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Mathématiques 2ⁿᵈᵉ

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Généralités sur les fonctions

Fonction, image et antécédent, ensemble de définition, courbe d’équation y = f(x), résolution graphique de f(x) = k, f(x) < k, f(x) = g(x) et f(x) < g(x).

À propos de cette page
Un QCM sur les généralités sur les fonctions en trois niveaux de douze questions : vocabulaire image et antécédent, valeurs interdites, appartenance d’un point à une courbe, lectures de f(x) = k, f(x) ≥ k et f(x) > g(x), puis les pièges de la simplification et des bornes. Chaque réponse est expliquée.

Les 36 questions du QCM en version texte

Pour réviser sans écran ou imprimer : chaque question avec ses propositions ; la bonne réponse et son explication se déplient.

Niveau facile ★ — 12 questions

  1. Soit f : x ↦ 5x − 8. Quelle est l’image de 3 par f ?

    • A. 7
    • B. 23
    • C. −1
    • D. 11
    Réponse

    A. 7 — On remplace x par 3 : f(3) = 5 × 3 − 8 = 15 − 8 = 7.

  2. On sait que f(−5) = 4. Quelle affirmation est exacte ?

    • A. −5 est l’image de 4 par f
    • B. 4 est l’image de −5 par f
    • C. 4 est un antécédent de −5 par f
    • D. −5 est le seul antécédent de 4
    Réponse

    B. 4 est l’image de −5 par f — f(−5) = 4 se lit « l’image de −5 est 4 » ; −5 est un antécédent de 4, sans garantie d’unicité.

  3. Quel est l’ensemble de définition de g : x ↦ 4/(x − 9) ?

    • A. l’intervalle ]9 ; +∞[
    • B. ℝ privé du nombre 0
    • C. ℝ privé du nombre 9
    • D. l’intervalle [9 ; +∞[
    Réponse

    C. ℝ privé du nombre 9 — Le dénominateur s’annule pour x = 9 : cette seule valeur est interdite.

  4. Quel est l’ensemble de définition de h : x ↦ √(x + 5) ?

    • A. ]−∞ ; −5]
    • B. [5 ; +∞[
    • C. ℝ privé de −5
    • D. [−5 ; +∞[
    Réponse

    D. [−5 ; +∞[ — Il faut x + 5 ≥ 0, c’est-à-dire x ≥ −5.

  5. Le point A(3 ; −1) appartient à la courbe de f. Cela signifie que :

    • A. f(3) = −1
    • B. f(−1) = 3
    • C. 3 est l’image de −1
    • D. −1 est un antécédent de 3
    Réponse

    A. f(3) = −1 — Les points de la courbe ont pour coordonnées (x ; f(x)) : l’abscisse est l’antécédent, l’ordonnée l’image.

  6. Pour résoudre graphiquement f(x) = 3, on cherche :

    • A. l’ordonnée du point d’abscisse 3
    • B. les points où la courbe coupe l’axe des x
    • C. l’image du nombre 3 par f
    • D. les abscisses des points d’ordonnée 3
    Réponse

    D. les abscisses des points d’ordonnée 3 — On trace la droite horizontale y = 3 et on lit les abscisses des points d’intersection.

  7. La courbe de f coupe l’axe des abscisses aux points d’abscisses −3 et 4. Donc :

    • A. f(−3) = −3 et f(4) = 4
    • B. f(−3) = 0 et f(4) = 0
    • C. f(0) = −3 et f(0) = 4
    • D. −3 et 4 sont des images de 0
    Réponse

    B. f(−3) = 0 et f(4) = 0 — Les points de l’axe des abscisses ont une ordonnée nulle : −3 et 4 sont des antécédents de 0.

  8. Une fonction t est donnée par le tableau : x = 1, 2, 3 et t(x) = 4, 9, 4. Les antécédents de 4 dans ce tableau sont :

    • A. 1 et 3
    • B. 9 seulement
    • C. 2 seulement
    • D. 4 et 9
    Réponse

