Fonctions affines

Fonction affine et linéaire, coefficient directeur et ordonnée à l'origine, représentation graphique, sens de variation, signe de ax + b, modélisation de situations à variation constante

À propos de cette page

Ces problèmes corrigés sur « Fonctions affines » en seconde permettent d'appliquer le cours à des situations concrètes en mathématiques. Ils suivent le programme officiel de seconde et se résolvent étape par étape. Au programme : L'essentiel, Coefficient directeur et ordonnée à l'origine, Représentation graphique d'une fonction affine, Sens de variation d'une fonction affine. Cherche au brouillon, rédige, puis compare avec la correction détaillée de chaque problème. Idéal pour développer le raisonnement, la rigueur et la confiance avant une évaluation. Problèmes gratuits proposés par un professeur particulier à Marseille pour progresser en mathématiques en seconde.

Problèmes corrigés, type devoir surveillé ou bac : plusieurs parties, un raisonnement à rédiger. Traite chaque problème en entier au brouillon, puis déplie la correction rédigée.

Problème 1 — Choisir une formule de vélos en libre-service

Moyen

Une ville propose deux formules de vélos en libre-service. Formule A : 0,15 € par minute d'utilisation, sans abonnement. Formule B : abonnement de 9 € par mois, plus 0,06 € par minute. On note $t$ le nombre de minutes d'utilisation dans le mois ( $t ⩾ 0$ ), $A (t)$ et $B (t)$ les coûts mensuels en euros.

1. Exprimer $A (t)$ et $B (t)$ en fonction de $t$ .
2. Préciser la nature de chacune de ces fonctions ; laquelle traduit une situation de proportionnalité ?
3. Calculer le coût de chaque formule pour 75 minutes dans le mois.
4. Montrer que $A (t) - B (t) = 0, 09 t - 9$ et dresser le tableau de signes de cette expression sur $[0; + \infty [$ .
5. En déduire, selon la durée d'utilisation, la formule la plus avantageuse.
6. Léa roule 2 h 15 par mois. Quelle formule lui conseiller, et quelle économie mensuelle réalise-t-elle ?

1. Formule A : 0,15 € pour chacune des $t$ minutes, donc $A (t) = 0, 15 t$ . Formule B : 9 € fixes et 0,06 € par minute, donc $B (t) = 0, 06 t + 9$ .

2. $A$ est de la forme $a t$ : c'est une fonction linéaire (le prix est proportionnel à la durée, coefficient 0,15). $B$ est affine non linéaire ( $b = 9 \neq 0$ ) : le coût n'est pas proportionnel à la durée.

3. $A (75) = 0, 15 \times 75 = 11, 25$ € et $B (75) = 0, 06 \times 75 + 9 = 4, 5 + 9 = 13, 5$ €. Pour 75 minutes, la formule A coûte 11,25 € et la formule B 13,50 €.

4. $A (t) - B (t) = 0, 15 t - (0, 06 t + 9) = 0, 15 t - 0, 06 t - 9 = 0, 09 t - 9$ .
$0, 09 t - 9 = 0 ⟺ t = \frac{9}{0, 09} = 100$ . Le coefficient $0, 09$ est positif : l'expression est négative avant 100, positive après.

$t$	0		100		$+ \infty$
$A (t) - B (t)$		$-$	0	$+$

5. Si $0 ⩽ t < 100$ , $A (t) < B (t)$ : la formule A est plus avantageuse. Pour $t = 100$ , les deux formules coûtent $15$ €. Si $t > 100$ , $A (t) > B (t)$ : la formule B est plus avantageuse.

6. 2 h 15 = 135 minutes, et $135 > 100$ : on conseille la formule B. $A (135) = 0, 15 \times 135 = 20, 25$ € et $B (135) = 0, 06 \times 135 + 9 = 8, 1 + 9 = 17, 1$ €. Léa économise $20, 25 - 17, 10 = 3, 15$ € par mois.

Problème 2 — Température et altitude

Moyen

Dans les basses couches de l'atmosphère, on admet que la température de l'air diminue d'une même quantité pour chaque mètre d'élévation. Un jour donné, on relève 14,8 °C à 400 m d'altitude et 4,4 °C à 2 000 m. On note $T (h)$ la température (en °C) à l'altitude $h$ (en m), pour $h \in [0; 11 000]$ .

1. Expliquer pourquoi il est légitime de modéliser $T$ par une fonction affine.
2. Montrer que $T (h) = - 0, 0065 h + 17, 4$ .
3. Interpréter concrètement le coefficient directeur et l'ordonnée à l'origine.
4. Estimer la température au sommet d'un pic situé à 3 842 m, arrondie au dixième.
5. À partir de quelle altitude, arrondie au mètre, la température devient-elle négative ?
6. Un randonneur affirme : « À 1 200 m, il fera deux fois plus froid qu'à 600 m. » Que penser de cette phrase ?

