \frac{1}{x}}>{\displaystyle \frac{1}{-3}}⟺x<-3$. $\mathcal{S}=]-\infty ;-3[\cup ]0;+\infty [$. (1 pt) (1)
3. c)La fonction inverse est décroissante sur $]0;+\infty [$ : ${\displaystyle \frac{1}{0,8}}⩽{\displaystyle \frac{1}{x}}⩽{\displaystyle \frac{1}{0,2}}$, soit $1,25⩽{\displaystyle \frac{1}{x}}⩽5$. (1 pt) (1)
4. d)$g$ est affine de coefficient $-2<0$, donc décroissante : $g(0,8)⩽g(x)⩽g(0,2)$, soit $1,4⩽g(x)⩽2,6$. En additionnant membre à membre avec c) : $2,65⩽g(x)+{\displaystyle \frac{1}{x}}⩽7,6$. (1 pt : 0,5 pt par encadrement) (1)

Erreur fréquente — Pour une inéquation avec ${\displaystyle \frac{1}{x}}$, on sépare toujours les cas $x<0$ et $x>0$ : la fonction inverse n'est pas décroissante sur ${ℝ}^{*}$ tout entier.

1. a)$C(n)=0,8n+60$. $C$ est affine, de coefficient directeur $0,8$ (prix d'une affiche) et d'ordonnée à l'origine $60$ (forfait). (1 pt) (1)
2. b)$C(150)=0,8\times 150+60=120+60=180$ €. Coût moyen : ${\displaystyle \frac{180}{150}}=1,2$ €, soit 1,20 € par affiche. (1 pt) (1)
3. c)$M(n)={\displaystyle \frac{0,8n+60}{n}}={\displaystyle \frac{0,8n}{n}}+{\displaystyle \frac{60}{n}}=0,8+{\displaystyle \frac{60}{n}}$. (1 pt) (1)
4. d)Soit $1⩽n_1<n_2$. La fonction inverse est décroissante sur $]0;+\infty [$, donc ${\displaystyle \frac{1}{n_1}}>{\displaystyle \frac{1}{n_2}}$ ; en multipliant par $60>0$ : ${\displaystyle \frac{60}{n_1}}>{\displaystyle \frac{60}{n_2}}$ ; en ajoutant $0,8$ : $M(n_1)>M(n_2)$. Donc $M$ est décroissante sur $[1;+\infty [$. (1 pt) (1)
5. e)$M(n)<1⟺{\displaystyle \frac{60}{n}}<0,2⟺60<0,2n$ (car $n>0$) $⟺n>300$. Comme $M(300)=1$ exactement, il faut commander au moins $301$ affiches. (1 pt) (1)

Astuce — Écrire un coût moyen sous la forme « constante $+{\displaystyle \frac{k}{n}}$ » permet de lire immédiatement son sens de variation grâce à la fonction inverse.

1. a)$x^2-9=0⟺x^2=9⟺x=-3$ ou $x=3$ : $\mathcal{D}=ℝ⧵\{-3;3\}$. (0,5 pt) (0,5)
2. b)$(2x-1{)}^2=25⟺2x-1=5$ ou $2x-1=-5⟺x=3$ ou $x=-2$ : $\mathcal{S}=\{-2;3\}$. (0,5 pt) (0,5)
3. c)Pour $x\ne -2$ : ${\displaystyle \frac{1}{x+2}}=-4⟺x+2=-{\displaystyle \frac{1}{4}}⟺x=-{\displaystyle \frac{9}{4}}$, qui est bien différent de $-2$ : $\mathcal{S}=\{-{\displaystyle \frac{9}{4}}\}$. (0,5 pt) (0,5)
4. d)$a={\displaystyle \frac{1-7}{6-(-2)}}=-{\displaystyle \frac{6}{8}}=-{\displaystyle \frac{3}{4}}$ ; $f(-2)={\displaystyle \frac{3}{2}}+b=7$ donne $b={\displaystyle \frac{11}{2}}$. Donc $f(x)=-{\displaystyle \frac{3}{4}}x+{\displaystyle \frac{11}{2}}$ (contrôle : $f(6)=-{\displaystyle \frac{9}{2}}+{\displaystyle \frac{11}{2}}=1$). (0,5 pt) (0,5)
5. e)$x^2⩽2⟺-\sqrt{2}⩽x⩽\sqrt{2}$ : $\mathcal{S}=[-\sqrt{2};\sqrt{2}]$. (0,5 pt) (0,5)
6. f)Si $x<0$, ${\displaystyle \frac{1}{x}}<0⩽3$ : ils conviennent tous. Si $x>0$, par décroissance de la fonction inverse, ${\displaystyle \frac{1}{x}}⩽{\displaystyle \frac{1}{1/3}}⟺x⩾{\displaystyle \frac{1}{3}}$. $\mathcal{S}=]-\infty ;0[\cup [{\displaystyle \frac{1}{3}};+\infty [$. (0,5 pt) (0,5)