    A. 1 et 3 — Le nombre 4 apparaît dans la seconde ligne sous x = 1 et sous x = 3.

  9. Le point de la courbe de f : x ↦ x² + 1 d’abscisse 2 a pour ordonnée :

    • A. 3
    • B. 4
    • C. 5
    • D. 2
    Réponse

    C. 5 — f(2) = 2² + 1 = 4 + 1 = 5 : le point est (2 ; 5).

  10. Graphiquement, les solutions de f(x) < k sont les abscisses des points de la courbe :

    • A. situés sur la droite y = k
    • B. situés au-dessus de la droite y = k
    • C. situés à gauche de la droite x = k
    • D. strictement au-dessous de la droite y = k
    Réponse

    D. strictement au-dessous de la droite y = k — f(x) < k : l’ordonnée f(x) est plus petite que k, donc le point est sous la droite horizontale y = k.

  11. La courbe d’une fonction f définie en 0 coupe l’axe des ordonnées au point :

    • A. (f(0) ; 0)
    • B. (0 ; f(0))
    • C. (0 ; 0)
    • D. (1 ; f(1))
    Réponse

    B. (0 ; f(0)) — Les points de l’axe des ordonnées ont pour abscisse 0 ; le point de la courbe d’abscisse 0 a pour ordonnée f(0).

  12. En Python, def f(x): return x**2 - 3. Que renvoie f(4) ?

    • A. 13
    • B. 5
    • C. −1
    • D. 8
    Réponse

    A. 13 — x**2 est le carré : 4² vaut 16, et 16 − 3 = 13.

Niveau moyen ★★ — 12 questions

  1. Soit f : x ↦ x² − 4x. Combien le nombre 5 a-t-il d’antécédents par f ?

    • A. aucun antécédent
    • B. un seul, le nombre 5
    • C. deux : les nombres −1 et 5
    • D. trois valeurs différentes
    Réponse

    C. deux : les nombres −1 et 5 — x² − 4x = 5 équivaut à x² − 4x − 5 = 0, soit (x − 5)(x + 1) = 0, d’où x = 5 ou x = −1.

  2. L’ensemble de définition de u : x ↦ 2x/(x² − 36) est :

    • A. ℝ privé de −6 et de 6
    • B. ℝ privé du nombre 36
    • C. l’intervalle [6 ; +∞[
    • D. ℝ privé de 0 et de 6
    Réponse

    A. ℝ privé de −6 et de 6 — x² − 36 = (x − 6)(x + 6) s’annule pour x = 6 et x = −6 : ce sont les deux valeurs interdites.

  3. Soit v : x ↦ −3x + 11. L’antécédent de 2 par v est :

    • A. le nombre 5
    • B. le nombre 13/3
    • C. le nombre −3
    • D. le nombre 3
    Réponse

    D. le nombre 3 — On résout −3x + 11 = 2, soit −3x = −9, donc x = 3.

  4. Soit w : x ↦ x² + 2x − 15. Le nombre w(−5) vaut :

    • A. −30
    • B. 10
    • C. 0
    • D. 20
    Réponse

    C. 0 — w(−5) = 25 − 10 − 15 = 0 : −5 est un antécédent de 0 par w.

  5. L’ensemble de définition de x ↦ 1/(x − 3) + 1/(x + 3) est :

    • A. ℝ privé de 3 seulement
    • B. ℝ privé de −3 et de 3
    • C. l’intervalle ]−3 ; 3[
    • D. ℝ privé du nombre 0
    Réponse

    B. ℝ privé de −3 et de 3 — Chaque quotient a sa valeur interdite : x − 3 ≠ 0 et x + 3 ≠ 0. On exclut 3 et −3.

  6. Soit f : x ↦ x² − 3x. Que dire du point A(−2 ; 10) ?

    • A. il est sur la courbe car f(−2) = 10
    • B. il n’y est pas car f(10) ≠ −2
    • C. il n’y est pas car f(−2) = −2
    • D. il est sur la courbe car f(10) = −2
    Réponse

    A. il est sur la courbe car f(−2) = 10 — f(−2) = 4 + 6 = 10, qui est l’ordonnée de A : le point A appartient à la courbe.