1. La température diminue d'une même quantité pour chaque mètre gagné : la variation est constante, ce qui caractérise une fonction affine de l'altitude.

2. $T (h) = a h + b$ avec $a = \frac{T (2000) - T (400)}{2000 - 400} = \frac{4, 4 - 14, 8}{1600} = \frac{- 10, 4}{1600} = - 0, 0065$ .
Puis $T (400) = 14, 8$ : $- 0, 0065 \times 400 + b = 14, 8$ , soit $- 2, 6 + b = 14, 8$ , d'où $b = 17, 4$ .
Vérification : $T (2000) = - 13 + 17, 4 = 4, 4$ . ✓ Donc $T (h) = - 0, 0065 h + 17, 4$ .

3. $a = - 0, 0065$ °C par mètre : la température baisse de 0,0065 °C par mètre, soit 0,65 °C tous les 100 m. $b = 17, 4$ : c'est la température modélisée au niveau de la mer ( $h = 0$ ).

4. $T (3842) = - 0, 0065 \times 3842 + 17, 4 = - 24, 973 + 17, 4 = - 7, 573$ . Il fait environ $- 7, 6$ °C au sommet.

5. $T (h) = 0 ⟺ 0, 0065 h = 17, 4 ⟺ h = \frac{17, 4}{0, 0065} \approx 2676, 9$ . Comme $a < 0$ , $T (h)$ est positif avant cette valeur et négatif après. La température est négative au-dessus d'environ 2 677 m (dans la limite de validité du modèle, 11 000 m).

6. $T (600) = - 3, 9 + 17, 4 = 13, 5$ °C et $T (1200) = - 7, 8 + 17, 4 = 9, 6$ °C. La température ne « double » pas : $T$ est affine mais pas linéaire ( $b \neq 0$ ), donc doubler l'altitude ne double pas l'écart de température. Ce qui est vrai : entre 600 m et 1 200 m, la baisse est de $0, 0065 \times 600 = 3, 9$ °C, la même qu'entre 0 et 600 m. La phrase est fausse.

Problème 3 — Deux cuves et un programme Python

Difficile

À l'instant $t = 0$ (en minutes), une cuve C₁ contient 1 350 L d'eau ; elle se vide à débit constant de 18 L par minute. Au même instant, une cuve C₂ de capacité 1 000 L contient 240 L et se remplit à débit constant de 12,5 L par minute. On note $V_{1} (t)$ et $V_{2} (t)$ les volumes (en L) contenus dans chaque cuve.

1. Exprimer $V_{1} (t)$ et $V_{2} (t)$ . Au bout de combien de temps la cuve C₁ est-elle vide ? En déduire l'intervalle d'étude de $V_{1}$ .
2. Donner, en justifiant, le sens de variation de $V_{1}$ et de $V_{2}$ .
3. Déterminer l'instant, arrondi au dixième de minute, où les deux cuves contiennent le même volume, ainsi que ce volume, arrondi au dixième de litre.
4. Étudier le signe de $V_{1} (t) - V_{2} (t)$ et interpréter.
5. La cuve C₂ déborde-t-elle avant que C₁ soit vide ? Si oui, quel volume reste-t-il alors dans C₁ ?
6. On considère la fonction Python ci-dessous. Quelle valeur renvoie-t-elle ? Que représente cette valeur ?
```
def instant():
    t = 0
    while 1350 - 18*t > 240 + 12.5*t:
        t = t + 1
    return t
```

1. La cuve C₁ perd 18 L par minute : $V_{1} (t) = 1350 - 18 t$ . La cuve C₂ gagne 12,5 L par minute : $V_{2} (t) = 240 + 12, 5 t$ . C₁ est vide lorsque $1350 - 18 t = 0$ , soit $t = \frac{1350}{18} = 75$ . C₁ est vide au bout de 75 minutes ; $V_{1}$ est étudiée sur $[0; 75]$ .

2. $V_{1}$ est affine de coefficient $- 18 < 0$ : strictement décroissante. $V_{2}$ est affine de coefficient $12, 5 > 0$ : strictement croissante.

3. $V_{1} (t) = V_{2} (t) ⟺ 1350 - 18 t = 240 + 12, 5 t ⟺ 1110 = 30, 5 t ⟺ t = \frac{1110}{30, 5} = \frac{2220}{61} \approx 36, 39$ .
Volume commun : $V_{2} (\frac{2220}{61}) = 240 + 12, 5 \times \frac{2220}{61} = 240 + \frac{27 750}{61} \approx 694, 92$ .
Les volumes sont égaux vers $t \approx 36, 4$ min et valent alors environ 694,9 L.

