Généralités sur les fonctions

Fonction, image et antécédent, ensemble de définition, courbe d’équation y = f(x), résolution graphique de f(x) = k, f(x) < k, f(x) = g(x) et f(x) < g(x).

À propos de cette page

Quatre problèmes corrigés où une fonction modélise une situation : la distance restante d’une voiture qui freine, le prix d’équilibre entre l’offre et la demande, les aires d’un carré et d’un rectangle rogné, et le volume d’une caisse à base carrée.

4 problèmes, du plus simple au plus difficile. Écris tes réponses, puis « Vérifier ».

Résoudre un problème : la méthode

Je nomme la fonction : ce que représente la variable (temps, prix, longueur) et ce que représente l’image, avec les unités.
Je fixe l’ensemble de définition imposé par la situation : une longueur est positive, un temps commence à 0, un nombre d’objets est entier.
Je traduis chaque question : image (je calcule), antécédent (je résous f(x) = k), comparaison (f(x) < g(x)).
Je lis le graphique, puis je confirme par le calcul : la lecture donne une valeur approchée, le calcul la valeur exacte.
Je conclus dans la situation, en rejetant les solutions hors de l’ensemble de définition.

Problème 1 · Une voiture qui freine★★★Facile

Une voiture freine devant un obstacle. On admet que,

t

secondes après le début du freinage, la distance qui la sépare de l’endroit où elle s’arrêtera est, en mètres,

D (t) = 2 (5 - t)^{2}

1. Distance restante une seconde après le début du freinage : m
$D (1) = 2 \times 4^{2} = 2 \times 16 = 32$ m.
2. Déterminer l’instant où la voiture s’arrête, puis l’ensemble de définition adapté à la situation, $[0; a]$ avec $a$ =
Rédaction attendue. La voiture est arrêtée quand la distance restante est nulle : $D (t) = 0$ , soit $(5 - t)^{2} = 0$ , donc $t = 5$ . Le temps est compté à partir du début du freinage, donc $t ⩾ 0$ . Après $t = 5$ , la formule redonne des distances positives ( $D (6) = 2$ ), alors que la voiture reste immobile : elle n’a plus de sens. $D$ est définie sur $[0; 5]$ .
3. Instant où la voiture est à $8$ m de son point d’arrêt : $t$ = s
$D (t) = 8$ équivaut à $(5 - t)^{2} = 4$ , soit $5 - t = 2$ ou $5 - t = - 2$ , donc $t = 3$ ou $t = 7$ . Seul $3$ est dans $[0; 5]$ .
4. Pendant combien de secondes la voiture est-elle à moins de $8$ m de son point d’arrêt ? s
$D (t) < 8$ équivaut à $(5 - t)^{2} < 4$ . Pour $t \in [0; 5]$ , le nombre $5 - t$ est positif, donc $(5 - t)^{2} < 4$ équivaut à $5 - t < 2$ , soit $t > 3$ . Avec $t \in [0; 5]$ : $S =] 3; 5]$ . La voiture passe $5 - 3 = 2$ s à moins de $8$ m de son point d’arrêt.

Problème 2 · Prix d’équilibre d’un marché★★★Moyen

Sur un marché, pour un prix unitaire

p

en euros (

0 ⩽ p ⩽ 20

), la demande des acheteurs est

D (p) = 120 - 4 p

et l’offre des producteurs est

O (p) = 0, 5 p^{2}

, en milliers d’articles. Le prix d’équilibre est celui pour lequel l’offre est égale à la demande.

1. Pour $p = 10$ : demande et offre (en milliers d’articles)
$D (10) = 120 - 40 = 80$ et $O (10) = 0, 5 \times 100 = 50$ . À $10$ €, la demande dépasse l’offre : il manque des articles.
2. Lire sur la figure le prix d’équilibre : €
C’est l’abscisse du point d’intersection des deux courbes : on lit $p = 12$ .
3. Démontrer que $O (p) = D (p)$ équivaut à $(p + 4)^{2} = 256$ , puis en déduire le nombre d’articles échangés au prix d’équilibre : milliers
Rédaction attendue. $O (p) = D (p)$ équivaut à $0, 5 p^{2} = 120 - 4 p$ , soit $0, 5 p^{2} + 4 p - 120 = 0$ , soit (en multipliant par $2$ ) $p^{2} + 8 p - 240 = 0$ . Or $(p + 4)^{2} = p^{2} + 8 p + 16$ , donc $p^{2} + 8 p - 240 = (p + 4)^{2} - 256$ : l’équation équivaut à $(p + 4)^{2} = 256$ . Alors $p + 4 = 16$ ou $p + 4 = - 16$ , soit $p = 12$ ou $p = - 20$ . Comme $p \in [0; 20]$ , le prix d’équilibre est $12$ € (la lecture est confirmée). Alors $D (12) = 120 - 48 = 72$ : $72$ milliers d’articles sont échangés.
4. Pour un prix de $15$ €, l’excédent d’offre $O (15) - D (15)$ vaut milliers d’articles
$O (15) = 0, 5 \times 225 = 112, 5$ et $D (15) = 120 - 60 = 60$ , donc $O (15) - D (15) = 52, 5$ . Sur la figure, pour $p > 12$ , la courbe de l’offre est au-dessus de celle de la demande : $O (p) > D (p)$ sur $] 12; 20]$ , les invendus apparaissent.

Problème 3 · Un carré et un rectangle rogné★★★Moyen

On considère un carré de côté

x

cm et un rectangle de

6

cm sur

3

cm dont on retire une bande de

x

cm sur

3

cm (

0 ⩽ x ⩽ 6

). On note

f (x) = x^{2}

l’aire du carré et

g (x)

l’aire restante du rectangle, en cm².