  7. Sur [−3 ; 4], les courbes de f et g se coupent aux abscisses −1 et 2, et la courbe de f est au-dessus de celle de g entre ces deux abscisses seulement. Les solutions de f(x) > g(x) sont :

    • A. [−1 ; 2]
    • B. [−3 ; −1[ ∪ ]2 ; 4]
    • C. ]−1 ; 2[
    • D. {−1 ; 2}
    Réponse

    C. ]−1 ; 2[ — On garde les abscisses où la courbe de f est strictement au-dessus : entre −1 et 2, bornes exclues (inégalité stricte).

  8. Sur [0 ; 8], la courbe de f est au-dessous de la droite y = 3 exactement pour x dans [0 ; 5[, et f(5) = 3. Les solutions de f(x) ≥ 3 sont :

    • A. [0 ; 5[
    • B. [5 ; 8]
    • C. ]5 ; 8]
    • D. le seul nombre 5
    Réponse

    B. [5 ; 8] — f(x) ≥ 3 : la courbe est sur ou au-dessus de la droite, à partir de 5 inclus (f(5) = 3) jusqu’à 8.

  9. La droite d’équation y = k coupe la courbe de f en trois points. L’équation f(x) = k a donc :

    • A. trois solutions
    • B. une seule solution, k
    • C. aucune solution
    • D. une infinité de solutions
    Réponse

    A. trois solutions — Chaque point d’intersection donne une solution : son abscisse.

  10. Soit f : x ↦ x² + 4. L’équation f(x) = 3 :

    • A. a pour solutions −1 et 1
    • B. a pour solution 1
    • C. n’a aucune solution
    • D. a pour solution −1
    Réponse

    C. n’a aucune solution — f(x) = 3 équivaut à x² = −1 : un carré n’est jamais négatif, il n’y a pas de solution.

  11. L’ensemble de définition de x ↦ 1/x + √x est :

    • A. [0 ; +∞[
    • B. ℝ privé de 0
    • C. ]−∞ ; 0[
    • D. ]0 ; +∞[
    Réponse

    D. ]0 ; +∞[ — La racine impose x ≥ 0 et le quotient x ≠ 0 : il reste x > 0.

  12. Dans un carré de côté 10 cm, on enlève un carré de côté x cm. L’aire restante 100 − x² est une fonction de x définie pour :

    • A. x dans ℝ tout entier
    • B. x dans ]−10 ; 10[
    • C. x supérieur à 10
    • D. x dans [0 ; 10]
    Réponse

    D. x dans [0 ; 10] — Une longueur est positive et le carré enlevé tient dans le grand : x varie de 0 à 10.

Niveau difficile ★★★ — 12 questions

  1. Un nombre peut avoir plusieurs antécédents par une fonction f, mais :

    • A. un antécédent a toujours plusieurs images
    • B. un nombre x du domaine a une seule image
    • C. une fonction a au plus un antécédent
    • D. l’image de x dépend du repère choisi
    Réponse

    B. un nombre x du domaine a une seule image — C’est la définition d’une fonction : à chaque x du domaine correspond une et une seule image.

  2. Soit f : x ↦ (x² − 25)/(x − 5). Que peut-on affirmer ?

    • A. f est définie sur ℝ privé de 5 et y vaut x + 5
    • B. f est définie sur ℝ, car elle vaut x + 5
    • C. f n’est définie que pour x > 5
    • D. f est définie sur ℝ privé de −5 et de 5
    Réponse

    A. f est définie sur ℝ privé de 5 et y vaut x + 5 — On ne simplifie par x − 5 que si x ≠ 5 : la valeur 5 reste interdite, et f(x) = x + 5 ailleurs.

  3. Une droite verticale coupe une courbe en deux points distincts. On en déduit que :

    • A. c’est la courbe d’une fonction décroissante
    • B. c’est la courbe d’une fonction définie sur ℝ
    • C. cette situation est impossible dans un repère
    • D. ce n’est pas la courbe d’une fonction
    Réponse

    D. ce n’est pas la courbe d’une fonction — Deux points de même abscisse donneraient deux images à un même nombre.

  4. Soit f définie sur ℝ par f(x) = 7 pour tout réel x. Alors :

    • A. 7 a une infinité d’antécédents, les autres nombres aucun
    • B. f n’est pas une fonction car elle ne dépend pas de x
    • C. chaque réel admet exactement un antécédent par f
    • D. f n’a pas de courbe représentative dans un repère
    Réponse

    A. 7 a une infinité d’antécédents, les autres nombres aucun — Une fonction constante est bien une fonction : tout réel a pour image 7, et seul 7 a des antécédents.