4. $V_{1} (t) - V_{2} (t) = 1110 - 30, 5 t$ : expression affine de coefficient $- 30, 5 < 0$ , nulle en $\frac{2220}{61}$ . Elle est positive avant, négative après.

$t$	0		$\frac{2220}{61}$		75
$V_{1} (t) - V_{2} (t)$		$+$	0	$-$

Avant environ 36,4 min, C₁ contient plus d'eau que C₂ ; ensuite, c'est l'inverse.

5. C₂ est pleine lorsque $240 + 12, 5 t = 1000$ , soit $12, 5 t = 760$ , $t = 60, 8$ min. Or $60, 8 < 75$ : C₂ déborde avant que C₁ soit vide. À cet instant, $V_{1} (60, 8) = 1350 - 18 \times 60, 8 = 1350 - 1094, 4 = 255, 6 L$ .

6. La boucle augmente $t$ de 1 tant que $V_{1} (t) > V_{2} (t)$ .
Pour $t = 36$ : $V_{1} = 1350 - 648 = 702$ et $V_{2} = 240 + 450 = 690$ ; $702 > 690$ , la boucle continue.
Pour $t = 37$ : $V_{1} = 1350 - 666 = 684$ et $V_{2} = 240 + 462, 5 = 702, 5$ ; la condition est fausse, la boucle s'arrête.
La fonction renvoie 37 : c'est le premier nombre entier de minutes pour lequel C₂ contient au moins autant d'eau que C₁, ce qui est cohérent avec la question 3.

Problème 4 — Coût, recette et bénéfice d'un atelier

Difficile

Une artisane fabrique des bougies. Ses frais fixes s'élèvent à 1 260 € par mois et chaque bougie lui coûte 3,70 € en matières premières. Elle vend chaque bougie 12,10 €. On note $q$ le nombre de bougies fabriquées et vendues dans le mois, avec $q \in [0; 400]$ ; $C (q)$ , $R (q)$ et $B (q)$ désignent le coût total, la recette et le bénéfice, en euros.

1. Exprimer $C (q)$ et $R (q)$ en fonction de $q$ .
2. Montrer que $B (q) = 8, 4 q - 1260$ .
3. Donner le sens de variation de $B$ sur $[0; 400]$ .
4. Dresser le tableau de signes de $B (q)$ et déterminer le nombre minimal de bougies à vendre pour ne pas perdre d'argent.
5. L'artisane pense : « Si je vends deux fois plus de bougies, je gagne deux fois plus. » Comparer $B (200)$ et $B (400)$ et expliquer son erreur.
6. Elle souhaite que son bénéfice soit nul dès 120 bougies vendues, sans changer ses coûts. À quel prix unitaire doit-elle vendre ses bougies ?

1. Le coût comprend 1 260 € fixes et 3,70 € par bougie : $C (q) = 3, 7 q + 1260$ . La recette est proportionnelle au nombre de bougies vendues : $R (q) = 12, 1 q$ .

2. $B (q) = R (q) - C (q) = 12, 1 q - (3, 7 q + 1260) = 12, 1 q - 3, 7 q - 1260 = 8, 4 q - 1260$ . On a bien $B (q) = 8, 4 q - 1260$ .

3. $B$ est affine de coefficient directeur $8, 4 > 0$ : $B$ est strictement croissante sur $[0; 400]$ . Chaque bougie supplémentaire rapporte 8,40 € de bénéfice.

4. $B (q) = 0 ⟺ 8, 4 q = 1260 ⟺ q = \frac{1260}{8, 4} = 150$ . Le coefficient est positif, donc $B (q) < 0$ avant 150 et $B (q) > 0$ après.

$q$	0		150		400
$B (q)$		$-$	0	$+$

Elle doit vendre au moins 150 bougies pour ne pas perdre d'argent (seuil de rentabilité).

5. $B (200) = 1680 - 1260 = 420$ € et $B (400) = 3360 - 1260 = 2100$ €. Doubler la production multiplie le bénéfice par $\frac{2100}{420} = 5$ , pas par 2. L'erreur : $B$ est affine mais pas linéaire (ordonnée à l'origine $- 1260 \neq 0$ ), donc le bénéfice n'est pas proportionnel à $q$ ; seuls les accroissements sont proportionnels : 200 bougies de plus rapportent toujours $200 \times 8, 4 = 1680$ €.

6. Avec un prix $p$ , le bénéfice devient $B (q) = (p - 3, 7) q - 1260$ . On veut $B (120) = 0$ : $120 (p - 3, 7) = 1260 ⟺ p - 3, 7 = 10, 5 ⟺ p = 14, 2$ . Elle doit vendre ses bougies 14,20 € l'unité.

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