1. Justifier que $g (x) = 18 - 3 x$ et donner l’ensemble de définition de $f$ et $g$ . Calculer $g (4)$ : cm²
Rédaction attendue. Le rectangle a pour aire $6 \times 3 = 18$ et la bande $3 x$ , donc $g (x) = 18 - 3 x$ . La bande tient dans le rectangle pour $0 ⩽ x ⩽ 6$ : $f$ et $g$ sont définies sur $[0; 6]$ . Enfin $g (4) = 18 - 12 = 6$ cm².
2. Lire sur la figure la valeur de $x$ pour laquelle les deux aires sont égales :
Les deux courbes se coupent au point d’abscisse $3$ .
3. Démontrer que $f (x) = g (x)$ équivaut à $(x + 1, 5)^{2} = 20, 25$ . L’aire commune vaut alors cm²
Rédaction attendue. $f (x) = g (x)$ équivaut à $x^{2} + 3 x - 18 = 0$ . Or $(x + 1, 5)^{2} = x^{2} + 3 x + 2, 25$ , donc $x^{2} + 3 x - 18 = (x + 1, 5)^{2} - 20, 25$ : l’équation équivaut à $(x + 1, 5)^{2} = 20, 25$ . Comme $20, 25 = 4, 5^{2}$ , $x + 1, 5 = 4, 5$ ou $x + 1, 5 = - 4, 5$ , soit $x = 3$ ou $x = - 6$ . Seul $3$ est dans $[0; 6]$ (la lecture est confirmée). Alors $f (3) = 9$ et $g (3) = 18 - 9 = 9$ : l’aire commune est $9$ cm².
4. Ce programme affiche les valeurs de x pour lesquelles l’aire du carré dépasse l’aire restante du rectangle :
```
x = 0
while x <= 6:
    if x**2 > 18 - 3*x:
        print(x)
    x = x + 0.5
```
Nombre de valeurs affichées :
Sur la figure, $𝒞_{f}$ est strictement au-dessus de $𝒞_{g}$ pour $x \in] 3; 6]$ . En $x = 3$ , les aires sont égales et le test strict est faux. Valeurs affichées : $3, 5$ ; $4$ ; $4, 5$ ; $5$ ; $5, 5$ ; $6$ , soit $6$ valeurs.

Problème 4 · Le volume d’une caisse à base carrée★★★Difficile

Une caisse a la forme d’un pavé droit à base carrée de côté

x

cm ; la somme de ses trois dimensions vaut

60

cm. On note

V (x)

son volume en cm³.

1. Justifier que $V (x) = x^{2} (60 - 2 x)$ et que $x \in] 0; 30 [$ . Calculer $V (5)$ : cm³
Rédaction attendue. La base est un carré de côté $x$ ; les trois dimensions sont $x$ , $x$ et la hauteur, dont la somme vaut $60$ : la hauteur est $60 - 2 x$ . Volume d’un pavé : $V (x) = x \times x \times (60 - 2 x) = x^{2} (60 - 2 x)$ . Il faut $x > 0$ et $60 - 2 x > 0$ , soit $x < 30$ : $x \in] 0; 30 [$ . $V (5) = 25 \times 50 = 1 250$ cm³.
2. Calculer $V (10)$ et en déduire une solution de l’équation $V (x) = 4 000$ : $x$ =
$V (10) = 100 \times 40 = 4 000$ cm³ : le nombre $10$ est un antécédent de $4 000$ , donc une solution de $V (x) = 4 000$ .
3. D’après la figure, nombre de solutions de l’équation $V (x) = 4 000$ sur $] 0; 30 [$ :
La droite $y = 4 000$ coupe la courbe en deux points : l’un d’abscisse $10$ , l’autre d’abscisse proche de $27$ . Entre les deux, la courbe est au-dessus de la droite : c’est là que $V (x) ⩾ 4 000$ .
4. Démontrer que $V (x) - 4 000 = - 2 (x - 10) (x^{2} - 20 x - 200)$ , puis résoudre $x^{2} - 20 x - 200 = 0$ en l’écrivant $(x - 10)^{2} = 300$ . La solution située dans $] 0; 30 [$ est $10 + 10 \sqrt{3}$ , soit environ (au centième)
Rédaction attendue. En développant, $V (x) = 60 x^{2} - 2 x^{3}$ , donc $V (x) - 4 000 = - 2 x^{3} + 60 x^{2} - 4 000$ . Et $(x - 10) (x^{2} - 20 x - 200) = x^{3} - 20 x^{2} - 200 x - 10 x^{2} + 200 x + 2 000 = x^{3} - 30 x^{2} + 2 000$ , donc $- 2 (x - 10) (x^{2} - 20 x - 200) = - 2 x^{3} + 60 x^{2} - 4 000$ : c’est bien $V (x) - 4 000$ . Ensuite $(x - 10)^{2} = x^{2} - 20 x + 100$ , donc $x^{2} - 20 x - 200 = 0$ équivaut à $(x - 10)^{2} = 300$ , soit $x - 10 = \sqrt{300}$ ou $x - 10 = - \sqrt{300}$ , avec $\sqrt{300} = 10 \sqrt{3}$ . On obtient $x = 10 - 10 \sqrt{3} < 0$ (exclu) ou $x = 10 + 10 \sqrt{3} \approx 27, 32$ . Les solutions de $V (x) = 4 000$ sur $] 0; 30 [$ sont donc $10$ et $10 + 10 \sqrt{3} \approx 27, 32$ : la lecture graphique est confirmée.

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