  5. On sait que f(3) = 8. Que peut-on affirmer ?

    • A. 3 est le seul antécédent de 8
    • B. 8 est un antécédent de 3
    • C. 3 est un antécédent de 8
    • D. f(8) = 3
    Réponse

    C. 3 est un antécédent de 8 — f(3) = 8 dit seulement que 3 est un antécédent de 8 ; par exemple, pour x² − 2x + 5, les nombres 3 et −1 ont tous deux pour image 8.

  6. La courbe d’une fonction f passe par A(2 ; 5). Lequel de ces points ne peut pas être aussi sur cette courbe ?

    • A. (5 ; 2)
    • B. (2 ; −1)
    • C. (−2 ; 5)
    • D. (0 ; 5)
    Réponse

    B. (2 ; −1) — (2 ; −1) a la même abscisse que A et une autre ordonnée : 2 aurait deux images.

  7. Sur [−2 ; 5], la courbe de f coupe la droite y = 1 en x = 0 et x = 3 seulement, et elle est au-dessus de cette droite entre 0 et 3. Les solutions de f(x) ≤ 1 sont :

    • A. ]0 ; 3[
    • B. [0 ; 3]
    • C. [−2 ; 0] ∪ [3 ; 5]
    • D. [−2 ; 0[ ∪ ]3 ; 5]
    Réponse

    C. [−2 ; 0] ∪ [3 ; 5] — On garde les points sur ou sous la droite : hors de ]0 ; 3[, intersections comprises (inégalité large).

  8. Résoudre graphiquement f(x) < 0 revient à chercher les abscisses des points de la courbe :

    • A. strictement au-dessous de l’axe des abscisses
    • B. situés à gauche de l’axe des ordonnées
    • C. dont l’abscisse est un nombre négatif
    • D. situés sur l’axe des abscisses
    Réponse

    A. strictement au-dessous de l’axe des abscisses — f(x) < 0 : l’ordonnée est négative, le point est sous l’axe des abscisses, quelle que soit son abscisse.

  9. On lit sur un graphique que f(x) = 2 a pour solutions environ 1,4 et 3,6. Pour les valeurs exactes, on :

    • A. lit plus attentivement la courbe
    • B. résout l’équation f(x) = 2 par le calcul
    • C. arrondit les lectures à l’unité
    • D. calcule f(2) avec la formule
    Réponse

    B. résout l’équation f(x) = 2 par le calcul — Une lecture graphique reste approchée : seul le calcul donne les solutions exactes.

  10. Soit u : x ↦ (x + 1)/(x − 2), pour x ≠ 2. Le nombre 1 a pour antécédent(s) par u :

    • A. le nombre 2
    • B. le nombre −1
    • C. les nombres −1 et 2
    • D. aucun nombre
    Réponse

    D. aucun nombre — u(x) = 1 donne x + 1 = x − 2, soit 1 = −2 : égalité fausse, donc aucun antécédent.

  11. Quel est l’ensemble de définition de h : x ↦ (x + 3)/(x² + 1) ?

    • A. ℝ privé de −1 et de 1
    • B. ℝ privé du nombre −3
    • C. ℝ tout entier
    • D. ℝ privé du nombre −1
    Réponse

    C. ℝ tout entier — x² + 1 ≥ 1 pour tout réel x : le dénominateur ne s’annule jamais.

  12. Pour f(x) = 2x − 1 et g(x) = x + 3, les droites représentant f et g se coupent au point :

    • A. (3 ; 4)
    • B. (7 ; 4)
    • C. (−4 ; −9)
    • D. (4 ; 7)
    Réponse

    D. (4 ; 7) — 2x − 1 = x + 3 donne x = 4, puis f(4) = 8 − 1 = 7 : le point est (4 ; 7).

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