Piège — Une inéquation $x^2⩽k$ (avec $k>0$) a pour solutions un intervalle centré en $0$ : écrire seulement $x⩽\sqrt{k}$ inclurait à tort des nombres comme $-5$, dont le carré vaut $25$.

1. a)Soit $0⩽u<v$. $v^2-u^2=(v-u)(v+u)$ avec $v-u>0$ et $v+u>0$ (car $v>0$, $u⩾0$). Donc $v^2-u^2>0$, soit $u^2<v^2$ : l'ordre est conservé. (1 pt) (0,8)
2. b)Soit $u<v<0$. ${\displaystyle \frac{1}{v}}-{\displaystyle \frac{1}{u}}={\displaystyle \frac{u-v}{uv}}$ avec $u-v<0$ et $uv>0$ (produit de deux négatifs). Donc ${\displaystyle \frac{1}{v}}-{\displaystyle \frac{1}{u}}<0$, soit ${\displaystyle \frac{1}{v}}<{\displaystyle \frac{1}{u}}$ : l'ordre est inversé. (1 pt) (0,8)
3. c)Soit $u<v$. $f(v)-f(u)=av+b-(au+b)=a(v-u)$, produit d'un nombre strictement négatif et d'un nombre strictement positif : $f(v)-f(u)<0$, donc $f(v)<f(u)$. (0,5 pt) (0,8)
4. d)Pour $x>0$ : $x+{\displaystyle \frac{1}{x}}-2={\displaystyle \frac{x^2-2x+1}{x}}={\displaystyle \frac{(x-1{)}^2}{x}}⩾0$ (numérateur carré, dénominateur positif). Égalité si et seulement si $(x-1{)}^2=0$, soit $x=1$. (0,5 pt) (0,8)
5. e)$x^2-x=x(x-1)<0$ car $x>0$ et $x-1<0$ : $x^2<x$. ${\displaystyle \frac{1}{x}}-x={\displaystyle \frac{1-x^2}{x}}={\displaystyle \frac{(1-x)(1+x)}{x}}>0$ car les trois facteurs sont positifs : $x<{\displaystyle \frac{1}{x}}$. (1 pt) (0,8)

Méthode — Pour comparer deux quantités, on étudie le signe de leur différence, qu'on factorise ou qu'on met au même dénominateur : chaque facteur a alors un signe connu.

1. a)$m={\displaystyle \frac{9-1}{3-(-1)}}={\displaystyle \frac{8}{4}}=2$. (0,5 pt) (0,8)
2. b)$y=2x+p$ ; $A\in (AB)$ donne $1=-2+p$, donc $p=3$ : $(AB):y=2x+3$ (contrôle avec $B$ : $6+3=9$). (1 pt) (0,8)
3. c)${\displaystyle \frac{b^2-a^2}{b-a}}={\displaystyle \frac{(b-a)(b+a)}{b-a}}=a+b$, la simplification étant permise car $b-a\ne 0$. (1 pt) (0,8)
4. d)Deux droites sont parallèles si elles ont le même coefficient directeur : $-1+b=5$, donc $b=6$ et $N(6;36)$. (0,5 pt) (0,8)
5. e)$x^2-(2x+3)=x^2-2x-3=(x+1)(x-3)$. Sur $]-1;3[$, $x+1>0$ et $x-3<0$, donc le produit est strictement négatif : $x^2<2x+3$, la parabole est sous la corde. (1 pt) (0,8)

Astuce — L'identité $b^2-a^2=(b-a)(b+a)$ transforme un calcul de pente sur la parabole en une simple somme : le résultat $a+b$ se retient et se réutilise.

1. a)${\displaystyle \frac{1}{x}}+{\displaystyle \frac{x}{4}}-1={\displaystyle \frac{4+x^2-4x}{4x}}={\displaystyle \frac{x^2-4x+4}{4x}}={\displaystyle \frac{(x-2{)}^2}{4x}}$. (1 pt) (1)
2. b)Pour $x>0$, $(x-2{)}^2⩾0$ et $4x>0$, donc la différence est positive ou nulle : $\mathcal{H}$ est au-dessus de $d$. Elle est nulle seulement pour $x=2$ : unique point commun $\left(2;{\displaystyle \frac{1}{2}}\right)$. (1 pt) (1)
3. c)${\displaystyle \frac{1}{x}}+{\displaystyle \frac{x}{a^2}}-{\displaystyle \frac{2}{a}}={\displaystyle \frac{a^2+x^2-2ax}{a^{2}x}}={\displaystyle \frac{(x-a{)}^2}{a^{2}x}}⩾0$ pour $x>0$, nul si et seulement si $x=a$. Donc $\mathcal{H}$ est au-dessus de $d_a$, avec un unique point commun $T\left(a;{\displaystyle \frac{1}{a}}\right)$. (Pour $a=2$, on retrouve $d$.) (1 pt) (1)
4. d)$P$ : $x=0$ donne $y={\displaystyle \frac{2}{a}}$, donc $P\left(0;{\displaystyle \frac{2}{a}}\right)$. $Q$ : $y=0⟺{\displaystyle \frac{x}{a^2}}={\displaystyle \frac{2}{a}}⟺x=2a$, donc $Q(2a;0)$. Milieu : $\left({\displaystyle \frac{0+2a}{2}};{\displaystyle \frac{2/a+0}{2}}\right)=\left(a;{\displaystyle \frac{1}{a}}\right)=T$. (1 pt) (1)

Astuce — Traiter d'abord un cas numérique ($a=2$) guide le calcul général : la même factorisation en carré parfait réapparaît avec $a$ à la place de $2$.

1. a)L'aire vaut $x\times L=200$, donc $L(x)={\displaystyle \frac{200}{x}}$ (compris entre $4$ et $50$). Grillage : deux côtés de longueur $x$ et un de longueur $L$, soit $F(x)=2x+{\displaystyle \frac{200}{x}}$. (1 pt) (1)
2. b)$F(5)=10+40=50$ ; $F(10)=20+20=40$ ; $F(20)=40+10=50$ (en m). (1 pt) (1)
3. c)$F(x)-40={\displaystyle \frac{2x^2+200-40x}{x}}={\displaystyle \frac{2(x^2-20x+100)}{x}}={\displaystyle \frac{2(x-10{)}^2}{x}}⩾0$ car $x>0$. Donc $F(x)⩾40$, avec égalité si et seulement si $x=10$. Minimum : $40$ m de grillage, pour un enclos de $10$ m sur $20$ m (côté du mur : $20$ m). (1,5 pt : 1 pt pour le calcul, 0,5 pt pour la conclusion) (1)
4. d)$C(\ell )=12\ell +90$ : fonction affine de coefficient directeur $12>0$, donc croissante. (0,5 pt) (1)
5. e)$C(\ell )⩽690⟺12\ell ⩽600⟺\ell ⩽50$. On résout $F(x)⩽50$ : comme $x>0$, $2x^2+200⩽50x⟺2x^2-50x+200⩽0⟺2(x-5)(x-20)⩽0$ (car $(x-5)(x-20)=x^2-25x+100$). Le produit est négatif ou nul entre ses racines : $5⩽x⩽20$, intervalle contenu dans $[4;50]$. Les valeurs possibles sont $x\in [5;20]$. (1 pt) (1)

Erreur fréquente — Multiplier une inéquation par $x$ n'est permis sans changer le sens que parce que $x>0$ : il faut l'écrire, sinon le raisonnement est incomplet.